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容斥原理
（笔记）
主讲教师：刘大娥
授课时间：2025.11.05
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容斥原理（笔记）
【答案汇总】
1-5：DCBAD；6-9：CACA
容斥原理
题型识别：当集合与集合产生交集，本质为计数问题（需要去重补漏）
考查类型：两集合容斥原理、三集合容斥原理
解题方法：公式法、画图法
【注意】容斥原理：
1.考情：考频没有那么高，一旦考场上遇到了，就是一个必拿分的版块。
2.题型识别：集合与集合产生交集，集合就相当于圈子，只有圈子与圈子有
交集，才有“容”的部分，比如男同学是一个圈子，女同学也是一个圈子，无法
构成容斥原理，我国目前不存在同时满足既是男生，又是女生的情况，圈子与圈
子之间一定要有交集，说明必须要有同时满足的内容。
3.本质：计数问题，计算每个部分是多少，需要去重补漏，既不能重复，也
不能遗漏。
4.考查类型：
（1）两集合容斥原理。比如班级中有一些同学行测很好，有一些同学行测
一般但申论很好，也有一些同学行测和申论都很好，画图分析，阴影区域既满足
行测好，又满足申论好，这就是交集部分。
（2）三集合容斥原理：复杂一点，涉及到很多公式。又如班级中也有一些
同学面试很好，上岸的同学就是正中间的紫色部分。
2
5.解题方法：公式法（老师会讲解推导）、画图法。这两种方法有优先级，
能用公式法就用公式法，不能用公式法再考虑画图法，画的是文氏图。
01 两集合容斥原理
两集合公式
公式：A+B-A∩B=总-都不
【注意】两集合容斥原理：
1.画图分析，用一个大的矩形表示“总数”，有一部分满足“A”，有一部分
满足“B”，正中间的红色阴影部分是A 和B 都满足，即“A∩B”；在总数（矩形）
中，还有不属于A 且不属于B 的部分（A 和B 都不满足），这个部分简称“都不”，
正中间画阴影的部分在加A 的时候加了1 层，在加B 的时候也加了1 层，联想粘
窗户纸，窗户纸只需要1 层，正中间画阴影的部分加了2 层，出现重叠，计数不
能重复、不能遗漏，需要减掉（撕开）1 层，A+B-A∩B=总数-都不。
2.公式：A+B-A∩B=总数-都不。无论是哪个公式，等号的右边都是“总数-
都不”。
【例1】（2023 浙江）某班级对70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，
3
有12%的学生两个科目均不及格。已知有2/3 的学生英语及格，数学及格的学生
比英语多10 人，那两科均及格的学生有多少人？
A.31
B.37
C.41
D.44
【解析】1.本题很有特色，也是现在出题的一种流行趋势。根据题意，只有
两个科目，分别是数学和英语，假设“英语及格”是A，“数学及格”是B，“英
语和数学都及格”就是A∩B，两个集合有交集，两集合容斥原理，公式为“A+B-A
∩B=总数-都不”，A 和B 均未知，求的是A∩B，总数和“都不”也均未知。
本题的突破口是总数，只要知道总数，A、B 和“都不”就都知道了，利用
倍数特性。已知“有12%的学生两个科目均不及格”，都不/总数=12/100=3/25（最
简整数比），总数是25 的倍数，总数又是70 多人，则总数=25*3=75 人，都不=75*
（3/25）=3*3=9 人，英语及格=75*（2/3）=25*2=50 人，数学及格=50+10=60 人，
代入公式，列式：50+60-A∩B=75-9。
方法一：50+60-A∩B=75-9→A∩B=110-66=44 人，对应D 项。
方法二：能不算先不算，考虑尾数法，尾数0-A∩B 的尾数=尾数6→A∩B
的尾数是4，只有D 项满足，D 项当选。【选D】
【注意】出现分数、比例、百分数、倍数，转化为“A/B=m/n（最简整数比）”
的形式。
【随堂练习】（2022 天津）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格
的人数占全班的14%，物理及格的人数比化学及格的人数多10 人，且化学及格
的人数占全班人数的60%。已知全班人数不超过70 人，问物理及格的人中化学
也及格的有多少人？
A.25
B.26
C.27
D.28
【解析】拓展.本题与例1 基本上是一样的。“物理及格的人中化学也及格的
有多少人”是本题的核心，也是灵魂，说明两个圈子有交集，两集合容斥原理，
公式为“A+B-A∩B=总数-都不”，求的是A∩B，A 和B 均未知，总数和“都不”
4
也均未知。
本题的破题点与例1 几乎一模一样。出现百分数（14%），考虑倍数特性。已
知“物理、化学均不及格的人数占全班的14%”，都不/总数=14/100=7/50，总数
是50 的整数倍，总数不超过70 人，则总数=50，都不=50*（7/50）=7，化学
=50*60%=30，物理=30+10=40，代入公式，列式：30+40-A∩B=50-7，考虑尾数法，
