文档内容
几何-直线型几何-勾股定理和弦图-1
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
勾股定理和弦图 B 1.能够理解勾股定理的概念 少考
2.熟练应用勾股定理和弦图来解决
相关的几何问题
知识提要
勾股定理和弦图
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2
+
AC2
=
BC2
勾股图与弦图4ab
(a+b) 2- =a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2
24ab
(a-b) 2+ =a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2
2
精选例题
勾股定理和弦图
1. 如下图所示，加油站 A 和商店 B 在马路的 MN 同一侧，A 到 MN 的距离为 5 米，
B 到 MN 的距离为 3 米，DC=6 米．行人 P 在马路 MN 上行走．问：当 P 到 A 的
距离和 P 到 B 的距离之和最小时，这个和最小等于 米．
【答案】 10
【分析】 如下图所示，关于直线 MN 作 B 的对称点 Bʹ，那么可知 PBʹ=PB，所
以 PA+PB=PA+PBʹ，那么当 A、Bʹ、P 共线时，距离之和最小，因为 CD=6，
DA+CBʹ=5+3=8，那么根据勾股定理可得此时距离和为 10 米．2. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条
“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草．
【答案】 5
【分析】 依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定
理可以计算出，这条路的长度为 5m．少走了 3+4-5=2(km)
3. 下图中有三个直角三角形．请问 x= 厘米．【答案】 15
【分析】 ①、② 两个直角三角形完全一样，所以 ①、② 两直角三角形的两直角边
分别为 9 cm和 12 cm，由勾股定理得，x2=92+122=152，所以 x=15(厘米)．
4. 如图，AE⊥AB 且 AE＝AB，BC⊥CD 且 BC＝CD，那么，按照图中所标注的数
据，图中实线所围成的图形面积为 ．
【答案】 40.5
【分析】 由弦图知：
AF=2,AG=6,CG=3,CH=2,
则
FH=2+6+3+2=13,
梯形 EFHD 的面积为
(6+3)×13÷2=58.5,
原图形面积为
58.5-(2×6+2×3)=40.5.
5. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正
确的是【答案】 C
【分析】 A：242+152≠202；
B：202+152≠242；
D：24 和 20 写反了；
C：242+72=252，152+202=252
6. 如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4
米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
【答案】 8 米
【分析】 由勾股定理，折断处以上的长度是 5 米，总长度为 3+5=8（米）．
7. 有一个直角边为 1 和 1 的直角三角形，以它的斜边和 1 为直角边，向外作另一个直角三
角形．重复以上操作，如下图．求第 1023 个直角三角形的斜边长度是 ．
第 个直角三角形的斜边长度是 17．【答案】 32；288
【分析】 第 n 个直角三角形的斜边长度的平方为 n+1，1023+1=1024=322，
172=289=1+288
8. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边
长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 cm．
【答案】 49
【分析】 将左上的小正方形的面积计为 S ，将右上的小正方形的面积计为 S ，由勾
1 2
股定理，有 S +S =S ，S +S =S ，S +S =72=49．
A B 1 C D 2 1 2
9. 如下图所示的三角形 ABC 的三条边 AB、BC、AC 中，最长的是 ．【答案】 BC
【分析】 根据勾股定理：AB2=22+42=20，AC2=12+52=26，BC2=32+52=34．
显然 BC 最长．
10. 如下图所示的等腰梯形上底长度等于 3，下底长度等于 9，高等于 4．这个等腰梯形的周
长等于 ．
【答案】 22
【分析】 两边的直角三角形的较短直角边为 (9-3)÷2=3，腰长的平方为
32+42=52，所 以周长为 3+5+9+5=22．
11. 如下图所示，长方体的三条棱长分别为 3、4、12，对角线 AC= ．【答案】 13
【分析】 如下图所示，根据勾股定理，边长为 3 和 4 的长方形的对角线长为 5，
这条对角线和长为 12 的边垂直，在直角三角形 ABC 中，AC2=52+122，所以 AC 长为
13．
12. 甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了 4 km，乙往南走了 3 km，此时甲、
乙两人相距 km．
【答案】 2
【分析】 依题意，甲、乙的最终位置和他们的出发点形成一个直角三角形，这个三角
形的直角边分别为 3 km 和 4 km，因此由勾股定理，这时候甲、乙两人相距 5 km．1
13. 如下图所示，一个 圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是 16，那么图中的扇形面积
4
是 ．（π 取 3）
【答案】 30
【分析】 给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为 16，则边长为 4，
OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：
r2=22+62=40.
