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数量关系---第一次课
王陈老师
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 3
第一章 计算问题
第一节 和差倍比：和差倍比问题是一类研究不同量之间的和、差、倍数、比例关系的题目的统称。
示例 甲、乙、丙三个小组共 90 人。其中甲组比乙组多 10 人，丙组人数是乙组的 2 倍。问甲组人数是多
少？
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二、方程法
（一）列方程
列方程的核心是构造等量关系。构造等量关系时一般有含明显标志词以及没有明显标志词两种考查方式。
题中等量关系明显时，可根据明显的等量关系标志词或基本数量关系构造等量关系。
题中等量关系不明显时，可根据不同方案对比中的不变量或总量间的关系构造等量关系。
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（二）解方程
当列出的方程含有一个未知数、一个等量关系时，利用“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1”
求解。
当列出的方程含有两个未知数、两个等量关系时，利用消元法求解。
当列出的方程含有两个未知数、一个等量关系时，利用代入排除法求解。
在正整数范围内求解，通常利用整除、奇偶、尾数等进行代入排除。
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能 力 训 练 1
依据下面各题所描述的语句构造等量关系。
1. 甲、乙两个图书室共存放了 3300 本书，甲图书室的存书量比乙图书室多 20%。
等量关系：
2. 某农副产品销售商店，第一季度的销量是第二季度的 1.5 倍，比下半年销量少 40%，且
占全年总销量的 30%。
等量关系：
3. 有 271 位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有 37 个座位，小客车有 20 个座位，每辆车均无
空位且每个人都有座位。
等量关系：
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4. 将一批袋装大米分给甲村。如果每户发 2 袋，则还剩余 80 袋；如果每户发 3 袋，则还缺 55 袋。
等量关系：
5. 某企业员工组织周末自驾游。集合后发现，如果每辆小车坐 5 人，则空出 4 个座位；如果每辆小车少坐
1 人，则有 8 人没坐上车。
等量关系
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能 力 训 练 2
依据下面各题所描述的语句设未知数并构造等量关系。
1. 甲、乙两部门共 300 人，甲部门人数比乙部门的 2 倍还多 30 人。
设未知数列方程：
2. 某大学美术、音乐和舞蹈专业共有 170 人，其中音乐专业的人数比美术专业多 5 人，舞蹈专业的人数比
美术专业人数的一半少 5 人。
设未知数列方程：
3. 某公司甲、乙、丙三个销售小组本周的销售业绩共 7 万元，其中甲组销售业绩是另外两
组销售业绩之和的2/5，乙组销售业绩是丙组的 1.5 倍。
设未知数列方程：
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4. 甲、乙两所学校的在校生人数之比为 4 ∶ 3，甲学校转入 30 名学生后，两所学校的在
校生人数之比变为 7 ∶ 5。
设未知数列方程：
5. 甲、乙、丙三个部门，其中甲、乙部门的优秀员工数分别占三个部门总优秀员工数的1/3和1/5，且甲部
门优秀员工数比丙部门少 12 人。
设未知数列方程：
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能 力 训 练 4
求解下列不定方程。
1. 3x+7y=62，x、y 均为正整数，则 x、y 分别为（ ）。
A. 10、6
B. 9、5
C. 8、4
D. 7、3
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2. 3x+7y=33，已知 x，y 为正整数，则 y=（ ）。
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
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3. 已知 17x+10y=149，x、y 均为正整数，则 x=（ ）。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
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4. 3x+4y=46，若 x、y 为正整数且 x 为质数，则 x=（ ）。
A. 2
B. 3
C. 6
D. 7
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三、解题训练
2. 甲、乙两个学校的在校生人数之比为 5 ∶ 3，甲学校如果转入 30 名学生，再将 85 名学生转到乙学校，
则两个学校在校生人数相同。则此时乙学校学生人数在以下哪个范围内？（ ）
A. 不到 200 人
B. 在 200 ～ 240 人之间
C. 在 241 ～ 280 人之间
D. 超过 280 人
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三、解题训练
4. 甲单位的党员人数是乙单位的 2 倍，党员占本单位职工的比重是乙单位的一半。如从乙单位调 10 名党
员到甲单位，从甲单位调 10 名群众到乙单位，则两个单位党员分别占本单位职工的比重相同。问两个单