尾数0-A∩B 的尾数=尾数3→A∩B 的尾数=7，对应C 项。【选C】
【例2】（2025 国家）某研发小组员工中，60%的人参与了A 项目，45%的人
参与了B 项目，两个项目都参与的人比两个项目都不参与的多2 人。问该研发小
组有多少人？
A.100
B.50
C.40
D.20
【解析】2.本题与前两道题都有所区别。60%+45%=105%＞100%，说明一定会
有人既参与A 项目、又参与B 项目，必有A∩B，两集合容斥原理，公式为“A+B-A
∩B=总数-都不”，A 和B 均未知，A∩B 也未知，求的是总数，“都不”也未知，
需要设未知数。设总数为x，则A=0.6x、B=0.45x；已知“两个项目都参与的人
比两个项目都不参与的多2 人”，设都不=y，则A∩B=y+2，代入公式，列式：
0.6x+0.45x- （y+2 ）=x-y →1.05x-y-2=x-y →1.05x-2=x →0.05x=2 →
x=2/0.05=200/5=40，对应C 项。【选C】
【注意】本题的题干很短，在国考中遇到题干只有两行的题目不要放过；容
斥原理但凡出现，都不会特别难。
02 三集合容斥原理
【注意】三集合容斥原理：比较难，涉及三个集合A、B、C，有三个公式，
分别是标准型、非标准型和常识公式。
三集合标准型公式
判定：分别给出或求A∩B、A∩C、B∩C（既A 又B、既A 又C、既B 又C）
5
公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不
注：A∩B、A∩C、B∩C 都包含A∩B∩C
【注意】三集合标准型公式：
1.判定：很规范，分别给出或求A∩B（既满足A 又满足B）、A∩C（既满足
A 又满足C）、B∩C（既满足B 又满足C）。
2.注意：A∩B、A∩C、B∩C 都包含A∩B∩C。
3.公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
4.推导：不能重复，在“A+B+C”中A∩B 被加了2 次，需要减掉1 次；同理，
A∩C、B∩C 都被加了2 次，都要减掉1 次，此时有“A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C”；
正中间的A∩B∩C 在“A+B+C”中被加了3 次，在“-A∩B-A∩C-B∩C”中被减了
3 次，此时正中间的A∩B∩C 是“镂空”状态，需要加回1 次，即A+B+C-A∩B-A
∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
【例3】（2020 新疆）某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，
订阅B 期刊的有126 人，订阅C 期刊的有135 人，订阅A、B 期刊的有57 人，订
阅A、C 期刊的有73 人，订阅3 种期刊的有31 人，此外，还有17 人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人？
A.57
B.64
C.69
D.78
【解析】3.本题非常经典。根据题意，A=125，B=126，C=135，A∩B=57，A
∩C=73，A∩B∩C=31，都不=17，问“订阅B、C 期刊的有多少人”，求B∩C，典
型的三集合标准型的应用环境，公式为“A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-
都不”，相当于一元一次方程，代入公式，列式：125+126+135-57-73-B∩
C+31=240-17，看尾数，尾数7-B∩C 的尾数=尾数3→B∩C 的尾数=4，观察选项，
6
有且仅有64 以4 结尾，B 项当选。【选B】
【注意】三集合标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
三集合非标准型
判定：统一给出或求解只满足两种（满足两种）
公式：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不
注：数量中满足两项=只满足两项，不包含三项都满足的
【注意】三集合非标准型：
1.判定：没有A∩B、A∩C、B∩C 的表达，有“满足两种”或“只满足两种”
的表达。
2.注意：在数学语言中，“满足两种”和“只满足两种”是等价的。比如语、
数、外考试成绩有两门优，等同于只有两门优，“有两门优”可能是语文和数学
都优，可能是语文和英语都优，也可能是数学和英语都优，“只有两门优”等同
于“有两门优”，不包含“三门都优”，如果有三门优，不会说“有两门优”，而
是会非常骄傲地说“三门都优”。
3.公式：A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不。
4.推导：如图所示，“只满足A 和B”对应Ⅰ，“只满足A 和C”对应Ⅱ，“只
