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玉溪一中 2025—2026 学年上学期高二月考（12 月）
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．如图，在复平面内，复数 ， 对应的点分别为 ， ，则复数
A． B． C． D．
3．已知双曲线 的左顶点为 ，直线 与双曲线 交于点
， ，若直线 与 的斜率之积是 ，则双曲线 的离心率是
A． B． C． D．
4．设 ，向量 ， ， ，且 ， ∥ ，
则 等于
A． B． C．3 D．9
5．已知圆 ，直线 ，则与直线 相切且与圆 外切的圆的圆心 的
轨迹方程是
A． B． C． D．6．已知函数 若关于 的方程
有7个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
7．如图，棱长为2的正方体 中，点 分别为棱 ， ，
的中点， 为 上的动点，则点 到平面 的距离为
A．
B．
C．
D．
8．已知圆 ，直线 ，则
A．直线 恒过定点
B．坐标原点到直线l的最大距离为
C．当 时，圆 上恰有四个点到直线 的距离等于
D．若直线 与直线平行，过该直线上一动点 作圆 的一条切线，切点为
，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知一组样本数据 、 、 、 ，下列说法正确的是
A．该样本数据的第60百分位数为
B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中
位数
C．剔除某个数据 后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D．若 、 、 、 的平均数为2，方差为1， 、 、 、 的平均数为6，方差
为2，则 、 、 、 的方差为5
10．已知实数 满足方程 ，则
A．点 到点 的距离为定值 B． 的最大值为2
C． 的最大值为 D． 的最大值为
11．已知椭圆 ： 的上、下焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上的一个动点，
则以下说法正确的是
A． 的周长为6
B．若 ，则 的面积为
C．椭圆 上存在4个点，使得
D． 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ，则 在 上的投影向量是______．
13．某公司2025年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研
发资金比上一年增长 ，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份
是__________．（参考数据 .）
14．已知在正四棱锥 中， ，点 是该正四棱锥内切球球面上
的动点，则正四棱锥 的体积为______， 的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知7sinC+3√ 3cosA=0，
13
a2+b2 −c2= ab．
7(1)求A;
(2)若a+c=10，求△ABC的面积．
16．（15分）
已知∆ABC中，B(0,0)，C(3,0)，动点A满足|AB|=2|AC|．
(1)求动点A的轨迹T的方程；
(2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为D，当▵ABC的面积最大且点A在第一象限时，求
|AD|的值．
17．（15分）
如图，直三棱柱ABC−A B C 中，M,N分别为AB和B C 的中点．
1 1 1 1 1
(1)证明：MN//平面ACC A ；
1 1
若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
(2) AC=2√ 2,AB=2√ 3,∠ACB=90 ∘,MN⊥A C A C CMN
1 1
18．（17分）
已知f(x+1)为R上的偶函数，当x≥1时函数f(x)=lg(x+6)．
(1)求f(−2) 并求f(x)的解析式;
1 1
(2)若函数g(x)=|x2+tx+ |在[0,2]的最大值为 ，求t值并求使不等式
2 2
f(m+t)>f(2m−t)成立实数m的取值范围．
19．（17分）n2 m
已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线x= 的距离的比为常数 ，其中m>0
m n
，n>0，且m≠n，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点B(− m,0)，若曲线C上两动点M，N均在x轴上方，AM/ /BN，且AN与BM相交于点
Q．
1 1
(i)当m=2√ 2，n=4时，求证： + 的值及△ABQ的周长均为定值；
|AM| |BN|
(ii)当m>n时，记△ABQ的面积为S，其内切圆半径为r，试探究是否存在常数λ，使得
S=λr恒成立？若存在，求λ(用m，n表示)；若不存在，请说明理由．
