最新鲁教54制6年级数学课本•上册_26秋新教材初中课本合集，各科目同步电子版一站配齐_全部版本•初中数学电子课本_鲁教版•初中数学电子课本

定价：11.59元
义务教育教科书（五·四学制）   数学  六年级  上册
价格批准编序号：鲁发改价格核（2025）502007
举报电话：12345
绿色印刷产品
走进数学新天地
亲爱的同学，祝贺你步入新的学习起点，开启新的数学学习旅程！ 
你将很快发现：生活中处处都有数学的身影——家中、教室里许多物体
的形状，生产、消费过程中的各种数字，报刊、电视中呈现的各种数据信息
…… 
学习数学会让你不断感受到它的多姿多彩——在丰富的“几何”世界
里，你会见到许多美丽的图形，还能够用它们设计自己喜爱的图案；在抽象
的“代数”世界里，奇妙的字母
 a 既可以帮助你方便地表达无数多的研究对
象，也会让你遭遇令人“烦恼”的运算；在整理各种各样统计数据的过程
中，你会发现许多有趣的现象和有用的信息……
学好数学会让自己变得越来越聪明——学习完“整式”，你会感受到
“用字母表示数”的优势；亲手设计一个尽可能大的长方体形收纳盒、关注
人口老龄化，你会发现自己越来越有本领，许多以前不会做的事情、不能求
解的问题，现在都能解决了。 
你可能曾经因为品尝到成功的喜悦而喜爱数学，因为遭遇到失败而畏惧
数学，甚至因为面临智力的挑战而对数学爱恨交加……事实上，这些是每一
个学习数学的人都会经历的过程，包括那些成功的数学家。
我们和你一样相信学好数学是需要掌握方法的。你可以读一读教科书，
尝试着自己想一想、做一做，再与同伴议一议，然后听一听老师的讲解，试
一试解决几个问题。 
让我们一起走进数学新天地！
目录 
第一章 丰富的图形世界
1 生活中的立体图形 ……………………………………………2
2 从立体图形到平面图形 ………………………………………9
 ★ 问题解决策略：分类讨论 ………………………………… 22
回顾与思考 …………………………………………………… 23
复习题 ………………………………………………………… 24
第二章 有理数及其运算
1 从小学算术说起 …………………………………………… 28
2 认识有理数 ………………………………………………… 31
3 有理数的加减运算 ………………………………………… 44
4 有理数的乘除运算 ………………………………………… 62
5 有理数的乘方 ……………………………………………… 72
6 有理数的混合运算 ………………………………………… 79
7 近似数 ……………………………………………………… 82
8 用计算器进行计算 ………………………………………… 85
回顾与思考 …………………………………………………… 89
复习题 ………………………………………………………… 89
 
第三章 整式及其加减
1 认识代数式 ………………………………………………… 96
2 整式的加减 …………………………………………………112
3 探索与表达规律  ……………………………………………126
 ★ 问题解决策略：归纳 ………………………………………133
回顾与思考 ……………………………………………………137
复习题 …………………………………………………………137
第四章 数据的收集与整理
1 丰富的数据世界 ……………………………………………144
2 数据的收集 …………………………………………………148
3 数据的表示 …………………………………………………159
4 科学使用统计图 ……………………………………………178
回顾与思考 ……………………………………………………182
复习题 …………………………………………………………182
综合与实践
制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒 ……………187
关注人口老龄化 ………………………………………………189
总复习题 ………………………………………………………………191
［本教科书中标有※的内容为选学内容，不作考试要求。］
观察周围的世界，你会看到许许多多的图形。你能从
中发现哪些熟悉的图形？
在小学，我们已经初步认识了一些简单的几何体，本章
将拓展你对几何体的认识。你将通过观察、操作、想象，直
观感知和描述常见几何体的形状特征，感悟点、线、面、体
之间的关系；经历从不同方向看、展开与折叠、切截等活动
过程，初步感知几何体与其不同方向的形状图、展开图、截
面图之间的联系，在活动中发展几何直观和空间观念等。
第一章 
丰富的图形世界
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
 可以从哪些方面认识和研究一个几何体？
2
数 学  
六年级  上册
（1）小学学过哪些几何体？如图
 1-1，在小颖的书房中，哪些物体的形状
与你在小学学过的几何体类似？
（2）请找出小颖书房中与笔筒形状类似的物体，并与同伴进行交流。
图
 1-2
生活中的立体图形
1
　　请参观我的
书房。
图
 1-1
上图中的物体，如魔方、笔筒、水杯、排球等，各自具有许多特征，如形
状、大小、颜色、质量、材料等。一般地，对于一个物体，当只研究它的形
状、大小而不考虑其他特征时，就得到一个几何体。几何体简称体（solid）。
小颖书房中与笔筒形状类似的几何体称为棱柱。
图
 1-2
 中是一些常见的几何体。
棱柱
（prism）
长方体
（cuboid）
正方体
（cube）
圆锥
（circular cone）
圆柱 
（circular  cylinder）
（sphere）
球
第一章 
  丰富的图形世界
3
观察·思考
（1）图
 1-3
 中指出了六棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面，请你指出图中
其他棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面。
（2）棱柱的侧棱、侧面和底面分别有什么特点？
（3）长方体、正方体是棱柱吗？
在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱（edge），相邻两个侧面的交线叫作
侧棱。棱柱的所有侧棱长都相等。棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状
都是平行四边形。
人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六
棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
长方体、正方体都是四棱柱。
棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱（如图
 1-4）。直棱柱的侧面是长方形。本
书主要讨论直棱柱（简称棱柱）。
思考·交流
请用自己的语言描述棱柱与圆柱的相同点与不同点，并与同伴进行交流。
图
 1-4
直棱柱
斜棱柱
图
 1-3
三棱柱
四棱柱
五棱柱
六棱柱
4
数 学 
六年级  上册
尝试·思考
图
 1-5
 中的物体都可以近似地看成由一些常见几何体组合而成，你能找
出其中常见的几何体吗？你还能举出其他组合几何体的例子吗？
图
 1-5
随堂练习
1．说一说生活中哪些物体的形状分别类似于棱柱、圆柱、圆锥与球。
2．请完成下表：
棱柱
面的个数
顶点的个数
棱的条数
三棱柱
四棱柱
知识技能
1．找出下列图片中你熟悉的几何体。
习题 1.1.1
（1）
（2）
（3）
（第
 1
 题）
（1）
（2）
（3）
第一章 
   丰富的图形世界
5
2．下列物体可以近似地看成是由什么几何体组成的？
问题解决
4．一个六棱柱框架如图所示，它的底面边长都是
 5 cm，侧
棱长
 4 cm。观察这个框架，回答下列问题：
（1）这个六棱柱共有几个面？它们分别是什么形状？哪些面
的形状、大小完全相同？
（2）这个六棱柱所有侧面的面积之和是多少？
联系拓广
  
※5．七棱柱有多少个面？多少个顶点？多少条棱？试猜测
 n（n
 ≥
 3）棱柱有多
少个面，多少个顶点，多少条棱。
3．将下图中的几何体分类，并说明理由。
图形是由点（point）、线（line）、面（plane）构成的。面与面相交得到
线，线与线相交得到点。
（1）找出图
 1-6
 中的点、线、面。
（2）图
 1-6
 中的哪些线是直的？哪
些线是曲的？哪些面是平的？哪些面是
曲的？
 数学上所说的点是没有大小的，线
是没有粗细的。
（第
 4
 题）
（第
 2
 题）
图
 1-6
（1）
（3）
（2）
（第
 3
 题）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（1）
（2）
（3）
（4）
6
数 学  
六年级  上册
观察·思考
观察图
 1-7
 中的五棱柱和圆柱，回答下列问题：
（1）五棱柱是由几个面围成的？圆柱是由几个面围成的？它们都是平的吗？
（2）圆柱的侧面和底面相交得到几条线？它们是直的还是曲的？
（3）五棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？
　　点动成线，线动
成面，面动成体。
面有平的和曲的。如果想象将一个平的面向四周无限延展，就得到了平面。
数学上所说的平面既没有边界，也没有厚薄。
点、线、面、体及其组合都是几何图形（geometric figure）。如果一个几何图形
上的所有点都在同一个平面内，那么这样的几何图形是平面图形。三角形、平行
四边形、圆等都是平面图形。如果一个几何图形上的点不都在同一个平面内，那
么这样的几何图形是立体图形。棱柱、圆柱、圆锥、球等都是立体图形。
观察·交流
（1）观察图
 1-8
 的各种现象：流星从天空划过，汽车雨刮器左右摆动，
直角三角板绕着一条直角边旋转等运动形成的图形。你发现了什么？
图
 1-7
（2）你还能举出生活中类似的例子吗？与同伴进行交流。
图
 1-8
第一章 
   丰富的图形世界
7
图
 1-9
尝试·思考
如图
 1-9，将下列图形绕虚线旋转一周，能得到怎样的几何体？将你的思
考与同伴进行交流。
随堂练习
1．如图，各个花瓶的表面可以大致看成由哪个平面图形绕虚线旋转一周
得到？用线连一连。
（第 1 题）
8
数 学 
六年级  上册
2．生活中有哪些几何体可以由平面图形旋转得到？你能想象它们是由什么平
面图形旋转得到的吗？请举例说明。
 
※3．下列物体可以近似地看成一些几何体，其中哪些几何体可以由平面图形绕
一条直线旋转一周得到？
联系拓广
※4．圆柱可以看成由哪个平面图形平移得到？还有哪些几何体可以由平面图形
平移得到？请举例说明。
※5．圆柱和棱柱有很多相同点，下面这个几何体和它们也有这样的相同点吗？
（第
 3
 题）
（第
 5
 题）
（2）
（4）
（1）
（3）
知识技能
1．图中的棱柱、圆锥分别是由几个面围成的？
它们是平的还是曲的？
知识技能
习题 1.1.2
（第
 1
 题）
第一章 
  丰富的图形世界
9
从立体图形到平面图形
2
在小学，我们曾经辨认过从正面、左面（或右面）和上面三个不同方向观
察同一物体时看到的物体的形状图。例如，图
 1-10
 是由大小相同的小立方块搭
成的几何体，从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图
 1-11
 所示。
操作·思考
请你用
 6
 个大小相同的小立方块搭一个几何体，然后请同伴画出从正面、
左面、上面看到的这个几何体的形状图。
尝试·思考
一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这
个几何体的形状图如图
 1-12
 所示，请搭出满足条件的几何体。你搭的几何体
由几个小立方块构成？
           图
 1-10                 图
 1-11
从正面看
从左面看
从上面看
图
 1-12
从上面看
从左面看
10
数 学  
六年级  上册
图
 1-14






例 图
 1-15
 是由多个大小相同的小立方块所搭成的几何体
从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在这个位置小立方
块的个数。请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图。
解法一：先用实物摆出这个几何体，再画出从正面、左面看到的它的形
状图（如图
 1-16）。
1
2
1
2
图
 1-15
从左面看
从正面看
图
 1-16
解法二：根据从上面看到的形状图确定从正面看到的形状图有
 3
 列，从
左面看到的形状图有
 2
 行，再根据小正方形中的数字确定每行每列小立方块
的个数。
我们可以依据从不同方向看到的两个形状
图，尝试还原该几何体。
首先，根据从上面看到的形状图，可以摆
放成“两行两列”的
 4
 个小立方块；
其次，根据从左面看到的形状图，最高有
两层，因此有如图
 1-13
 所示的3
 种方案。
所以最终可以分析出该几何体可能由
 5
 个
或
 6
 个小立方块构成。
尝试·交流
（1）请你选择若干如图
 1-14
 所示的立方块和长
方块搭一个几何体，然后请同伴画出从正面、左面、
上面看到的这个几何体的形状图。
（2）请你画出从正面、左面、上面看到的一个
几何体（由若干如图
 1-14
 所示的立方块和长方块搭成）的形状图，然后请同
伴根据你画的形状图搭出相应的几何体。与同伴进行交流。
图
 1-13
第一章 
   丰富的图形世界
11
随堂练习
1．用
 5
 个大小相同的小立方块分别搭成如图所示的几何体。请你用自己
的方式描述一下每个几何体的具体形状。
2．一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何
体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小
立方块的个数。请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图。
知识技能
1．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体
的形状图。
问题解决
2．如图是由多个大小相同的小立方块所搭成的几何体从上面看到的形状图，
小正方形中的数字表示在这个位置小立方块的个数。请画出从正面、左面
看到的这个几何体的形状图。
习题 1.2.1
（第
 1
 题）
（2）
（1）
（第
 2
 题）
3
4
2
2
1
（第
 1
 题）
（第
 2
 题）
（1）
（2）
（3）
2
3
1
12
数 学  
六年级  上册
还记得小学学过的正方体表面的展开图吗？ 
将如图
 1-17
 所示的正方体沿图中红色的棱剪开，请画出它
的展开图。
操作·思考
将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形（展开后每个
面至少有一条边与其他面相连），你能得到哪些形状的展开图？
（1）观察正方体的展开图，原正方体中未剪开的棱有几条？剪开的棱有
几条？
（2）你能得到图
 1-18
 中的展开图吗？
图
 1-17
尝试·交流
图
 1-19
 中的图形经过折叠能否围成一个正方体？你是如何判断的？与同
伴进行交流。
图
 1-19
图
 1-18
（1）
（2）
第一章 
   丰富的图形世界
13
尝试·思考
图
 1-20
 中的图形经过折叠可以围成一个正方体形的盒子。折好以后，与
“1”面相邻的面是什么？相对的面是什么？先想一想，再折一折，看看你的
想法是否正确。
图
 1-20
随堂练习
1．将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能得到下面的展开图吗？
（第
 1
 题）
（1）
（2）
（3）
2．下列图形是正方体表面的展开图，将它们折叠成正方体后，与
“1”“2”“3”面相对的面分别是什么？
（第 2 题）
（1）
（2）
（3）
14
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．下面哪个图形经过折叠可以得到正方体？
习题 1.2.2
（第 2 题）
（1）
（2）
（3）
2．将正方体的表面分别标上数字
 1，2，3，4，5，6，使它的任意两个相对面
上的数字之和为 7。将它沿某些棱剪开，能得到下面的展开图吗？
问题解决
3．在图中增加
 1
 个大小相同的小正方形，使所得图形经
过折叠能够围成一个正方体。先想一想，再试一试。
（第
 3
 题）
（第1题）
（2）
（1）
第一章 
  丰富的图形世界
15
将图
 1-21
 中的棱柱沿某些棱剪开，你能得到哪些形状的展开图？与同伴
进行交流。
和正方体一样，我们沿着棱柱的某些棱剪开，就得到了它的展开图。由
于剪开的方式不一样，我们得到的展开图也就不一样。
图
 1-22
 是三棱柱的部分展开图。
（1）
（2）
（3）
图 1-21
与同伴交流四棱柱的展开图、五棱柱的展开图。
直棱柱的展开图是由两个相同的多边形（底面）和一些长方形（侧面）
按照不同的方式组合而成的。
观察·思考
（1）如图
 1-23，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折
一折。
图 1-22
……
16
数 学  
六年级  上册
（2）适当修改图
 1-23
 中不能围成棱柱的图形，使所得图形能围成一个
棱柱。
尝试·交流
一个长方体的长、宽、高分别为
 5 cm，4 cm，3 cm，请画出它的展开图，
并与同伴进行交流。
图
 1-24
操作·思考
（1）按照图
 1-24
 所示的方法把无底面的圆柱、圆锥的侧面展开，会得
到什么图形？先想一想，再做一做。
（2）你的想法是否正确？
 
如图
 1-25，圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。
图
 1-25
图
 1-23
（1）
（2）
（3）
（4）
第一章 
  丰富的图形世界
17
随堂练习
1．下列图形分别是哪种几何体表面的展开图？先想一想，再折一折。
（1）
（2）
（第
 1
 题）
回顾·反思
在展开与折叠的活动中，你积累了哪些经验？
（1）
（2）
（第
 2
 题）
2．下图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱？先想一想，再折一折。
知识技能
1．下列图形分别是哪种几何体表面的展开图？先想一想，再折一折。
知识技能
习题 1.2.3
（第
 1
 题）
（1）
（2）
（3）
（4）
18
数 学  
六年级  上册
2．图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱？先想一想，再折一折。
（1）
（2）
（第
 2
 题）
※5．如图，已知长方形的长为
 a、宽为
 b，将这个长方形分别绕它的长和宽所在
直线旋转一周，可以得到两个圆柱。这两个圆柱的侧面积有什么关系？
3．用一张纸片，通过画一画、剪一剪、折一折，制作一个棱柱形的盒子，并与
同伴进行交流。
联系拓广
4．请收集生活中各种各样的包装盒，并将它们沿某些棱剪开，你能得到哪些
形状的展开图？将你的成果以演示文档形式进行展示与交流。
在生活中我们常常需要将一个物体截开，如切西瓜、锯木头等（如图
 1-26）。
如图
 1-27，用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面（section）。
（第
 5
 题）
（2）
（1）
图
 1-27
图
 1-26
第一章 
  丰富的图形世界
19
尝试·思考
如图
 1-28，用一个平面去截一个正方体，截面是什么形状？
（1）截面的形状可能是三角形吗？先想一想，再试一试。
（2）截面的形状还可能是几边形？
与同伴交流，用平面截一个正方体，要使截面的形状是三角形、四边
形、五边形、六边形，需要平面与正方体的几个面相交就可以得到？
可以截出七边形吗？
观察·思考
图
 1-29
 中的截面分别是什么形状？
图
 1-28
图
 1-29
回顾·反思
与同伴交流，截一个几何体，怎样可以截出边数不同的多边形？尝试总
结活动经验。
（1）
（2）
（3）
（2）
（1）
（3）
（4）
20
数 学 
六年级 上册
阅读·欣赏
生活中的截面
锯开的树木茎干的横断面上有一圈一圈的痕迹，这就是树木的年轮（如
图1-30）。树木的年轮蕴含着大量信息，如通过年轮的数目可以推算树木的年
龄，通过年轮的宽窄可以了解历年的气候状况等。
计算机体层成像（computed tomography，缩写为
 
CT），是利用精确准直的成像媒介（如
 X
 线、γ 射线、超
声波等）与高灵敏度的探测器，围绕人体的某一部位采
集数据，并根据需要重建断面影像的一种成像方法。根
据照射源不同可分为
 X
 射线计算机体层成像（X-CT）、
超声计算机体层成像（UCT）和
 γ 射线计算机体层成像
（γ-CT）等。用
 X 射线对人体某一部位扫描时，不断改变投影角度来获取大
量数据，经过计算机重建得到层面内每个像素的
 CT 值，再由计算机实施数
字—模拟转换，将
 CT 值转换为相应的灰度值，最终重建为
 CT 图像。扫描过
程就如同数学上的“截几何体”，只不过这里的“截”并不是真正的截。实际
图
 1-30
随堂练习
1．分别指出图中几何体截面形状的标号。
（第
 1
 题）
2．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么原来的
几何体可能是什么？
（1）
（2）
（A）
（A）
（B）
（B）
（C）
（C）
（D）
（D）
第一章 
   丰富的图形世界
21
上，这里的“几何体”是人体的某个器官，“刀”是
 X 射线。CT 的发明是医学
史上具有划时代意义的一件大事，它的设计、发明者和理论研究者因此获得
 
1979
 年诺贝尔生理学或医学奖。
医学上的“虚拟人”则是将成千上万个人体横切面的资料在电脑里进行
整合、重建，形成三维立体的人体结构，为医学研究、教学与临床提供形象而
真实的模型。
另外，三维打印（又称
 3D 打印）技术也和截面密切相关。3D 打印机通过
读取横截面的相关信息，用液体状、粉状或片状的材料将这些截面逐层打印出
来，再将各层截面以多种方式黏合起来，从而制造出一个实体。2020
 年
 5
 月
 5
 
日，我国用长征五号
 B 运载火箭发射的新一代载人飞船试验船上就搭载了一个
复合材料空间
 3D 打印系统，在轨飞行期间完成了我国首次太空
 3D 打印试验。
知识技能
1．图中各几何体的截面分别是什么形状？
2．用一个平面去截如图的三棱柱，截面可能是什么形状？先想一想，再做一做。
（第
 2
 题）
3．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，那么原来的几何体可
能是什么？如果截面是三角形呢？
习题 1.2.4
（第
 1
 题）
（2）
（1）
（3）
（4）
22
数 学  
六年级  上册
对于某些较为复杂的问题，我们需要将原问题划分为几种情况，针对每种
情况逐一分析、逐一解决。这是一种分析问题、解决问题的重要策略——分类
讨论。
问题 如图
 1-31
 是由
 4×4
 个边长为
 1
 的正方形拼接成的大正方形网格，
该图中包含多少个正方形？
图
 1-31
问题解决策略：分类讨论
★ 
理解问题
（1）图
 1-31
 中包含多个正方形，这些正方形的边长可以取哪些值？
（2）若根据正方形的边长分类，则这些正方形可以分为几类？
（3）如何确定每一类正方形的个数？
拟订计划
（1）确定图
 1-31
 中包含的正方形边长的取值范围；
（2）根据图中包含的正方形边长情况，将这些正方形分类；
（3）求出每一类正方形的个数，进而确定所有正方形的个数。
实施计划
（1）图中边长为
 1
 的正方形共有
 4×4
 个；
（2）图中边长为
 2
 的正方形共有（4-1）×（4-1）个；
（3）图中边长为
 3
 的正方形共有（4-2）×（4-2）个；
第一章 
   丰富的图形世界
23
（4）图中边长为
 4
 的正方形共有（4-3）×（4-3）个。
所以，图中包含
 16
 + 9
 + 4
 + 1
 = 30
 （个）正方形。
回顾反思
在上述解题过程中，你总结了哪些数学活动经验？用这些
经验解决下面的问题，并与同伴进行交流。
如图
 1-32
 是由
 4×4×4 个棱长为
 1
 的正方体搭成的一个大
正方体，求该图形中包含多少个正方体。
1．由
 6×6
 个边长为
 1
 的正方形拼接成的大正方形网格图中包含多少个正方形？
2．由
 m×m
 个边长为
 1
 的正方形拼接成的大正方形网格图中包含多少个正方形？  
3．由
 8×9
 个边长为
 1
 的正方形拼接成的长方形网格图中包含多少个正方形？
习题
回顾与思考
1．生活中有哪些你熟悉的几何体？它们分别有什么特点？请举例
说明。
2．请举例说明你对点、线、面、体之间关系的认识。
3．举出一个几何体，使得从正面、左面、上面看到的这个几何体的
形状图都一样。你能举出几个？
4．找出两个几何体，使得分别用一个平面去截它们，可以得到三角
形形状的截面。
5．有哪些方法可以把立体图形转化为平面图形？这些方法各有什么
特点？
6．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行
交流。
图
 1-32
24
数 学  
六年级  上册
知识技能
1．图中的几何体是由几个面围成的？面与面相交成几条线？它们是直的还是
曲的？
复习题
（第
 1
 题）
（第
 2
 题）
2．一个正方体的六个面上分别标有字母
 A，B，C，D，E，F，从三个不同方
向看到的情形如图所示，你能说出
 A，B，E 对面分别是什么字母吗？你是
怎么判断的？
3．图中哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？先想一想，再折一折。
4．将下图中各几何体的截面用阴影表示出来，并分别指出它们的形状。
（第
 3
 题）
（1）
（2）
（3）
（第
 4
 题）
（1）
（2）
（3）
（4）
第一章 
  丰富的图形世界
25
5．用一个平面截一个正方体，截面的形状可以是长方形吗？用一个平面截
一个长方体，截面的形状可以是正方形吗？与同伴进行交流。
6．从图中剪去一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体。先
想一想，再试一试。
7．一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状
图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数。请
画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图。
8．用多个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这
个几何体的形状图如图所示。根据你所搭出的几何体画出从左面看到的
它的形状图。你还能搭出满足条件的其他几何体吗？请试一试。
（第
 6
 题）
2
4
1
2
3
（第
 7
 题）
从正面看
从上面看
（第
 8
 题）
问题解决
9．你能算出如图所示（单位：m）“粮仓”的容积吗？
（V圆柱=
  π r
2h，V圆锥=
  1
3 π r
2h）
7
4
6
（第
 9
 题）
26
数 学  
六年级  上册
10．将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，你能得到哪些平面图
形？动手试一试，并与同伴进行交流。
联系拓广
※11．将一个三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周，可以得到一个圆锥。
如果绕它的斜边所在的直线旋转一周，所得到的又是什么样的几何体？
12．（1）甲、乙、丙三人组成一个小组，甲用多个大小相同的小立方块搭成一
个几何体，乙用自己的方式描述这个几何体的形状，丙在不看这个几
何体的情况下仅根据乙的描述搭出这个几何体。小组内三人互换角
色，继续这个活动。
（2）把部分小立方块换成长方块（长方块的长、宽、高都是小立方块棱
长的整数倍），继续（1）的活动。在参与这个活动的过程中，你有
哪些收获？
13．请查阅资料，了解“虚拟数字人”的研究进展。
世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔大约是 
8 848.86 m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是 -154.31 m。
你能说出 -154.31 m 的含义吗？怎样计算珠穆朗玛峰的
海拔和吐鲁番盆地最低处的海拔相差多少呢？
本章将在小学学习的基础上引入负数，将数的范围
扩充到有理数。你将经历从具体情境中抽象出负数的过
程，理解有理数运算的意义并进行正确运算，通过归纳、
类比、转化等发现一些数学结论，提高运算能力和推理
能力，发展应用意识等。
第二章 
有理数及其运算
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
 为什么要引入负数？
 研究一类“新”数，一般会经历怎样的过程？
28
数 学  
六年级  上册
思考·交流
（1）判断正误，并说明理由。
① 2 km 加 3 m 写成算式：2 + 3 = 5。
② 如图 2-1，5 捆（每捆 10 根）小木棒加 2 根小木棒写成算式：5 + 2 = 7。
图 2-2
（2）如图 2-2，2.34 + 2.1 写成竖式的形式，为什么要求“小数点对齐，相
同数位上的数相加”？
（3）2
3
 + 3
4
 = 2 + 3
3 + 4
 成立吗？两个分数相加，为什么不能用分子的和作为和
的分子，分母的和作为和的分母？ 
尝试·思考
怎样计算更简便？理论依据是什么？
（1） 0.25× 125 × 32； 
 
