文档内容
几何-直线型几何-勾股定理和弦图-5
星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
勾股定理和弦图 B 1.能够理解勾股定理的概念 少考
2.熟练应用勾股定理和弦图来解决
相关的几何问题
知识提要
勾股定理和弦图
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2
+
AC2
=
BC2
勾股图与弦图4ab
(a+b) 2- =a2+2ab+b2-2ab=c2，所以 c2=a2+b2
24ab
(a-b) 2+ =a2-2ab+b2+2ab=c2，所以 c2=a2+b2
2
精选例题
勾股定理和弦图
1. 如下图所示，长方形 ABCD 中被嵌入了 6 个相同的正方形．已知 AB=22 厘米．
BC=20 厘米，那么每一个正方形的面积为 平方厘米．
【答案】 40
【分析】 如下图所示，对每个正方形作弦图，设小直角三角形的长直角边为 x 厘米，
{3x+ y=20 {x=6
短直角边为 y 厘米，则 ，所以 ，小正方形面积为
3x+2y=22 y=2
62+22=40(平方厘米)．2. 在下图中，将一个每边长均为 12 厘米的正八边形的 8 个顶点间隔地连线，可以连出两个
正方形．图中阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】 288
【分析】 如下左图，记 AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a．
取 E 为 DC 中点，连接 BE，将 △ABC 分成直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 BEC．
四个 △BEC 可以拼成一个边长 a 的正方形．
记 BE=b，则 CE=b，DE=b．
由 AE=a+b，BE=b 知：由 4 个 △ABE 和一个以 a 为边长的正方形可拼成一个以 AB
为边长的正方形（如下右弦图）．题中阴影可看做 8 个 △ABE 再加上 8 个 △BEC 的面积和，4 个 △ABE 与 4 个
△BEC 拼成边长为 12 的正方形，因此本题答案为 122×2=288 平方厘米．
3. 如下图所示，一块边长为 180 厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为 40 厘米
的小正方形．现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来．剪出的正方形面积最大为
平方厘米．
【答案】 18000【分析】 如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两部分，中 间部分的面
积为 1002=10000平方厘米，四个长方形每个的面积为 40×100=4000平方厘米，剪出
的最大正方形为中间的正方形加上四个长方形的一半，面积为
10000+4000÷2×4=18000平方厘米．
4. 平面上的五个点 A，B，C，D，E 满足：AB=16 厘米，BC=8 厘米，AD=10 厘米，
DE=2 厘米，AC=24 厘米，AE=12 厘米．如果三角形 EAB 的面积为 96 平方厘米，
则点 A 到 CD 的距离等于 厘米．
120
【答案】
13
【分析】 得三角形 CAD 是直角三角形，CD=26 厘米，点 A 到 CD 的距离为
10×24 120
= 厘米．
26 13
5. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE=2BE，CF=2DF，
连接 BF、DE，相交于点 G，过 G 作 MN、PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG，
设正方形 MGQA 的面积为 S ，正方形 PCNG 的面积为 S ，则 S :S =
1 2 1 2
．【答案】 9:4
【分析】 连接 BD、EF．
设正方形 ABCD 边长为 3，则
CE=CF=2,BE=DF=1,
所以，
EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.
因为
EF2 ⋅BD2=8×18=144=122,
所以
EF⋅BD=12.
由梯形蝴蝶定理，得
S :S :S :S
△GEF △GBD △DGF nBGEEF2:BD2:EF⋅BD:EF⋅BD¿=¿8:18:12:12¿=¿4:9:6:6,¿
¿
所以，6 6
S = S = S .
△BGE 4+9+6+6 梯形BDFE 25 梯形BDFE
因为
9
S =3×3÷2= ,S =2×2÷2=2,
△BCD 2 △CEF
所以
5
S =S -S = ,
梯形BDFE △BCD △CEF 2
所以，
6 5 3
S = × = .
△BGE 25 2 5
由于 △BGE 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以
3 6
CN= ×2÷1= ,
5 5
6 9
ND=3- = ,
5 5
所以
AM:CN=DN:CN=3:2,
则
S :S =AM2:CN2=9:4.