所以图中扇形的面积为：
1
π×40=30.
414. 如下图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于 1680 平方厘米．阴
影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个
圆的面积等于 平方厘米．
【答案】 105
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 r，大圆半径为 R，则 (R-r) 2+R2=(R+r) 2，
R=4r，所以大圆面积是小圆的 16 倍，所以小圆面积为 1680÷16=105(平方厘米)．
15. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AB 上有一点 D，已知 CD=5，BD-AD=2，
那么三角形 ABC 的面积是 ．
【答案】 24【分析】 等腰直角三角形，面积等于斜边高的平方．
过 C 点做斜边 AB 的垂线，交 AB 于点 E，由于 BD-AD=2，得到 DE=1．
根据勾股定理，
CE2=CD2-DE2=52-12=24.
所以 S =24.
△ABC
16. 分别别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S2，S3 表
示，则它们之间的关系是
【答案】 S3+S2=S1
【分析】 根据圆的面积公式，圆的面积与其直径的平方成正比，而在直角三角形
ABC 中，由勾股定理，有
AC2+CB2=AB2,
因此这三个圆的面积也同样满足上述关系，即 S3+S2=S1．17. 如图，小明在广场上先向东走 10 米，又向南走 40 米，再向西走 20 米，又向南走 40
米，再向东走 70 米．求小明到达的终止点与原出发点的距离．
【答案】 100 米
【分析】 小明往南一共走了
40+40=80(米),
往东一共走了
70+10-20=60(米),
由勾股定理，
802+602=10000=1002,
距离为 100 米．
18. 求下面各三角形中未知边的长度．
【答案】 13；3；8
【分析】 c2=122+52=169，c=13；
a2=52-42=9,a=3；
b2=(262-242)-62=64,a=8
19. 已知：△ABC 中，AB＝13，AC＝15，BC 边上的高 AD＝12，求 △ABC 的面积．
【答案】 84 或 24．【分析】 需要分两种情况讨论，当高 AD 在三角形 ABC 内部的时候，如左图，此
时由勾股定理，BC=BD+DC=5+9=14，当高 AD 在三角形 ABC 外部的时候，如右图，
此时由勾股定理，BC=CD-CB=9-5=4，再通过三角形的面积公式，△ABC 的面积为
84 或 24．
20. 如图，已知四边形 ABCD 中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四
边形 ABCD 的面积．
【答案】 36
【分析】 连接 AC，在直角三角形 ABC 中，
AC2=AB2+BC2=32+42=52,
所以 AC=5．在三角形 ACD 中，由于
AC2+CD2=25+122=169,
而
AB2=132=169,AC2+CD2=AB2,
所以 ∠ACD=90∘．所以
S = S +S
ABCD △ABC △ACD
1 1
= AB×BC+ AC×CD
2 2
1 1
= ×3×4+ ×5×12
2 2
= 36.21. 一个零件的形状如图所示，已知 AC=3，AB=4，BD=12．求 CD 的长．
【答案】 13
【分析】 在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得
BC2=AC2+AB2=32+42=25，在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得
CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13．
22. 如图，两个长方形大小相同，长、宽分别是 12 和 8，求阴影部分的面积是多少？【答案】 略
【分析】 如图，连接 AC，DC=8-7=1；根据勾股定理：
AC2=AD2+DC2=AB2+BC2,
所以
BC2=122+12-82=81,BC=9,
则四边形 ABCD 的面积是
1 1
×12×1+ ×8×9=42,
2 2
阴影部分的面积是
12×8-42=54.