（2）（1
2
 + 2
3
 + 1
12）× 60；
（3）（1
5
 + 1
3
 + 1
15）÷ 1
30。
观察·思考
（1）把两个长方形拼成如图 2-3 所示
的一个长方形。
　　口答：75 × 9 =_________。
　　关于小学算术的加法
法则，你有何感悟？
图 2-1
图 2-3
从小学算术说起
1
29
第二章 
  有理数及其运算
（2）图 2-4 是一个 999×1 000 的长方形。
　　口答：999×999 =  _________。
（3）把两个长方形拼成如图 2-5 所示的一个长方形。
　　若 a = 67，b = 33，m = 56，则 56×67 + 56×33 =_________。
尝试·思考
已知 a 与 b 都是自然数，a ＋ b，a － b，a × b，a ÷ b 也都是自然数吗？
尝试·交流
（1）小丽从小养成了理财的习惯。上个月她卖了一次废品，并给自己
买了一本课外书。她在账本上记录：+56.2 元，-27.5 元。试说明“+56.2
元”“-27.5 元”的实际意义。
（2）生活中会发生可以写成算式“2-3”的故事。例如，某地现在的气温
是 2 ℃，后下降了 3 ℃。试讲一个关于算式“2-3”的故事。
图 2-4
图 2-5
随堂练习
1．判断下列计算是否正确，并说明理由。
1
2
 + 1
3
 = 1
6 ×6×（1
2
 + 1
3 ）
　　   = 1
6 ×（6× 1
2
 + 6× 1
3 ）
　　   = 1
6
 ×（3 + 2）
　　   = 5
6 。
30
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．计算：
（1）2
7
 + 4.3 + 5
7
 + 5.7； （2）3
5 × 3
4 × 5
6
 × 2
3 ； （3）8 ÷ 2× 1
2 。
2．计算：6 ÷（1
2
 + 1
3 ），小明同学的计算过程是：
6 ÷（1
2
 + 1
3 ）= 6 ÷ 1
2
 + 6 ÷ 1
3
 = 12 + 18 = 30。
请判断小明的计算过程是否正确。若不正确，请写出正确的计算过程。
3．已知某地上午 10 时的气温为 6 ℃。
（1）若气温上升 3 ℃，则该地气温为多少摄氏度？
（2）若气温下降 3 ℃，则该地气温为多少摄氏度？
（3）若气温下降 6 ℃，则该地气温为多少摄氏度？
（4）若气温下降 10 ℃，则该地气温为多少摄氏度？
问题解决
4．已知苹果每箱 15 kg，香蕉每箱 10 kg。仓库管理员记录某日仓库运出水果
的数量（a 表示一箱苹果，b 表示一箱香蕉）：
120a，50b，90a，30b，20a，40b。
求当日运出苹果和香蕉各多少千克。  
5．已知水银的凝固点是零下 38.87 ℃，酒精的凝固点是零下 117.3 ℃。要测量
零下 50 ℃ 左右的气温，选用水银温度计还是酒精温度计？为什么？
习题 2.1.1
2．计算：
（1）2
3
 + 3
4
 + 1
3
 + 5
4 ；      （2）8 ÷ 4
3
 ×1.25 ÷ 3
4 。
31
第二章 
  有理数及其运算
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对 1 题加 1 分，答错 1 题扣 1 分，不
回答得 0 分；每个参赛队的基本分均为 0 分。下表是用图 2-6 所示的表情表示
的两个参赛队的答题情况。
参赛队
答题情况
第一队
第二队
（1）你能用适当的方式表示每个参赛队答题得分的情况吗？试完成下表。
参赛队
答对题的得分
答错题的得分
不回答题的得分
第一队
第二队
（2）如果用“+1”表示答对 1 题的得分，用“-1”表示答错 1 题的得
分，那么你如何填写（1）中的表？
尝试·交流
（1）下表是某日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗？
城市
北京
昆明
西安
哈尔滨
气温
-8 ℃~2 ℃
4 ℃~15 ℃
-3 ℃~7 ℃
-23 ℃~-13 ℃
图 2-6
认识有理数
2
32
数 学  
六年级  上册
（2）珠穆朗玛峰的海拔大约是 8 848.86 m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是 
-154.31 m。8 848.86 m，-154.31 m 的实际意义分别是什么？
（3）图 2-7 展示了 2023 年 7 月我国居民消费价格分类别同比涨幅情况。
请你说一说-0.5%，2.4% 等数的实际意义，并与同伴进行交流。
“加分与扣分”“零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面”“上涨
量与下跌量”等都是具有相反意义的量。为了表示具有相反意义的量，我们可
以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用
“+”“-”来表示。例如，“加 3 分”记为 +3 分，“扣 2 分”就记为 -2 分。
像 +3，+15，+2.4%，…都是正数。
像 -2，-8，-0.5%，…都是负数。
0 既不是正数，也不是负数。
“+”读作“正”，如“+3”读作“正 
3”。正号“+”通常省略不写，简记为 3。
“-”读作“负”，如“-8”读作“负 8”。
例1 （1）某人转动转盘，如果用 +5 圈表示沿逆时针方向转了 5 圈，那么 
沿顺时针方向转了 12 圈怎样表示？
负数与对应的正数在数
量上相等，表示的意义
相反。
图 2-7
33
第二章 
  有理数及其运算
整数（integer） 
分数（fraction）
整数与分数统称有理数（rational number）。
正整数：如 1，2，3，…
     零：0
负整数：如 -1，-2，-3，…
（2）在某次乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量高于标准质量 0.02 g 
记作 +0.02 g，那么 -0.03 g 表示什么？
（3）某大米包装袋上标注着“净含量：10 kg±50 g”，这里的“10 kg±50 g”
表示什么？
解：（1）沿顺时针方向转了 12 圈记作 -12 圈；
（2）-0.03 g 表示乒乓球的质量低于标准质量 0.03 g；
（3）每袋大米的标准质量应为 10 kg，但实际每袋大米可能有 50 g 的误差，
即每袋大米的净含量最多是 10 kg + 50 g，最少是 10 kg-50 g。
思考·交流
（1）选定一个身体高度作为标准，用正负数和 0 表示你们班每名同学的身
高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示中能看出谁最高吗？
（2）你能将学过的数进行分类吗？与同伴进行交流。
正分数：如  1
2，1
3，5.2，…
负分数：如 - 1
5，-3.5，- 5
6，…
随堂练习
1．（1）如果零上 5 ℃ 记作 +5 ℃，那么零下 3 ℃ 记作什么？
（2）东、西为两个相反方向，如果-4 m 表示一个物体向西运动 4 m，
那么+2 m 表示什么？物体原地不动记作什么？
（3）某仓库运进面粉 7.5 t 记作+7.5 t，那么运出面粉 3.8 t 记作什么？
34
数 学  
六年级  上册
2．所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整
数集合，所有的分数组成分数集合。请把下列各数填入相应的集合中：
3，-7，- 2
3，5.6
4
，0，-8 1
4，15，1
9。
正数集合：｛ 
…｝
负数集合：｛ 
…｝
整数集合：｛ 
…｝
分数集合：｛ 
…｝
阅读·欣赏
负数小史
在人类生活中，早就存在着收入与支出、赢利与亏损等具有相反意义的
现象。中国是最早认识和使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》1
在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余
钱为正，不足钱为负”；同时明确提出“正负术”，其实就是正负数的加减运算
法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名
相益，正无入正之，负无入负之。”这是世界上至今发现的关于负数的最早最
详细的记载。等你学了有理数的加减运算法则之后，你就能理解“正负术”
的含义了。后来，魏晋时期的数学家刘徽（约 225—约 295）在为《九章算术》
“正负术”作注时指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之。正算（筹）
赤，负算（筹）黑，否则以邪正为异。”也就是说，对两个得失相反的量，要
以正、负加以区别。用红筹表示正，黑筹表示负，也可将算筹正放、斜放来区
别。刘徽实际上揭示了正、负数的意义。
在国外，负数概念的建立和使用，经历了一个曲折的过程。印度在 628 年
左右出现了负数概念，并有了负数的运算，不过他们总把负数解释为负债。
  
1 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作之一。它的主要内容在秦代之前就已具备，后
经西汉张苍、耿寿昌先后删补成书，全书分 9 章。《九章算术》构筑了中国和东方数学的基本框架，
为中国古典数学在算法领域领先世界千余年奠定了基础。
35
第二章 
 有理数及其运算
知识技能
1．举出几对具有相反意义的量，并分别用正负数表示。
2．（1）如果节约电 20  kW·h 记作 +20  kW·h，那么浪费电 10  kW·h 记作什么？
（2）如果 -20.50 元表示亏损 20.50 元，那么 +100.57 元表示什么？
（3）如果 +20% 表示增加 20%，那么 -6% 表示什么？
3．下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分
数？哪些是正数？哪些是负数？
7，-9.25，- 9
10，-301，4
27，31.25，7
15，-3.5。
4．任意写出 5 个正数和 5 个负数，并分别把它们填入所属的集合内。
正数集合：｛ 
 
 
…｝；
负数集合：｛ 
 
 
…｝。
5．小丽说：“一个数，如果不是正数，必定就是负数。”你认为她说得对吗？
为什么？
联系拓广
6．请查阅相关资料，了解《九章算术》“方程”章第八题是如何使用负数解决
问题的，并了解《九章算术》的大致内容和历史成就。
欧洲的数学家迟迟不承认负数，认为零是最小的数，而比零还小的数是不可
思议的。欧洲最早承认负数的是 17 世纪法国数学家笛卡儿（René Descartes，
1596—1650），他承认解方程中出现的负根，不过他称之为“假根”。直到 19
世纪，负数在欧洲才获得普遍承认。
习题 2.2.1
36
数 学  
六年级  上册
（1）图 2-8 中温度计上显示的温度各
是多少？
（2）温度计上的刻度有什么特点？
（3）如果把温度计看作是一条标有刻
度的直线，那么你能用直线上的点表示有
理数吗？
在一条水平直线上取一点（称为原点）表示 0，选取某一长度作为单位长
度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右
边的点表示正数，原点左边的点表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线
上的点表示了。
像这样，规定了原点（origin）、单位长度（unit length）和正方向（positive 
direction）的直线称为数轴（number line）。如图 2-9，通常将数轴画成水平直线，
并选择向右的方向为正方向。
在这条数轴上，+3 可以用位于原点右边 3 个单位长度的点表示，-4 可以
用位于原点左边 4 个单位长度的点表示。
尝试·思考
1
4
 用数轴上的哪个点表示？-1.5 呢？其他数呢？
像一个平放的温度计。
图 2-9
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
图 2-8
37
第二章 
  有理数及其运算
例2 如图 2-10，数轴上点 A，B，C，D 分别表示什么数？
解：点 A 表示 -2，点 B 表示 2，点 C 表示 0，点 D 表示 -1。
例3 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
 3
2，- 3.5，0，5，- 4，- 3
2 。  
解：如图 2-11 所示。
思考·交流
画数轴时要注意什么？你有哪些经验？与同伴进行交流。
尝试·思考
（1）把 0 ℃，5 ℃，-3 ℃，-10 ℃ 按照从低到高的顺序排列。你是怎样
比较的？ 
（2）在数轴上画出表示 0，5，-3，-10 的点。从左到右点的顺序和气温
的高低有什么关系？
（3）任意给出几个数，并在数轴上画出表示这些数的点，你能比较这些
数的大小吗？
（4）数轴上两个点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系？
图 2-12
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。  
正数大于 0，负数小于 0，正数大于负数。
图 2-10
图 2-11
- 5
- 3.5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
- 3
2
3
2
-2
-1
0
1
2
3
4
A
D
C
B
38
数 学 
六年级  上册
随堂练习
1．比较下列每组数的大小：
（1）-2 和 +6；         （2）0 和 -1.8；         （3）- 3
2
 和 -4。 
2．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＞”将它们连接起来：
3，-2，1.5，- 3
4，0，-0.5。 
知识技能
1．指出数轴上 A，B，C，D，E 各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连
接起来。  
（第 1 题）
2．在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小：
7，-4
5，-3.5，0，4
3 。 
3．比较下列每组数的大小：
（1）-10，-7；  
 
（2）-3.5，1；
（3）-1
2，-1
4；  
 
（4）-9，0；
（5）-5，3，-2.7； 
 
（6）3.8，-4.1，-3.9。 
4．下表记录了某日我国几个城市的平均气温：
北京
西安
哈尔滨
上海
广州
 -7.6 ℃
 -1.2 ℃
 -20.8 ℃
0.5 ℃
12.7 ℃
（1）将各城市的平均气温从高到低进行排列；
（2）在地图上找到这几个城市的位置，并将它们从北到南进行排列。  
习题 2.2.2
39
第二章 
  有理数及其运算
问题解决
5．点 A 在数轴上距原点 3 个单位长度，且位于原点左侧。一个点从点 A 出发，先
向右移动 4 个单位长度，再向左移动 1 个单位长度到达点 B，点 B 表示的是什
么数？
将 3 与 -3，1.5 与 -1.5，5 与 -5 这三组数用数轴上的点表示出来，每组数
所对应的点在数轴上的位置有什么关系？与同伴进行交流。
在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫作这个数的绝对值
（absolute value）。通常用 | a | 表示数 a 的绝对值。
如图 2-13，在数轴上，表示 5 的点与原点的距离是 5，就是说，5 的绝对
值是 5，记作 | 5 | = 5；表示 -3 的点与原点的距离是 3，就是说，-3 的绝对值
是 3，记作 | -3 | = 3；表示 0 的点与原点的距离是 0，所以，0 的绝对值是 0，记
作 | 0 | = 0。
观察·交流
3 与 -3，3
2
 与 -3
2，5 与 -5 这三组数有什么共同特点？你还能列举几组具
有这种特点的数吗？与同伴进行交流。
像 3 与 -3，3
2
 与 -3
2，5 与 -5 这样符号不同、绝对值相同的两个数，我们
称其中一个数为另一个数的相反数（opposite number），也称这两个数互为相
反数。特别地，0 的相反数是 0。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离
相等。
图 2-13
40
数 学  
六年级  上册
例4 求下列各数的相反数和绝对值：
-2，9
4，0，-3.8，30。
解：-2，9
4，0，-3.8，30 的相反数分别是
2，- 9
4，0，3.8，-30；
|-2| = 2，| 9
4 | = 
9
4，|0| = 0，|-3.8| = 3.8，|30| = 30。
尝试·思考
一个数的绝对值与这个数有什么关系？
a 的相反数为    。
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0。
随堂练习
1．在数轴上距离原点 2 个单位长度的点表示什么数？
2．在数轴上表示下列各数及其相反数，并求出它们的绝对值：
- 3
2，6，-3。
思考·交流
（1）-（-2）等于多少？你是怎样得到的？
（2）如何借助数轴解释你的结果？与同伴进行交流。
41
第二章 
  有理数及其运算
知识技能
1．下面的说法是否正确？请将错误的改正过来。
（1）有理数的绝对值一定比 0 大；
（2）有理数的相反数一定比 0 小；
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
2．计算：
（1）|-3|×|6.2|；         （2）|-5| + |-2.49|；
（3）11
16
 -|- 3
8 |；          （4）|- 2
3 |÷|14
3 |。
3．求下列各数的相反数和绝对值：-21.4，1
2 ，-36，7
5 。
4．根据相反数的意义化简下列各数：
（1）-（+36）；             （2）-（-5）；
（3）-（-1
3）；           （4）-（+14.8）。
5．字母 a 表示一个有理数，-a 表示什么数？-a 一定是负数吗？
联系拓广
6．下面是一个正方体形纸盒的展开图，请把 -10，7，10，-2，-7，2 分别填
入六个正方形，使得折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。
习题 2.2.3
（第 6 题）
42
数 学  
六年级  上册
思考·交流
（1）在数轴上表示下列各数，将它们按照从小到大的顺序排列：
-1，-3，-1.5。
（2）求出 -1，-3，-1.5 的绝对值，并比较其绝对值的大小。
（3）你得出了什么结论？与同伴进行交流。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例5 比较下列每组数的大小：
（1）-1 和 -5；          （2）-5
6
 和 -2.7。 
解：（1）因为
 | -1 | = 1，| -5 | = 5，1＜5，
    所以 -1＞-5。
（2）因为 | -5
6
 | = 5
6，| -2.7 | = 2.7，5
6＜2.7，
  所以 -5
6
 ＞ -2.7。
尝试·思考
某种食品包装袋上标注质量为 450 g，对 6 袋该种食品的实际质量进行检
测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示不足标注质量）：
-25，+10，-20，+30，+15，-40。
哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？
还可以怎么比较？
随堂练习
1．比较下列每组数的大小：
（1）- 1
10，- 2
7；　　　　（2）-0.5，- 2
3；
（3）0，| - 2
3
 |； 　　　　（4）| -7
 |，| 7
 |。  
43
第二章 
  有理数及其运算
知识技能
1．比较下列每组数的大小：
（1）- 8
9 ，- 9
10；       （2）-0.618，- 3
5 ；
（3）0，|-8|；    
   （4）-1 2
7 ，-1 1
3 。
2．将下列各数按照从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来：
-9，3.8，-1，4.5，-2.7，0，9
4 。
3．比赛用的乒乓球的质量有严格的规定，而实际生产的乒乓球的质量会有一
些偏差。请根据以下检测记录（“+”表示超出标准质量，“-”表示不足标
准质量），选出质量最接近标准质量的乒乓球。
编号
1
2
3
4
5
6
偏差/g
-0.03
0.02
-0.01
0.03
0.05
-0.04
问题解决
4．某班 8 名学生的体重（单位：kg）分别为：
52，51.5，49.5，50.5，45，56，47.5，42.5。
请你设定一个标准，用正数、负数或 0 表示他们的体重。
5．下表呈现了李阿姨半年内体重的变化情况，正数表示体重比上月增加，负
数表示体重比上月减少。
月份
3 月
4 月
5 月
6 月 
7 月
8 月
体重变化/kg
-1
-1
+1
-2
0
+0.5
（1）0 kg 是什么意思？
（2）哪个月李阿姨的体重变化最大？
习题 2.2.4
44
数 学  
六年级  上册
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加 1 分，答错一题扣 1 分，不
回答得 0 分。每个参赛队的基本分均为 0 分。
“加 1 分、扣 1 分，得 0 分”“扣 1 分、加 1 分，得 0 分”可以分别用如下算
式表示：
（+1）+（-1）= 0，（-1）+（+1）= 0。
如果我们用 1 个 
 表示 +1，用 1 个 
 表示 -1，那么 
 就直观表示 0。
同样，
 也直观表示 0。
（1）第一环节和第二环节各有 5 道题。三个参赛队在前两个环节的得
分情况如下表所示，你能把下表补充完整吗？你是怎么做的？与同伴进行
交流。
参赛队
第一环节的得分
第二环节的得分
前两个环节的得分之和
算式表示
第一队
2
3
第二队
-2
-3
第三队
-3
2
（2）小明列出了两个算式，并给出了直观的解释，你能理解他的做法吗？
   （-2）+（-3）= -5     
                      （-3）+ 2 = -1
（3）如果有第四个参赛队，那么第四队前两个环节的得分可能会出现哪
些情形，据此可以列出哪些算式？你能直观解释运算过程和结果吗？
有理数的加减运算
3
45
第二章 
  有理数及其运算
尝试·思考
（1）如图 2-14，把笔尖先放在数轴的原点，然后沿着数轴向左移动 3 个
单位长度，再向左移动 2 个单位长度，这时笔尖停在“-5”的位置上。
用算式可以将以上过程及结果表示为（-3）+（-2）= -5。
（2）如图 2-15，把笔尖先放在数轴的原点，然后沿着数轴向右移动 3 个
单位长度，再向左移动 5 个单位长度，这时笔尖停在“-2”的位置上。
用算式可以将以上过程及结果表示为（+3）+（-5）= -2。
（3）如图 2-16，把笔尖先放在数轴的原点，然后沿着数轴向左移动 2 个
单位长度，再向右移动 3 个单位长度，这时笔尖停在哪个数的位置上？用数轴
和算式分别表示以上过程及结果。
算式：
。
再做一些类似实验活动，并写出相应的算式。
图 2-14
图 2-15
图 2-16
思考·交流
（1）两个有理数相加，有哪几种情形？你是怎么分类的？
（2）两个有理数相加，和的符号怎么确定？和的绝对值怎么确定？你能
发现什么运算规律？与同伴进行交流。
46
数 学  
六年级  上册
例1 计算：
（1）（-10）+（-1）； 
 （2）180 +（-10）；
（3）5 +（-5）； 
 
 （4）0 +（-2）。
解：（1）（-10）+（-1） 
（2）180 +（-10）
     = -（10+1）                      = +（180-10）        
         = -11；                             = 170；
（3）5 +（-5）= 0；（4）0+（-2）= -2。
思考·交流
（1）根据有理数加法法则，如果两个数互为相反数，那么它们的和等于 
0。反过来，如果两个数的和等于 0，那么这两个数互为相反数吗？
（2）根据有理数加法法则进行正数或 0 的运算，得到的结果与小学数学中
的加法运算结果一致吗？
（3）之前的经验告诉我们：一个数加一个正数，结果应该变大。在有理
数的范围内还能保持这个规律吗？一个数加一个负数呢？与同伴进行交流。
如果 a，b 互为相反数，那么 a + b = 0；反之，如果 a + b = 0，那么 a，b 互
为相反数。
　　你能说出每一步
运算的依据吗？
有理数加法（addition）法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较
大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值。
一个数同 0 相加，仍得这个数。
47
第二章 
  有理数及其运算
随堂练习
1．计算：
（1）（-25）+（-7）；       
 
（2）（-13）+ 5；
（3）（-23）+ 0；   
 
 
（4）45 +（-45）。
知识技能
1．计算：
（1）（-8）+（-9）； 
（2）（-17）+ 21；
（3）（-12）+ 25； 
（4）45 +（-23）； 
（5）（-45）+ 23； 
（6）（-29）+（-31）；
（7）（-39）+（-45）； 
（8）28 +（-37）；
（9）（-13）+ 0；                                     （10）（-2.7）+ 2.7。
2．土星表面的夜间平均温度为 -150 ℃，白天的平均温度比夜间的平均温度
高 27 ℃，那么白天的平均温度是多少？
3．分别在如图所示的圆圈内填上彼此都不相等的数，使得每条线上的三个数
之和为 0。你有几种填法？
问题解决
4．教科书中为加法运算提供了实际背景，试设计一种新的情境来表示加法算
式（-4）+ 3。
5．请借助图形直观解释算式 2+（-5）= -3 的运算过程和结果。
（第 3 题）
-49
习题 2.3.1
48
数 学  
六年级  上册
尝试·交流
（1）小学学习过哪些加法运算律？这些运算律在有理数范围内还成立
吗？请你举例说一说。
（2）计算：
① （-8）+（-9），（-9）+（-8）；
②  4 +（-7），（-7）+ 4；
③ ［2 +（-3）］+（-8），2 +［（-3）+（-8）］；
④ ［10 +（-10）］+（-5），10 +［（-10）+（-5）］。
在有理数范围内，再换一些数试试，你能得到什么结论？与同伴进行交流。
事实上，加法交换律、加法结合律在有理数范围内仍然成立。
请用字母表示加法交换律（commutative property of addition）、加法结合
律（associative property of addition）。
加法交换律：
；
加法结合律：
。
有理数加法满足交换律和结合律，因此可以改变加数的顺序，根据需要进
行不同的组合。
例2 计算：31+（-28）+28+69。
解：31+（-28）+28+69
    = 31+69+［（-28）+28］
    = 100+0
    = 100。
尝试·思考
计算下列各式，说一说你是怎么做的。
（1）20+（-17）+ 15+（-10）；
（2）（-1.8）+（-6.5）+（-4）+6.5；
　　每一步运算的
依据是什么？
49
第二章 
  有理数及其运算
（3）（-12）+34+（-38）+ 66；
（4）5
7 +（- 3
4 ）+（- 2
7 ）+ 4
7 。
例3 有一批食品罐头，标准质量为每听 454 g。现抽取 10 听样品进行检
测，结果如下表：
听号
1
2
3
4
5
质量 / g
444
459
454
459
454
听号
6
7
8
9
10
质量 / g
454
449
454
459
464
这 10 听罐头的总质量是多少？
解法一：这 10 听罐头的总质量为
    444 + 459 + 454 + 459 + 454 + 454 + 449 + 454 + 459 + 464
 = 4 550（g）。  
解法二：把超过标准质量的克数用正号表示，低于标准质量的克数用负号
表示，列出 10 听罐头与标准质量的差值表：
听号
1
2
3
4
5
与标准质量的差 / g
 - 10
 + 5
0
 + 5
0
听号
6
7
8
9
10
与标准质量的差 / g
0
 - 5
0
 + 5
 + 10
这 10 听罐头与标准质量的差值的和为
   （- 10）+ 5 + 0 + 5 + 0 + 0 +（- 5）+ 0 + 5 + 10
 =［（- 10）+ 10］+［（- 5）+ 5］+ 5 + 5 = 10（g）。  
因此，这 10 听罐头的总质量为
454×10 +10 = 4 540 +10 = 4 550（g）。
回顾·反思
对于有理数加法运算，你积累了哪些简便计算的经验？
50
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．计算：
（1）（-25）+34+156+（-65）；     （2）（-64）+17+（-23）+68；
（3）（-42）+57+（-84）+（-23）；   （4）63+72 +（-96）+（-37）；
（5）（-301）+125+301+（-75）；    （6）（-52）+24+（-74）+12；
（7）41+（-23）+（-31）+0；     （8）（-26）+52+16+（-72）。
2．某地一天早晨的气温为 22 ℃，中午比早晨上升了 6 ℃，夜间又比中午下降
了 10 ℃，该地这天夜间的气温是多少？
3．某只股票一星期的涨跌情况见下表（正号表示价格比前一天上涨，负号表
示价格比前一天下跌；股市周末不开盘，股价无变化）：
星期
一
二
三
四
五
涨跌情况/ 元
+4.18
-3.24
+0.25
-1.73
+1.46
该只股票星期五的价格与上周五相比情况如何？
4．某日小明在一条南北方向的健身步道上跑步。他从 A 地出发，每隔 10 min
记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m）：
-1 008，1 100，-976，1 010，-827，946。
1 h 后他停下来休息，此时他在 A 地的什么方向？距 A 地多远？小明共跑了
多少米？
随堂练习
1．计算：
（1）（-3）+40 +（-32）+（-8）；
（2）13 +（-56）+ 47 +（-34）；
（3）4.3 +（-7.7）+ 2.7 +（-4.3）。
2．某潜水员先潜入水下 61 m，然后又上浮 32 m，这时潜水员处在什么
位置？
知识技能
习题 2.3.2
51
第二章 
  有理数及其运算
5．分别列出一个满足下列条件的算式：
（1）所有的加数是负整数，和是 -5；
（2）一个加数是 0，和是 -5；
（3）至少有一个加数是正整数，和是 -5。
6．分别找出一个满足下列条件的整数：
（1）加 -15，和大于 0；
（2）加 -15，和小于 0；
（3）加 -15，和等于 0。
问题解决
7．王大爷把今年收获的土豆装在大小相同的袋子里，一共装了 10 袋。每袋称
重结果如下：
袋号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量/kg
54
49
51
50
48
52
50
47
53
46
这 10 袋土豆的总质量是多少？你是怎么算的？
8．下图是一页账单，但有一部分破损了，请你根据上面残余的信息算出这一
页最后的结余。
（第 8 题）
日期
2022-05-26
-120.00
9 546.00
-150.00
280.00
-315.00
-540.00
-470.00
2022-06-12
2022-06-25
2022-07-05
2022-08-12
2022-09-06
结余
备注
支出或存入
52
数 学 
六年级  上册
图 2-17 是某年元旦我国部分城市天气情况（单位：℃）。
图 2-17
北京的最高气温为 5 ℃，最低气温为 -7 ℃，这一天北京的温差为多少？
你是怎么算的？
…，10，11，12。
　　什么数加 
-7 等于 5 呢？
减法是加法的
逆运算。
53
第二章 
  有理数及其运算
尝试·交流
（1）计算下列各式，你是怎么算的？
15 - 6 =
，　　　　　  　15 +（-6）=
；
3 - 19 = 
，　　　  　　  3 +（-19）=
；
12 - 0 = 
，　　    　  　12 + 0 =
；
8 -（-3）= 
，　　 　 　 8+3 =
。
（2）再换一些数试试，你能得出什么结论？与同伴进行交流。
有理数减法（subtraction）法则
减一个数，等于加这个数的相反数。
　　a - b = a +（-b）。
减法统一成加法了！
例4 计算：
（1）9 -（-5）；（2）（-3）-1；（3）0-8；（4）（-5）-0。
解：（1）9-（-5）= 9+5 = 14；
（2）（-3）-1 =（-3）+（-1）= -4；
（3） 0 - 8 = 0+（-8）= -8；
（4）（-5）-0 =（-5）+ 0 = -5。
观察·思考
观察例题中的算式和结果，想一想：一个数减一个正数，结果会怎样变
化？如果减一个负数呢？
54
数 学 
六年级  上册
例5 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔大约是 8 848.86 m，吐鲁番
盆地最低处的海拔大约是-154.31 m。两处海拔相差多少米？
解：8 848.86-（-154.31）
  = 8 848.86+154.31
  = 9 003.17（m）。
因此，两处海拔相差 9 003.17 m。
　　每层楼平均高度为 3 m，
9 003.17 m 约有多少层楼高？
随堂练习
1．计算：
（1）3-5； 
                （2）3-（-5）；             （3）（-3）-5；
（4）（-3）-（-5）；    （5）（-6）-（-6）；    （6）（-7）-0；
（7）0-（-7）； 
    （8）（-6）-6； 　　    （9）9-（-11）。
知识技能
1．计算：
（1）（-3）-（-7）； 
（2）（-10）- 3； 
（3） 33 -（-27）；
（4） 0 - 12； 
（5）（-11）- 0； 
（6）（-4）- 16。
2．填空：
（1）（-7）+（   ）= 21； 
（2） 31 +（   ）= -85；
（3）（   ）-（-21）= 37； 
（4）（   ）- 56 = -40。
3．计算：
（1）（-72）-（-37）-（-22）- 17；
（2）（-16）-（-12）-24 -（-18）；
（3） 23 -（-76）- 36 -（-105）；
（4）（-32）-（-27）-（-72）- 87。
习题 2.3.3
55
第二章 
  有理数及其运算
问题解决
4．教科书中为减法运算提供了实际背景，试设计一种新的情境来表示减法算
式（-3）-（-2）。
5．小明用下图直观解释 4-（-3）= 7，请你解释一下小明的想法，并用类似
的方法直观解释（-5）-（-2）= -3。
6．2020 年 11 月 10 日，我国自主研发的载人潜水器“奋斗者”号，在西太平洋马
里亚纳海沟成功坐底，坐底深度 10 909 m，创造了中国载人深潜的新纪录。马
里亚纳海沟是地球海洋最深的地方，最深处深约 11 000 m，“奋斗者”号此次
坐底深度与马里亚纳海沟最深处大约相差多少米？
7．下表列出了国外几个城市与北京的时差。
城市
纽约
巴黎
东京
芝加哥
时差/h
-13
-7
+1
-14
（1）如果现在的北京时间是 7：00，那么现在的东京时间是几点？
（2）小丽在北京时间 7：00 时想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？
为什么？
（3）李伯伯从北京乘坐早晨 8：00 的航班经过约 20 h 到达纽约，那么李伯
伯到达纽约时当地时间大约是几点?
（4）了解国外其他城市与北京的时差，以时差为背景联系实际生活编写一
道数学问题。
联系拓广
8．数轴上任意两点 A，B 表示的数分别是 a，b。
（1）当 a，b 分别取下列值时，求 A，B 两点间的距离：
a = 3，b = 6；a = -3，b = 6；a = -3，b = -6。
  ※（2）用 a，b 表示 A，B 两点间的距离。
（第 5 题）
4
4
4-（-3）
4+3
56
数 学  
六年级  上册
请按下列规则做游戏：
（1）每人每次抽取 4 张卡片。如果抽到白底卡片，那么加卡片上的数字；
如果抽到红底卡片，那么减卡片上的数字。 
（2）比较两人所抽 4 张卡片的计算结果，结果大的为胜者。 
小丽抽到的 4 张卡片依次为：
-3
7
0
5
4
-5
1
2
- 3
2
她抽到的卡片的计算结果是多少？
小彬抽到的 4 张卡片依次为：
获胜的是谁？
例6 计算：
（1）（-3
5）+ 1
5
 - 4
5；  
（2）（-5）-（-1
2）+ 7 - 7
3 。 
解：（1）（-3
5）+ 1
5
 - 4
5
 = -2
5
 - 4
5
 = -2
5
 +（-4
5）= -6
5；
（2）（-5）-（-1
2）+ 7 - 7
3
 =（-5）+ 1
2
 + 7 - 7
3
 