1 2
6. 将矩形 ABCD 分成四个全等的矩形，如下图所示．若 AE=29 厘米 AF=41 厘米，请
问 AC 的长度是多少厘米？
【答案】 71 厘米
【分析】 设 AD=a，DE=EF=b，所以 a2+b2=292，a2+(2b) 2=412，由此得
b2=280．于是 AC2=a2+(4b) 2=(a2+b2 )+15b2=292+15×280=5041=712．所以
AC=71 厘米．7. 如下图所示，长方形 ABCD，AB=24，BC=18，把 AB 边对折到 AC 上与 AC 重合，
把 AD 边也对折到 AC 上与 AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？
【答案】 255
【分析】
如上图所示，把 AB 对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 对折到 AC 上与 AC 重合，得
到四边形 AECF，由勾股定理，AC=30，设 BE=EG=x，S =S +S ，所以
△ABC △BAE △AEC
24×18÷2=24x÷2+30x÷2，那么 x=8，设 FH=DF= y，S =S +S ，
△ADC △ADF △AFC
所以 24×18÷2=18 y÷2+30 y÷2，那么 y=9，
S =S +S =30×(8+9)÷2=255．
四边形AECF △AEC △AFC
8. 三角形 ABC 中，线段 AR．BQ 分别是 BC、AC 边上的中线，且 BQ 与 AR 互相
垂直．如图所示，已知 AC=8、BC=6．请问 AB2+BC2+C A2 等于多少？【答案】 120
【分析】 如右图所示，连接 RQ，AR 与 BQ 交于 O 点，
设 AO=c，BO=a，¿=d，OQ=b，
1 1
因为
c2+b2=AQ2= AC2=16，a2+d2=BR2= BC2=9，
4 4
1 5
又因为
a2+c2=AB2，b2+d2=QR2= AB2
，所以
AB2=a2+b2+c2+d2=16+9=25．
4 4
所以 AB2=20．
所以 AB2+AC2+BC2=20+64+36=120．9. 如下图所示，点 E 是正方形 ABCD 的 CD 边上的一点，以 BE 为一条直角边作等腰
直角三角形 BEF，斜边 BF 交 AD 于 G，已知 AG=5 厘米，GD=15 厘米．求三角形
BEF 的面积．【答案】 272 平方厘米
【分析】 如下图作辅助线，由于 AG=5，而 AB=20，令 SF=a，而 SB=4a．而
MN=20+20-a=4a．解之得 a=8，则 FN=12，MN=32，NE=20，则阴影部分面积为：
(122+202 )÷2=272(平方厘米)．
10. 下图是由边长为 3 厘米和 4 厘米的两个正方形组成．请按尺寸在发给你的彩纸上画上这
一图形，再将它剪成 3 块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？
【答案】 5 厘米
【分析】 本题考査考生对弦图的认识．面积和 =32+42=52，所以拼成大正方形边长
为 5．
边长 5 厘米．拼法如下图所示．11. 如下图所示，对角线 BD 将矩形 ABCD 分割为两个三角形，AE 和 CF 分別是两个三
角形上的高，长度都等于 6 厘米，EF 的长度为 5 厘米，求矩形 ABCD 的面积．
【答案】 78
【分析】 如下图所示，将 AE 平移到 AʹF，因为 AE 是三角形 ABD 的高，所以
AE⊥BD，AʹF⊥BD，AAʹFE 是矩形，并且 Aʹ、F、C 在同一条直线上面，再根据
AAʹ⊥AʹF，运用勾股定理可以得到 AC2=AAʹ2+AʹC2，其中 AAʹ=EF=5 厘米，
AʹC=AE+FC=12 厘米，由此根据勾股定理可求得矩形 ABCD 的对角线 AC 的长度为13 厘米，由于 BD 也是矩形 ABCD 的对角线，所以 BD 的长度也为 13 厘米，那么矩
形 ABCD 的面积为三角形 ABD 和三角形 BCD 的面积之和，为
13×6÷2×2=78(平方厘米)．
12. 如下图两个正方形的边长分别是 a 和 b（a>b），将边长为 a 的正方形切成四块大小、
形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．
【答案】 见解析．
【分析】拼成大正方形的面积应是 a×a+b×b，设边长 c，则有等式 c×c=a×a+b×b，又因为将
边长为 a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 MN 为
大正方形边长，如图（1），一定有 MN×MN=a×a+b×b，而 MH=a，则：NH=b，所
以 AN=CM=BH=(a-b)÷2，由此可以确定 MN，然后将 MN 绕中心 O 旋转 90∘ 到
EF 位置，即可把正方形切成符合要求的 4 块．如图（2）与图（3）．这种分法同时确保图
（3）的中间部分就是边长为 b 的小正方形．这是因为：中心四边形的角即边长为 a 的正方
形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．中
心正方形的边长 =[a-(a-b)÷2]-(a-b)÷2=a-(a-b)=b．因此，中间部分是边长为 b
的正方形．
13. 如图，以 AD 为直径的半圆 O 内接一个等腰梯形 ABCD，梯形的上底是 60，下底是
100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（π 取 3.14）