23. 计算右图中 BE 的长度．【答案】 13
【分析】 如下图所示，过 B 点作 DE 的垂线，垂足为 G．则 △BGE 为直角三角
形且 AB+BG=EF，则 7+BG=19，BG=12．又 CB=DG=3，且 DG+≥=DE=8，
3+≥=8，¿=5．再根 据勾股定理：BE2=BG2+GE2=132．所以 BE=13．
24. 请画一个面积是 5 平方厘米的正方形．
【答案】
【分析】 5=12+22．
25. 如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积．【答案】 60
【分析】
如图，做 EF⊥AD 于 F，在直角三角形 AED 中，
AD2=AE2+DE2=82+62=100=102,
所以 AD=10，由三角形面积公式，
1 1
S = ×AE×ED= ×EF×AD,
△AED 2 2
所以
AE×ED 6×8 24 1 1 24
EF= = = ,S = ×(AD+BC)×EF= ×(10+15)× =60.
AD 10 5 ABCD 2 2 5
26. 如图，某会展中心在会展期间准备将高 5 m，长 13 m，宽 2 m的楼道上铺地毯，已知
地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？
【答案】 612 元
【分析】 地毯在水平部分的长度总和为 12 米，总共需要(12+5)×2×18=612(元).
27. 科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着
又向南行走 1.8 米，再向东行走 2 米．最后又向南行走 1 米到达 B 点．则 A 点与 B 点
的距离是多少米？
【答案】 5 米
【分析】 往南一共走了
1.2+1.8+1=4(米),
一共向东走了
2+1=3(米),
由勾股定理，
AB2=32+42=25=52,
所以
AB=5(米).
28. 根据图中所给的条件，求梯形 ABCD 的面积．
【答案】 144
【分析】 作 DF⊥BC 于 F，则 DF=AE=12，在直角三角形 ABE 中，
BE2=AB2-AE2=152=122=81=92,BC=BE+EC=9+10=19,
在直角三角形 DFC 中，
FC2=DC2-DF2=132-122=25=52,
所以 FC=5，AD=CF=CE-FC=10-5=5，
1 1
S = ×(AD+BC)×AE= ×(5+19)×12=144.
ABCD 2 2
29. 如图是一个直角三角形，沿三角形的斜边旋转一周得到的立体图形的体积是多少？（π 取
3）
【答案】 28.8
【分析】 斜边上的高为
12
3×4÷5= ,
5
所以
1 12 144
V = ×π×( ) 2×5= =28.8
3 5 530. 如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区
域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和．
【答案】 30
【分析】 因为 ∠ABC=90∘，由勾股定理 AC2=AB2+BC2，又
1 1 1
S = π AC2 ，S = πBC2 ，S = π AB2 ，所以 S =S +S ，那
大半圆 4 中半圆 4 小半圆 4 大半圆 中半圆 小半圆
么
1
S =S +S +S -S =S = ×5×12=30.
月牙 中半圆 小半圆 △ABC 大半圆 △ABC 2
31. 有一个直角三角形 PQR，直角在 Q 点，以其三边为直径作三个半圆．矩形 STUV 的
各边与半圆相切且平行于 PQ 或 QR，如下图所示．如果 PQ=6 厘米，QR=8 厘米，则
STUV 的面积是多少平方厘米？【答案】 144
【分析】 由勾股定理得大半圆的直径为 10 厘米，则三个半圆的半径分别为 3 厘米，
4 厘米，5 厘米．可知：SV =3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为
12×12=144(平方厘米)．
32. 在下图中，线段 AB 是圆 C 的直径，在线段 AB 上作两个半圆 APC 及 CQB．圆
PQR 分别与这三个半圆都相切．若 AB=28 厘米，试求圆 PQR 的半径的长度．14
【答案】
3
14
【分析】 如下图所示，设小圆半径为 x 厘米，则 (14-x) 2+72=(x+7) 2，x= ．
3
33. 如图，求阴影部分的面积．
【答案】 24
【分析】 阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为 6 和 8 的半
圆面积减去直径为 10 的半圆的面积，
1 1 (6) 2 1 (8) 2 1 (10) 2
×6×8+ ×π× + ×π× - ×π× =24.
2 2 2 2 2 2 2
注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．