                                                                                    = -9
2
 + 7 - 7
3
                     = 5
2
 - 7
3
 = 15
6
 - 14
6
 = 1
6。 
　　与同伴做一做
这个游戏。
57
第二章 
  有理数及其运算
随堂练习
1．计算：
（1）1
4
 +（- 3
4）- 1
2；  
（2）- 9
4
 + 1
4
 - 1
2；
（3）-11.5 -（-4.5）- 3； 
（4）- 1
7
 +（- 2
35）-（- 2
5）。 
知识技能
1．计算：
（1）4.7 - 3.4 +（-8.3）； 
（2）-2.5 - 1
2
 +（- 1
5 ）；
（3）1
2
 -（-0.25）- 1
6； 
（4）1
3
 +（- 5
6）-（- 1
2）- 2
3。
问题解决
2．如图，一辆货车从超市出发，向东走了 3 km 到达小彬家，继续走了 1.5 km 
到达小颖家，然后向西走了 9.5 km 到达小明家，最后回到超市。
（1）小明家在超市的什么方向，距超市多远？以超市为原点，以向东的方
向为正方向，用 1 个单位长度表示 1 km，试在数轴上表示出小明家、
小彬家和小颖家的位置。
（2）小明家距小彬家多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？
习题 2.3.4
（第 2 题）
58
数 学  
六年级  上册
思考·交流
一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表：
高度变化
记作
上升 4.5 km
+ 4.5 km
下降 3.2 km
-3.2 km
上升 1.1 km
+1.1 km
下降 1.4 km
-1.4 km
此时飞机比起飞点高了多少千米？
对这个问题，可以这样计算：
     4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4
 = 1.3 + 1.1 - 1.4
 = 2.4 - 1.4
 = 1（km）。 
还可以这样计算：
     4.5 +（-3.2）+ 1.1 +（-1.4）
 = 1.3 + 1.1 +（-1.4）
 = 2.4 +（-1.4）
 = 1（km）。 
比较以上两种算法，你发现了什么？与同伴进行交流。
有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4”
可以看成 4.5，-3.2，1.1，-1.4 这 4 个数的和，因此在进行加减混合运算时可
运用加法交换律和加法结合律简化运算。例如：
     4.5 +（-3.2）+ 1.1 +（-1.4）
 = 4.5 + 1.1 +［（-3.2）+（-1.4）］
 = 5.6 +（-4.6）
 = 1。
59
第二章 
  有理数及其运算
例7 计算：
（1）（-1
3）- 15 +（-2
3）； 
 
 （2）（-12）-（-6
5）+（-8）- 7
10 。
解：（1）（-1
3）- 15 +（-2
3）              （2）（-12）-（-6
5）+（-8）- 7
10
=（-1
3）+（-15）+（-2
3）            = -12 + 6
5
 - 8 - 7
10
=（-1
3）+（-2
3）+（-15） 
= -12 - 8 + 6
5
 - 7
10
=（-1）+（-15）                          = -20 + 1
2
= -16；                                                                                     
= -39
2 。
尝试·思考
下表是某存储仓库 8 月份货物进出情况（正号表示货物运进仓库，负号表
示货物运出仓库）：
时间
8 月 4 日8 月 9 日8 月 11 日8 月 16 日8 月 18 日8 月 23 日8 月 25 日8月30日
货物变化 / t
-140
+290
+200
-180
-220
+300
-190
+280
与上月相比，8 月 30 日仓库的货物是增加了还是减少了？变化了多少吨？
　　还可以怎样
计算？
随堂练习
1．计算：
（1）33.1-（-22.9）+（-10.5）； 
（2）（-8）-（-15）+（-9）-（-12）；
（3）1
2 +（- 2
3 ）-（- 4
5 ）+（- 1
2 ）；
（4）10
3 +（- 11
4 ）-（- 5
6 ）+（- 7
12）。
60
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．计算：
（1）27 - 18 +（-7）- 32； 
 
（2）1
3
 +（- 1
5）- 1 + 2
3；
（3）0.5 +（-1
4）-（-2.75）+ 1
2； 
（4）-2
3
 +（-1
6）-（-1
4）- 1
2；
（5）（- 1
2）+（- 3
4）+（+1 3
4）； 
（6）1 +（- 4
7）-（- 1
5）- 3
7
 + 9
5。
问题解决
2．某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，
数据如下（正号表示客流量比前一天增加，负号表示客流量比前一天减少）：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
变化/万人
+20
-3
-10
-3
+2
+9
+3
与 9 月 30 日相比，10 月 7 日的客流量是增加了还是减少了？变化了多少？
3．10 名学生参加体检，体重的测量结果（单位：kg）如下：
47，48，37.5，42，45，40，38.5，34.5，38，42.5。
这 10 名学生的平均体重是多少？你是怎么算的？
思考·交流
图 2-18 呈现了流花河的水位情况（单位：m），
取河流的警戒水位作为 0 点，那么图中的其他数据可
以分别记作什么？
下表是某年雨季流花河一星期内的水位变化情况（正号表示水位比前一天
上升，负号表示水位比前一天下降；上星期日的水位达到警戒水位）。
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/m
+0.20
+0.81
-0.35
+0.03
+0.28
-0.36
-0.01
知识技能
习题 2.3.5
图 2-18
61
第二章 
  有理数及其运算
（1）本星期哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于
警戒水位之上还是之下？到警戒水位的距离分别是多少米？
（2）与上星期日相比，本星期日河流水位是上升了还是下降了？
（3）完成本星期水位记录表：
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位/m
33.60
（4）以警戒水位为 0 点，在图 2-19 中画折线统计图表示本星期的水位情况。
（5）你还能提出什么数学问题？与同伴进行交流。
随堂练习
1．某运动队队员的平均身高是 180 cm。下表给出了该运动队 6 名队员的
身高情况（单位：cm）。
队员
A
B
C
D
E
F
身高
179
174
182
身高与平均身高的差
-1
+2
0
+3
（1）试完成上表。
（2）这 6 名队员中谁最高？谁最矮？
（3）这 6 名队员中，最高与最矮的队员身高相差多少？
图 2-19
62
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．计算：
（1）7 +（-2）- 3.4； 
    （2）（-21.6）+ 3 - 7.4 +（- 2
5）；
（3）31 +（-5
4）+ 0.25； 
 （4）7 -（-1
2）+ 1.5；
（5）49 -（-20.6）- 3
5；               （6）（-6
5）- 7 -（-3.2）+（-1）；
（7）8.7
 - 5.2
 - 4.3 + 11.5；        （8）3
4
 + 4
3
 - 5
4
 - 1
2。
问题解决
2．一位患者每天下午需要测量一次血压，下表是该患者星期一至星期五收缩
压的变化情况。该患者上星期日的收缩压为 160 mmHg 1。
星期
一
二
三
四
五
收缩压的变化/mmHg
（与前一天比较）
升 30
降 20
升 17
升 18
降 20
（1）请算出该患者星期五的收缩压；
（2）请画折线统计图表示该患者这五天的收缩压情况。
知识技能
习题 2.3.6
甲水库的水位每天升高 3 cm，乙水库的水位每天下降 3 cm，预计经过 4 天
甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过 4 天甲水库的
水位变化量为
3+3+3+3 = 3×4 = 12（cm）；
有理数的乘除运算
4
1 mmHg，毫米汞柱，是血压的一种计量单位。
63
第二章 
  有理数及其运算
把一个因数换成
它的相反数，所
得的积是原来积
的相反数。
有理数乘法（multiplication）法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与 0 相乘，积仍为 0。
乙水库的水位变化量为
（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×4 = -12（cm）。
尝试·思考
（1）比较 3×4 = 12，（-3）×4 = -12 这两个算式和
结果，你有什么发现？
（2）你认为 3×（-4）的结果应该是多少？（-3）×
（-4）呢？你是怎么做的？请说一说你的理由。
思考·交流
（1）请你仿照上面的方法，再写一些算式进行计算。
（2）两个有理数相乘，有哪些情况？你能发现什么规律？与同伴进行交流。 
例1 计算：
（1）6×（-1）； 
 
 
（2）（-4）×5；
（3）（-5）×（-7）；  
 
（4）（- 3
8 ）×（- 8
3 ）。
解：（1）6×（-1）        （2）（-4）×5
   
 
= -（6×1）          = -（4×5）
  
 
 
= -6；             = -20；
（3）（-5）×（-7） = +（5×7）= 35；
（4）（- 3
8 ）×（- 8
3 ） = +（3
8 × 8
3 ）= 1。
一个数乘-1，所得的积
就是它的相反数。
64
数 学  
六年级  上册
如果两个有理数的乘积为 1，那么称其中一个数是另一个数的倒数
（reciprocal），也称这两个有理数互为倒数。例如，3 与 1
3
 互为倒数，- 3
8
 与 
- 8
3
 互为倒数。
例2 计算：
（1）（-4）×5×（-0.25）；            （2）（- 3
5 ）×（- 5
6 ）×（-2）。
解：（1）（-4）×5×（-0.25）      （2）（- 3
5 ）×（- 5
6 ）×（-2）
              =［-（4×5）］×（-0.25）      =［+（3
5 × 5
6 ）］×（-2）
              =（-20）×（-0.25）       = 1
2 ×（-2）
              = +（20×0.25）         = -（1
2 ×2）
              = 5；                                               = -1。
思考·交流
几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号怎样确定？积的绝对值怎样
确定？有一个因数为 0 时，积是多少？与同伴进行交流。
随堂练习
1．计算：
（1）（-8）× 21
4 ；  
（2）4
5
 ×（-25
6 ）×（- 9
10）；
几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数来决定。当负因
数的个数是奇数时，积的符号为
；当负因数的个数是偶数时，
积的符号为
。积的绝对值等于各个因数的绝对值的
。 
几个数相乘，有一个因数为 0 时，积就为
。
65
第二章 
  有理数及其运算
知识技能
1．计算：
（1）0 ×（-2 012）； 
（2）（-8）× 1.25；
（3）7
10
 ×（- 3
14）； 
（4）（- 3
16）×（-8
9 ）；   
（5）7.5 ×（-8.2）× 0 ×（-19.1）； 
（6）（-14
3 ）× 5
7 ；
（7）（-0.12）× 1
12
 ×（-100）； 
（8）7 ×（-1 + 3
14）。
2．把下图中左圈内的每个数分别乘 -3，将结果写在右圈内相应的位置。
习题 2.4.1
（第 2 题）
3.3
3.1
- 2.2
- 3.1
×（- 3）
（3）2
3
 ×（-5
4 ）；  
（4）（-24
13）×（-16
7 ）× 0 × 4
3 ；
（5）5
4
 ×（-1.2）×（-1
9 ）； 
（6）（-3
7 ）×（-1
2 ）×（- 8
15）。
2．一个数与__________的积等于它的相反数。
问题解决
3．某地气象统计资料表明，海拔每增加 1 000 m，气温就降低大约 6 ℃。
（1）若现在地面气温是 37 ℃，则 10 000 m 高空的气温大约是多少？
（2）根据上述信息，试提出一种估计一座山峰高度的方法。
66
数 学  
六年级  上册
乘法交换律：
。
乘法结合律：
。
乘法对加法的分配律：
。
尝试·思考
小学学过哪些乘法的运算律？这些运算律在有理数范围内还成立吗？
计算下列各题，并比较它们的结果。
（1）（-7）× 8 与 8 ×（-7）；
  （-5
3）×（- 9
10）与（- 9
10）×（-5
3）。
（2）［（-4）×（-6）］× 5 与（-4）×［（-6）× 5］；
  
［1
2
 ×（-7
3）］×（-4）与 1
2
 ×［（-7
3）×（-4）］。
（3）（-2）×［（-3）+（-3
2）］与（-2）×（-3）+（-2）×（-3
2）；
    5 ×［（-7）+（-4
5）］与 5 ×（-7）+ 5×（-4
5）。
再换一些数试一试。你发现了什么？
从上面得到，乘法的运算律在有理数范围内仍然成立。
请用字母表示乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配律
（distributive property of multiplication）。
实际上，为了保证小学数学中学过的乘法运算律在有理数范围内仍然成
立，即有理数的乘法要满足交换律，就要有 3×（-4）=（-4）×3= -12。
同时，要满足乘法对加法的分配律，就要有 3×（-4）+3×4 = 3×［（-4）
+4］= 3×0 = 0。
这表明，3×（-4）与 3×4 互为相反数，因此3×（-4）= -（3×4）= -12。
同理可知，3×（-4）与（-3）×（-4）互为相反数。因为 3×（-4）= -12，
所以（-3）×（-4）= 12。由此也可以推断出有理数的乘法法则。
67
第二章 
  有理数及其运算
例3 计算：
（1）（-5
6
 + 3
8）×（-24）； 
 
             （2）（-7）×（-4
3）× 5
14 。
解：（1）（-5
6
 + 3
8）×（-24）
  =（-5
6）×（-24）+ 3
8
 ×（-24） 
  = 20 +（-9）
  = 11；
思考·交流
下面是计算（1
3 + 1
4 - 1
6 ）×24 的两种解法：
解法一：（1
3 + 1
4 - 1
6 ）×24   解法二：（1
3 + 1
4 - 1
6 ）×24 
   
=（4
12 + 3
12 - 2
12）×24  
       = 1
3 ×24+ 1
4 ×24- 1
6 ×24
   
= 5
12 ×24               = 8 +6-4
   
= 10。 
            = 10。
比较两种解法，说说它们的区别，并与同伴进行交流。
随堂练习
1．计算：
（1）30 ×（1
2
 - 1
3）； 
 （2）（0.25 - 2
3）×（-36）；
（3）（1
8
 + 5
6
 - 3
4 ）×（-24）； 
（4）（7
9
 - 5
6
 + 3
4 ）× 12
5 。
2．计算：
（1）（-2）×（-8）×（-125）； 
（2）8 ×（-4
5 ）× 1
16；
（3）（-2
3 ）× 2
7
 ×（-3
4 ）； 
（4）0.25 ×（-3.1）×（-8）。
（2）（-7）×（-4
3）× 5
14
 =（-7）× 5
14
 ×（-4
3）
 =（-5
2）×（-4
3）
 =  10
3 。
68
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．计算：
（1）（1
3
 + 1
2
 - 1
4）× 24； 
 
（2）（-4）×（-5）× 0.25；
（3）100 ×（-3）×（-5）× 0.01； 
（4）（1
9
 - 1
6
 - 1
18）× 36；
（5）（1
4
 - 1
2
 - 1
8）× 64； 
 
（6）［9 ×（- 4）］×（- 1
4）；
（7）2.25 ×（-2.3）× 3
25； 
 
（8）（-2.1）× 6.5 ×（- 3
7 ）。
2．请在下列括号里填写运算的依据：
 
     10×（- 3
7 ）×（5
2 - 6
5 + 1
10）
 
=（- 3
7 ）×10×（5
2 - 6
5 + 1
10） 
（       ）
 
=（- 3
7 ）×［10×（5
2 - 6
5 + 1
10）］ 
（       ）
 
=（- 3
7 ）×［10× 5
2 +10×（- 6
5 ）+10× 1
10］ 
（       ）
 
=（- 3
7 ）×（25-12+1）
 
=（- 3
7 ）×14
 
= -6。
联系拓广
 
※3．用“＞”“＜”或“ = ”填空：
（1）若 a＜0，则 a 
 2a；
（2）若 a＜c＜0＜b，则 a×b×c 
 0。
习题 2.4.2
69
第二章 
  有理数及其运算
（-12）÷（-3）= ？
由（-3）×4 = -12，得
（-12）÷（-3）= 
。
尝试·思考
根据“除法是乘法的逆运算”，计算下列各式：
（-18）÷6 = 
，        5÷（- 1
5 ）= 
，
（-27）÷（-9）= 
，    0÷（-2）= 
。
观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？换一些算式再试一试。
除法是乘法的
逆运算。
例4 计算：
（1）（-15）÷（-3）； 
（2）（-12）÷（-1
4）；
（3）（-0.75）÷ 0.25； 
（4）（-12）÷（- 1
12）÷（-100）。
解：（1）（-15）÷（-3）= +（15 ÷ 3）= 5；
（2）（-12）÷（-1
4）= +（12 ÷ 1
4）= 48；
（3）（-0.75）÷ 0.25 = -（0.75 ÷ 0.25）= -3；
（4）（-12）÷（- 1
12）÷（-100）
= +（12 ÷ 1
12）÷（-100）
= 144 ÷（-100）
= -（144 ÷ 100）
= -1.44。
两数相除，同号得    ，异号得    ，并把绝对值    。
0 除以任何非 0 的数都得    。
注意：0 不能作除数。
70
数 学  
六年级  上册
尝试·思考
比较下列各组数的计算结果，你能得到什么结论？换一些算式再试一试。
（1）1÷（- 2
5 ）与 1×（- 5
2 ）；
（2）0.8÷（- 3
10）与 0.8×（-10
3 ）；
（3）（- 1
4 ）÷（- 1
60）与（- 1
4 ）×（-60）。
例5 计算：
（1）（-18）÷（- 2
3 ）；
（2）16÷（- 5
3 ）÷（-16
9 ）。
解：（1）（-18）÷（- 2
3 ）=（-18）×（- 3
2 ）= 18× 3
2
 = 27；
（2）16÷（- 5
3 ）÷（- 16
9 ）= 16×（- 3
5 ）×（- 9
16）
                                               = 16×（- 9
16）×（- 3
5 ）= 27
5 。
思考·交流
（1）将除法转化为乘法有什么优势？
（2）有理数的乘除法与小学数学中的乘除法相比较，有哪些相同点和不
同点？与同伴进行交流。
回顾·反思
回顾有理数运算的学习，你经历了怎样的探索过程？积累了哪些研究问题
的经验？
除以一个数等于乘这个数的倒数。
a÷b = a× 1
b（b ≠ 0）。
除法统一成乘法了！
71
第二章 
  有理数及其运算
随堂练习
1．计算：
（1）5
21
 ÷（-1
7）； 
                      （2）（-1）÷（-1.5）；
（3）（-3）÷（-2
5）÷（-1
4）；       （4）（-3）÷［（-2
5）÷（-1
4）］。
知识技能
1．计算：
（1）0 ÷（-0.12）； 
（2）（-0.5）÷（-1
4）；
（3）1
2
 ÷（- 1
12）； 
（4）（-1.25）÷ 1
4；
（5）4
7
 ÷（-12）； 
（6）（-3.2）÷ 96
5 。
2．计算：
（1）（-378）÷（-7）÷（-9）； 
（2）（- 1
12）÷（-2
3）÷ 9
8；
（3）3 ÷（- 3
10）÷ 1
12； 
（4）（-0.75）÷ 5
4
 ÷（-0.3）。
3．把下图中左圈内的每个数分别除以 - 2
5 ，将结果写在右圈内相应的位置。
习题 2.4.3
（第 3 题）
4
15
7
30
8
45
3
50
-
-
-
÷（- 2
5 ）
72
数 学  
六年级  上册
4．求下列各数的倒数，并用“＜”把这些倒数连接起来：
- 5
12，3.7，|- 1
6 |，2，-1.8。
问题解决
5．一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度。小红在山顶测得气温是 -1 ℃，
小莉此时在山脚测得气温是 5 ℃。已知该地区海拔每增加 100 m，气温大约
下降 0.6 ℃。
（1）这个山峰的高度大约是多少米？ 
（2）请查阅资料，了解科学家是如何测量珠穆朗玛峰的“身高”的。
如图2-20，某种细胞每过 30 min 便由 1 个
分裂成 2 个。经过 5 h，这种细胞能由 1 个分裂
成多少个？
1 个细胞经过 30 min 分裂成 2 个，经过 
1 h 分裂成 2×2 个，经过3
2 h 分裂成 2×2×2 
个……
经过 5 h 分裂 10 次，分裂成 
2×2×…×2×2 = 1 024（个）。
10 个2
图 2-20
有理数的乘方
5
73
第二章 
  有理数及其运算
10 个2
为了简便，可将 2×2×…×2×2 记为 210。
一般地，n 个相同的因数 a 相乘，记作 an，即 
a×a×…×a = an。
这种求 n 个相同因数 a 的积的运算叫作乘方（power），乘方的结果叫作
幂（power），a 叫作底数（base number），n 叫作指数（exponent），an 读作“a 
的 n 次幂”（或“a 的 n 次方”）。
n 个a
例1 计算：
（1）53； 
（2）（-3）4； 
（3）（-1
2）3。
解：（1）53 = 5 × 5 × 5 = 125；
（2）（-3）4 =（-3）×（-3）×（-3）×（-3）= 81；
（3）（-1
2）3 =（-1
2）×（-1
2）×（-1
2）= -1
8。
例2 计算：
（1）-（-2）3； 
（2）-24； 
（3）-32
4 。
解：（1）-（- 2）3 = -（- 8）= 8；
（2）-24 = -16；
（3）-32
4
 = -9
4。
思考·交流
你能举出有关乘方运算的实例吗？与同伴进行交流。
底数
指数
幂
74
数 学 
六年级  上册
随堂练习
1．填空：
（1）在 74 中，底数是
，指数是
；
（2）在（-1
3）5 中，底数是
，指数是
。
2．计算：
（1）（-3）3；  
（2）（-1.5）2； 
（3）（-1
7）2；
（4）-（-3）2； 
（5）-（-1
4）3。
知识技能
1．填空：
（1）在（-6）3 中，底数是_________，指数是_________；
（2）在（-6
5）4 中，底数是_________，指数是_________。
2．计算：
（1）72；  
 
（2）（-6）3； 
 
（3）（2
3）3；
（4）-32； 
 
（5）-23
5 ；  
 
（6）-（-3
4）3。
3．一个数的平方为 16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？可能是
负数吗？
问题解决
4．“星等”是表示天体相对亮度强弱的等级。星等的数值越小，代表这颗星的
亮度越大。早在公元前 2 世纪，人们已将肉眼能看见的恒星分为 6 等。肉
眼能看见的最暗的恒星为 6 等星。现规定天体星等每减少 1 等，亮度就大
约增加为原来的 2.512 倍。假如 6 等星的亮度是 1，那么 1 等星的亮度是多
少？-2 等星的亮度是多少？
知识技能
习题 2.5.1
75
第二章 
  有理数及其运算
联系拓广
 
※5．设 n 为正整数，计算：
（1）（-1）2n；      
 
（2）（-1）2n+1。
例3 计算：
（1）102，103，104，105；   （2）（-10）2，（-10）3，（-10）4，（-10）5。
解：（1）102 = 100，103 = 1 000，104 = 10 000，105 = 100 000；
（2）（-10）2 = 100，（-10）3 = -1 000，
（-10）4 = 10 000，（-10）5 = -100 000。
观察·交流
观察例 3 的结果，你能发现什么规律？与同伴进行交流。
尝试·思考
有一张厚度是 0.1 mm 的纸，将它对折 1 次后，厚度为 2×0.1 mm。
（1）将这张纸对折 2 次后，厚度为多少毫米？
（2）假设可以将这张纸对折 20 次，那么对折 20 次后厚度为多少米？
（3）如果每层楼的平均高度为 3 m，那么这张纸对折 20 次后大约有多少层
楼高？
尝试·思考
你见过拉面师傅拉面条吗？拉面师傅将一根粗面
条拉长、两头捏合，再拉长、捏合，重复这样，就拉
成许多根细面条了（如图 2-21）。据报道，在一次比
赛中，某拉面师傅用 1 kg 面粉拉出约 209 万根面条，
你认为该报道是怎样得出“209 万根”这个结果的？
图 2-21
76
数 学 
六年级  上册
随堂练习
1．计算：
（1）-（3
2）2； （2）-（-3
2）2；（3）-53；           （4）-43
3 。
2．判断下面各式结果的符号，你能发现什么规律？
（1）（-5）4；  （2）（-5）5；  （3）-（-5）6；  （4）-（-5）7。
知识技能
1．计算：
（1）-34； 
（2）-（-3）3； 
（3）-（2
3）4；
（4）（4
5）2； 
（5）- 3
22； 
（6）-（-2
5）3。
问题解决
2．《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺1 之棰，日取其半，万世不
竭。”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完。那么第 7 次
截取后剩下的木棒有多长？
联系拓广
3．如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成 7 部分，部分 
① 的面积是边长为 1 的正方形纸片面积的一半，部分 ② 
的面积是部分 ① 面积的一半，部分 ③ 的面积是部分 ② 面
积的一半，依此类推。
（1）阴影部分的面积是多少？
  ※（2）试求出 1
2
 + 1
4
 + 1
8
 + … + 1
26
  的值。
1 “尺”是我国传统长度单位。
习题 2.5.2
（第 3 题）
77
第二章 
  有理数及其运算
1 “1≤a＜10”表示 a
 大于或等于 1 且小于 10。
观察图 2-22 中的数据，如何简单地表示这些大数呢？
我们可以借用乘方的形式表示大数。例如：
1 440 000 000 可以表示成 1.44×109；
6 400 000 可以表示成 6.4×106；
300 000 000 可以表示成 3×108。
一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a×10n 的形式，其中 1≤a＜10 1，n 
是正整数，这种记数方法叫作科学记数法（scientific notation）。
小于-10 的数也可以用类似的方法表示，如 -2 590 000 可以表示成 
-2.59×106。
例4 用科学记数法表示下列数据：
（1）赤道长约为 40 000 000 m；
（2）地球表面积约为 510 000 000 km2。
解：（1）40 000 000 m = 4×107 m；
（2）510 000 000 km2 = 5.1×108 km2。
思考·交流
2016 年，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机（如图2-23）
的运算速度达到 1 250 000 000 亿次/秒。假设一个人每秒可做一次简单的运
图 2-22
第七次全国人口普查时，
我国全国总人口约为
1 440 000 000人
地球半径约为
6 400 000 m
光在真空中的传播速度约为
300 000 000 m/s
78
数 学 
六年级  上册
算，要完成 1 250 000 000 亿次运算大约需要多少年？用科学记数法表示结果，
并与同伴进行交流。
图 2-23
随堂练习
1．塞罕坝机械林场是目前世界上最大的人工林场。半个多世纪以来，
经过三代塞罕坝务林人的接续奋斗，林木总蓄积由 330 000 m3 增加到 
10 368 000 m3。用科学记数法表示这两个数据。
2．一个健康成年人每分钟心跳大约 70 次，一年心跳大约多少次？用科
学记数法表示这个结果。
知识技能
1．用科学记数法表示下列数据：
（1）水星的赤道半径约为 2 440 000 m；
（2）木星的赤道半径约为 71 500 000 m；
（3）地球上的陆地面积约为 149 000 000 km2；
（4）地球上的海洋面积约为 361 000 000 km2。
2．下列是用科学记数法表示的数据，试写出原来的数据。
（1）北京故宫的占地面积约为 7.2×105 m2；
习题 2.5.3
79
第二章 
  有理数及其运算
（2）人体中约有 2.5×1013 个红细胞；
（3）港珠澳大桥全长 5.5×104 m。
问题解决
3．（1）一棵生长了 20 年的大树，仅能制成 5 000～8 000 双一次性筷子。假
设每人每天用 1 双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下
一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）。如果是
一个 1 000 万人口的城市呢？
（2）根据（1）中的估算结果，你有何感想？
在小学，我们学习过四则混合运算。现在，我们将数的范围扩大到了有理
数，并且学习了有理数的加、减、乘、除及乘方运算，那么在有理数混合运算
中，运算顺序是怎样的呢？例如，如何计算 3+22×（- 1
5 ）呢？
事实上，与小学数学中的四则混合运算类似，有理数的混合运算可以按下
面的法则进行。
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
有理数的混合运算
6
例1 计算：18 - 6 ÷（-2）×（- 1
3）。
解：18 - 6 ÷（-2）×（-1
3）
  = 18 -（-3）×（-1
3）
  = 18 - 1
  = 17。
80
数 学  
六年级  上册
例2 计算：（-3）2 ×［（- 2
3）+（- 5
9）］。
解法一：（-3）2 ×［（-2
3）+（-5
9）］= 9 ×（-11
9 ）= -11。
解法二：（-3）2 ×［（-2
3）+（-5
9）］
   = 9 ×（-2
3）+ 9 ×（-5
9）
      = -6 +（-5）
      = -11。
尝试·交流
你会玩“24 点”游戏吗？
从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取 4 张，根据牌面上的数字进
行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果
为24 或 -24。其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J，，K 
分别代表 1，11，12，13。
（1）小飞抽到了 
 ，他运用下面的方法凑成了 24：
7×（3 + 3 ÷ 7） = 24。
如果抽到的是 
 ，你能凑成24 吗？
如果抽到的是 
 呢？
（2）请将下面每组扑克牌牌面上的数字凑成 24。
在上述“24 点”游戏中，你积累了哪些经验？与同伴进行交流。
81
第二章 
  有理数及其运算
随堂练习
1．计算：
（1）8 +（-3）2 ×（-2）； 
（2）100 ÷（-2）2 -（-2）÷（-2
3）；
（3）-4 ÷（-3
4）×（-3）； （4）-1
3
 ÷（-1
3）2 - 4 ×（-1
2）3。
知识技能
1．计算：
（1）36 ×（1
2
 - 1
3）2； 
（2）12.7 ÷（- 8
19）×  0；
（3）4 ×（-3）2 + 6； 
（4）（- 3
4）×（-8 + 2
3
 - 1
3）；
（5）（-2）3 - 13 ÷（- 1
2）； 
（6）0 - 23 ÷（-4）3 - 1
8；
（7）-3
2×［（-2
3）2  - 2］； 
（8）（-2）3 × 0.5 -（-1.6）2 ÷（-2）2；
（9）［（-3）2 -（-5）2 ］÷（-2）； （10）16 ÷（-2）3 -（- 1
8）×（-4）。
2．计算 15÷（- 3
4 ）×（-4），下面的解法正确吗？若不正确，请指出错误的
原因，并给出正确解答。
15÷（- 3
4 ）×（-4）= 15÷［（- 3
4 ）×（-4）］= 15÷3 = 5。
问题解决
3．与同伴玩“24 点”游戏，将你在游戏中积累的经验写成小短文，并与同伴
进行交流。
习题 2.6.1
82
数 学  
六年级  上册
图 2-24 是小明收集到的 9 片树叶，他要将这些树叶制成标本。在标本中
需要注明每片树叶的长度，他测量得到其中一片树叶的长度为 6.7 cm。
上述情境中，小明收集到 9 片树叶，这里的数字 9 确切地反映了树叶的片
数，它是一个准确数。而小明测得的其中一片树叶的长度 6.7 cm，与实际物体
的长度有差别，它是一个近似数（approximate number）。
在许多情况下，很难取得准确数，或者没有必要使用准确数，而可以使用
近似数。
思考·交流
生活中哪些数是准确数？哪些数是近似数？举例说明。
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。为了得到所需精确度的
近似数，常采用四舍五入法。如按四舍五入法对圆周率 
 取近似数，有 
 取 3，就是精确到个位；
   取 3.1，就是精确到十分位，或叫作精确到 0.1；
图 2-24
近似数
7
83
第二章 
  有理数及其运算
   取 3.14，就是精确到
位，或叫作精确到
；
   取 3.142，就是精确到
位，或叫作精确到
；
   取 3.141 6，就是精确到
位，或叫作精确到
。
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
例1 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）270.18（精确到个位）；  
（2）0.037 6（精确到 0.001）；
（3）27.04（精确到 0.1）； 
 