满足B 和C”对应Ⅲ。在“A+B+C”中，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都被加了2 次，需要减掉1
次，此时有“A+B+C-Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ”。正中间的A∩B∩C 在“A+B+C”中被加了3 次，
被减掉0 次，还有3 次，但只要1 次，需要减掉2 次，即A+B+C-Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-2*A
∩B∩C=总数-都不。“Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ”对应“（只）满足两项”，“A∩B∩C”对应“满
足三项”，即A+B+C-只满足两项-2*满足三项=总数-都不。
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【例4】（2020 联考）某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了
三场讲座。该机关共有139 人，有42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第
二场讲座，88 人报名参加第三场讲座，三场讲座都报名的有12 人，只报名参加
两场讲座的有30 人。问没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人？
A.12
B.14
C.24
D.28
【解析】4.“三场讲座都报名的有12 人”即A∩B∩C=12，三集合容斥原理，
总数=139，A=42，B=54，C=88，“只报名参加两场讲座的有30 人”是一个很笼统
的表述，应用非标准型公式，即“A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不”；问
“没有报名参加其中任何一场讲座的有多少人”，求“都不”，代入公式，列式：
42+51+88-30-2*12=139-都不，一元一次方程，未知数是“都不”，能先看尾数就
看尾数，尾数1-尾数4=尾数7=尾数9-“都不”的尾数→“都不”的尾数=2，对
应A 项。【选A】
【注意】三集合非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。
【例5】（2025 江苏）某单位组织45 名员工参观第十五届中国国际航空航天
博览会。其中，21 人参观了新一代隐身战斗机歼-35A，22 人参观了嫦娥六号取
回的月背月壤样品，19 人参观了大型无人机战舰“虎鲸”。所有员工中，这三种
展览都未参观的有5 人，至少参观两种的有12 人，则这三种展览都参观的有（
）。
A.7 人
B.8 人
8
C.9 人
D.10 人
【解析】5.已知“这三种展览都未参观的有5 人，至少参观两种的有12 人”，
问“三种展览都参观的有”，三集合容斥问题。至少参观两种=参观两种+参观三
种，设两种为x、三种为y，求的是y，已知x+y=12。没有给出AB、AC、BC，考
虑非标准公式，A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数- 都不。代入数据，
21+22+19-x+2y=45-5→x+2y=21+22+19-40=22①，结合x+y=12②，①-②：y=10，
对应D 项。【选D】
三集合常识公式
判定：出现满足一项、满足两项等条件时
公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不
【注意】三集合常识公式：
1.判定：出现满足一项、满足两项等条件时。
2.公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。
3.推导：对图形进行划分，满足一项包含只A、只B、只C，满足两项包含I、
II、III，满足三项为A∩B∩C，则满足一项（只A+只B+只C）+满足两项（I+II+III）
+满足三项（ABC）=总数-都不。
【例6】（2025 湖北选调）3 家企业在校招活动中共收到476 份简历。若向3
家企业均投出简历的学生人数是仅向2 家企业投出简历人数的1.5 倍，且仅向1
家企业投出简历的学生人数比简历总数的一半少9。问总共有多少名学生投出了
简历？
A.364
B.347
C.324
D.247
【解析】6.根据题意，仅向一家的人数=476/2-9=238-9=229 人；已知“向3
9
家企业均投出简历的学生人数是仅向2 家企业投出简历人数的1.5 倍”，根据比
例设未知数，向三家的人数为3x，向两家的人数为2x。出现“只一”，标准、非
标准都无法使用，考虑常识公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不（都
