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行程问题 （笔记） 主讲教师：杨亚辉 授课时间：2025.08.01 粉笔公考·官方微信 1 行程问题进阶（笔记） 【答案汇总】 1-5：ADDBC；6-8：BBB 【注意】今天讲解行程问题，是一个系列的课程，包括今天、明天、后天都 是行程相关的题型。 行程问题 1.普通行程（基本公式、匀变速运动、火车过桥、等距离平均速度） 2.进阶行程（直线相遇追及、环形相遇追及、流水行船、比例思维） 3.特殊行程（结合几何基本公式、结合几何三角形结论、最短路径） 【注意】今天讲解普通行程，难度不大，明天进阶行程难度有点大，特殊行 程会结合几何相关的知识点。 普通行程 1.基本公式 2.匀变速运动 3.火车过桥 4.等距离平均速度 基本公式：路程S=速度V*时间T 【引例】甲乙两地相距120 千米，一辆汽车以每小时60 千米的速度从甲地 匀速开往乙地，到达乙地需要多少小时? 【注意】 1.基本公式：路程S=速度V*时间T。 2.例：甲乙两地相距120 千米，一辆汽车以每小时60 千米的速度从甲地匀 速开往乙地，到达乙地需要多少小时? 答：已知路程=120，速度=60，要求时间，则时间=120/60=2 小时。考试可 2 能不会出这么简单的，但换汤不换药，本质还是基本公式的考试，可能表述的形 式、式子更复杂一些而已。 【例1】（2024 国考）甲和乙两辆车同时从A 地出发匀速开往B 地，甲车出 发时的速度比乙车快20%，但乙车行驶1 个小时后速度加快30 千米/小时继续匀 速行驶，又用了3 小时与甲车同时抵达，则A、B 两地相距多少千米？ A.540 B.510 C.600 D.570 【解析】1.行程问题，问的是A、B 两地之间的路程。从甲的角度出发，路 程=速度*时间，给了甲的时间，但甲的速度未知，“甲车出发时的速度比乙车快 20%”，说明甲的速度是乙的1+20%=1.2 倍。设小不设大，如果设乙的速度为V， 则甲的速度为1.2V，为了避免小数，设乙的速度为5V，则甲的速度为6V。同时 出发、同时到达，说明时间相同，可以看乙的时间，“乙车行驶1 个小时后速度 加快30 千米/小时继续匀速行驶，又用了3 小时与甲车同时抵达”，乙时间=甲时 间=1+3=4 小时。甲：SAB=6V*4=24V；乙分成两块，分别列式即可，SAB=5V*1+（5V+30） *3=20V+90，24V=20V+90 →4V=90，没必要把V 算出来，求的是总路程， S=24V=6*90=540，对应A 项。【选A】 【注意】本题通过比例思维做这题会更快，明天会讲。 【例2】（2021 江苏）甲、乙两人从湖边某处同时出发，沿两条环湖路各自 匀速行走。甲恰好用2 小时回到出发点，比乙晚到20 分钟，多走了2800 米。若 甲每分钟比乙多走10 米，则甲行走的速度是： A.4.2 千米/小时 B.4.5 千米/小时 C.4.8 千米/小时 D.5.4 千米/小时 【解析】2.方法一：提到了速度和时间，问的是甲的速度，如果已知甲路程 和时间，用路程/时间即可，已知时间=2 小时，但路程没有给。设小不设大，设 V 乙=V，则V 甲=V+10，要求V，找等量关系“甲恰好用2 小时回到出发点，比乙晚 到20 分钟，多走了2800 米”，则S 甲-S 乙=2800，先转化下单位，1 小时=60 分钟， 3 2 小时=120 分钟，S 甲=（V+10）*120；甲比乙晚到20 分钟，则t 乙=120-20=100 分钟，S 乙=V*100，列式：（V+10）*120-V*100=2800→120V+1200-100V=2800→ 20V=1600，解得V 乙=80 米/分钟，则V 甲=80+10=90 米/分钟，注意选项是千米/ 小时，所求=90*60=5.4 千米/小时，对应D 项。 方法二：甲全程是120 分钟，乙全程是100 分钟，120 分钟可以写成前100 分钟和后20 分钟，前100 分钟相当于甲乙都在走，后20 分钟只有甲在走。