（4）0.518（精确到 0.01）。
解：（1）270.18 ≈ 270；	
	
（2）0.037 6 ≈ 0.038；
（3）27.04 ≈ 27.0； 
 
 
（4）0.518 ≈ 0.52。
例2 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）100.17；（2）0.185；（3）42.3 万；（4）960 万。
解：（1）100.17 精确到百分位；
（2）0.185 精确到千分位；
（3）42.3 万精确到千位；
（4）960 万精确到万位。
随堂练习
1．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）7.93（精确到个位）；  
（2）127.32（精确到十分位）；
（3）1.576（精确到 0.01）；  
（4）0.812 04（精确到万分位）；
（5）426 500（精确到万位）； 
（6）489（精确到百位）。
2．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）150.1； 
 
 
 
（2）0.618；
（3）3.141 59； 
 
 
（4）4.001 3； 
 
（5）360； 
 
 
 
（6）32.14 万。
84
数 学 
六年级  上册
阅读·欣赏
进一步认识近似数
近似数的产生大致有以下几种情形：一是对数值的精确度要求不高，如
某城市人口约为 1 000 万。二是在测量时，受测量工具和技术的限制，一般只
能得到近似数。例如，测量同一片树叶的长度，用最小单位为厘米的直尺测量
结果为 6.7 cm，用最小单位为毫米的直尺测量结果为 6.68 cm，得到的数据都
是近似数。三是在计算中，有时只能得到一个近似数，如 10 ÷ 3 得到商 3.33。
取近似数除了我们通常采用的四舍五入法外，还有进一法和去尾法等，
应根据实际情况的需要选择适当的方法。例如，某班 45 名同学去公园划船，
每条船可坐 4 人，一共需租几条船？由 45 ÷ 4 = 11.25，此时，要用“进一法”
来取近似数，即应租 12 条船。又如，小明有 3.9 元钱，每支圆珠笔 1.5 元，小
明一共可买几支这样的圆珠笔？由 3.9 ÷ 1.5 = 2.6，此时要用“去尾法”来取
近似数，即可买 2 支这样的圆珠笔。
知识技能
1．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）0.003 87（精确到 0.000 1）； 
（2）572.8（精确到个位）；
（3）123.7 万（精确到万位）；  
（4）0.376 48（精确到千分位）。
2．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）5.67； 
（2）0.038 09； 
（3）4.700；   （4）1.23 万。
3．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并用科学记数法表示。
（1）145 761（精确到千位）；  
（2）4 684 785（精确到十万位）。
习题 2.7.1
85
第二章 
  有理数及其运算
计算器是一种方便实用的计算工具，
借助计算器可以进行复杂的数字计算。利
用科学计算器怎样进行有理数混合运算？
图 2-25 是一种科学计算器的面板。
显示器用来显示输入的数据和计算
结果。显示器因计算器的种类不同而不
同，有单行显示的，也有双行显示的。
图 2-25 所示的计算器为双行显示。
计算器键盘的每个键上都标有这个键
的功能。比如，在图 2-25 所示的计算器
中， 
 是开机与清零键，按一下这个
键，计算器就处于开机、清零状态。
 
 
 
等标有运算符号的键是运算
功能键。例如按一下  
   这个键，计算器就执行加法运算。
 键的功能
是完成运算。
键盘上有些键的上方还注明这个键的其他功能（称为第二功能），这个功
能通常用不同的颜色标明以区别于这个键的第一功能。所有第二功能的使用，
均应先按一下 
 键，再按一下第二功能对应的键。比如，图 2-25 所示的面
板中，先按 
 键，再按 
  键，这时计算器执行的是 
 键上方的 
 键
的功能。 
 键是关闭计算器键。
下面我们以此面板为例，说明用计算器如何进行有理数运算。
（1）观察你的计算器面板，对于有理数混合运算，可能用到哪些按键？
（2）查看说明书或者用具体数字试一试，检验你的判断。
（3）利用计算器求下列各式的值：
41.9×（-0.6）；   23× 6
5；   1.22；   124。
图 2-25
显示器 
键盘
用计算器进行计算
8
86
数 学  
六年级  上册
任务
按键顺序
41.9 ×（-0.6）
23 × 6
5
1.22
124
例 用计算器求下列各式的值：
（1）（3.2 - 4.5）× 32 - 2
5；
（2）［3 ×（-2）3 + 1］÷（-6
5）。
解：（1）按键顺序为
计算器显示结果为 -12.1，所以（3.2
 - 4.5）×32 - 2
5
 = -12.1。
（2）按键顺序为
    计算器显示结果为 
（即 19 1
6）。
此时，若按 
 键，则结果切换为小数格式 19.166 666 67。这一结果是
一个近似数。在用计算器计算时，所得到的结果有时候是近似数。
尝试·思考
你能在计算器上表示 3×1016 吗？再选择其他用科学记数法表示的数试一试。
87
第二章 
  有理数及其运算
操作·交流
测量一种圆柱形饮料罐的底面半径和高，精确到 0.1 cm。用计算器计算出
这个饮料罐的容积（π 取 3.14），结果精确到 1 cm3，并将你的结果与包装上的
数据进行比较。
随堂练习
1．用计算器求下列各式的值：
（1）12.236 ÷（-2.3）； 
（2）135；
（3）-1553；  
 
（4）1
2
 ×（3.87 - 2.21）× 152 + 1.35。
2．按照下面的步骤做一做：
任选 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的一个数字
5
5×9 = 45
45×12 345 679
将这个数字乘 9
将上面的结果乘 12 345 679
如：
多选几个数试一试，你发现了什么规律？与同伴进行交流。
知识技能
1．用计算器求下列各式的值：
（1）（-4.57）×（-2.18）； 
 
（2）（-8.73）÷ 7.5；
（3）（-3.54）4；  
 
 
（4）24 ×（3.17
 - 1.25）2 + 35.43。
习题 2.8.1
88
数 学  
六年级  上册
问题解决
2．写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相同（如
 6 731）。用这
个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数
减最小数，得到一个新的四位数。对于新得到的四位数，重复上面的过
程，又得到一个新的四位数。一直重复下去，你发现了什么？请借助计
算器进行探索。
3．（1）请测量一下你们学校体育课上所用篮球的圆周长，精确到 0.1 cm，并用
计算器算出此篮球的直径（
  取 3.14），结果精确到 1 cm；
（2）根据规定，青少年比赛专用篮球的圆周长为 69 ~ 71 cm，你在（1）中
所测篮球的圆周长是否符合这一标准？
 
※4．假设有一根很长的绳子，它能绕地球赤道一周（约 40 000 km）。利用计算
器探索，将这根绳子连续对折多少次后能使每段绳长小于 1 m。
89
第二章 
  有理数及其运算
回顾与思考
1．请你构思一个生活中的场景，使其中尽可能多地包含负数、数轴、
绝对值、有理数的运算等内容。
2．举例说明你是怎样获得有理数加法或减法的运算法则的。
3．举例说明有理数的运算与小学学过的有关数的运算有什么联系。
4．生活中你遇到过用科学记数法表示的“大数”吗？请查找资料，
制作一份与“大数”有关的知识小报，并在班级内分享。
5．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
知识技能
1．下表记录了某星期股市的涨跌情况，请完成下表：
星期
涨跌情况（相较前一交易日）
用正负数表示
一
上涨100 点
+100
二
下跌50 点
三
上涨60 点
四
下跌30 点
五
上涨2 点
2．用数轴上的点表示下列各数，并求它们的相反数和绝对值：
-0.5，-3.5，7，-4.5，-4。
复习题
90
数 学  
六年级  上册
3．下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请将下列各数填在适当的圈中：
-5 1
2 ，0，2，-7，1.25，- 7
3 ，-3，- 3
4 。
（第 3 题）
4．比较下列每组数的大小：
（1）1
100，-0.009； 
（2）- 8
7 ，- 7
8 ；
（3）2
3 ，3
5 ； 
（4）-2 1
3 ，-2.3。
5．从下图中最小的数开始，由小到大依次用线段连接各数。看看你画出了什么。
（第 5 题）
6．计算：
（1）（-8）-（-1）； 
 （2）45 +（-30）；
（3）（-1.5）-（-11.5）； 
  （4）（- 1
4 ）-（- 1
2 ）；
（5）15-［1-（-20-4）］； 
（6）（-40）-28-（-19）+（-24）；
（7）7.5+（-4.4）+（-2.5）+ 4.4； （8）（2
3
 - 1
2 ）-（1
3
 - 5
6 ）；
（9）2.4 -（- 3
5 ）+（-3.1）+ 4
5 ；
 （10）（- 6
13）+（- 7
13）- （-2）；
（11）3
4
 -（-11
6 ）+（- 7
3 ）； 
（12）11+（-22）-3×（-11）；
（13）（-0.1）÷ 1
2 ×（-100）；
 
（14）（- 3
4 ）×（- 2
3
 - 1
3 ）×0；
-4.7
-4.5
-4
-3
-5
2
0
3
5
-6
7
9
27
4
-
91
第二章 
  有理数及其运算
（15）（-2）3-32； 
（16）23÷［（-2）3-（-4）］；
 
（17）（3
4 - 7
8 ）÷（- 7
8 ）； 
（18）（-60）×（3
4 + 5
6 ）。
7．请用科学记数法表示下表中的数据：
天体名称
围绕太阳公转的轨道长半径/ km
水星
58 000 000
金星
110 000 000
地球
150 000 000
火星
230 000 000
木星
780 000 000
土星
1 400 000 000
天王星
2 900 000 000
海王星
4 500 000 000
8．计算：1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … + 99 - 100。
9．点A，B，C，D 所表示的数如图所示，回答下列问题：
（第 9 题）
 （1）C，D 两点间的距离是多少？
 （2）A，B 两点间的距离是多少？
 （3）A，D 两点间的距离是多少？
10．“一只闹钟一昼夜误差在 ±20 s 之内。”这句话是什么意思？
11．下列说法是否正确？请将错误的改正过来。
（1）所有的有理数都能用数轴上的点表示；
（2）符号不同的两个数互为相反数；
- 6 
0
1
3
- 1 
7
2
1
4
A
B
C D
92
数 学  
六年级  上册
（3）有理数分为正数和负数；
（4）两数相加，和一定大于任何一个加数；
（5）两数相减，差一定小于被减数。
12．写出符合下列条件的数：
（1）最小的正整数；
（2）最大的负整数；
（3）大于 -3 且小于 2 的所有整数；
（4）绝对值最小的有理数；
（5）绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数；
（6）在数轴上，到表示 -1 的点的距离为 2 的所有数。
13．填空：
（1）两个互为相反数的数（ 0 除外）的商是     ；
（2）两个互为倒数的数的积是     。
14．观察下面的每组数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由。
（1）-23，-18，-13，     ，     ；
（2）2
8 ，- 3
16，4
32，- 5
64，     ，     ；
（3）2，-4，8，-16，     ，     ；
（4）-2，-4，0，-2，2，     ，     。
15．不超过（- 5
3 ）3的最大整数是多少？
16．绝对值大于 1 且小于 5 的所有整数的和是多少？
17．下面的解题过程正确吗？如果不正确，请指出错误的原因并给出正确的解答。
（1）（-330 + 240 + 30
7 ）÷30
        =-330 ÷ 30 + 240 ÷ 30 + 30
7
 ÷ 30 = -11 + 8 + 1
7
 = -20
7 ；
（2）120÷（12-60 + 3
2
 ）
       =120 ÷ 12 - 120 ÷ 60 + 120 ÷ 3
2
  = 10 - 2 + 80 = 8 + 80 = 88。
93
第二章 
  有理数及其运算
问题解决
18．与同伴做下面的游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大王、小王和J，，K）
中选择 3 张黑色牌和 3 张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），
使得 6 张牌的总分为零。两人轮流从同伴手中抽 1 张牌，10 次以后，计算
每人手中牌的总分，得分高者获胜。
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
19．全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为 100 分，答对 1 题加 50
分，答错 1 题扣 50 分。游戏结束时，各组的分数如下：
第一组
第二组
第三组 
第四组
第五组
100
150
-400
350
-100
（1）第一名超出第二名多少分？
（2）第一名超出第五名多少分？
20．矿井下 A，B，C 三处的高度分别是 -37.4 m，-129.8 m，-71.3 m，A 处
比 B 处高多少米？C 处比 B 处高多少米？A 处比 C 处呢？
21．小华记录了本小组同学的身高（单位： cm）数据：
158，163，154，160，165，162，157，160。
请你计算这个小组同学的平均身高。
22．某航空公司规定每名旅客随身携带的行李不能超过 5 kg。李叔叔一家 4 人携
带的行李情况如下（正号表示行李超过限额，负号表示行李低于限额）：
+1.5 kg，-0.8 kg，+1 kg，-2.5 kg。
（1）李叔叔一家携带的行李总质量是多少？
（2）如果李叔叔一家想再多随身携带1 kg 行李，那么总质量是否超过4 人
携带行李限额之和？
23．地震震级是划分震源放出的能量大小的等级。（n+2）级地震释放的能量大
约是 n 级地震的 1 000 倍。8 级地震释放的能量大约是 4 级地震的多少倍？
94
数 学  
六年级  上册
24．用计算器求下列各式的值，将结果填写在横线上。
99 999×11 =       ；
99 999×12 =       ；
99 999×13 =       ；
99 999×14 =       。
（1）你发现了什么？
（2）不用计算器，试直接写出 99 999×19 的结果。
下面的 5 个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据下
表给出的国外四个城市与北京的时差，请分别在时钟下标明五个城市的
名称。
城市
时差/ h
纽约
-13
悉尼
+2
伦敦
-8
罗马
-7
联系拓广
 
※26．下列各式一定成立吗？
  （1）a2 = （-a）2；（2）a3 =（-a）3；（3）-a2 = |-a2|；（4）a3 = |a3|。
 
※27．（1）如果数 a 的绝对值等于 a，那么 a 可能是正数吗？可能是零吗？可能
是负数吗？
（2）如果数 a 的绝对值大于 a，那么 a 可能是正数吗？可能是零吗？可能
是负数吗？
（3）一个数的绝对值可能小于它本身吗？
28．将数的范围扩充到有理数给我们带来哪些便利？对此你有哪些感悟？将你
的感悟写成一篇小短文，并在班级内分享。
 
※25．
2（5x
5x
5 -7）+14
h=-4.9t2t2t +9.8t+1
随便想一个自然数，将这个数乘
 5
 减
 7，再把结果乘 2 加
 14，
无论开始想的自然数是什么，按照上面方法计算，得到的数的个位
数字都是
 0。你相信吗？不妨试试看！
在小学，我们已经探索过用字母表示事物的关系、性质和规律
的方法。本章将进一步理解字母表示数的意义，分析具体问题中的
简单数量关系并用代数式表示，理解整式的概念和整式加减运算的
意义，进行整式的加减运算。你将进一步体会字母可以像数一样进
行运算和推理，得到的结论具有一般性，并在这一过程中提高抽象
能力、运算能力和推理能力等。
第三章 
整式及其加减
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
 为什么要用字母或含有字母的式子表示数和数量关系?
 含有字母的运算与数的运算有什么联系和区别？
96
数 学  
六年级  上册
（1）拼摆
 1
 个正方形需要 
 根小棒，拼摆
 2
 个正方形需要 
 根小棒，拼摆
 3
 个正方形需要 
 根小棒。
（2）拼摆
 10个
 这样的正方形需要多少根小棒？
（3）拼摆
 100
 个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎样得到的？
（4）拼摆
 x
 个这样的正方形需要多少根小棒？与同伴进行交流。
尝试·交流
（1）小颖得到的结果表示为
 4x－（x－1），你认为她的结果对吗？你能说
出她是怎么想的吗？
（2）如果用
 10
 代替
 4x－（x－1）中的
 x，得到的结果实际意义是什么？
（3）拼摆
 200
 个这样的正方形需要多少根小棒？你是怎么计算的？与同伴
进行交流。
尝试·思考
（1）今年李华
 m
 岁，去年李华 
 岁，5
 年后李华 
 岁。
（2）a
 个人
 n
 天完成一项工作，那么平均每人每天的工作量为 
 。
（3）某商店上月的收入为
 a
 元，本月收入比上月收入的
 2
 倍还多
 10元，本
月收入是 
 元。
（4）如果正方体的棱长是
 a-1，那么这个正方体的体积是 
，表
面积是 
。
图
 3-1
认识代数式
1
用长度相同的小棒按图
 3-1
 所示的方式拼摆正方形。
97
第三章 
   整式及其加减
思考·交流
（1）在上面的活动中，我们借助字母表示实际问题情境中数量之间的关
系，这样做有什么好处？
（2）在以前的学习中，还有哪些地方用到了字母？这些字母表示什么
数？与同伴进行交流。
字母可以表示任何数。
随堂练习
1．如果用
 a
 表示一个有理数，那么
 a
 的相反数可以表示为 
 ；
当 a
 ≠ 0 时，a
 的倒数可以表示为 
 。
2．用
 1 m3水的水费是
 3.22
 元，用
 1 kW·h
 电的电
费是
 0.55
 元，用
 x
 m3水、y kW·h
 电，共计水
电费 
 元。
3．如图，用字母表示图中阴影部分的面积。
用字母表示数，能把数量和数量关系一般而又简明地表达出来，为研究
和叙述问题带来方便。
知识技能
1．填空：
（1）a
 的
 15% 减
 70
 可以表示为
     
 ；
（2）小彬用
 t s 走了
 s m，他的速度为
     
 m/s；
（3）分数乘法法则可以用字母表示为
 a
b · c
d
 =  ac
bd ，同分母分数的减法法则
可以用字母表示为
。
习题 3.1.1
（第
 3
 题）
m
n
p
q
98
数 学  
六年级  上册
（2）与本节“用小棒拼摆正方形”活动中得到的结果相比较，你在（1）中
有什么发现？
（3）用
 99
 枚棋子能恰好拼摆出符合（1）中规律的图形吗？用
 100
 枚呢？
问题解决
3．（1）小明用长度相同的小棒按如图所
示的规律拼摆图形，第
 n
 个图形
需要多少根小棒？
（2）小颖给出一种新的拼摆方式，按
照她的方式拼摆，第
 n
 个图形所
需小棒的根数为
 3
 + 2（n-1）。请你画图表示小颖的拼摆方式。
（3）请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并
加以解决。
在用字母表示数之后，会遇到许多含有字母的式子。观察下列式子：
4
 + 3（x
 - 1），x
 + x
 +（x
 + 1），a
 + b，ab，s
t 
1，6（a
 - 1）
2 ，（a
 - 1）
3。
你发现它们包含哪些运算？与同伴进行交流。
上面这些式子除了含有数字或表示数的字母之外，通常还含有运算符
号（加、减、乘、除、乘方、开方
2 ），像这样的式子都是代数式（algebraic 
1 在含有字母的除法里，通常要按照分数的形式书写。例如，s÷t 一般写成
  s
t  。
2 开方运算将在七年级上册“实数”一章中学习。
2．（1）小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，并写出第n 个图形需要用
（1+3n）枚棋子的结果。请解释他的想法。
（第
 3
 题）
…
（第
 2
 题）
…
99
第三章 
  整式及其加减
  在把文字叙述的语句“翻
译”成代数式时，首先要正确
理解这一语句的数学含义；同
时，要正确判断语句中所给出
的各种运算的顺序。 
expression）。单独一个数或一个字母也是代数式。如
 10，a，v
 等都是代数式。
代数式可以简明地描述许多实际问题中的数量关系。
例1 设字母
 a
 表示甲数，字母
 b
 表示乙数，用代数式表示：
（1）甲、乙两数的差的
 2
 倍；
（2）甲数的
 2
3
 与乙数的
 1
4
 的差；
（3）甲、乙两数的差的立方；
（4）甲、乙两数的平方和。
解：（1）2（a
 - b）；
（2） 2
3
 a
 - 1
4
 b；
（3）（a
 - b）
3；
（4）a
2 + b
2。
例2 用文字语言叙述下列代数式：
（1）x + y； 
（2）1
3（x - y）； 
（3）（x + y）
2； 
（4）x3 + y3。
解：（1）x 与 y 两数的和；  
（2）x 与 y 两数差的 1
3；
（3）x 与 y 两数和的平方； 
 
（4）x 与 y 两数的立方和。
随堂练习
1．设字母
 a
 表示一个数，用代数式表示：
（1）比这个数大
 5
 的数；    （2）比这个数的
 3
4
 小
 8
 的数；
（3）-2
 与这个数的和；      （4）这个数与
 9
 的和的立方。
2．（1）一个两位数的个位数字是
 a，十位数字是
 b（b
 ≠ 0），用代数式表
示这个两位数；
（2）请用代数式表示一个三位数。
3．用文字语言叙述下列代数式：
 （1）x
 - y ；    （2）5（x + y）；    （3）（x - y）
2；    （4）x
2 - y
2 。
100
数 学 
六年级  上册
阅读·欣赏
“代数”的由来
“用字母表示数”是代数的基础。初等代数主要以引进符号和未知数为特
征，它的基本内容是解方程。
“代数”一词最初来源于阿拉伯数学家花剌子米（al-Khwārizmi，约
 780—
约
 850）一本名为《阿尔热巴拉和阿尔穆卡巴拉》（Kitab al-jabr w′almuqabala）
的书，书名中的
 al-jabr w′almuqabala 意为还原与对消，亦即解方程的移项和合
并同类项。书中讨论的数学问题虽然比较简单，但它探讨一般性解法，让作为
“解方程的科学”的代数学有了新的发展方向。该书在
 12
 世纪被译成拉丁文
传入欧洲，在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一
词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
1859 年，清代数学家李善兰（1811—1882）首次把“algebra”译成“代
数”。后来清代学者华蘅芳（1833—1902）和英国人傅兰雅（John Fryer，
1839—1928）将英国瓦里斯（W. Wallace，1768—1843）所著的《Algebra》合译
为《代数术》。卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了
所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法。
知识技能
1．用代数式表示：
（1） x
 的
 11
 倍再加
 2
 可以表示为
     
 ；
（2）一个数
 a
 与它的
 1
8
 的和可以表示为
     
 ；
（3）一间教室有
 2
 扇门和
 4
 扇窗户，n
 间这样的教室共有
         
 扇门和
     
 扇窗户；
（4）产量由
 m kg 增长
 15% 后，达到
     
 kg。
知识技能
习题 3.1.2
101
第三章 
  整式及其加减
2．用文字语言叙述下列代数式：
（1）15x
 - 6y； 
 
 
 
   （2）x
3 + 3
4
 y；
（3）x
2y
3；       
 
 
 
   （4）x
3 - 3。
3．某班共有
 x
 个学生，其中女生人数占
 45%，那么男生人数是（  ）。
（A）45% x 
 
 
 
 （B）（1
 - 45%）x 
（C）x
45%   
 
 
 
   （D）
x
1
 - 45%
4．用代数式表示下列各数：
（1）x
 与
 y
 两数的倒数和；
（2）被
 2
 除，商为
 m
 ，余数为
 1
 的数。
例3 甲、乙两地相距
 150 km，一辆汽车的行驶速度为
 a km/h。用代数式
表示：
（1）这辆汽车从甲地到乙地需要行驶多长时间？
（2）若速度增加
 2 km/h，则需要多长时间？加速后可以早到多长时间？ 
解：（1）根据时间、路程和速度三者之间的关系，可知这辆汽车从甲地到
乙地需要行驶
 150
a h。
（2）如果速度增加
 2 km/h，那么行驶速度就是（a
 + 2）km/h，所以从甲
地到乙地需要行驶
 150
a + 2 h。加速后可以早到（150
a
 - 150
a + 2 ）h。 
思考·交流
代数式
 10x
 + 5y
 可以表示哪些生活中的问题？与同伴进行交流。
如果用
 x（单位：m/s）表示小明跑步的速度，用
 y（单位：m/s）表示小
明走路的速度，那么
 10x
 + 5y
 表示他跑步
 10 s 和走路
 5 s 所经过的路程；如果用
 
102
数 学  
六年级  上册
x
 和
 y
 分别表示
 1
 元和
 5
 角硬币的枚数，那么
 10x
 + 5y
 就表示
 x
 枚
 1
 元硬币和
 y
 枚
 