不为0，因为统计的是投递的，没有投递的就没有统计），代入数据，用份数列
式，229*1+2x*2+3x*3=476→229+13x=476→13x=476-229=247，解得x=247/13=19，
问“总共有多少名学生投出了简历”，所求=229+3x+2x=229+5*19=229+95=324，
对应C 项。【选C】
【例7】（2024 深圳）某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、
企业的意愿进行调查，共725 名学生参与调查，可选其中0 至3 项。结果显示，
选择司法机关、律所、企业的学生分别有360 人、380 人、237 人，3 项都选的
学生有60 人，3 项都不选的学生有8 人，则仅选择其中1 项的学生有（
）人。
A.517
B.516
C.515
D.514
【解析】7.根据题意，三集合容斥问题，给出A、B、C、三项、都不，可以
用非标准公式求出两项，但求“只一”，需要用到常识公式。非标准公式：A+B+C-
满足两项-2*满足三项=总数-都不，代入数据，360+380+237-两项-2*60=725-8，
解得两项=360+380+237-120-717=140。常识公式：满足一项+满足两项+满足三项
=总数-都不，代入数据，只一+140+60=725-8，解得只一的尾数为7，对应A 项。
【选A】
【注意】
1.三集合非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不。
2.三集合常识型：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。
容斥原理的方法选择
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，或者给出或求只满足某一项
画图法三步走：
10
第一步：画圈，几个集合，画几个圈
第二步，标数，从内往外，不重不漏
第三步，加和，根据题意，列式计算
【注意】容斥原理的方法选择：
1.公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分。
2.画图法：题目中所给所求公式里没有，或者给出或求只满足某一项（只满
足A、只满足B）。
3.画图法三步走：
（1）第一步：画圈，几个集合，画几个圈
（2）第二步，标数，从内往外，不重不漏。
（3）第三步，加和，根据题意，列式计算。
【例8】（2024 江苏）某基层工会共有180 名会员，举行甲、乙两项工会活
动，60%的会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有
80 人，则只参加乙活动的会员有：
A.10 人
B.36 人
C.62 人
D.78 人
【解析】8.根据题意，参加甲=180*60%=108，参加乙=180*50%=90。求只参
加乙，公式不好用，考虑画图法。参加甲=108，只甲=80，则甲乙都参加=108-80=28，
参加乙=90，则只乙=90-28=62，对应C 项。【选C】
【例9】（2025 国家）某单位65 名职工中，拥有甲、乙、丙三项认证中至少
一项的职工正好占80%，没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多，仅有
丙认证的职工有3 人，三项认证都有的职工有6 人，问有多少人仅拥有甲、乙两
项认证？
11
A.10
B.13
C.16
D.19
【解析】9.已知“拥有甲、乙、丙三项认证中至少一项的职工正好占80%”，
则都不=65*（1-80%）=65*20%=13，总数=65。出现只丙，考虑画图法。已知只丙
=3，三项=6，设只甲乙=x，只乙丙=y，只乙=z，有乙=x+y+z+6，无甲=z+y+3+13，
已知“没有甲认证的职工与有乙认证的职工人数一样多”，则x+y+z+6=z+y+3+13，
解得x=10，对应A 项。【选A】
【注意】容斥问题：
1.公式（右边都是“总数-都不”）：
（1）两集合（不需要记忆，考查很少，即使考了，在考场上也可以直接想
到）：A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：
①标准（有/求A∩B、A∩C、B∩C，题干很长）：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A
12
∩B∩C=总数-都不。
②非标准（无A∩B、A∩C、B∩C，给满足两项；考查较多）：A+B+C-满足两
项-2*满足三项=总数-都不。
③常识（不用记）：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。
2.画图（公式用不了才画图）：
（1）所给/所求在公式中没有，或求“只某一项”。
（2）画图、标数（从内到外，注意去重）、加和（根据题意，如例9，要找
无甲、有乙）。
13
遇见不一样的自己
Be your better self