位共有多少名党员？（ ）
A. 45
B. 60
C. 75
D. 90
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三、解题训练
2. 某企业职工筹款给甲村学龄儿童购买学习用具，如按 100 元 / 人的标准执行则资金剩余550 元，如按
120 元 / 人的标准执行则还需筹集 630 元。现额外筹集 2510 元，且最终按 80 元 /人的标准，正好能给
甲、乙两村的学龄儿童购买学习文具。问乙村学龄儿童有多少人？（ ）
A. 50
B. 53
C. 56
D. 59
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三、解题训练
【例 3】某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐 50 元，普通员工每人捐 20 元，某部门所有人员共
捐款 320 元，已知该部门总人数超过 10 人，问该部门可能有几名部门领导？（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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三、解题训练
1. 超市将 99 个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装 12 个苹果，小包装盒每个装 5 个苹果，共用了十
多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 13
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三、解题训练
2. 某单位购买 A 和 B 两种耗材，单价分别为 50 元 / 件和 70 元 / 件，共花费 710 元，且所购耗材中 A
的件数占比不到一半。问：该单位共购买 A、B 耗材多少件？（ ）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
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三、解题训练
3. 建筑公司租用吊车和叉车各若干辆，每日租金为 10 万元，已知吊车和叉车的日租金分
别为 1 万元和 1500 元，问：建筑公司最多租用了多少辆吊车？（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
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第二节 等差数列
一、定义及相关概念：等差数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数。
（二）相关概念：项、项数、公差、前 n 项和
等差数列中的每一个数字均可称之为“项”，一般用 a 下角标 表示，下角标是几就是第几项。
项数是指等差数列总共包含的项的个数，一般用 n 表示。
等差数列中每一项与它前一项作差所得常数为公差。
等差数列从第一项到第 n 项的和为前 n 项和，一般用 S n 表示
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示例 ：数列 1，3，5，7，9，11，13。
（1）该数列的公差 d= 。
（2）该数列的项数 n= ；首项 a 1 = ；末项 a n = 。
（3）该数列的中间项的值为 。
（4）该数列的前 3 项和 S 3 = 。
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二、基本公式
（一）通项公式
a n =a 1 +（n-1）×d
a n -a m =（n-m）d
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二、基本公式
（一）通项公式
a n =a 1 +（n-1）×d
a n -a m =（n-m）d
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能 力 训 练
求解下列各题。
1. 已知数列 {a n } 是公差为 4 的等差数列，若 a 1 =5，则 a 7 = 。
2. 已知数列 {a n } 由连续递增的偶数组成，若 a 8 =18，则 a 15 = 。
3. 已知等差数列 {a n } 中 a 3 =9，a 9 =27，则该数列的公差 d= ，该数列前 13 项的中间项为
，其数值为 。
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能 力 训 练
求解下列各题。
1. 已知等差数列 {a n } 中的 a 1 =3，a 16 =33，则该数列前 16 项的和为 。
2. 已知等差数列 {a n } 中的 a 6 =15，则该数列前 11 项的和为 。
3. 已知等差数列 {a n } 的公差为 3，若 a 9 =27，则该数列前 9 项的和为 。
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三、解题训练
【例】某校大礼堂共 25 排座位，后一排均比前一排多 2 个座位，已知最后一排有 80 个座位，问这个剧
院一共有多少个座位？（ ）
A. 1200
B. 1400
C. 1600
D. 1800。
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学 以 致 用
1. 9 个人参加知识竞赛，前五名和后五名平均分相差 16 分，除第五名外其余 8 人的分数
成等差数列。问前两名的分差为多少？（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 11