5
 角硬币共是多少角钱。
你还能举出其他的例子吗？
  字母表示的结论具有一般
性。同一个代数式可以表示不
同实际问题中的数量关系。
随堂练习
1．假设轮船在静水中的速度是
 x km/h，水流的速度是
 2 km/h，用代数式
表示：
（1）轮船顺水航行的速度；
（2）轮船逆水航行的速度；
（3）轮船顺水航行
 4 h 所经过的路程；
（4）轮船逆水航行
 5 h 所经过的路程。
2．红星农场有
 m hm2  
1水稻要收割，原计划每天收割
 s hm2，后又增调若
干台收割机前来支援，每天比计划多收割
 50 hm2，用代数式表示：
（1）按原计划需要多少天收割完？
（2）增调收割机后，多少天能够收割完？
（3）增调收割机后，能提前几天收割完？
3．某景点的门票价格是：成人票每张
 80
 元，学生票每张
 40
 元。一个
旅游团有
 x
 名成人和
 y
 名学生，用代数式表示这个旅游团应付的门
票费。
4．结合实例解释代数式
 6p
 的意义。
1 hm
2 表示公顷，是计量土地的面积单位，1 hm
2 = 10
4 m
2。
103
第三章 
   整式及其加减
知识技能
1．设甲每小时行走
 5 km，乙每小时行走
 4 km，两人同时由同地出发，用代数式
表示：
（1）两人反向行走，a h 后他们之间的距离是多少？
（2）两人同向行走，a h 后他们之间的距离是多少？
2．一个工厂原有工人
 a 人，今年增加了一些工人，增加人数是原来工人人数
的
 6%，现在这个工厂共有多少工人？
3．图中大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的，这个大正方形的面
积是多少？
（第
 3
 题）
习题 3.1.3
4．结合实例解释下列代数式的意义：
（1）m
5 可以解释为
 
 ；
（2）a
 + b
 可以解释为
 
 ；
（3）2x
 可以解释为
 
 ；
（4）a
 + b
2
 可以解释为
 
 ；
（5）8a
3 可以解释为
 
 。
104
数 学  
六年级  上册
在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结
果，就好像一个“数值转换机”。
下面是一组“数值转换机”，请填写下表，并写出图
 3-2
 的输出结果，写
出图
 3-3
 的运算过程。
图
 3-2
图
 3-3
输入 x
输出
×6
6x
-3
输入 x
输出
  6（x
 - 3）
？
？
？
输入
-2
- 1
2
0
0.26
1
3
5
2
4.5
图
 3-2
 的输出
图
 3-3
 的输出
当
 x
 取某个确定的数值时，利用“数值转换机”所设定的程序，就可以计
算出代数式
 6x
 - 3
 的一个结果。 
一般地，用数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫作代数式的值。
例4 当
 x
 = 3，y
 = -2
 时，求代数式
 2x
2 - xy
 - y
2 的值。
解：当
 x
 = 3，y
 = -2
 时，
  2x
2 - xy
 - y
2
  = 2×3
2 - 3×（-2）-（-2）
2
  = 18 + 6 - 4
  = 20。
105
第三章 
   整式及其加减
尝试·思考
营养学家通常用身体质量指数（简称
 BMI）衡量人体胖瘦程度，这个指
数等于人体体重（单位：kg）与人体身高（单位：m）平方的商。对于成
年人来说，BMI 在
 18.5
 与
 24
 之间，体重适中；BMI 低于
 18.5，体重过轻；
BMI 高于
 24，体重超重。
（1）设一个人的体重为
 w kg，身高为
 h m，请用含
 w，h
 的代数式表示
 
BMI 的值。
（2）张老师的身高为
 1.75 m，体重为
 65 kg，他的体重是否适中？
（3）BMI 值对未成年人的胖瘦程度也有一定参考意义，请用上面的代数
式计算你的
 BMI 值，判断自己的体重是否适中。
观察·思考
填写下表，并观察
 5n+6
 和
 n
2 这两个代数式的值的变化情况。
n
1
2
3
4
5
6
7
8
5n+6
n
2
（1）随着
 n
 的值逐渐变大，
 5n+6
 和
 n
2 这两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先超过
 100？
随堂练习
1．求下列代数式的值：
（1）x
2 - 3x
 - 4，其中
 x
 = 1
3；
（2）-3a
2b，其中
 a
 = -3，b
 = 5。
2．如图，你能表示并求出图中阴影部分的面积吗（假设
 
R
 = 15 cm，r
 = 5 cm）？
（第
 2
 题）
106
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．声音在干燥空气中传播的速度随着温度的变化而变化，当温度为
 t ℃
 时，声
音的传播速度（单位：m/s）大约是
 331+0.6t，求温度分别为
 2 ℃
 和
 30 ℃
 时
声音的传播速度。
2．观察右图，回答下列问题：
（1）标出未注明的边的长度；
（2）阴影部分的周长是                                    ；
（3）阴影部分的面积是                                    ；
（4）当
 x
 =5.5，y
 = 4
 时，阴影部分的周长是                                    ，
面积是                                    。
3．下图是一个“数值转换机”的示意图，写出运算过程并填写下表。
知识技能
习题 3.1.4
3．物体由静止自由下落的高度
 h（单位：m）和下落时间
 t（单位：s）
之间的关系，在地球上大约是
 h
 = 4.9t
2，在月球上大约是
 h
 = 0.8t
2。
（1）填写下表：
t
0
2
4
6
8
10
h
 = 4.9
 t
2
h
 = 0.8
 t
2 
（2）物体在地球上下落得较快还是在月球上下落得较快？
（3）当
 h
 = 20 m 时，比较物体在地球上和在月球上自由下落所需的时间。
（第
 2
 题）
（第
 3
 题）
x
-1
0
1
2
y
1
-0.5
0
0.5
输出
107
第三章 
  整式及其加减
4．填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况。
n
1
2
3
4
5
6
7
8
-8n+5
-n
2
（1）随着
 n
 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先小于-100？
问题解决
5．生活中有两种表示温度的方法——摄氏温度（单位：℃）和华氏温度（单位：F）。
如果用
 c 表示摄氏温度，
 f 表示华氏温度，那么
 c 和
 f 之间的关系是：
c = 5
9 （ f - 32）。某日伦敦和纽约的最高气温分别是
 72 F
 和
 88 F，请把它
们换算成摄氏温度。
6．遗传是影响一个人身高的因素之一。有学者总结出用父母身高预测子女
身高的经验公式：儿子成年后的身高= a+b
2
×1.08，女儿成年后的身高= 
0.923a+b
2
，其中
 a
 为父亲身高，b
 为母亲身高，身高单位：m。
（1）六年级男生小刚的爸爸身高为
 1.72 m，妈妈身高为
 1.65 m，根据这个
公式预测小刚成年后的身高；
（2）根据这个公式，预测一下自己的身高；
（3）请查阅资料，收集一些预测人体身高的其他经验公式。
7．骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚
至造成膝盖磨损。如何确定合适的车座高度
呢？有一种雷蒙德（Lemond）测量方法：
双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约
 15 cm，
测量裆部离地面的高度
 h（单位：cm），得
出的数据乘
 0.883
 就是相应的车座顶部到中
轴的距离
 l（单位：cm），此时的车座高度
l
（第
 7
 题）
108
数 学  
六年级  上册
一个组合柜如图
 3-4
 所示，内部用隔板纵向分隔成
 5
 个独立的小柜子（如
图
 3-5），柜门由
 5
 个完全相同的长方形组成。
（1）若要在
 5
 个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是
多少？
（2）若要给
 5
 个柜门的外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少（边框缝
隙忽略不计）？
（3）设柜子的进深为
 c（如图
 3-4），则整个柜子的容积是多少（柜门、
隔板及背板的厚度忽略不计）？
                图
 3-4 
 
           图
 3-5
c
b
a
a
a
a
a
是骑行最合适的高度。根据雷蒙德测量方法完成下列题目：
（1）用代数式表示
 l
 与
 h
 之间的关系。
（2）当
 h=84 cm
 时，l
 为多少厘米？
（3）请测量自身的相关数据，计算并调整自己山地自行车的车座高度，检
验雷蒙德测量方法是否适合自己。
联系拓广
 
  ※8．当
 a=-1，-0.5，0，0.5，1，1.5，2
 时，a
2-a
 是正数还是负数？当|a|＞2
 
时，a
2-a
 是正数还是负数？
109
第三章 
  整式及其加减
尝试·思考
小明房间的窗户如图
 3-6
 所示，其中上方的装饰物由
两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）。
（1）装饰物所占的面积是多少？
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少（窗
框面积忽略不计）？
像
 5ab，5abc，π
16b
2 等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式
（monomial）。单独一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数（coefficient），如
 5ab
 的系数
是
 5，π
16 b
2的系数是π
16 。所有字母的指数和叫作这个单项式的次数1（degree 
of monomial），如
 5ab
 是
 2
 次的，5abc
 是
 3
 次的。
当一个单项式的系数是
 1
 或
 -1
 时，“1”通常省略不写，但“-1”的符号
“-”不能省略。如
 1a
 写成
 a，-1 x
2y
3 写成
 -x
2y
3。此外，字母因数的指数如果
是
 1，通常也省略不写。如
 a
1，3x
1y
2 通常写成
 a，3xy
2。
思考·交流
代数式
 ab
 - π
16
 b
2，10a
 + 10b
 都是单项式吗？为什么？与同伴进行交流。
代数式
 ab
 - π
16
 b
2 是单项式
 ab与- π
16 b
2 的和。代数式
 10a+10b
 是单项式 
10a
 与
 10b
 的和。
几个单项式的和叫作多项式（polynomial）。
在多项式中，每个单项式叫作多项式的项（term），不含字母的项叫作常
数项（constant term）。如多项式
 a
2b
 - 100
 有两项，分别是
 a
2b
 和
 -100，其中
 
-100
 是常数项。
单项式和多项式统称整式（integral expression）。  
图
 3-6
b
a
1 作为单项式，单独一个非零数的次数是
 0。
110
数 学 
六年级  上册
尝试·思考
请列出下列问题中的代数式，并指出其中：① 哪些是单项式？单项式的
系数和次数分别是多少？② 哪些是多项式？
（1）如图
 3-7，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？
图
 3-7
随堂练习
1．将下列代数式中的单项式和多项式分别填入所属的圈中，并指出其中
各单项式的系数和次数。
-15a2b，3x
2
π ，2x-3y，4a2b2 - 4ab + b2，-a，x3 + 2y - x。
（第
 1
 题）
图
 3-8
a
b
c
（2）当水结冰时，其体积大约会比原来增加
 1
9，x m3 的水结成冰后体积
是多少？
（3）如图
 3-8，一个长方体的箱子紧靠墙
角，它的长、宽、高分别是
 a，b，c。这个箱子
露在外面的表面积是多少？
（4）某件商品的成本价为
 a
 元，按成本
价提高
 15%标价，后又以八折（即按标价的
 
80%）销售，这件商品的售价为多少元？
单项式
多项式
111
第三章 
   整式及其加减
知识技能
1．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？其中单项式的系数和次数分
别是多少？多项式中若有常数项，请把它指出来。
7h，xy
3 + 1，2ab
 + 6，2
5
 x
 - by
3。
2．下列多项式分别有几项？每项的系数和次数分别是多少？
（1）－1
3 x
 － x
2y
 +  2 ；  
  （2）x
3 - 2x
2y
2 + 3y
2。
3．小明和小亮各收集了一些废电池，如果小明再多收集
 6
 节，他的废电池数
量就是小亮的
 2
 倍。根据题意列出整式：
（1）若小明收集了
 x 节废电池，则小亮收集了
节废电池；
（2）若小亮收集了
 x 节废电池，则两人一共收集了
节废电池。
问题解决
4．某小区一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），
其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔
开，那么需铺多大面积的五彩石？
5．如图（1）（2），某餐桌桌面可由圆形折叠成正
方形（图中阴影表示可折叠部分）。已知折叠前
圆形桌面的直径为
 a m，折叠成正方形后其边长
为
 b m。如果一块正方形桌布的边长为
 a m，并按图（3）所示把它铺在折
叠前的圆形桌面上，那么桌布垂下部分的面积是多少？如果按图（4）所示
把这块桌布铺在折叠后的正方形桌面上呢？
知识技能
习题 3.1.5
（第
 4
 题）
五
彩
石
（第
 5
 题）
（1）
（2）
（3）
（4）
112
数 学  
六年级  上册
图
 3-9
 中的长方形由两个小长方形组成。
（1）利用图
 3-9
 化简
 8n+5n，并用运算律解释你
的化简结果。
（2）你能用类似的方法化简
 2xy
 + 3xy
 及
 -7a
2b
 + 2a
2b
 
吗？
大长方形的面积可以用代数式表示为
 8n
 + 5n，也可以表示为（8
 + 5）n，
从而
 8n
 + 5n
 =（8+5）n
 = 13n。
也可以根据乘法对加法的分配律计算。
8n+5n
 =（8+5）n
 = 13n，
2xy+3xy
 =（2+3）xy
 = 5xy，
-7a
2b+2a
2b
 =（-7+2）a
2b
 = -5a
2b。
像
 8n
 与
 5n，2xy
 与
 3xy，-7a
2b
 与
 2a
2b
 这样所含字母相同，并且相同字母
的指数也相同的项，叫作同类项（like terms）。
把同类项合并成一项叫作合并同类项（unite like terms）。例如，
8n+5n
 = 13n，2xy+3xy
 = 5xy，-7a
2b+2a
2b
 = -5a
2b。
思考·交流
x
 与
 y，a
2b
 与
 ab
2，-3pq
 与
 3qp，abc
 与
 ac，a
2与
 a
3 是不是同类项？与同伴
进行交流。
图
 3-9
　　字母可以和数
一样进行运算。
整式的加减
2
113
第三章 
  整式及其加减
例1 根据乘法对加法的分配律合并同类项：
（1）-xy
2+3xy
2；         （2）7a+3a
2+2a-a
2+3。
解：（1）-xy
2+3xy
2=（-1+3）xy
2 = 2xy
2；
（2）7a+3a
2+2a-a
2+3
   =（7a+2a）+（3a
2-a
2）+3
   =（7+2）a+（3-1）a
2+3
    = 9a+2a
2+3。
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
例2 合并同类项：
（1）3a
 + 2b
 - 5a
 - b；           （2）-4ab
 + 8
 - 2b
2 + 4ab
 - 8。
解：（1）3a + 2b - 5a - b
 
=（3a - 5a）+（2b - b） 
 
 
 
 
   
 
=（3 - 5）a +（2 - 1）b 
 
= - 2a + b；  
 
 
 
（2）-4ab + 8 - 2b
2 + 4ab - 8
  =（-4ab
 + 4ab）+（8
 - 8）- 2b
2
  =（-4
 + 4）ab
 - 2b
2
   = -2b
2。
随堂练习
1．下列各组中的两项是不是同类项？为什么？
（1）2x
2y
 与
 5x
2y；        （2）1
3ab3 与
 -4
3
 ab3；
（3）mn 与
 - mn；         （4）1
4 st 与
 5ts；
114
数 学 
六年级  上册
（5）12x
3y
2 与
 -2x
2y
3；        （6）2x
2 与
 2x
3；
（7）a
3 与
 5
3；            
 （8）-125
 与
 12。
2．下列各题的结果是否正确？如果不正确，请指出错误的地方。
（1）3x
 + 3y
 = 6xy；      
 （2）8x
 + 4
 = 12x；
（3）16y
2 - 7y
2 = 9；            （4）19a
2b
 - 9ab
2 = 10；
（5）7ab
 - 7ba
 = 0；            （6）3x
3 + 2x
3 = 5x
6。 
3．合并同类项：
（1）10y
2 + y
2；            （2）- 6m
2n
 + 6m
2n；
（3）15x+ 4x
 - 20x；           （4）1
2
 m
 -  1
2
 m
 + 1；
（5）0.6ab
2 - ab
2 + 0.4a
2b；        （6）1
4
 p
 - 0.3q
 - 1
2
 p
 + 0.3q。
知识技能
1．找出下列多项式中的同类项：
（1）5x
2y
 － 3y
2 － x
 － 4
 + x
2y
 + 2x
 － 9；
（2）4ab
 － 7a
2b
2 － 8ab
2 + 5a
2b
2 － 9ab+a
2b
2。
2．合并同类项：
（1）3f 
 + 2f
 －7f； 
 
 
 （2）x
 －  f
 + 5x
 － 4f；
（3）2a
 + 3b
 + 6a
 + 9b
 － 8a
 + 12b； 
 （4）3pq
 + 7pq
 + 4pq
 + pq；
（5）30a
2b
 + 2b
2c
 － 15a
2b
 － 4b
2c； 
 （6）7xy
 － 8xy
 + 5xy
 - 12xy。
3．（1）一个三角形的三边长分别为
 3x cm，4x cm，5x cm，求它的周长；
（2）三个连续整数中，最小的一个是
 n，这三个数的和是多少？
（3）某景点的成人票价是每张
 20
 元，儿童票价是每张
 8
 元。甲旅行团有
 x
 名
成人和
 y
 名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的
 2
 倍，儿童数是甲旅
行团的
 1
2。两个旅行团的门票费用总和为多少元？
习题 3.2.1
115
第三章 
  整式及其加减
4．请写出
 2xyz3 的几个同类项。
5．如果把（a
 + b）看作一个整体，就可以把
 2（a
 + b）与
 －1
3（a + b）看作同类
项；把（x
 － y）看作一个整体，就可以把
 3（x
 － y）
2 与（x
 － y）
2 看作同类
项，这便于代数式的化简。合并下列各式中的同类项：
（1）2（a + b）+ 3（a + b）－5（a + b）；  
（2）3（x－y）
2－6（x + y）
2－2（x－y）
2 + 7（x + y）
2。
尝试·交流
求代数式
 -3x
2y
 + 5x
 - 0.5x
2y
 + 3.5x
2y
 - 2
 的值，其中
 x
 = 1
5 ，y
 = 7。说说你
是怎么做的，与同伴进行交流。
多项式中，如果有同类项，应先通过合并同类项进行化简，然后再求值，
这样可以使计算简便。
合并同类项后的多项式中，含有几项，就叫作几项式，次数最高的项的
次数，叫作多项式的次数。例如，2x
2 - 3x
 + 1 是二次三项式；x
3 - 2x
2 - x
 + 2
 是
三次四项式。
思考·交流
多项式
 5x
2 - 8x+1+x
2+7x
 - 6x
2 是二次六项式吗？为什么？与同伴进行交
流。
116
数 学 
六年级  上册
例3 求代数式
 0.2a
 - 1
2c
2 + abc 
 - 1
5 a
 + 0.5c
2 的值，其中
 a
 ＝-1
6，b
 ＝ 2，c
 ＝ 9。
解：0.2a
 - 1
2 c
2 + abc
 - 1
5 a
  +  0.5 c
2
 =（0.2a
 - 1
5a）+（-1
2c
2 + 0.5c
2）+ abc 
 = abc。
 当
 a
 = -1
6，b
 = 2，c
 = 9
 时，原式
 =（-1
6）×2×9
 ＝ -3。
随堂练习
1． 求下列代数式的值：
（1）5x
2 + 4
 - 3x
2 - 5x
 - 2x
2 - 5
 + 6x，其中
 x
 ＝ -3；
（2）3ab
 - 5ab
3 + 0.5a
3b
 - 3ab
2 + 5ab
3 - 4.5a
3b，其中
 a
 = 1，b
 = 3
2；
（3）8p
2 - 7q
 + 6q
 - 7p
2 - 7，其中
 p
 = 3，q
 = -3。
2．判断下列多项式分别是几次几项式：
（1）- x
2 - x
 + 3；
（2）3x
3 - x
2 + x
 - x
3 + 3x
2 - 2x
2 + 3；
（3）x
6 - 64；
（4）a
4b
 - 2a
3b
2 - 5a
2b
2 + 2b
2a
3 - b
5。
知识技能
1． 求下列代数式的值：
（1）6x
 + 2x
2 - 3x
 + x
2 + 1，其中
 x
 = -5；
（2）4x
2 + 3xy
 - x
2 - 9，其中
 x
 ＝ 2，y
 = -3；
（3）1
3 m
 － 3
2 n
 － 5
6n
 － 1
6m，其中
 m
 ＝ 6，n
 ＝ 2；
（4）3pq
 － 4
5m
 － 4 pq，其中
 m
 ＝ 5，p
 =  1
3，q
 = - 3
2。
习题 3.2.2
117
第三章 
  整式及其加减
2． 先化简，再求值：
（1）4（2a
 － b）
2 － 5（2a
 － b）+（2a
 － b）
2 － 2（2a－b），其中
 a
 = - 1
2，b
 = 3；
（2）3x
2 + x
 - 1
 + 2x
2 - 7x
 - 8x
2，其中
 x
  =  - 1
3。
问题解决
3．小华为一个长方形休闲场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息
区和长方形游泳区外的地方都是绿地。如果这个休闲场所需要有一半以上的
绿地，并且它的长与宽之间满足
 
a
 = 3
2 b，而小华设计的
 m，n
 分
别是
 a，b
 的
 1
2 ，那么他的设计
方案符合要求吗？请你为这个休
闲场所提供一个既符合要求又美
观的设计方案。
（第
 3
 题）
在前面用小棒拼摆正方形时，我们得到了几个不同的代数式，如：
x
 + x
 +（x
 + 1），4
 + 3（x
 - 1），4x
 -（x
 - 1），3x
 + 1，
它们都表示拼摆
 x
 个正方形所需小棒的根数，因此应该相等。对此，你能用运
算律加以解释吗？与同伴进行交流。
利用乘法对加法的分配律去括号，并比较合并同类项后的结果。
4+3（x-1）= 4
 +
 3x+3×（-1）
          = 4
 + 3x
 - 3
          = 3x
 + 1。
同样的方法可求得
 x
 + x
 +（x
 + 1）= 3x
 + 1。
118
数 学  
六年级  上册
4x-（x-1）= 4x
 +（-1）（x
 - 1）
          = 4x
 +（-1）x
 +（-1）×（-1）
          = 4x-x+1
          = 3x
 + 1。
三个代数式都可化为
 3x
 + 1
 的形式，因此，这四个代数式是相等的。
尝试·思考
利用乘法对加法的分配律将下列各式去括号。去括号前后，括号里各项
的符号有什么变化？
（1）a
 +（b
 + c）；     （2）a
 -（b
 + c）；
（3）a
 +（b
 - c）；     （4）a
 -（b
 - c）。
例4 先去括号，再合并同类项：
（1）4a
 -（a
 - 3b）；  
 
（2）a
 +（5a
 - 3b）-（a
 - 2b）；
（3）3（2xy
 - y）- 2xy； 
 
（4）5x
 - y
 - 2（x
 - y）。
解：（1）4a
 -（a
 - 3b） 
 
（2）a
 +（5a
 - 3b）-（a
 - 2b）
    = 4a
 - a
 + 3b  
 
    
   = a
 + 5a
 - 3b
 - a
 + 2b
    = 3a
 + 3b； 
 
   
   = 5a
 - b；
  （3）3（2xy
 - y）- 2xy 
 
（4）5x
 - y
 - 2（x
 - y）
    =（6xy
 - 3y）- 2xy  
 
   = 5x
 - y
 -（2x
 - 2y）
    = 6xy
 - 3y
 - 2xy  
   
   = 5x
 - y
 - 2x
 + 2y
    = 4xy
 - 3y； 
 
   
   = 3x
 + y。
括号前是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项
的符号都不改变；
括号前是“-”，把括号和它前面的“-”去掉后，原括号里各项
的符号都要改变。
119
第三章 
   整式及其加减
随堂练习
1．去括号：
（1）-a
 +（-b
 + c）； 
 
（2）-a
 +（b
 - c）；
（3）a
 +（-b
 - c）；  
 
（4）-a
 -（b
 - c）。
2．先去括号，再合并同类项：
（1）8x
 -（-3x
 - 5）； 
 
（2）（3x
 - 1）+（2
 - 5x）；
（3）（-4 y
 + 3）-（-5y
 - 2）； 
（4）3x
 + 1
 - 2（4
 - x）。
3．下列去括号正确吗？如果不正确，请加以改正。
（1）3（x
 + 8）= 3x
 + 8；
（2）-（x
 - 6）= -x
 - 6；
（3）-（-b
 + c）= -b
 - c； 
（4）a
 + 2（-b
 ＋ c）= a
 - 2b
 + 2c。  
知识技能
1．去括号：
（1）-（2m
 - 3）； 
 
       （2）-（a
 + b）+（c
 - d）；
（3）（-a
 - b）-（-c+ d）；        （4）a
 -（-b
 + c
 - d）；
（5）n
 - 3（4
 - 2m）； 
 
       （6）t 
 + 2
3 （12
 - 9v）；
（7）-8（3a
 - 2ab 
 +  4）； 
       （8）4（m
 + p）- 7（n
 - 2q）。
2．先去括号，再合并同类项：
（1）-2n
 -（3n
 - 1）；
（2）a
 -（5a
 - 3b）+（2b
 - a）；
习题 3.2.3
思考·交流
你认为去括号时要注意哪些问题？与同伴进行交流。
120
数 学  
六年级  上册
（3）-3（2s
 - 5）+ 6s；
（4）1
 -（2a
 - 1）-（3a
 + 3）；
（5）3（-ab
 + 2a）-（3a
 - b）；
（6）14（abc
 - 2a）+ 3（6a
 + 2abc）；
（7）3（xy
 - 2z）+（-xy
 + 3z）；
（8）-4（pq
 + pr）+（4pq
 + pr）。
3．有这样一道题：“当
 a
 = 0.25，b
 = -0.37
 时，求代数式
 a
2 +（a
2 + ab）- 2a
2-
ab
 的值。”有一位同学指出，不用条件就可以求出结果。你认为他说得有
道理吗？说说你的想法。
4．下列各式一定成立吗？
（1）-a
 + b
 = -（a
 - b）； 
            （2）-a
 + b
 = -（b + a）；
（3）2
 - 3x
 =-（3x
 - 2）；                          （4）6x
 + 5
 = 6（x
 + 5）。
按照下面的步骤做一做：
（1）任意写一个两位数；
（2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数；
（3）求这两个数的和。
再写几个两位数重复上面的过程。这些和有什么规律？这个规律对任意
一个两位数都成立吗？
如果用
 a，b
 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位
数可以表示为
 10a
 + b。交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是
 
10b
 + a。这两个数相加：
（10a
 + b）+（10b
 + a）= 
。
根据运算结果，你能解决上面的问题吗？
121
第三章 
  整式及其加减
尝试·思考
两个数相减后的结果有什么规律？这个规律对任意一个三位数都成立吗？
思考·交流
在上面的两个问题中，分别涉及整式的什么运算？说一说你是如何运算
的，并与同伴进行交流。
进行整式加减运算时，如果遇到括号要先去括号，再合并同类项。
例5 计算：
（1）2x
2 - 3x
 +1
 与
 -3x
2 + 5x
 -7
 的和；
（2）-x
2 + 3xy
 - 1
2 y
2 与- 1
2 x
2+ 4xy
 - 3
2 y
2 的差。
解：（1）（2x
2-3x
 + 1）+（-3x
2 + 5x
 - 7）
             = 2x
2- 3x
 + 1- 3x
2 + 5x
 - 7
             = 2x
2- 3x
2-3x
 + 5x
 + 1
 - 7
             = -x
2 + 2x
 - 6；
（2）（-x
2 + 3xy
 - 1
2 y
2）-（- 1
2 x
2 + 4xy
 - 3
2 y
2）
       = -x
2 + 3xy
 - 1
2
 y
2 +  1
2
 x
2 - 4xy
 + 3
2
 y
2
       = -x
2+ 1
2 x
2 + 3xy
 - 4xy
  - 1
2
 y
2 + 3
2 y
2
       = - 1
2 x
2 - xy
 + y
2。
　　任意一个三位数可以
表示为
 100a
 + 10b
 + c。
122
数 学 
六年级  上册
随堂练习
1．计算：
（1）1
2
 xy
 - 1
4 yx
 -（-6x
2y
2）- 2y
2x
2；
（2）（- 1
3 ab）+（-1
4a
2）+ 1
3a
2 -（-1
5ab）。
2．计算：
（1）（4k
2 + 7k）+（-k
2 + 3k - 1）；
（2）（5y
 + 3x
 - 15z 2）-（12y
 + 7x
 + z2）；
（3）（-a
2 + 2ab
 - b
2）-（2a
2 + ab
 - 3b
2）；
（4）x
 -（1
 - 2x
 + x
2）+（-1
 + 3x
 - x
2）。
知识技能
1．计算：
（1）4x
3 -（-6x
3）+（-9x
3）；
（2）-3x
2y
 -（-3xy
2）+ 3x
2y
 + 3xy
2；
（3）-3x
2 - 4xy
 - 6xy
 -（-y
2）- 2x
2 - 3y
2；
（4）- 2
3 ab + 3
4
 a
2b
 + ab
 +（-3
4a
2b）- 1。
2．计算：
（1）（3k
2 + 7k）+（4k
2 - 3k
 + 1）；
（2）（3x
2 + 2xy
 -  1
2x）-（2x
2 - xy
 + x）；
（3）（7a
2 + 2a
 + b）-（3a
2 + 2a
 - b）；
（4）（1
2 xy
 + y
2 + 1）+（x
2 - 1
2 xy
 - 2y
2 - 1）；
（5）-（1
3 
 +  m
2n
 + m
3）-（2
3
 - m
2n
 - m
3）；
（6）（11
2 x
2 - 29x
 + 10y）-（5
2x
2 - 13x
 + 24y）。
知识技能
习题 3.2.4
123
第三章 
  整式及其加减
3．填空：
（1）（4a
2 + 3a
 - 2）+     
 = -a
2 + 7a
 + 9；
（2）（3b
2 - 4ab
 + 6）-      = 5b
2 + 7ab
 - 3。
问题解决
  