已知 “甲每分钟比乙多走10 米”，则前100 分钟：甲比乙多走100*10=1000 米，最终 多走了2800 米，说明后20 分钟多走了2800-1000=1800 米，S 甲=V 甲*t 甲，速度 是千米/小时，20 分钟=1/3 小时，则V 甲*1/3=1800，解得V 甲=5400 米/小时=5.4 千米/小时，对应D 项。【选D】 【注意】做题的时候两个思路都学习一下，至少思路一要会，如果之后能分 析一定要先分析。 匀变速（匀加速/匀减速）运动：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度） /2 【注意】匀变速（匀加速/匀减速）运动：国考和其他地方的考试都有考查。 1.匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2。比如汽车一开始的速度是 0，假设加速度是每秒5 米，则第1 秒速度是5 米、第2 秒速度是10 米、第3 秒速度是15 米、第4 秒速度是20 米……，是小时候学的等差数列，平均值=（首 项+末项）/2，以此类推，平均速度=（初速度+末速度）/2。 2.例：甲乙两地相距120 千米，一辆汽车从甲地静止开始做匀加速运动开往 乙地，到达乙地时速度为120 千米/小时。到达乙地需要多少小时? 答：从静止开始做加速运动， =（0+120）/2=60 千米/小时，则t=120/60=2 小时。 【例3】（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共20 千米，用时20 分钟， 已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行 驶的最大速度是多少千米/小时？ 4 A.100 B.108 C.116 D.120 【解析】3.不管是匀加速还是匀减速，统称为匀变速运动，匀变速运动的平 均速度=（初速度+末速度）/2。画数轴分析，先从0 均匀加速到最大速度V，再 均匀减速到0，把两个区间的平均速度分别小时出来，左边 =（0+V）/2=1/2V， 右边 =（0+V）/2=1/2V，因此不管匀加速还是匀减速，平均速度都是1/2V，则 全程平均速度=1/2V，则从甲→乙的平均速度也是1/2V，最后问的是千米/小时， 统一单位，20 分钟=1/3 小时，1/2V*（1/3）=20 千米→1/6V=20 千米，解得V=120 千米/小时，对应D 项。【选D】 【例4】 （2020 天津）甲骑车从A 地前往3 千米外的B 地，出发时均匀加速， 骑行到一半路程时的速度为30 千米/小时。此后均匀减速，到达B 地时的速度为 20 千米/小时。问甲全程用时为多少分钟？ A.不到9 分30 秒 B.9 分30 秒～10 分之间 C.10 分～10 分30 秒之间 D.超过10 分30 秒 【解析】4.匀变速运动问题，匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2。 画数轴分析，“出发时均匀加速，骑行到一半路程时的速度为30 千米/小时”， 假设C 点为A、B 两地的中点，AC 段为匀加速，“此后均匀减速，到达B 地时的 速度为20 千米/小时”，BC 段为匀减速，先分别求出两段的平均速度， AC=（0+30） /2=15km/h； BC=（30+20）/2=25km/h。问“甲全程用时为多少分钟”，没有必要 求全程的平均速度，可以分开求时间，把tAC和tBC求出来，再加和即可。已知AB=3km， C 点为中点，说明AC=BC=1.5km，则tAC=1.5/15=0.1 小时，tBC=1.5/25=0.06 小时， t 总=tAC+tBC=0.16 小时=0.16*60=9.6 分钟＞9.5 分钟=9 分30 秒，但又不到10 分 5 钟，对应B 项。【选B】 火车过桥 火车完全通过桥：总路程=桥长+车长 火车完全在桥上：总路程=桥长-车长 【注意】火车过桥： 1.火车完全通过桥：总路程=桥长+车长。推导：当车头准备上桥开始计时， 当车尾刚好离开桥，此时才是火车完全通过桥，路程不是桥长，找同一参照物， 从车头到车头才是总路程，总路程=桥长+车长。 