2. 某果园每天最多可采摘 10 箱水果，每箱水果每天的保存成本为 10 元。该果园接到一笔75 箱水果的订
单并要求一次性交付（交付当天不计成本）。问保存成本最低为多少元？（ ）
A. 2100
B. 2450
C. 2650
D. 2800
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3. 某种商品从开始销售第二天起，每天的销售额都比上一天高 x，且第 11—15 天的销售额正好是第一周
销售额的 2 倍。问前 10 天的销售额之和在以下哪个范围内？（ ）
A. 低于 62x
B. 62x ～ 67x 之间
C. 67x ～ 72x 之间
D. 高于 72x
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第二章 利润问题
一、基本公式
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能 力 训 练
结合基本计算关系求解下列各题。
1. 某件商品的成本为 80 元，售价为 140 元。
（1）该商品的利润为（ ）元。
（2）该商品的利润率为（ ）。
2. 某手工艺品，单个的成本为 120 元，按照 50% 的利润定价。
（1）该 手工艺品每个的定价为（ ）元。
（2） 若降价 36 元出售，则实际售价为（ ）元，相当于打了（ ）折。
3. 销售某款服装，要达到盈利 45% 的预期目标，单件定价应为 290 元。
（1）每件服装的进价为（ ）元。
（2）若在定价的基础上打九折促销，则销售 10 件可获得的销售额为（ ）元，总利润为（ ）
元。
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二、 解题训练
【例 1】某种汉堡包每个成本 4.5 元，售价 10.5 元。当天卖不完的汉堡包即不再出售。在过去十天里，
餐厅每天都会准备 200 个汉堡包，其中有六天正好卖完，四天各剩余 25 个。问这十天该餐厅卖汉堡包共
赚了多少元？（ ）
A. 10850
B. 10950
C. 11050
D. 11350
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 13
学 以 致 用
1. 某汽车美容店正在开展充值优惠洗车活动。其中，会员卡累计充值达到 1000 元可成为银卡会员，享受
洗车 7 折优惠；累计充值达到 2000 元可成为金卡会员，享受洗车 6 折优惠；累计充值达到 3000 元可成
为钻石会员，享受洗车 5 折优惠。已知洗车原价是 50 元 / 次，李师傅固定每月洗一次车，他最开始充值
了 1000 元，半年后，又追加了 2000 元升级会员，升级后洗了 5 个月车，之后他准备将洗车会员卡以八
折转让，则转让价格是多少元？（ ）
A. 2665
B. 2132
C. 2640
D. 2112
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 13
2. 某蛋糕房销售 A、B 两种糕点，其单价均为 8 元，单个净利润分别为 3 元和 4 元。推广期两种糕点均
六折出售。如某天出售X个糕点，问其中至少要有多少个B糕点才能保证不亏本？（ ）
A. 0.2X
B. 0.25X
C. 0.75X
D. 0.8X
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 13
3. 一种设备打九折出售，销售 12 件与原价出售销售 10 件时的获利相同。已知这种设备的进价为 50 元 /
件，其它成本为 10 元 / 件，问如打八折出售，1 万元最多可以买多少件？（ ）
A. 80
B. 83
C. 86
D. 90
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 13
4. 某种商品的定价为成本的 1.5 倍，如果在降价 30 元 / 件的基础上再打八折，则销售 5 件这种商品的利
润比原价销售 1 件时多 130 元。问用以下哪种折扣销售时，1.5 万元能买到的件数正好比原价销售时多 4
件？（ ）
A. 先降价 50 元 / 件再打八折
B. 先打九折再降价 50 元 / 件
C. 降价 150 元 / 件
D. 打八五折
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 13
【例 2】菜店购进某种蔬菜，第一天按原价售出总量的 40%，第二天打七折售出总量的20%，第三天按成
本价全部售出。若销售全部该蔬菜的利润率为 21%，则按原价销售的利润率为（ ）。
A. 68%
B. 51%
C. 50%
D. 36%
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 13
学 以 致 用
1. 商店销售某种商品，在售出总进货数的一半后将剩余的打八折出售，销售掉剩余的一半后在现价基础上
打五折出售，全部售出后计算毛利润为采购成本的 60%。问如果不打折出售所有的商品，毛利润为采购
成本的多少？（ ）
A. 45%
B. 60%
C. 90%
D. 100%
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 14
2. 某家具店购进一批桌椅，每套进价 200 元，按期望获利 50% 定价出售。卖掉这批桌椅的 60% 以后，
店主为提前收回资金，打折出售余下的桌椅。售完全部桌椅后，实际利润比期望利润低了 18%。问余下
的桌椅是打几折出售的？（ ）
A. 七五折
B. 八二折
C. 八五折
D. 九五折
个性化问题可移步--小红书答疑帖（超格王陈） 讲义 14
3. 某款服装降价促销后，每天销量翻倍，获得的总利润增加 50%，问每套服装降价的金额为（ ）。
A. 售价的1/4
B. 售价的1/8
C. 利润额的1/2
D. 利润额的1/4