※4．从
 1
 ~
 9
 这九个数字中选择三个数字，由这三个数字可以组成六个两位数，
先把这六个两位数相加，然后再用所得的和除以所选三个数字之和。你发
现了什么？你能说明其中的道理吗？ 
飞机场为旅客提供行李打包服务。如果将长、宽、高分别为
 a m，b m，
c m 的箱子按如图
 3-10
 所示的两种方式打包（其中红色线为打包带）。
（1）按照图
 3-10（1）所示的方式打包，至少需要多少米的打包带？
（2）按照图
 3-10（2）所示的方式打包，至少需要多少米的打包带？
（3）哪一种方式使用的打包带较短？与同伴进行交流。
图
 3-10
（2）
（1）
a
c
b
a
c
b
例6 计算：
（1）7（p
3 + p
2 - p
 - 1）- 2（p
3 + p）；
（2）- 1
3（1
 + 3m
2n
 + 3m
3）- 2
3（1
 - 3
2m
2n
 - 3
2m
3）。
124
数 学  
六年级  上册
解：（1）7（p
3 + p
2 - p
 - 1）- 2（p
3 + p）
   
= 7p
3 + 7p
2 - 7p
 - 7
 - 2p
3 - 2p
 
 
 
= 
 5p
3 + 7p
2 - 9p
 - 7；
（2）-1
3（1
 + 3m
2n
 + 3m
3）- 2
3（1
 - 3
2m
2n
 - 3
2m
3）
  = -1
3
 - m
2n
 -  m
3 - 2
3
 + m
2n
 + m
3
  = -1。
例7 求代数式
 1
3a
 -（1
2a
 - 4b
 - 6c）+ 3（-2c
 + 2b）的值，其中
 a
 = -12，
b
 = 1
5，c
 = 2 032。
解：1
3a -（1
2a - 4b - 6c）+ 3（- 2c + 2b）
  = 1
3a - 1
2a + 4b + 6c - 6c + 6b
  = -1
6 a + 10b。
当 a = -12，b = 1
5 时，原式 = -1
6×（-12）+ 10×1
5 = 2 + 2 = 4。
随堂练习
1．计算：
（1）2（a
2 - 2ab
 + b
2）- 3（a
2 - 2ab
 + b
2）；
（2）（8xy
 - 3x
2）- 5xy
 - 2（3xy
 - 2x
2）。
2．先化简，再求值。
（1）（-7
 + 8x
 - 3x
2）-（-3x
2 - 4x
 + 5），其中
 x
 = 1；
（2）（8x
2 - xy
 + 7y
2）+（-4x
2 + 3xy
 - 6y
2），其中
 x
 = 1
2 ，y
 = 2。
125
第三章 
   整式及其加减
3．某花店一枝康乃馨的价格是
 x
 元，一枝玫瑰的价格是
 y
 元，一枝向日
葵的价格是
 z
 元。图中三束鲜花的价格各是多少元？图中所有鲜花
的总价是多少元？
知识技能
1．计算：
（1）（3x
2 + 4x
 - 1）- 3（x
2 + 3x）；
（2）-5（x
2 - 3）- 2（3x
2 + 5）；
（3）-（x
2y
 + 3xy
 - 4）+ 3（x
2y
 - xy
 + 2）；
（4）-1
4（2k
3 + 4k
2 - 28）+ 1
2（k
3 - 2k
2 + 4k）。
2．先化简，再求值：
（1）3x
2 -（2x
2 + 5x
 - 1）-（3x
 + 1），其中
 x = 10；
（2）（xy
 - 3
2y
 - 1
2）-（xy
 - 3
2x
 + 1），其中
 x
 = 10
3 ，y
 = 8
3；
（3）4y
2 -（x
2 + y）+（x
2 - 4y
2），其中
 x
 ＝ -28，y
 = 18。
3．填空：
（1）2（a
2 - ab
 + 1）+       
 = -2b
2 + 8ab
 + 7；
（2）      
 - 2（3m
2 + m
 + 3）= 2m
2 + 8。
习题 3.2.5
（第
 3
 题）
（1）
（2）
（3）
126
数 学  
六年级  上册
问题解决
  
※4．对于
 3×9
 = 27，可以用
 10
 个手指直观地展示出来：
如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第
 3
 
个手指，将它弯起，此时它的左边有
 2
 个手指，右边
有
 7
 个手指，“27”正是“3×9”的结果。类似地，
1×9
 = 9，2×9
 = 18，4×9
 = 36，…，9×9
 = 81
 也可
以用手指直观地展示出来。请用本章学过的知识解
释其中的道理。
图
 3-11
 是按照一定的规律摆放的桌子和椅子：
图
 3-11
…
（1）1
 张桌子的周围摆放
 6
 把椅子， 2
 张桌子的周围摆放 
 把椅子；
（2）按照图
 3-11
 的规律继续摆放桌子和椅子，完成下表：
桌子 / 张
3
4
5
6
…
n
椅子 / 把
尝试·交流
图
 3-12
 也是按照一定的规律摆放的桌子和椅子。
…
图
 3-12
探索与表达规律
3
（第
 4
 题）
3×9
 =
 27
1
1
2
2 3 4 5 6
7
127
第三章 
   整式及其加减
（1）2
 张桌子拼在一起，周围可摆放多少把椅子？3
 张桌子呢？n
 张桌子呢？
（2）一个大厅里有
 40
 张这样的长方形桌子，按照图
 3-12
 中的规律每
 8
 张
拼成
 1
 张大桌子，则
 40
 张桌子可拼成
 5
 张大桌子，桌子的周围共可摆放多少把
椅子？如果有
 8n
 张桌子，仍按上面规律每
 8
 张拼成
 1
 张，此时桌子的周围共可
摆放多少把椅子？
尝试·思考
（1）小明也用上面的
 8
 张桌子拼成
 1
 张大桌子，但
 8n
 张桌子的周围只能摆
放
 16n
 把椅子，你能说出他的桌子是怎么摆放的吗？
（2）若仍用上面的桌子，每
 8
 张桌子拼成
 1
 张大桌子，你还有其他摆放桌
子的方法吗？按照你的摆放方法，8n
 张桌子的周围共可摆放多少把椅子？
（3）在食堂就餐的高峰时段，需要同时能坐下
 300
 人，选择上面哪种方式
需要的餐桌数较少？ 
随堂练习
1． 用长度相同的小棒按如图所示的方式拼摆图形。
（1）按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
④
⑤
…
小棒
 /
 根
…
（2）按照这种方式拼摆下去，第
 n
 个图形需要
     
 根小棒。
（第
 1
 题） 
①
③
②
…
128
数 学 
六年级  上册
（1）摆第
 1
 个图形用
 
 枚棋子，摆第
 2
 个图形用
 
 枚
棋子，摆第
 3
 个图形用
 
 枚棋子；
（2）按照这种方式摆下去，摆第
 n
 个图形用
 
 枚棋子，摆
第
 100
 个图形用
 
 枚棋子；
（3）用不同方法表示第（n
 - 1）个图形所用的棋子数。
问题解决
1．生活中有许多规律可以用数学式子表达，请你多加留意并随时记录下来。
2．用长度相同的小棒按下图的规律拼摆三角形。
（1）填写下表：
三角形
 /
 个
1
2
3
4
5
…
小棒
 /
 根
…
（2）按这样的规律拼摆下去，搭
 n
 个这样的三角形需要多少根小棒？
（第
 2
 题）
…
问题解决
习题 3.3.1
④
①
②
③
（第
 2
 题）
2．用棋子摆出下列图形：
129
第三章 
  整式及其加减
（第
 3
 题）
…
3．如图所示是用棋子摆成的“小屋子”：
（1）摆第
 1
 个“小屋子”用了
 5
 枚棋子，摆第
 2
 个用了多少枚棋子？摆
第
 3
 个用了多少枚棋子？
（2）按照这样的规律继续摆下去，摆第
 10
 个这样的“小屋子”需要多少
枚棋子？摆第
 n
 个需要多少枚棋子？你是如何得到的？试用不同的方
法解决这个问题。
观察图
 3-13
 所示的日历图，回答下列问题：
（1）日历图中的数有什么规律？
（2）日历图的套色方框中的
 9
 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（3）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（4）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
（5）你还能发现这样的方框中
  9
  个数之间的其他关系吗？请用代数式表示。
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
图
 3-13
130
数 学  
六年级  上册
尝试·思考
（1）图
 3-13
 所示的日历图中，能否使框中
 9
 个数的和为
 144？180
 呢？
为什么？
（2）在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为
 
80，这个月的第一个星期日是几号？
思考·交流
如图
 3-14，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？如果改为
“H”形框呢？它们有什么共同规律？你还能设计出其他形状的包含数字规律
的数框吗？与同伴进行交流。
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
图
 3-14
小亮和小丽在玩一个数字游戏。
你在心里想好一个两位数，将这个两位数的十位数
字乘
 2，然后加
 3，再将所得的和乘
 5，最后将得到的数
加你想的那个两位数的个位数字。把你的结果告诉我，
我就知道你心里想的两位数。
我的结果是
 93。
我的结果是
 27。
你心里想
的数是
 78。
你心里想
的数是
 12。
你知道小亮是怎样算出来的吗？
小亮
131
第三章 
   整式及其加减
尝试·交流
设计类似上面的数字游戏，解释其中的道理，并与同伴进行交流。
尝试·思考
（1）一个三位数能否被
 3
 整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否
被
 3
 整除。试说明其中的道理。
（2）一个四位数能否被
 3
 整除是否也有这样的规律？请说明理由。
回顾·反思
回顾用字母表达数量关系和运算的学习过程，你积累了哪些经验？
随堂练习
1．有三堆棋子，数目相等，每堆至少有
 4
 枚。从左堆中取出
 3
 枚放入中
堆，从右堆中取出
 4
 枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数
相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请做一做，并
解释其中的道理。
问题解决
1．将连续的奇数
 1，3，5，7，9，…
 排成如图所示的数表。
（1）十字形框中的五个数之和与中间数
 15
 有什么关系？
（2）设中间数为
 a，如何用代数式表示十字形框中五个数
之和？
（3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，
这五个数还有上述的规律吗？
（4）十字形框中的五个数之和能等于
 2 022
 吗？能等于
 2 025
 吗？
问题解决
习题 3.3.2
（第
 1
 题）
……
132
数 学  
六年级  上册
2．小强：“你在心里想好一个数，按照下列步骤进行运算：把这个数乘
 4，然
后加
 8，再把所得的和乘
 5，然后再加
 7，最后再把得到的数乘
 5。把你的
结果告诉我，我就知道你心里想的数了。”同学们试了几次，小强都猜对
了。你知道这是为什么吗？
3．小亮和好朋友经常玩一种密码游戏：他们事先约定英文字母表中各字母位
置的变化规则，以此实现加密和解密。有一次小亮给好朋友留了一张纸
条，纸条上写着“kccr zcfglb rfc jgzpypw”，好朋友一下子就明白了“meet 
behind the library”。
（1）小亮他们这次事先约定的字母位置变化规则是什么？你能用代数式表
达他们的规则吗？
（2）你能设计类似的密码游戏吗？
联系拓广
4．末两位是
 00，25，50，75
 的任何数均能被
 25
 整除，这是为什么？你能解
释其中的道理吗？
133
第三章 
  整式及其加减
在本章学习过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊
情形出发，进而找到一般规律的过程。归纳是发现数学规律、解决数学问题的
一种重要策略。
问题 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为
若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果。随着
三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽（如图
 3-15）。
将长方形区域分割成三角形的过程：在长方形内取一定数量的点，连同
长方形的
 4
 个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直
到长方形内所有区域都变成三角形。
如图
 3-16，当长方形内有
 1
 个点时，可分得
 4
 个三角形；当长方形内有
 2
个点时，可分得
  6
 个三角形（不计被分割的三角形）。
图
 3-15
问题解决策略：归纳
当长方形内有
 35
 个点时，可分得多少个三角形？
★ 
图
 3-16
134
数 学  
六年级  上册
理解问题
（1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。
（2）已知条件是什么？目标是什么？
拟订计划
（1）直接研究“长方形内有
 35
 个点”的情形，你遇到了什么困难？
（2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？
（3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？
实施计划
写出你的解决方案，并说明其中的道理。
小明是这样思考的：
（1）先研究长方形内有
 3
 个点、4
 个点的情形（如图
 3-17）。
图
 3-17
（2）几种简单情形的数据如下表，发现规律：长方形内点的个数增
加
 1，三角形的个数增加
 2。
长方形内点的个数
1
2
3
4
…
三角形的个数
4
6
8
10
…
135
第三章 
   整式及其加减
（3）猜想是合理的。在长方形内已经有
 n
 个点的情况下，新增的一
个点要么在某个三角形内部，要么在某条线段上。当新增的这个点在某
个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的
 1
 个三角形分成
 3 
个小三角形，三角形的个数增加
 2；当新增的这个点在某条线段上时，
连接该点和它所在两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加
 2。
因此，当长方形内有
 35
 个点时，分得的三角形的个数是
4+2×34 = 72。
回顾反思
（1）如果长方形内有
 100
 个点呢？一般地，如果长方形内有
 n
 个点呢？
（2）你还能提出并解决什么问题？
（3）从简单的情形开始思考有什么好处？通过简单情形归纳一般性结
论，你有哪些经验？
在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律。
初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况。最后，试着给
出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律。
习题
1．3
2 024 的个位数字是多少？
2．按照一定规律排列的单项式：3
4 x
2，5
9 x
4，7
16x
6，9
25x
8，11
36x
10，…。判断第
n 个单项式。
136
数 学 
六年级  上册
4．由
 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…
 组成的三角形数阵如图所示。
（1）第
 10
 行的
 10
 个数的和是多少？
  ※（2）你还能找到其他规律吗？
5．某类简单化合物中前
 4
 种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表
碳原子，白球代表氢原子。按照这一规律，第
 60
 种化合物的分子结构模型
中有多少个氢原子？
3．如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开。剪
 1
 刀，绳子变
为
 4
 段；剪
 2
 刀，绳子变为
 7
 段。
（1）剪
 12
 刀，绳子变为多少段？
（2）有可能正好剪得
 101
 段吗？
（第
 5
 题）
（1）
（2）
（3）
（4）
（第
 4
 题）
（第
 3
 题）
（6）
（5）
……
21
23
25
27
29
13 15
17
19
7
9
11
3
5
1
137
第三章 
  整式及其加减
知识技能
1．用字母表示：
（1）加法结合律：
；
（2）乘法结合律：
；
（3）乘法对加法的分配律：
；
（4）一个长方形的长是
 b，宽是长的一半，它的周长是
，面积是
；
（5）一个三角形的三边长都是
 c，它的周长是
；
回顾与思考
1．你认为用字母表示数有哪些优越性？
2．借助字母可以表示数量关系，你能列举一些实际问题并用字母表
示其中的数量关系吗？
3．怎样求一个代数式的值？请举例说明。
4．设计一个情境，使之尽可能多地包含单项式、多项式，并指出单
项式的系数、多项式的次数。
5．举例说明合并同类项、去括号法则。它们的依据是什么？
6．举例说明如何进行整式的加减运算。
7．在本章学习中，你经历了一些探索规律的过程，请说说你对解决
这类问题的认识。
8．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行
交流。
9．类比有理数的加减运算，再回顾本章的学习过程，你认为学习一
种新运算的一般思路是什么？接下来还可以学习哪种运算呢？
复习题
138
数 学  
六年级  上册
3．一组“数值转换机”如图所示，写出图（1）的输出结果，写出图（2）的
运算过程。
（6）一个平行四边形的一边长是
 a，该边上的高是这边长的2
3 ，这个平行
四边形的面积是
。
2．小川在唱一首永远也唱不完的儿歌。
1
 只青蛙
 1
 张嘴，2
 只眼睛
 4
 条腿，1
 声扑通跳下水；
2
 只青蛙
 2
 张嘴，4
 只眼睛
 8
 条腿，2
 声扑通跳下水；
3
 只青蛙
 3
 张嘴，6
 只眼睛
 12
 条腿，3
 声扑通跳下水；
 ……
你能用字母表示这首儿歌吗？
     完成下表：
输入 x
-2
-1
- 1
2
0
1
1.5
图（1）的输出
图（2）的输出
4．下列整式哪些是单项式？哪些是多项式？它们的次数分别是多少？
（1）7y
2；    （2）4xy
2；    （3）35abc；
（4）3x+5y；  
（5）1+s
2+st；   （6）4
5 a
2x-a
2x
3+ 1
5 x。
（第
 3
 题）
（1）
（2）
139
第三章 
  整式及其加减
5．下列多项式中分别有几项？每项的系数和次数分别是多少？
（1）-abx
2+ 1
5 x
3- 1
2 ab；    
（2）xy-pqx
2+ 5
9 p
3+9。
6．化简下列各式：
（1）5x
4+3x
2y-10-3x
2y+x
4-1； 
（2）p
2+3pq+6-8p
2+pq；
（3）（7y-3z）-（8y-5z）；  
 
（4）-（a
5-6b）-（-7+3b）；
（5）2（2a
2+9b）+3（-5a
2-4b）； 
（6）-3（2x
2-xy）+4（x
2+xy-6）。
7．计算：
（1）（2x
2y
 + 3xy
2）-（6x
2y
 - 3xy
2）；
（2）（5mn
 - 2m
 + 3n）+（-7m
 - 7mn）；
（3）（6a
2 - 8a
 + 11b
3）-（11a
2 + 2b
3）；
（4）（2ab
 + 3b
2 - 5）-（3ab
 + 3b
2 - 8）；
（5）-（10x
3 + 2xy
2 + y
3）+（10x
3 + 3xy
2 - 8y
3）；
（6）（4mn
2 + 3m
2n
 - 4m）- 2（mn
2 + 3
2 m
2n
 + 1）。
8．先化简，再求值：
（1）9x
 + 6x
2 - 3（x
 - 2
3
 x
2），其中
 x
 =
 -2；
（2）1
4（-4x
2 + 2x
 - 8）-（1
2x
 - 1），其中
 x
 =
 1
2；
（3）（5a
2 - 3b
2）+（a
2 + b
2）-（5a
2 + 3b
2），其中
 a
 =
 -1，b
 =
 1；
（4）2（a
2b
 + ab
2）- 3（a
2b
 - 3）- 2ab
2 - 1，其中
 a
 =
 -2，b
 =
 2。
9．如图，一个窗户的上部是个半圆，下部是由边长都为
 a
 的
 4
 
个小正方形组成的正方形。请计算这个窗户的面积和窗户
外框的总长。
10．已知
 A
 = a
2-2ab+b
2，B
 = a
2+2ab+b
2。
（1）求
 A+B；     
（2）求
 1
4（B-A）；
（3）如果
 2A-3B+C
 = 0，那么
 C
 的表达式是什么？
（第
 9
 题）
140
数 学  
六年级  上册
11．a
 是一个有理数，10a
 一定大于
 a
 吗？a
3
 一定小于
 a
 吗？
※12．在下列各式的括号内填上恰当的项：
（1）-a+b-c+d
 = -a+（　　）；
（2）-a+b-c+d
 = -（　　）+d；
（3）-a+b-c+d
 = -a+b-（　　）；
（4）-a+b-c+d
 = -（　　）。
13．有一道题目是一个多项式减
 x
2+14x-6，小强误当成了加法计算，结果得
到2x
2-x+3，正确的结果应该是多少？
14．（1）观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？
（2）根据（1）中的规律猜想：1+3+5+7+…+99
 = 
。
（3）一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示。
问题解决
15．人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关。如果用
 a
 表示一个人的年
龄，用
 b
 表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次
数，那么
 b
 = 0.8（220-a）。
（1）正常情况下，一个
 14
 岁的少年在运动时所能承受的每分钟心跳的最
高次数是多少？
（2）一个
 45
 岁的人运动时
 10
  s 心跳的次数为
 22
 次，他有危险吗？
16．一根长
 80 cm 的弹簧，一端固定悬挂起来。如果另一端挂上物体，那么在
正常情况下物体的质量每增加
 1 kg 可使弹簧增长
 2 cm。
（1）正常情况下，当挂着
 x kg 的物体时，弹簧的长度是多少厘米？
（2）利用（1）的结果完成下表：
物体的质量/kg
1
2
3
4
弹簧的长度/cm
（第
 14
 题）
…
①
②
③
④
141
第三章 
  整式及其加减
17．一个两位数，若交换其个位数字与十位数字的位置，则所得新两位数比原
两位数大
 9。这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？
18．某商店出售一种商品，其原价为
 m
 元，现有如下两种调价方案：一种是先
提价
 10%，在此基础上再降价
 10%；另一种是先降价
 10%，在此基础上
再提价
 10%。
（1）用这两种方案调价的结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了
原价？
（2）将两种调价方案分别改为：一种是先提价
 20%，在此基础上再降价
 
20%；另一种是先降价
 20%，在此基础上再提价
 20%。这时结果
怎样？
（3）你能总结出什么规律？
19．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐
 2
 个人，
短边只能坐
 1
 个人。按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号
的大桌子。
（1）型号
 3
 的大桌子可以坐多少人？
（2）型号
 n
 的大桌子可以坐多少人？
（3）如果有
 36
 人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明
理由。
20．如图所示，将一张正方形纸片第一次剪成
 4
 张大小相同的小正方形纸片，
第二次将其中的一张小正方形纸片按同样的方法剪成
 4
 张更小的正方形纸
片，如此继续剪下去。
（第
 19
 题）
型号
 1
型号
 2
型号
 3
…
（第 20 题）
…
142
数 学  
六年级  上册
（1）填写下表：
剪的次数
1
2
3
4
5
…
正方形纸片
的张数
…
（2）剪
 n
 次一共可以剪出多少张小正方形纸片？
※（3）试求出
 3
4
 +（3
4 ）
2 +（3
4 ）
3 +
 …
 +（3
4 ）
n 的值。
※21．将一张长方形的纸对折，如右图所示可得到一条折
痕。继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持
平行。连续对折
 6
 次后，可以得到几条折痕？想象
一下，如果对折
 10
 次呢？对折
 n
 次呢？
22．学习本章后，你对“字母表示数”有哪些新的认识？
请谈谈你的感悟。
联系拓广
（第
 21
 题）
※23．当
 a
 = -4，-3，-2，-1，1，2，3，4
 时，分别求出代数式
 a
2+ 1
a
2
 的值。
你发现了什么？
24．归纳是一种重要的数学思想方法，本章多处用到了归纳。你还能举出一些
运用归纳的例子吗？将你的感悟写成一篇小短文。
第四章 
数据的收集与整理
你在生活中见过哪些数据和统计图？大数据时代，人们经常
要和数据打交道，你知道这些数据是如何获得的吗？你能从统计图
中获得哪些信息呢？
本章将带你走进丰富多彩的数据世界，你将在小学学习的基
础上，进一步认识数据的意义，感悟数据蕴含的信息，经历统计活
动的全过程，根据问题的需要选择适当的方式收集数据，选择合适
的统计图整理和表示数据，感受数据的随机性，从数据中获取信息
并作出合理的决策。
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
 在统计活动中，为什么要收集数据？
 利用统计图表整理和表示数据有什么好处？
144
数 学  
六年级  上册
日常生活中，存在着各种各样的数据，如计步器记录的行走步数、距离
等，天气预报的气温、湿度、平均风速、能见度和空气质量指数等，导航系统
结合实时交通路况提供不同路线的距离、所需时间和途经的红绿灯路口个数等。
数据能够提供丰富的信息，帮助人们解决各种问题。你的周围还有哪些
数据？你能从中获得哪些有用的信息？
尝试·思考
1. 收集你所在班级全班同学的性别、身高、体重、左右眼视力、肺活
量、立定跳远成绩、信息科技成绩、美术成绩、上学采用的交通方式及一周内
每天到校所用时间等数据，并用适当的方式进行整理。
2. 小亮收集了他所在班级全班同学的上述数据，并将部分数据整理得到
表
 4-1。
表
 4-1　六年级一班全班学生部分数据表
学
号
性
别
身高
/cm
体重
/kg 
立定跳
远成绩
/cm 
美术
成绩
上学采用的
交通方式
到校所用时间/min 
周一
周二
周三
周四
周五
1
男
165
44
180
优
步行
15
15
15
16
15 
2
男
148
36
154
良
自行车
12
10
10
10
10 
3
女
159
60
165
优
电动自行车
9
8
8
8
8 
4
男
173
60
172
中
私家车
10
10
10
10
9 
5
男
164
51
183
优
电动自行车
10
10
9
10
10 
6
男
164
60
165
良
电动自行车
15
14
15
15
15
7
女
157
49
135
优
电动自行车
8
8
8
8
8
8
男
176
76
211
优
步行
10
10
10
10
10
丰富的数据世界
1
145
第四章 
  数据的收集与整理
学
号
性
别
身高
/cm
体重
/kg 
立定跳
远成绩
/cm 
美术
成绩
上学采用的
交通方式
到校所用时间/min 
周一
周二
周三
周四
周五
9
男
169
50
160
中
步行
6
6
6
6
6
10
女
166
62
143
优
电动自行车
13
13
12
12
12
11
男
165
52
205
优
地铁+公交车
35
30
30
35
30
12
男
153
39
175
良
地铁+公交车
38
35
36
33
33
13
女
161
52
148
优
地铁+公交车
28
26
25
25
25
14
男
167
54
207
优
私家车
18
16
16
16
16
15
女
160
39
145
优
私家车
11
9
9
9
9
16
男
164
66
188
优
步行
8
8
8
8
8
17
男
173
63
198
优
电动自行车
5
5
5
5
5
18
女
159
42
177
优
步行
6
6
6
6
6
19
女
164
53
157
优
电动自行车
7
7
7
7
7
20
男
162
60
157
良
私家车
19
16
16
16
16
21
男
175
61
171
优
公交车
19
16
16
15
15
22
女
163
67
162
优
步行
12
12
12
12
12
23
女
172
63
165
优
电动自行车
9
8
8
8
8
24
女
166
49
189
优
私家车
10
7
7
7
7
25
女
162
57
165
中
私家车
17
15
15
15
15
26
女
159
51
152
优
步行
5
5
5
5
5
27
女
166
51
150
优
自行车
10
10
10
10
10
28
女
168
66
150
优
电动自行车
6
6
6
6
6
29
男
155
43
180
良
步行
7
7
7
7
7
30
女
172
60
163
优
步行
13
13
13
13
13
（1）你能从表
 4-1
 中得到哪些信息？
（2）根据表
 4-1，你能提出哪些问题？你能用表中的数据解决你提出的问
题吗？
（续表）
146
数 学  
六年级  上册
思考·交流
对于表
 4-1，如果关注全班学生上学采用的交通方式及到校所用时间，那
么你能解决下列问题吗？
（1）全班学生上学采用了哪些不同的交通方式？如何表示全班学生上学
所采用交通方式的情况？
（2）学号为
 1
 的学生周一至周五每天到校所用的时间相同吗？预测一下，
他下周一到校需要多长时间？其他学生有类似的规律吗？与同伴进行交流。
对于上学采用的交通方式及到校所用时间，你还有什么发现和建议？与
同伴进行交流。
尝试·思考
对于表
 4-1，如果关注全班学生的身高，那么你能解决下列问题吗？
（1）全班学生最高身高是多少？最矮呢？出现次数最多的身高数据是哪
个？全班学生身高的平均数是多少？
（2）你能用适当的统计图表示全班学生的身高情况吗？在你画的统计图
中能找出（1）中要求的各个数值吗？
（3）图
 4-1
 和图
 4-2
 都是根据表
 4-1
 中的身高数据画出的统计图。你能
从这两幅图中得到哪些信息？这两幅图与你画的统计图有什么区别和联系？
图
 4-1
5
147
第四章 
  数据的收集与整理
思考·交流
（1）你对数据有哪些进一步的认识？
（2）为了利用数据作出决策，一般需要经历怎样的过程？与同伴进行交流。
数据的世界是丰富多彩的，上述问题中呈现了各种不同类型的数据：有
的是用数值表示的，如学生的身高、体重、到校所用时间等，我们把这类数据
称为定量数据；有的不是用数值表示的，如学生上学采用的交通方式、美术成
绩（等级）等，我们把这类数据称为定性数据。
数据蕴含着丰富的信息，为了从数据中获取信息，一般可以通过收集数
据、整理数据和分析数据等过程和方法，帮助我们得出结论或作出决策。
1 145~150
 表示大于或等于
 145
 且小于
 150。本章类似的记号均表示这一含义。
身高越高的学生体
重是否越重？身高与体重
之间存在什么样的关系？
1
图
 4-2
148
153
157
161
165
172
176
164
168
159
162
166
173
164
169
159
162
166
173
164
159
163
166
155
160
165
172
175
164
167
148
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．下面哪些数据是定量数据？哪些数据是定性数据？ 
（1）春节档某部电影大年初一当天的票房； 
（2）你们学校所有教师的学历情况； 
（3）全班同学家养的宠物种类及数量。
问题解决
2．统计你所在班级全班同学的姓名及其笔画数，并用适当的统计图表表示。
你能从中提出哪些问题？ 
习题 4.1.1
水资源问题是全球关注的热点，我国是世界上严重缺水的国家之一。水资
源短缺、水资源分布不均衡、水资源被严重污染等问题都是我们亟需解决的问
题。小颖和小明对水资源问题也很感兴趣，他们各自进行了调查。
数据的收集
2
随堂练习
1．你收集的数据中还有哪些是定量数据？哪些是定性数据？
149
第四章 
  数据的收集与整理
图
 4-3
300
250
200
150
100
50
0
2019
2020
2021
2022
2023
某市用水指标趋势分析
用水指标/［升/（人·天）］
年份
城镇
农村
思考·交流
小颖想了解她所在城市的用水量情况，于是她查找资料，得到了下面的统
计图（如图
 4-3）。
（1）从小颖的统计图中，你能得到哪些信息？
（2）小颖是通过什么方式收集数据的？与同伴进行交流。
为了更好地了解全班同学参加体育活动的情况，体育委员小刚设计了一
份简单的调查问卷，并对全班
 40
 名同学进行了调查。
调查问卷
1．你最喜欢参加的体育活动项目是什么？（单选）
　   A．篮球                       
B．足球 
 