2.火车完全在桥上：总路程=桥长-车长。推导：当车尾也在桥上才开始计时， 到车头马上要离开桥面结束计时，找同一参照物，从车头到车头，路程=桥长- 车长。 5.某铁路桥长1440 米，一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全 6 下桥用了21 秒，动车的速度为288km/h，则整列动车完全在桥上的时间为（ ） 秒。 A.18 B.16 C.15 D.12 【解析】5.从开始上桥到完全下桥是火车完全通过桥的过程，最后问完全在 桥上，属于火车过桥问题；完全通过桥：假设总路程为S1，车长为L，则S1=1440+L， 288km/h=288000/3600m/s=80m/s，S1=1440+L=80*21=1680，则L=1680-1440=240 米；完全在桥上：假设总路程为S2，完全在桥上时间为t，则S2=1440-240=1200=80t， 解得t=15 秒，对应C 项。【选C】 【注意】切入点：开始上桥到完全下桥/完全在桥上→火车过桥。 1.火车完全通过桥：总路程=桥长+车长。 2.火车完全在桥上：总路程=桥长-车长。 6.某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公共汽车从 开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时 间为149 秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为： A.8 米；5 米/秒 B.10 米；10 米/秒 C.10 米；15 米/秒 D.12 米；20 米/秒 【解析】6.火车过桥问题，完全通过隧道：设总路程为S1，汽车车长为L， 行驶速度为V，则S1=1500+L=151*V①；完全在隧道：设总路程为S2，则 S2=1500-L=149*V②，二元一次方程，选项中车身长度有相同，行驶速度各不相 同，先求速度，①+②得：3000=300V，解得V=10，对应B 项。【选B】 【注意】切入点：开始进入隧道到完全驶出隧道/完全在隧道里→火车过桥。 1.火车完全通过桥：总路程=桥长+车长。 2.火车完全在桥上：总路程=桥长-车长。 等距离平均速度 7 等距离平均速度V=2V1V2/（V1+V2） 适用范围：等距离两段，直线往返，上下坡往返 【注意】等距离平均速度： 1.等距离平均速度公式：V=2V1V2/（V1+V2）。总路程/总时间=平均速度，等时 间平均速度=（V1*t+V2*t）/2t=（V1+V2）/2。 2.推导：假设黑色段和蓝色段路程一样，都为S，黑色速度为V1，蓝色速度 为V2，等距离平均速度=总路程/总时间=2S÷（S/V1+S/V2）=2S÷[（SV2+SV1） /V1V2]=2V1V2/（V1+V2）。 3.适用范围： （1）等距离两段。 （2）直线往返：从A 到B，速度为V1；再从B 到A，速度为V2，属于直线往 返。 （3）上下坡往返。从A 到C 是上坡，从C 到B 是下坡，再从B 到C 是上坡， 从C 到A 是下坡，整体是上下坡往返。假设AC 距离为S1，BC 距离为S2，去的时 候上坡距离为S1，下坡距离是S2；返回的时候上坡距离是S2，下坡距离是S1，整 个往返过程路程均为S1+S2。 8 7.小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校 上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回， 从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天平路骑行速度为9千米/小时， 上坡速度为6 千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，那么小明的家距离学校多 远？ A.3.5 千米 B.4.5 千米 C.5.5 千米 D.6.5 千米 【解析】7.