【答案】 2258
【分析】 由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以 AB、BC、CD 为直径的半
圆面积减去以 AD 为直径的半圆面积，作 OE 垂直于 BC，根据勾股定理可得梯形的高
OE 为 40，则 AB2=BF2+AF2=402+202=2000，阴影部分的面积为：
1 1 (AB) 2 1 (CD) 2 1 (BC) 2 1 (AO) 2
(AD+BC)⋅OE+ π + π + π - π =2258.
2 2 2 2 2 2 2 2 214. 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为
5 平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？
【答案】 1.25 平方米
【分析】 我们先按题目中的条件画出示意图（如图 a），我们先看图中剩下的长方形，
已知它的面积为 5 平方米，它的长和宽相差 0.5 米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成
一个弦图（如图 b）．
图 b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，
中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，
即 0.5 米．所以中间的小正方形的面积为
0.5×0.5=0.25平方米
那么大正方形的面积为
5×4+0.25=20.25平方米因为
4.5×4.5=20.25
所以大正方形的边长等于 4.5 米．所
以原题中剩下的长方形的长与宽的和为 4.5 米，而长与宽
的差为 0.5 米，所以剩下的长方形的长为：
(4.5+0.5)÷2=2.5米
即原正方形的边长为 2.5 米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为 0.5 米，于是可得锯下的长方
形玻璃条的面积为
2.5×0.5=1.25平方米
15. 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两
片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．
【答案】 见解析．
【分析】 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的 2 倍，设十字形
x
面积是 5 个平方单位，长方形的长为 x 长度单位，宽为 长度单位，那么有
2
x
x =5,x2=10，即 x2=32+12，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角
2
边分别是 3 和 1 的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪拼方法如下图所示，甲拼在甲′
位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形．
【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的 4 片是 4 个全等多边
形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这 4 个图形其中一个绕中心旋转 90∘ 也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中
1 1
心沿 360∘÷4=90∘ 角的两边切开，得到整个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 90∘
4 4
1
一定和另外的 的图形重合．对于一个正三角形来讲，如果从中心沿 360∘÷3=120∘ 角的
4
1 1 1
两边切开，得到整个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 120∘ 一定也和另外的 的图
3 3 3
360∘
形重合．一般情况：对于一个正 n 边形，如果从它的中心沿 的角的两边剪开，得到整
n
1 1 360∘ 1
个图形的 ，这个 的图形若绕中心旋转 角，一定也和另一个 图形重合．
n n n n
16. 从一个正方形的木板上锯下宽 1m 的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为 6m2，问
锯下的长方形木条面积是多少？
【答案】 6m2
【分析】 我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的 4 个剩下的长方形木板拼成一
个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）．
仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（1m）．
那么，阴影小正方形的面积
1×1=1(m2
)所以，整个大正方形的面积是
1+4×6=25=5×5(m2
)
求得大正方形的边长为 5m．
那么，剩下的长方形木条的长 - 宽 =1，长 + 宽 =5，
可得剩下的长方形木条的长为
(5+1)÷2=3(m)
宽为
(5-1)÷2=2(m)
所以，锯下的长方形木条面积是
3×2=6(m2
)