 
 C．排球
　   D．乒乓球                 　                 E．羽毛球 　   　   　   　       F．跳绳
　   G．跑步  
 
 
 H．游泳 
 
                     I ．其他
2．你每周参加体育活动的时间是多少？
　   A．0~1 h                                     B．1~2 h                                 C．2~3 h
　   D．3~4 h　
 
 
 E．4~5 h                                        F．5~6 h
　   G．不少于
 6 h 
150
数 学  
六年级  上册
根据调查结果，小刚绘制出图
 4-4
 和图
 4-5。
（1）该班学生最喜欢参加的体育活动项目排名前三的分别是什么？
（2）该班每周参加体育活动的时间不少于
 3 h 的学生有多少人？
尝试·思考
如果你们班准备按男女生分别组织体育活动，为了使活动受到更多人欢
迎，你准备如何设计调查问卷进行调查？你设计的调查问卷和小刚设计的有什
么不同？
图
 4-5
全班同学每周参加体育活动的时间
图
 4-4
全班同学最喜欢参加的体育活动项目
7.5%
10.0%
17.5%
5.0%
7.5%
5.0%
22.5%
15.0%
10.0%
151
第四章 
   数据的收集与整理
你能利用搜索引擎
或一些应用软件查找有
关数据吗？
思考·交流
（1）为了得到“掷一枚质地均匀的硬币
 50
 次，出现正面朝上的次数”，你
打算如何收集这个数据？
（2）如果想了解我国近两次全国人口普查的数据，你打算怎么做？
（3）获得数据的常用方式有哪些？与同伴进行交流。
人们经常通过调查、试验等方式获得
数据信息。
借助报纸杂志、广播电视、统计年报
或互联网等，也可以获得某些数据信息。
国家统计局的网站（www. stats. gov. cn）
就是查找有关资料的好地方。
随堂练习
1．有人针对在公交车上乘客是否主动让座作了一次调查，结果如下：
（1）参与本次调查的人数是多少？
（2）“从来不让座的人”占调查总人数的百分比是多少？
（3）针对以上调查结果，你还能得到什么结论？
（第
 1
 题）
乘公交车时如有年
纪大、行动不便的老人，
你每次都主动让座吗？
乘公交车时如有年
纪大、行动不便的老人，
你每次都主动让座吗？
152
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．请你通过查阅资料回答下列问题： 
（1）地球上淡水资源占总水量的百分比是多少？我国淡水资源的总量约为
多少立方米？人均为多少立方米？ 
（2）从
 1949
 年中华人民共和国成立到现在，我国进行过几次国庆阅兵？
分别在哪些年份举行？其中，国庆
 70
 周年阅兵受阅的徒步方队、装
备方队和空中梯队分别有多少个？
问题解决
2．某年母亲节，某电视台作了一个调查，结果如
图所示。
（1）从这幅图中，你能得到什么信息？有什么
感想？ 
（2）就这个问题，对全班同学进行调查，看看
结果怎样。
3．1984—2021
 年，我国先后参加了第
 23
 至
 32
 届夏季奥运会，取得了骄人的
成绩。
（1）查阅资料，了解我国在历届夏季奥运会金牌榜上的排名，以及所获金
牌总数、奖牌总数、奖牌分布等情况； 　
（2）你能从查阅到的资料中得到哪些信息？你有什么感触？
联系拓广
4．调查全班同学在家做家务的现状。注意明确你的调查内容和目的，用适当
的图表表示你的调查结果，并说明你获得数据信息的方式。
习题 4.2.1
（第
 2
 题）
你知道母亲最爱吃的菜吗？
16.1%
不知道
知道69.4%
14.5%
没爱吃的
8个城市  1 095人参加调查
153
第四章 
  数据的收集与整理
前面小刚对全班同学最喜欢参加的体育活动项目、每周参加体育活动的
时间等情况进行了调查，在这些调查中，全班同学是要考察的全部对象。像这
种为了某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫作普查。其中，所要
考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。
为了强调调查目的，也可以把考察对象的某些指标的全体作为总体，每
一个考察对象的相应指标作为个体。例如，调查全班同学每周参加体育活动的
时间情况，总体就是全班所有同学每周参加体育活动的时间，个体就是每一名
同学每周参加体育活动的时间。
思考·交流
你能用普查的方式了解下面的信息吗？你准备如何调查？与同伴进行
交流。
（1）我国六年级学生每周参加体育活动的时间；
（2）中央电视台春节联欢晚会的收视率；
（3）一批电视机的使用寿命。
普查可以直接获得总体的情况，但有时总体中个体数目较多，普查的工
作量较大；有时受客观条件限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破
坏性，不允许普查。这时，人们往往从总体中按照一定的方法抽取部分个体作
为代表进行调查分析，并以此推断总体的状况。这种调查方式叫作抽样调查，
其中从总体抽取的一部分个体叫作总体的一个样本。
随堂练习
1．对于下面的调查问题，你觉得用哪种调查方式比较合理？
（1）调查某种照明灯的使用寿命；
（2）调查你们学校六年级学生的体重；
（3）调查你们班学生早餐是否有喝牛奶的习惯。
154
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．下列调查中，分别采用了哪种调查方式？
（1）为了了解你们班同学的身高，对全班同学进行调查；
（2）为了了解你们学校学生的课外活动情况，对所有学号是
 5
 的整数倍的
同学进行调查。
2．为了完成下列任务，你认为采用哪种调查方式更合适？ 
（1）了解你们班同学周末时间是如何安排的； 
（2）了解一批笔芯的使用寿命； 
（3）了解我国六年级学生的视力情况。
3．下列抽样调查的总体和样本分别是什么？
（1）为了估计今年果园中
 500
 株桃树的产量，从中抽取
 10
 株桃树的产量进
行统计；
（2）为了了解某风景区一年中每天的旅游人数，抽取
 30
 天中每天的旅游
人数进行统计；
（3）为了了解某一路口的汽车流量情况，交通部门对
 10
 天中每天在同一
时间里通过该路口的汽车辆数进行统计。
问题解决
4．设计一个方案，了解你们学校六年级学生肺活量的情况。
习题 4.2.2
155
第四章 
   数据的收集与整理
我们小组在公园
里调查了
 100
 名
 70
 岁
以上老年人，他们一
年中生病的次数如图
 
4-6
 所示。
小明
为了了解你所在地区
 70
 岁以上老年人的健康状况，你准备怎样收集数据？
下面分别是小明、小颖、小亮三个小组的调查结果：
1 随机调查，就是按机会均等的原则进行调查，即总体中每个个体被选中的可能性都相等。
我们小组在医院调查
了
 100
 名
 70
 岁以上老年患
者，他们一年中生病的次
数如图
 4-7
 所示。
我们小组调查了
 10
 名 
70
 岁以上老年邻居，他们
一年中生病的次数如右表
所示。
小颖
小亮
图
 4-7
生病的次数
人数
1
 至
 2
 次
4 
3
 至
 6
 次
5 
7
 次及以上
1 
（1）你同意他们的做法吗？说说你的理由。
（2）为了了解该地区
 70
 岁以上老年人的健康状况，你认为应当怎样收集
数据？与同伴进行交流。
（3）小华利用派出所的户籍网随机调查1了该地区10% 的
 70
 岁以上老年
人，发现他们一年平均生病
 3
 次左右。你认为他的调查方式如何？
图
 4-6
156
数 学  
六年级  上册
思考·交流
抽样调查有什么特点？抽样时应注意什么？与同伴进行交流。
抽样调查只考察总体的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省
时间、人力、物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了
获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性。
尝试·思考
某校六年级共有
 20
 个班，每个班
 40
 名学生。为了了解该校六年级学生的
课外阅读情况，从全部
 800
 名学生中随机抽取
 10% 作为样本进行调查。
（1）为了保证样本的代表性，你认为应该怎样抽取样本？
（2）下面分别是三个小组的抽样方法，你能理解他们的做法吗？他们得
到的样本具有代表性吗？
回顾·反思
回顾你经历过的统计活动，在数据收集环节你积累了哪些经验？
　　将
 800
 名学生的
学号做成号签放入
盒中，从盒中无放
回地连续随机抽取
 
80
 个号签，对应的
 
80
 名学生即为抽取
的样本。
　　从每个班级随
机抽取
 4
 名学生，汇
总得到
 80
 名学生即
为抽取的样本。
　　六年级全体学生
会议前，在会议室门
口从第
 1
 个进入会议
室的学生起，每隔
 9
 
人抽取
 1
 名学生，得
到的
 80
 名学生即为
抽取的样本。
157
第四章 
  数据的收集与整理
随堂练习
1．为了了解你们学校的学生是否吃早饭，下列这些抽取的方式是否合适？
（1）早上
 7：00
 至
 7：30
 在校门口随机选择
 50
 名同学进行调查；
（2）选择全校每个班级中学号是
 5
 和
 15
 的同学进行调查；
（3）选择六年级一班全体学生进行调查。
阅读·思考
大样本一定能保证调查结论准确吗
1936 年美国总统选举期间，《文学文摘》杂志向
 1 000
 万选民寄去了调查
问卷，这些选民的名单是从电话簿、俱乐部名册以及杂志的订户中挑选的。最
终在寄出的
 1 000
 万份调查问卷中，约有
 240
 万选民寄回了调查表。根据这部
分选民的回答，《文学文摘》预测共和党的兰登将当选。选举当天的结果却完
全出乎他们的意料，选民中只有
 38%
 投了共和党的票，而民主党的罗斯福以多
数票当选。《文学文摘》采用了240 万人的大样本，为何会预测失败呢？
原来
 20
 世纪
 30
 年代是美国经济衰退的时期，当时能够安装电话、加入上
流社会俱乐部或能订阅杂志的美国人，大部分支持共和党。也就是说《文学文
摘》选择的样本虽然很大却存在偏差，样本不具有广泛性和代表性。
《文学文摘》的事例表明，抽样调查时既要关注样本的大小，又要关注
样本的代表性。那是不是在样本具有代表性的情况下，样本越大越好呢？一般
来说，在样本具有代表性的情况下，样本增大，所得结果误差会减小。但是当
样本大到一定程度之后，再增加样本，精确度的增加却是微小的，同时巨大的
样本不仅耗资太大，也不便于管理。因此在进行抽样调查时，关键在于精心设
计抽样方案，选择有代表性的样本，这样，只用较少的经费，就可能作出接近
真实情况的预测。
158
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．为了了解本校学生的睡眠时间情况，以下哪种抽样方法得到的样本具有代
表性？ 
（1）将全校学生的学号做成号签放入盒中，从盒中无放回地连续随机抽取
 
50
 个号签，这
 50
 个号签对应的学生； 
（2）从每个班级抽取学号尾数为
 1
 的学生； 
（3）从中午在食堂排队买饭的学生中，每隔
 2
 人抽取
 1
 名学生。
2．电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电视的人都要被问到吗？ 
对一所中学学生的调查结果能否作为该节目的收视率？你认为对不同地
区、不同年龄、不同文化背景的人进行的调查结果会一样吗？ 
3．王叔叔准备买一台电脑，他从网上得知上季度甲型号的电脑销售量比乙型
号电脑销售量略高，于是他决定买甲型号电脑。可是，到了商店以后，他
观察了
 20 min，发现有
 3
 人买了乙型号电脑，只有
 1
 人买了甲型号电脑。
他想一定是网上信息错了，于是也买了乙型号电脑。你认为一定是网上信
息错了吗？ 
4．为了调查学校附近某路口一个月的交通流量情况，小红选择了一个月中的
每个星期一对该路口的交通流量进行统计。你认为小红调查得到的数据有
代表性吗？
问题解决
5．在正式出版物中，你认为“的”和“了”哪个汉字使用得多？请你设计一
个调查方案。
6．我国自古就流传着“百家姓”，现在哪个姓氏的人比较多呢？
（1）调查全校同学的姓氏情况，你打算怎样调查？根据你的调查结果，写
出你们学校人数最多的三个姓氏。　
（2）查阅资料，了解全国人数最多的三个姓氏，这个结果与你调查的全校
姓氏情况一致吗？
知识技能
习题 4.2.3
159
第四章 
  数据的收集与整理
书籍是人类进步的阶梯。为了办好学校阅读周的活动，校图书馆计划购
买
 200
 册图书，奖励在阅读周各项活动中表现优异的学生。图书馆张老师想
了解现在同学们更喜欢读什么类型的图书，以便购买的图书受同学们欢迎。
于是他设计了如下调查问卷，在全校随机选取了
 120
 名同学进行调查。
调查问卷
你最喜欢阅读的图书类型是什么？（单选）
A．文学　  B．历史　  C．科普　  D．军事 　 E．艺术　  F．其他
调查结果如下表：
最喜欢阅读的图书类型
文学
历史
科普
军事
艺术
其他
人数
36
24
27
12
12
9
（1）如果让你协助张老师买书，你会提出什么购买建议？你是如何考虑
的？
（2）喜欢文学类图书的人数占调查总人数的百分比是多少？喜欢历史、
科普、军事、艺术、其他类型图书的人数占调查总人数的百分比分别是多少？
上述所有百分比之和是多少？
（3）你能尝试用扇形统计图表示上述结果吗？
在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形
圆心角的度数与
 360°的比。
数据的表示
3
160
数 学  
六年级  上册
随堂练习
操作·思考
根据上述张老师的调查数据，按如下方法绘制扇形统计图。
（1）计算各选项人数占调查总人数的百分比，并填在下表中。
（2）计算各个扇形圆心角的度数，并填在下表中。其中，圆心角度数
 = 
360°×该项所占的百分比。
最喜欢阅读的图书类型
文学
历史
科普
军事
艺术
其他
百分比
对应的圆心角度数
（3）在图
 4-8
 的圆中画出各个扇形，并标上百分比。
扇形统计图可以直观地反映各部分在总体中所占的
比例。
1．根据下表绘制扇形统计图，表示各大洋面积占四大洋总面积的
百分比。
四大洋的面积统计表
海洋名
面积/万平方千米
太平洋
17 967.9
大西洋
9 165.5
印度洋
7 491.7
北冰洋
1 475.0
（1）借助计算器，计算各大洋面积占四大洋总面积的百分比（结果精
确到
 1%）；
（2）借助计算器，计算各大洋面积对应的扇形圆心角的度数（结果精
确到
 1°）；
（3）画出扇形统计图。
图
 4-8
161
第四章 
  数据的收集与整理
观察·思考
观察图
 4-9，回答下列问题：
（1）如果用整个圆表示总体，那么哪个扇形表示总
体的
 25%？
2．请用扇形统计图表示本章第
 1
 节中呈现的全班学生上学采用的交通方式。
联系拓广
  
※3．某地区
 0～59
 岁人口与
 60
 岁及
以上人口的比例如图（1）所
示，如果用图（2）的正方形
表示该地区全部人口，你能
在图（2）中直观地表示该地
区
 0～59
 岁人口与
 60
 岁及以上
人口的比例关系吗？
知识技能
1．根据下面所给的数据，完成扇形统计图。
（1）地球陆地面积约占地球总面积
的
 3
10，海洋面积约占地球总面
积的
 7
10；
（2 ）从总体上看，中国山地多、
平地少。海拔在
 500 m 以上的地区约占全国陆地总面积的
 3
4 ；海拔
在
 500 m 以下的约占
 1
4。
（第
 1
 题）
地球海陆分布统计图      中国地形统计图
知识技能
习题 4.3.1
图
 4-9
C
A
B  33%
（第
 3
 题）
（1）
（2）
60
 岁及
以上
0～59
 岁
20%
80%
162
数 学 
六年级 上册
随堂练习
（2）如果用整个圆表示你们班的人数，那么扇形
 B 大约表示多少人？
（3）如果用整个圆表示
 9 hm
2 稻田，那么扇形
 C 表示多少公顷稻田？
思考·交流
图
 4-10
 是甲、乙两家庭全年支出
费用的扇形统计图。根据统计图，小刚
认为就全年食品支出费用来说，乙家庭
比甲家庭多，你同意他的看法吗？为什
么？与同伴进行交流。
尝试·思考
小亮对全班
 40
 名学生进行了“你对哪些课程非常感兴趣”的调查，获
得如下数据：语文
 20
 人，数学
 25
 人，英语
 18
 人，生物学
 10
 人，信息科技
 34
 
人，其他
 12
 人。他想用扇形统计图表示这些数据，却发现
 6
 项的百分比之和
大于
 1，为什么会这样呢？
1．从下图所示的两个统计图中，你能看出哪一个学校的女生人数多吗？
甲校
女生
男生
50%
50%
乙校
女生
男生
40%
60%
知识技能
1．小颖一天的时间安排统计图如图所示。
（1）根据图中的数据绘制扇形统计图，表示小颖一天的时间安排；
（第
 1
 题）
知识技能
习题 4.3.2
图
 4-10
服装
服装
乙
甲
163
第四章 
  数据的收集与整理
（2）比较两幅统计图的不同；
（3）绘制扇形统计图表示你一天的时间安排。
2．2021
 年全国居民人均消费支出及其构成的情况如上图所示（数据来源：
www.stats.gov.cn）。
哪部分消费支出最多？哪部分支出其次？这两部分支出占总体支出的百分比
是多少？
问题解决
3．统计你家一个月的人均消费支出及其构成情况，并用扇形统计图表示。
4．调查你所在班级全班同学的血型，并用扇形统计图表示。查阅资料了解全
国不同血型的比例情况，与你们班级的血型比例相比有什么差异？
表
 4-2
 是本章第
 1
 节六年级一班学生的部分数据信息。
表
 4-2　六年级一班全班学生部分数据表
学
号
性
别
身高
/cm
体重
/kg
视力
肺活量
/mL
立定跳远
成绩/cm
信息科
技成绩
美术
成绩
左眼
右眼
1
男
165
44
5.1
5.2
2 926
180
81
优
2
男
148
36
4.9
4.7
2 234
154
78
良
（第
 1
 题）
（第
 2
 题）
2021
 年全国居民人均消费支出及其构成
9.0
8.0
4.0
164
数 学  
六年级  上册
学
号
性
别
身高
/cm
体重
/kg
视力
肺活量
/mL
立定跳远
成绩/cm
信息科
技成绩
美术
成绩
左眼
右眼
3
女
159
60
5.0
5.0
2 540
165
86
优
4
男
173
60
4.7
4.0
3 720
172
81
中
5
男
164
51
4.2
4.0
3 212
183
94
优
6
男
164
60
4.5
4.5
2 361
165
83
良
7
女
157
49
4.1
4.0
2 397
135
88
优
8
男
176
76
4.2
4.2
4 480
211
79
优
9
男
169
50
5.0
5.0
3 517
160
72
中
10
女
166
62
4.2
4.1
3 240
143
86
优
11
男
165
52
4.9
4.4
3 377
205
91
优
12
男
153
39
4.0
4.0
2 312
175
80
良
13
女
161
52
5.0
4.9
2 843
148
85
优
14
男
167
54
4.5
4.0
2 984
207
90
优
15
女
160
39
4.7
4.8
2 077
145
91
优
16
男
164
66
4.0
4.0
2 829
188
83
优
17
男
173
63
5.0
4.4
3 346
198
86
优
18
女
159
42
5.0
5.0
2 504
177
92
优
19
女
164
53
4.5
4.6
3 240
157
83
优
20
男
162
60
4.9
4.2
2 939
157
75
良
21
男
175
61
4.2
4.2
4 029
171
86
优
22
女
163
67
4.1
4.0
3 022
162
91
优
23
女
172
63
4.0
4.0
3 024
165
87
优
24
女
166
49
5.0
5.0
3 189
189
82
优
25
女
162
57
4.4
4.2
2 511
165
68
中
26
女
159
51
4.0
4.0
2 646
152
88
优
27
女
166
51
4.7
4.6
2 385
150
80
优
28
女
168
66
5.1
5.0
3 504
150
82
优
29
男
155
43
5.0
5.0
2 517
180
78
良
30
女
172
60
5.0
5.0
2 914
163
89
优
（续表）
165
第四章 
  数据的收集与整理
（1）你能用恰当的统计图表表示该班学生的美术成绩吗？从你的图表中
能看出大部分学生处于哪个等级吗？成绩的整体分布情况怎样？
（2）你能用恰当的统计图表表示该班学生的信息科技成绩吗？从你的图
表中能看出大部分学生处于哪个分数段吗？分数的整体分布情况怎样？
对于（1），小明采用了表格的形式，小颖采用条形统计图的形式（如图
 
4-11）：
1 这里的“人数”表示优、良、中出现的频繁程度，因此也称为频数（absolute frequency）。
对于（2），小明还想采取表格和条形统计图（如图
 4-12）的方法。
信息科技成绩/分
68
72
75
78
79
80
81
82
83
人数（频数）
1
1
1
2
1
2
2
2
3
信息科技成绩/分
85
86
87
88
89
90
91
92
94
人数（频数）
1
4
1
2
1
1
3
1
1
图
 4-12
5
4
3
2
1
0
68 72 75 78 79 80 81 82 83 85 86 87 88 89 90 91 92 94 信息科技成绩/分
人数（频数）
美术成绩
优
良
中
人数（频数） 
1
22
5
3
图 4-11
25
20
15
10
5
0
5
3
22
人数（频数）
优
良
中
美术成绩
166
数 学  
六年级  上册
结果他觉得很复杂。于是，他借鉴美术成绩的表示，将信息科技成绩按
 
10
 分为一段分组，统计每个分数段的学生数，得到下面的表格和统计图（如
图
 4-13）：
信息科技成绩/分
60~70
70~80
80~90
90~100
人数（频数）
1
5
18
6
图
 4-13
信息科技成绩/分
20
18
14
16
12
10
8
6
4
2
0
60~70
70~80
80~90
90~100
人数（频数）
1
5
6
18
图
 4-14
60
70
80
90
100
信息科技成绩/分
18
14
16
12
10
8
6
4
2
0
20
人数（频数）
1
5
6
18
你能明白小明的做法吗？
我们把图
 4-13
 的横轴略作调整，得到
图
 4-14。
像这样的统计图称
为频数直方图。
167
第四章 
   数据的收集与整理
随堂练习
思考·交流
频数直方图有什么特点？与条形统计图相比有哪些不同？与同伴进行
交流。
频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组，
画在横轴上，纵轴表示各组数据的频数。
当样本数很大，样本中数据的差距也比较大时，频数直方图能更清晰、更
直观地反映数据的整体分布状况。
1．请将表
 4-2
 中学生的信息科技成绩按
 5
 分的距离分段，并用频数直方
图表示。
知识技能
1．某地区随机抽调一部分居民进行了一次法
律知识测试，将测试成绩（得分取整数）
整理后分成五组，绘制成如图所示的频数
直方图。
（1）这次活动共抽取了多少人测试？
（2）测试成绩的整体分布情况怎样？
2．（1）请将表
 4-2
 中学生的信息科技成绩按
 3
 分的距离分段，并用频数直方
图表示。
 （2）比较将学生的信息科技成绩分别按
 10
 分、5
 分和
 3
 分的距离分段得到
的频数直方图，它们之间有哪些区别和联系？
习题 4.3.3
（第
 1
 题）
168
数 学  
六年级  上册
联系拓广
 