整体是上下坡往返过程，画图分析，BC 段去的时候是上坡，回 来的时候是下坡，可以用等距离平均速度，公式：V=2V1V2/（V1+V2）。代入数据， V 平均=（2*6*18）/（6+18）=9，上下坡往返的平均速度和平路速度一样，说明从 家到学校的速度为9，S 往返=9*1=9km，求家距离学校的距离，相当于求单程，所 求=9/2=4.5km，对应B 项。【选B】 【注意】如果上下坡往返平均速度和平路速度不一样，本题不能求解。 【拓展】（2023 天津）从甲地到乙地539 千米，其中有4/7 是平路，2/7 是 上坡路，1/7 是下坡路。假定一辆车在平路的速度是21 千米/小时，上坡的速度 是15 千米/小时，下坡的速度是35 千米/小时。则该车由甲地到乙地往返一趟的 平均速度是多少千米/小时？（ ） 9 A.20 B.21 C.23.75 D.25.25 【解析】拓展.V 平均=（2*15*35）/（15+35）=21，或者直接记住上下坡平均 速度和平路速度一样，则整体平均速度为21，对应B 项。【选B】 8.某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞走到达 终点。一位选手在上午7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳 和竞走的速度分别为每小时2 千米、3 千米和6 千米。如果蛙跳和竞走的路程相 同，则所有项目的总路程是（ ）。 A.无法计算 B.6 千米 C.8 千米 D.12 千米 【解析】8.方法一：蛙跳和竞走路程相同，出现等距离两段，可以用等距离 平均速度公式，V=2V1V2/（V1+V2）。V 平均=（2*2*6）/（2+6）=3km/h，游泳速度为 3km/h，三个项目的平均速度为3km/h，所求=3*2=6km，对应B 项。 方法二：S 蛙跳=S 竞走，S 总=S 蛙跳+S 游泳+S 竞走，利用特殊值，假设S 蛙跳=S 竞走=0， 则S 总=S 游泳=3*2=6，对应B 项。【选B】 【拓展1】（2021 广东）如图三角形中，A、B 分别为两条边的中点，则图中 阴影部分面积为三角形总面积的（ ）。 A.1/3 B.1/4 C.2/7 D.3/8 【解析】拓展1.利用特殊值，等腰三角形、等边三角形、直角三角形都是 特殊三角形，考虑等边三角形的三线合一，A、B 是中点，做辅助线，相当于将 10 等边三角形分成6 块一样的小三角形，假设1 个小三角形面积为1，整个大三角 形面积为6，所求=2/6=1/3，对应A 项。【选A】 【拓展2】（2023 重庆）已知四边形ABCD，E、F 为AB 边的三等分点，G、H 为CD 边的三等分点，则四边形ABCD 的面积与四边形EFHG 的面积之比是（ ）。 A.2：1 B.3：1 C.3：2 D.4：3 【解析】拓展2.E、F 是三等分点，即AE=EF=FB，G、H 是三等分点，则DG=GH=HC， 正方形、长方形都是特殊四边形，考虑四边形为矩形，则整个矩形分成三个小矩 形，假设一个小矩形面积为1，整个矩形面积为3，所求=3：1，对应B 项。【选 B】 普通行程总结 基本公式：路程S=速度V*时间t 匀变速运动：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2 火车过桥： （1）火车完全通过桥：总路程=桥长+车长 11 （2）火车完全在桥上：总路程=桥长-车长 等距离平均速度：公式：2V1V2/（V1+V2），适用范围：等距离两段、直线往返、 上下坡往返 【注意】普通行程总结 1.基本公式：路程S=速度V*时间t。 2.匀变速运动：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2。 3.火车过桥： （1）火车完全通过桥：总路程=桥长+车长。 （2）火车完全在桥上：总路程=桥长-车长。 4.等距离平均速度： （1）公式：2V1V2/（V1+V2）。 （2）适用范围：等距离两段、直线往返、上下坡往返。上下坡往返的题目， 平路速度和上下坡平均速度一样。 12 遇见不一样的自己 Be your better self