※3．信息科技成绩还可以用如下的统计图来表示：
（第
 3
 题）
你能从图中看出信息科技成绩的整体分布吗？与频数直方图相比，有哪些
相同与不同之处？
当遇到大量的数据或数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然
后绘制频数直方图直观地反映数据的整体分布状况。
例 为了避免水资源浪费，某市政府计划对居民家庭生活用水情况进行调
查。为此，相关部门在该市通过随机抽样，获得了
 60
 户居民的月均生活用水
量（单位：m3）数据：
8.6 
14.8 
10.5 
6.9 
5.4 
9.6 
5.3 
5.8 
11.4 
4.7
10.3 
12.4 
7.9 
13.5 
22.5 
7.2 
25.4 
18.6 
2.2 
11.9
22.0 
5.3 
23.4 
3.6 
8.5 
5.2 
6.2 
4.6 
5.6 
12.8
26.8 
10.5 
2.4 
8.9 
7.3 
8.0 
16.0 
4.9 
2.7 
3.0
5.7 
16.2 
6.6 
13.8 
17.6 
4.2 
3.1 
10.7 
21.6 
9.4
7.8 
8.6 
13.2 
9.5 
4.6 
2.3 
5.7 
11.1 
14.2 
10.0
将数据适当分组，并绘制相应的频数直方图反映该市居民月均生活用水
量的整体状况。
十位
个位
8
6
7
8
9
2  5  8  8  9
0  1  1  1  2  4
0  0  1  1  2  2  3  3  3  5  6  6  6  6  7  8  8  9
169
第四章 
  数据的收集与整理
解：（1）确定所给数据中的最大值和最小值：上述数据中最大值是
 26.8，
最小值是
 2.2。
（2）将数据适当分组：最大值和最小值相差
 26.8
 - 2.2
 = 24.6，组数太多或
太少，都会影响对数据整体状况的了解。考虑以
 4 m
3 为组距（每组两个端点
之间的距离称为组距），24.6÷4
 = 6.15，可以考虑分成
 7
 组。
（3）统计每组中数据出现的次数：
分组
家庭数（频数）
分组
家庭数（频数）
2.0~6.0
20
18.0~22.0
2
6.0~10.0
15
22.0~26.0
4
10.0~14.0
13
26.0~30.0
1
14.0~18.0
5
（4）绘制频数直方图（如图
 4-15）：
尝试·思考
（1）你还有其他的分组方式吗？
（2）绘制频数直方图的大致步骤是什么？
分组要能反映
居民月均生活用水
量的整体情况。
用数学软件也可
以画各种统计图，尝
试一下。
图
 4-15 
170
数 学 
六年级  上册
随堂练习
1．在某公路上，交警部门设置了雷达探测器监测汽车的行驶速度。以下
是交警部门某天一段时间内记录的驶过该处的
 30
 辆汽车的行驶速度
（单位：km/h）：
55  49  61  47  49  54  49  57  59  58
50  51  48  49  80  58  48  54  70  71
62  45  56  64  78  52  60  55  49  75
试将以上数据适当整理，并绘制相应的频数直方图。
阅读·欣赏
利用计算机绘制统计图
利用计算机中的
 Excel，可以很方便地画出各种统计图。
以小颖一天的活动安排为例。
1. 打开
 Excel，在表格中输入相应的数据，填写完毕后将其选中。
2. 点击菜单栏│插入│图表。
图
 4-16
图
 4-17
操作·交流
每位同学测量自己
 1 min
 脉搏的次数。
（1）汇总全班同学的数据，绘制频数直方图；
（2）大多数同学
 1 min
 脉搏的次数处于哪个范围？与同伴进行交流。
171
第四章 
   数据的收集与整理
根据作图的需要，选择柱形图或饼图或其他需要的图表类型，点击完
成，即可得到需要的统计图。
知识技能
1．银行在某储蓄所抽样调查了
 50
 名顾客，他们的等待时间（从进入银行到接
受受理的时间间隔，单位：min）如下：
 15　　20　　18　　3　　  25　　34　　6　　  0  　　17　　24 
 23　　30　　35　　42　　37　　24　　21　　1　　  14　　12
 34　　22　　13　　34　　8　　  22　　31　　24　　17　　33
 4 　　 14　　23　　32　　33　　28　　42　　25　　14　　22
 31　　42　　34　　26　　14　　25　　40　　14　　24　　11
将数据适当分组，并绘制相应的频数直方图。
习题 4.3.4
图
 4-18
如有兴趣，请动手试试！
172
数 学  
六年级  上册
问题解决
2．（1）为了了解某地区新生儿体重状况，某医院随机调取了该地区
 60
 名新生
儿的出生体重，结果（单位：g）如下：
 3 850　3 900　3 300　3 500　3 315　3 800　2 550　3 800　4 150
 2 500　2 700　2 850　3 800　3 500　2 900　2 850　3 300　3 650
 4 000　3 300　2 800　2 150　3 700　3 465　3 680　2 900　3 050
 3 850　3 610　3 800　3 280　3 100　3 000　2 800　3 500　4 050
 3 300　3 450　3 100　3 400　4 160　3 300　2 750　3 250　2 350
 3 520　3 850　2 850　3 450　3 800　3 500　3 100　1 900　3 200
 3 400　3 400　3 400　3 120　3 600　2 900
将数据适当分组，绘制相应的频数直方图，图中反映出该地区新生儿
体重的整体状况是怎样的？
（2）调查你们班同学出生时的体重情况，将数据适当分组，绘制相应的频
数直方图，并与（1）中新生儿体重状况进行比较。
图
 4-19
 呈现了世界人口情况及预测数据。
图
 4-19
亿
亿
亿
亿
亿
̢
173
第四章 
  数据的收集与整理
小亮据此绘制了下面的统计图（如图
 4-20、图
 4-21、图
 4-22）。
图
 4-21
图
 4-22
根据小亮绘制的统计图，回答下列问题：
（1）三幅统计图分别表示什么内容？
（2）从哪幅统计图中你能看出世界人口的变化情况？
（3）预计
 2100
 年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到
这个数据的？
（4）预计
 2100
 年亚洲人口比拉丁美洲和加勒比地区、欧洲、北美洲、大
洋洲的人口总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？
（5）比较三种统计图的特点，并与同伴进行交流。
非洲
拉丁美洲
和加勒比
地区
拉丁美洲
和加勒比
地区
图
 4-20
174
数 学 
六年级 上册
观察·思考
2013—2022
 年这
 10
 年，我国快递业发展迅猛，业务量规模稳居世界第
一。观察图
 4-24，哪一年的快递业务量增长率最高？从图中还能发现哪些
信息？
图
 4-24
尝试·思考
为了了解学校六年级学生上周参加家务劳动的情况，请设计调查方案，
收集数据并绘制适当的统计图表示数据。从中你能得到哪些结论？
条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点如图
 4-23
 所示。
0
200
2022
61.6
51.9 48.0
51.4
91.9 139.6
206.7
312.8
400.6
507.1
635.2
833.6
1 083.0
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
400
600
800
1 000
1 200
0
20
40
60
80
100
年份
业务量
同比增长率
同比增长率/%
业务量/亿件
28
2 .1
6
26.6
26.6
25.3
25.3
31.2
31.2
29.9
29.9
1 105.8
2.1
图
 4-23
175
第四章 
  数据的收集与整理
随堂练习
回顾·反思
回顾你从事过的统计活动，大致经历了哪些过程？通过调查得到的结论
与调查前的预想一致吗？不一致时你分析过其中的原因吗？尝试过哪些改进
措施？
1．某一家电卖场对其销售的空调情况进行了调查，得到下面的信息。
2020—2022年各种品牌空调的销售量（单位：万台）
年份
A
B
C
其他品牌
总量
2020
1.70
1.00
0.80
4.50
8.00
2021
1.60
1.20
1.20
5.00
9.00
2022
1.55
1.45
2.00
5.00
10.00
　  请你绘制适当的统计图，反映下列信息：
（1）2020—2022
 年，C 品牌空调在该卖场销售量的变化情况；
（2）2022
 年，A，B，C 及其他品牌的空调在该卖场的市场占有率情况。
2．小明随机调查了他们学校
 50
 名同学这个月的家庭用水量，数据（单
位：m3）如下：
8.0
5.5
5.0
6.4
10.0
12.5
7.8
5.0
6.5
9.0
5.0
9.5
7.5
10.2
8.3
9.4
6.5
11.0
13.5
14.0
14.5
15.0
5.4
6.5
8.5
10.5
5.0
6.5
7.5
8.5
6.0
4.5
5.0
8.4
7.2
7.0
6.2
8.0
10.0
9.0
5.5
7.5
8.0
5.5
6.5
6.0
8.6
5.0
9.5
4.5
请你绘制适当的统计图，反映这
 50
 名同学这个月家庭用水量的大致
分布情况。
176
数 学 
六年级  上册
知识技能
1．某公司
 2020
 年至
 2021
 年的总支出情况如下：
（1）2021
 年该公司原料的支出金额是多少？工资的支出金额是多少？
（2）2020
 年该公司的工资支出占总支出的
 60%，2021
 年与
 2020
 年相比，
该公司在工资方面的金额支出是变多了还是变少了？
问题解决
2．为了提高长跑成绩，小彬坚持锻炼并于每周日记录下
 1 500 m 的成绩：
小彬1 500 m成绩统计表
锻炼的星期数
1
2
3
4
5
6
小彬的成绩
7 min 42 s
7 min
6 min 30 s
6 min 18 s
6 min 12 s
6 min 12 s
（第
 1
 题）
某公司
 2020
 年和
 2021
 年总支出情况
某公司
 2021
 年总支出的分配情况
知识技能
习题 4.3.5
（1）
（2）
2020
2021
（第
 2
 题）
小彬1 500 m
 成绩统计图
177
第四章 
  数据的收集与整理
（1）如果要更清楚地看出小彬成绩的变化情况，你选择统计图还是统
计表？
（2）如果要方便、准确地获得他锻炼
 5
 星期后的长跑成绩，你会如何
选择？
3．空气质量指数（Air uality Index,  A I）是定量描述空气质量状况的指数，
其数值越大说明空气污染状况越严重，对人体健康的危害也就越大。
（1）查阅资料，了解我国空气质量指数的相关规定；
（2）收集你所在地区连续
 30
 天的空气质量指数，用适当的统计图进行表
示，并分析空气质量情况。
联系拓广
 
※ 4．某商场根据
 1
 ~
 8
 月电视机、手机和平板电脑的销售数据绘制成下图。以
 1
 
月为例，图中的
 24，76，91
 分别表示这个月电视机、手机、平板电脑的销
售数量；三个数据所在条形的面积分别表示这个月电视机、手机、平板电
脑的销售数量所占的比例。你能从图中得到哪些信息？它与我们学过的统
计图有哪些相同之处与不同之处？
（第
 4
 题）
电视机
平板电脑
178
数 学  
六年级  上册
甲、乙两种品牌的食用油近几年的销售量和价格如下：
甲品牌食用油的年度销售量和价格
2014
 年
2018
 年
2022
 年
年度销售量/万瓶
150
180
210
该年度的单价/元
40
50
60
乙品牌食用油的年度销售量和价格
2018
 年
2020
 年
2022
 年
年度销售量/万瓶
160
180
200
该年度的单价/元
40
50
60
有人根据上面的统计表，绘制出甲、乙两种品牌食用油的价格变化的折线
统计图（如图
 4-25，图
 4-26）：
（1）你认为哪一种品牌的食用油的价格增长较快？为什么？这与上面折
线统计图给你的感觉一致吗？为什么图象会给人这样的感觉？
（2）甲品牌食用油的销售人员将甲品牌食用油的销售信息绘制成图
 4-27
所示的条形统计图。请你在图
 4-28
 中画出甲品牌食用油的年度销售量的条形
统计图。
图
 4-25
甲品牌食用油的价格/元
70
60
50
40
30
2014
2018
2022
年份
图
 4-26
110
90
70
50
30
2018
2020
2022
乙品牌食用油的价格/元
年份
科学使用统计图
4
179
第四章 
   数据的收集与整理
（3）两幅条形统计图给你的感觉一样吗？在甲品牌食用油销售人员画出
的条形统计图中，2022
 年甲品牌食用油的年度销售量看上去是
 2014
 年的多少
倍？实际上呢？
思考·交流
（1）为了较直观地比较某两个统计量的变化速度，绘制折线统计图时应
注意什么？与同伴进行交流。
（2）为了较直观地反映几个统计量之间的比例关系，绘制条形统计图时
应注意什么？与同伴进行交流。
随堂练习
1．如图反映了 2021
 年我国对三个国家或地区货物的出口额情况。（数据来
源：www.stats.gov.cn）
（1）直观地看这个条形统
计图，2021
 年我国
对哪个国家或地区货
物出口额最大？对哪
个国家或地区货物出
口额最小？
（2）最大出口额大约是最小出口额的几倍？图中所表现出的直观情况
与此相符吗？为什么？
（3）为了更直观、清楚地反映我国对三个国家或地区货物出口额之间
的比例关系，应做怎样的改动？
图
 4-28
甲品牌食用油的年度销售量
250
200
150
100
50
0
2014
2018
2022
图
 4-27
甲品牌食用油的年度销售量
220
200
180
160
140
120
2014
2018
2022
销售量/万瓶
销售量/万瓶
年份
年份
（第
 1
 题）
2021
 年我国对三个国家或地区货物的出口额情况
35 000
25 000
30 000
20 000
15 000
10 000
国家或
地区
出口额/亿元
欧盟
东盟
日本
10 722
31 255
33 483
180
数 学 
六年级 上册
2．甲、乙两公司近年的销售收入情况如图所示。
哪家公司近年的销售收入的增长速度较快？
（第
 2
 题）
甲公司近年的销售收入情况
乙公司近年的销售收入情况
100
90
80
80
70
70
60
60
50
50
40
40
2018
2018
2019
2020
2020
2021
2022
2022
销售收入/万元
销售收入/万元
年份
年份
知识技能
1．某平台某天各类电子书的销售情况如图所示。
（1）从条形统计图看，科普类与历史类电子书销售量之比是多少？从扇形
统计图看呢？
（2）要使读者清楚地看出各类电子书的销售量之比，条形统计图应怎样改动？
（第
 1
 题）
习题 4.4.1
181
第四章 
   数据的收集与整理
2．小明买某种冷饮，发现今年的单价是
 0.8
 元，而去年的单价是
 0.5
 元。老
板说：“这种冷饮仅涨了
 0.3
 元，涨得不多。有的冷饮从
 3
 元涨到了
 4
 元，涨
了
 1
 元呢！”对于老板的说法，你有什么想法？
问题解决
3．永昌公司最近
 5
 年的利润情况见下表：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
利润/万元
100
108
110
115
120
  小明、小亮和小颖根据上述数据分别绘制了折线统计图。
（1）在这三幅图中，哪一幅更令人觉得永昌公司的效益蒸蒸日上？
（2）这三幅图所表示的数据相同，但为什么给人不同的感觉？
（第
 3
 题）
永昌公司
 2018
 年至
 2022
 年利润情况统计图
（小颖）
2018 2019 2020 2021 2022
125
120
115
110
105
100
95
90
利润/万元
利润/万元
年份
年份
永昌公司
 2018
 年至
 2022
 年利润情况统计图
（小亮）
125
120
115
110
105
100
95
90
2018
2019
2020
2021
2022
永昌公司
 2018
 年至
  2022
 年利润情况统计图
（小明）
120
110
100
2018
2019
2020
2021
2022
利润/万元
年份
182
数 学  
六年级  上册
回顾与思考
1．数据有哪些不同类型？请举例说明。
2．说一说可以运用哪些方法获得数据。
3．抽样调查时，如何保证样本的代表性？请举例说明。
4．说一说怎样绘制扇形统计图和频数直方图。
5．条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数直方图各有什么特
点？请举例说明。
6．统计图有时可能会使人产生“错觉”，请举例说明。为了直观地
反映数据信息，绘制有关统计图时应注意些什么？
7．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行
交流。
复习题
知识技能
1．为了完成下列任务，你认为采用哪种调查方式更合适？
（1）了解一沓钞票中有没有假钞；
（2）了解一批西瓜是否甜；
（3）了解你们班同学是否喜欢科普类书籍。
2．学校需要了解有多少学生近视，下面哪些抽样方式是合适的？说明你的
理由。
（1）在学校门口通过观察统计有多少学生戴眼镜；
（2）在低年级学生中随机抽取一个班进行调查；
（3）从每个年级的每个班级都随机抽取几个学生进行调查；
（4）将全校学生的学号做成号签放入盒中，从盒中无放回地连续随机抽取
部分号签，对这些号签对应的学生进行调查。
183
第四章 
  数据的收集与整理
3．某部门统计了某地
 1 000
 名
 18
 周岁以上成年男子的身高，得到如下数据：
身高/cm
频数
身高/cm
频数
145~150
6
175~180
180
150~155
23
180~185
110
155~160
65
185~190
47
160~165
130
190~195
15
165~170
203
195~200
3
170~175
218
根据上述数据，绘制频数直方图。
4．A，B 两种商品在一段时间内的销售总量如图所示。　　
（1）A，B 两种商品的销售总量各是多少？相差多少？
（2）统计图所表现出来的直观情况与（1）中的结果一样吗？如果不一
样，你知道其中的原因吗？
5．某班学生上学所采用交通方式的条形统计图如图所示。
（1）这个班共有多少名学生？
（2）根据条形统计图，绘制相应的扇形统计图。
（3）从以上两个统计图中，分别可以获得哪些信息？
（第
 4
 题）
（第
 5
 题）
184
数 学 
六年级 上册
6．下面是甲、乙两市月降水量（单位：mm）统计表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
甲市
5
15
20
20
60
140
185
200
60
35
15
10
乙市
25
40
55
140
300
430
310
410
320
120
35
25
（1）根据上面的统计表，绘制适当的统计图表示两市降水量的变化。
（2）根据绘制的统计图回答下列问题：
　　  ① 哪个市一年降水量的变化幅度大？
　　  ② 从总体上看，两市的月降水量之间最明显的差别是什么？
　　  ③ 甲、乙两市在哪个月份的降水量相差最大？相差多少？
7．为了了解学校六年级学生的平均身高，某小组随机抽取了
 30
 名同学测量身
高，结果（单位：cm）如下：
167  162  165  160  165  167  165  166  159  169  168  158  160  159  162
162  157  160  164  161  162  164  163  154  172  153  156  163  164  161
　  绘制频数直方图，估计该校六年级学生的平均身高状况。
8．下图呈现了
 2015—2022
 年我国新能源汽车产量及增长率。哪一年的增长率
最高？从图中还能发现哪些信息？
（第
 8
 题）
产量
产量/万辆
同比增长率/%
同比增长率
2015
32.8
45.9
69.0
124.1 145.6
152.5
66.2
51.2
40.0
161.2
367.7
7.9
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
2016
2017
2018
年份
2019
2020
2021
2022
17.3
115.0
700.3
90.5
185
第四章 
  数据的收集与整理
问题解决
9．小刚家
 2021
 年和
 2022
 年的家庭总支出情况如下：
（第
 9
 题）
（1）2022
 年总支出比
 2021
 年增加了多少万元？增加的百分比是多少？
（2）2021
 年衣食方面支出的金额是多少？教育方面支出的金额是多少？
（3）2022
 年娱乐方面支出的金额比
 2021
 年增加了还是减少了？变化了多少？
10．你有心目中的榜样吗？榜样能带给你什么力量？请设计调查问卷，调查全
班同学心目中榜样的情况，并用适当的统计图表表示你的调查结果。
11．下面是
 A，B 两球从不同高度自由下落到地面后反弹高度的统计图。
（第
 11
 题）
2021年、2022
 年总支出情况
2021
 年总支出
情况
2022
 年总支出
情况
2021
2022
（1）
（2）
（3）
3.60
186
数 学 
六年级  上册
（1）比较两个球反弹高度的变化情况，哪个球的弹性大？
（2）如果两个球下落的起始高度继续增加，那么你认为
 A 球的反弹高度会
继续增加吗？B 球呢？
（3）分别比较
 A 球、B 球的反弹高度和起始高度，你认为反弹高度会超过
起始高度吗？
 
※12．如果你们学校需要建造新的自行车停车棚，至少需要多大面积？解决这个
问题你需要哪些数据？你准备如何收集这些数据？
13．某校庆祝百年校庆，计划制作橙色、红色、蓝色、白色、黄色五种颜色的
文化衫分发给学生。为此，调查了该校部分学生，以决定制作各种颜色
文化衫的数量。如果你们学校搞活动也准备分发文化衫，说说你的调查
方案。
（1）讨论下面几个问题：调查的目的、问题、对象是什么？选择怎样的
调查方式？样本如何选取？调查所得数据如何处理？
（2）制订一个调查方案，展开调查。
（3）将各组的调查方案和调查结果在全班交流，讨论调查的一般步骤和
抽样调查中的注意事项，并撰写一份调查报告。
14．观察并记录身边的统计图，哪些统计图会给你带来错觉或误导？如果让
你来用统计图表示其中的数据，要如何绘制统计图才能客观表达数据信
息？应该注意哪些问题？
15．观察并收集生活中的统计图，它们有什么特点？与学习过的统计图有哪些
区别与联系？请你写一篇小短文，谈谈你对统计图的认识。
187
综合与实践
制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒
手工课上，同学们需要将一张正方形硬纸板制成无盖的长方体形收纳盒
（如图
 1），并希望所制成盒子的容积尽可能大。你能设计出合理的方案，并
制作出实物模型吗？
设计方案
1．制作容积尽可能大的长方体形盒子需要考虑哪几个问题？你计划分哪
几个步骤完成任务？与同伴进行交流。
2．用一张正方形纸片试一试，怎样裁剪才能折成一个无盖长方体形盒子？
3．哪些因素会影响所折成的无盖长方体形盒子的容积？
4．设正方形纸片的边长为
 a cm，所折无盖长方体形盒子的高度为
 h cm，
你能用含
 a
 与
 h
 的代数式表示这个无盖长方体形盒子的容积
 V
 吗？
5．随着
 h
 的改变，V
 有怎样的变化规律？分小组进行探究。
图
 1 
 综合
     与实践
188
数 学  
六年级  上册
实施方案
1．用一张边长为
 20 cm 的正方形纸片，按照如图
 2
 所示的设计方案制作
一个无盖长方体形盒子，无盖长方体形盒子的高度
 h
 按整数值从小到大变化，
将相应长方体形盒子的容积填入下表：
h/cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V/cm3
2．随着高度
 h
 的增大，容积
 V
 有怎样的变化规律？
3．高度
 h
 未必都是整数值，你估计
 h
 在哪个范围内取值时
 V
 最大？
4．改变
 h
 的值，你能得到比上表中的容积更大的无盖长方体形盒子吗？
你是怎么做的？
5．如果正方形纸片的边长不是
 20 cm 呢？各小组将研究过程和研究结果
撰写成研究报告。
评估反思
在制作容积尽可能大的无盖长方体形盒子的过程中，你经历了怎样的探
究过程？用到了哪些数学知识和方法？遇到了什么困难？是如何克服的？
成果展示
1．各小组在班级内交流研究过程和研究结果。
2．在交流的基础上，各小组对研究报告进行修改完善，形成最终研究报告。
3．根据实际使用的场合，选择边长合适的正方形硬纸板，制作一个容积
尽可能大的无盖长方体形收纳盒。
图
 2 
189
综合与实践
附：关于“制作一个容积尽可能大的无盖长方体形收纳盒”的研究报告
 
___年___月___日
研究问题
小组成员及分工
长方体形盒子的制作过程
关于“容积何时最大”的探究过程
得出的研究结论
进一步研究的问题
研究之后的感受
关注人口老龄化
你知道人口老龄化吗？按照国际通行的标准，当一个国家或地区
 60
 岁及
以上人口达到总人口数的
 10%，或
 65
 岁及以上人口达到总人口数的
 7%，即意
味着这个国家或地区进入老龄化社会。我国第七次全国人口普查数据显示，
2020
 年，大陆地区
 60
 岁及以上的老年人口已占到总人口数的
 18.7%，我国人
口老龄化程度进一步加深。当前人口老龄化已成为世界性的重要议题，也是值
得青少年关注和探讨的社会问题。请你与同学组成合作小组，就人口老龄化问
题展开调查研究。
设计方案
1．查阅人口老龄化的相关资料。
2．你们想关注与人口老龄化相关的哪些问题？通过什么方式获得有关信息？
3．以小组为单位，讨论并确定调查的主题和内容，明确需要收集的数据
和信息，以及收集数据和信息的方式。在此基础上制订调查方案，明确分工。
190
数 学  
六年级  上册
实施方案
1．按照方案展开调查，收集相关数据和信息。
2．对获取的数据和信息进行处理和分析，初步完成小组调查报告。
评估反思
1．根据小组的调查研究，针对人口老龄化带来的问题，你们能提出哪些
合理化的建议？
2．通过分析数据和信息，你们还能提出什么问题？
3．回顾小组的调查方案和研究过程，哪些环节还可以进一步优化？
成果展示
1．各小组在班级内汇报调查报告的主要内容，并对研究过程、研究结果
进行交流和评价。
2．通过交流和反思，进一步修改完善本组的调查报告，形成本小组最终
的调查报告。
附：关于“关注人口老龄化”的调查报告
                                                                    年       月       日
调查主题
调查对象
调查时间
调查地点
人员分工
调查内容
调查结论
进一步研究
的问题
调查反思
研究后的感受
191
总复习题
知识技能
1．下面哪个几何体的截面形状可能是圆？
（1）圆柱；  
 
 
   （2）圆锥；
（3）棱柱； 
 
 
   （4）球。
2．在数轴上将下列各数表示出来：
（1）- 3
 1
4 ，2.5，0，- 4
3；
（2）（1）中数的相反数；
（3）所有绝对值小于
 5
 的整数。
3．比较下列各组数的大小：
（1）- 9
 与
 - 8；  
 
 
（2）- 0.25
 与
 - 1；
（3）| 7.6
 | 与
 | - 7.6
 |； 
 
 
（4）0
 与 - | - 7
 |；
（5）- 1
2
 与
 - 2
5； 
 
 
（6）| - 13.5
 | 与
 | - 2.7
 |。
4．计算：
（1）1
 + 5
6
 - 19
12；  
 
 
（2）3×（- 9）+ 7×（- 9）；
（3）（5
4
 - 7
6 ）×（- 8
7 ）； 
 
（4）（- 54）÷ 6
 ÷（- 3）；
（5）2×［5
 ＋（- 2）
3］；  
 
（6）-（2
13
 - 1
3
 - 1
6）× 78；
（7）（- 2
3 ）× 27
8
 ÷（3
2 ）
3； 
 
（8）1
30
 -（- 2
3
 + 3
5）÷（- 2）。
总复习题
● 整理本学期学过的知识与方法，用一张图把它们表示出来，并与同
伴进行交流。
● 在自己经历过的解决问题活动中，选择一个最具有挑战性的问题，
写出解决它的过程，包括遇到的困难、克服困难的方法与过程及所
获得的体会，并解释选择这个问题的原因。
● 通过本学期的数学学习，你有哪些收获？有哪些需要改进的地方？
192
数 学  
六年级  上册
5．去括号，并合并同类项：
（1）3b2 -（a2 + b2）- b2； 
  （2）x
 +（2x
 - 1）-（x
3
 + 3）；
（3）- 2（ab - 3a2）+（5ab - a2）；  （4）2a2 - 1
2（ab + a2）- 8ab；
（5）-（b - 4）+ 4（- b - 3）；       （6）1
2（x
2 - y）+ 1
3（x
 - y
2）+ 1
6（x
2 + y
2）。
6．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？它们的次数分别是多少？
（1）2x
2 - 4x
 - 1； 
 
 
（2）- 7a2bc；
（3）- 1
3
 a2b + 2
3
 ab2 - 1
4
 a3 + 1
4
 b3； （4）- 1
6
 x y；
（5）- 1
6
 x
 - 1
6
 y
 + 1
3；  
 
（6）pqr - p2r + q2r。
7．计算：
（1）-（- 1
3
 x
 + y）+（1
6
 x
 - y）；
（2）（2
 s + 1）- 3（s2 - s + 2）；
（3）- 2（a2b - 1
4
 ab2 + 1
2
 a3）-（- 2a2b + 3ab2）；
（4）- 1
2（5mn - 2m2 + 3n2）+（- 3
2
 mn + 2m2 + n2
2 ）；
（5）（a3 + 1
5
 a2b + 3）- 1
2（a2b - 6）；
（6）- 3（1
2
 x
3 - 1
3
 y
3 + 1
6）+ 2（1
3
 x
3 - 1
2
 y
3 + 1
4）。
8．为了完成下列任务，你认为采用哪种调查方式更合适？
（1）了解班级同学中哪个月份出生的人数最多；
（2）了解一批冷饮的质量是否合格；
（3）了解京剧在全校同学中的受欢迎程度；
（4）了解全国人口的平均寿命。
9．每天早晨你是如何醒来的？下面是一所学校
 400
 名学生早晨起床方式的统
计表：
起床方式
别人叫醒
闹钟叫醒
自己醒来
其他
人数
172
88
64
76
 根据上面的数据绘制适当的统计图，表示学生早晨用各种方式起床的情况。
193
总复习题
10．下面的哪些图形可以折成一个正方体？先想一想，再折一折。
11．一个几何体由多个大小相同的小立方块搭成，从上面看到
的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字
表示在这个位置小立方块的个数。请你画出从正面和从左
面看到的这个几何体的形状图。
12．三名同学想了解所在城市的小学生是否感觉学习压力大，他们各自提出了
自己的调查设想。
甲：周末去公园，随机询问
 10
 个小学生，就可以知道大致情况了。
乙：我有个弟弟，正在上小学，成绩中等，问问他就可以了解绝大部分
学生的感受了。
丙：我妈妈是小学老师，向她询问就可以了。
你觉得这三位同学提出的调查方式能比较客观地反映“他们所在城市的
小学生是否感觉学习压力大”吗？为什么？
问题解决
13．某大楼地上共有
 12
 层，地下共有
 4
 层，请用正负数表示这栋楼每层的楼
层号。某人乘电梯从地下
 3
 层升至地上
 7
 层，电梯一共升了多少层？
14．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为
 18 s。下面是第一小组
 8
 名
女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于
 18 s，“-”表示成绩小于
 18 s。
- 1
+ 0.8
0
- 1.2
- 0.1
0
+ 0.5
- 0.6
这个小组女生的达标率为多少？平均成绩为多少秒？
（1）
（2）
（3）
（4）
（第
 10
 题）
（第
 11
 题）
3
1
2
3
3
194
数 学  
六年级  上册
15．冰箱开始启动时内部温度为
 10 ℃，如果每小时冰箱内部的温度降低
 5 ℃，
那么
 3 h 后冰箱内部的温度是多少？
16．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个
位数字对调后得到另一个两位数，并用较大的两位数减较小的两位数，
所得差一定能被
 9
 整除吗？为什么？
17．下面是用棋子摆成的“T”字形图案：
（第
 17
 题）
（1）
（2）
（3）
…
（1）摆成第
 1
 个“T”字形图案需要多少枚棋子？第
 2
 个呢？
（2）按这样的规律摆下去，摆成第
 10
 个“T”字形图案需要多少枚棋子？
第
 n 个呢？
18．已知有理数
 a，b，c，d，e，且
 a，b
 互为相反数，c，d
 互为倒数，e
 的绝
对值为
 1，求代数式
 a+b
2
 +
 3cd
 +
 e
2 的值。
联系拓广
19．若代数式
 5a
 - 4b
 =
 9，则代数式
 2（a
 +
 2b）+
 4（2a
 - 3b）的值是多少？
 
※20．试比较（a
 +
 b）与（a
 - b）的大小。
 
※21．分别计算下列三组数和的绝对值与绝对值的和，比较所得结果，你发现了
什么？你有什么样的猜想？
（1）2，3； 
 
（2）1
4，- 5； 
 
（3）- 7，- 2
3 。
 
※22．（1）计算并填表：
x
1
10
100
1 000
10 000
2x - 10
x
（2）你有什么发现？