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® 义 务 教 育 教 科 书 ( 五·四 学 制 )
义
务
教
育
教
科
书
（
义务教育教科书(五·四学制)
五
·
四 六年级
学
制
）
上册
六年级 上册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU 数
WUSI XUEZHI
学
SHUXUE
六
年
级
上
册
绿色印刷产品
初初中中数数学学五五四四制制六六上上封封面面..iinndddd 11 22002244//77//2244 1133::2277义务教育教科书 ( 五·四学制 )
六年级
上册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
·北 京·顾 问：林 群 田 刚
主 编：王长平
执行主编：薛 彬
分册主编：管尤跃
编写人员：（以姓氏笔画为序）
丁国忠 李晓梅 宋显庆 姚慧明
斯苗儿 管尤跃 熊 华
责任编辑：陈 曦
责任设计：王俊宏
责任校对：王 飞
责任印制：
义务教育教科书（五·四学制） 数学 六年级 上册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
出 版
（北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
版权所有·未经许可请勿擅用本书制作各类出版物·违者必究致同学
亲爱的同学，欢迎你使用本套数学教科书，希望它成为你学习数学的好
帮手．
数学是重要的基础科学，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关
系和规律．数学不仅对社会发展和科技进步作用巨大，而且在形成人的理性思
维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用．学好数学很重要．
为了帮助你学好数学，教科书在章、节引言中，在 “思考” “探究”等栏
目中，设计了由表及里、逐步深入的问题，引导你经历观察、实验、猜想、推
理、反思、交流等学习过程，获得数学知识和技能、体会数学思想、积累活动
经验．教科书安排了例题、不同层次的习题、“数学活动”、“综合与实践”活
动，结合解决数学、其他学科、现实生活中的问题，带领你理解问题情境、探
寻解决问题的思路、落实解决问题的步骤、反思解决问题的过程，培养发现和
提出问题、分析和解决问题的能力．教科书的 “阅读与思考” “探究与发现”
“图说数学史”等选学内容为你提供了更广阔的数学天地，帮助你开阔视野、拓展
探究，感受数学的源远流长、博大精深，提升自主学习的能力，增强创新意识．
相信通过本套书的学习，你将逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数
学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．
千里之行，始于足下，让我们从六年级上册开始学习吧！
在小学学习了分数、掌握了分数的加减运算的基础上，你将学习 “分数的
乘法与除法”，进而学习 “百分数”，研究 “比和比例关系”，并利用它们解决
一些实际问题．通过这些内容的学习，你的抽象能力、运算能力、模型观念和
应用意识会得到进一步提升．
“圆的初步认识”和 “圆柱与圆锥”将带你走进丰富的图形世界，在这里
你将认识圆、扇形、圆柱、圆锥这些生活中常见的图形，学习与它们有关的一
些计算并解决一些实际问题，发展几何直观和空间观念．
此外，综合与实践 “水是生命之源”和 “营养午餐”将带你探究、解决现
实世界中的综合性问题，进一步提升你的创新意识和应用意识．
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们一起
畅游神奇、美妙的数学世界吧！
书书书目 录
第一章 分数的乘法与除法
１
１．１ 分数乘法 ２
１．２ 分数除法 １２
１．３ 分数乘、除法的应用 ２１
阅读与思考 经分 ２５
数学活动
２６
小结
２７
第二章 圆的初步认识
３１
２．１ 圆和扇形的认识 ３２
阅读与思考 圆的妙用 ３７
２．２ 圆的周长 ３９
２．３ 圆的面积 ４４
图说数学史 圆周率的计算 ５２
数学活动
５４
小结
５５第三章 圆柱与圆锥
５９
３．１ 圆柱 ６０
阅读与思考 圆柱容球 ６９
３．２ 圆锥 ７０
数学活动
７７
小结
７８
第四章 百分数
８１
４．１ 百分数的意义 ８２
阅读与思考 恩格尔系数 ８８
４．２ 百分数的应用 ８９
阅读与思考 税率 成数 ９５
４．３ 扇形统计图 ９６
阅读与思考 其他形式的扇形统计图 １０１
数学活动
１０２
小结
１０４
综合与实践 水是生命之源
１１０第五章 比和比例关系
１１５
５．１ 比 １１６
５．２ 比例 １２２
阅读与思考 黄金比 １２６
５．３ 正比例与反比例 １２７
阅读与思考 正比例关系和反比例关系的图象 １３３
５．４ 比和比例的应用 １３４
数学活动
１４２
小结
１４３
综合与实践 营养午餐
１４７第一章 分数的乘法与除法
在小学，我们已经认识了分数，并掌握了分数加、减法的计算方法．与整
数、小数的学习一样，我们还要进一步学习分数的乘法与除法．
分数的乘法与除法的意义是什么？怎样计算分数的乘法与除法？这是本章
要研究的主要问题．
通过本章的学习，你将进一步了解有关分数的运算，学习运算律，并利用
分数乘、除法解决一些实际问题．
书书书１．１ 分数乘法
我们知道，整数乘法表示几个几相加，分数乘法表示怎
样的含义呢？分数乘法该怎样计算呢？
１１１ 分数与整数相乘
5
３
环保小组用回收的包装纸做纸花，做一朵花需要用 张纸．做２朵花
８
需要用多少张纸？
３
×２＝ （张）．
８
1 1 1
3 3 3×2
8 8 8
图１．１１
结合图１．１１，可以发现，
３
×２
８
第一章 分数的乘法与除法
３
３ ３ ３＋３ ３×２ ６ ３
＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ （张）．
８ ８ ８ ８ ８ ４
４
通过上面的问题，你发现了什么？几个相同的分数相加可以怎样列乘法算
式？怎样计算？
3
几个相同的分数相加，含义和几个相同的整数相加一样，都可以用乘
法计算．计算分数乘整数时，用分数的分子乘整数的积作分子，分母不变．
２２
例１ 计算： ×６．
９
２ 能约分的可以先约
２ ２×６ ４
解： ×６＝ ＝ ． 分，再计算．
９ ９ ３
３
１．看图写算式．
2 2 2
7 7 7
（ ） （ ）×（ ） （ ）
×（ ）＝ ＝ ．
（ ） （ ） （ ）
"
（第１题）
２．计算：
２ ５ ３ ２
（１） ×４； （２） ×８； （３） ×２； （４） ×３．
１５ １２ ４ １１
３
３．一袋面包重 ｋｇ，６袋面包重多少千克？
１０
/
５
一个面积为２公顷的育苗基地，它的 用来种柳树苗．种柳树苗的面
８
积是多少公顷？
５ ５
求２公顷的 是多少公顷，就是求２公顷的 倍是多少．求一个数的几倍
８ ８
５
是多少，用乘法计算，即计算２× ．
８
５
如图１．１２，求２公顷的 是多少，就是把２公顷平均分成８份，求其中的
８
２ ２
５份．每份是 公顷，５份就是５个 公顷．
８ ８
５
即 ２×
８
第一章 分数的乘法与除法
５
２ ２×５ １０ ５
＝ ×５＝ ＝ ＝ （公顷）．
８ ８ ８ ４
４
３2
8
1
1
2
5
8
图１．１２
3
求一个数的几分之几是多少，和求一个数的几倍是多少一样，都用乘
法计算．计算整数乘分数时，用整数乘分数的分子的积作分子，分母不变．
３
例２ 计算：５× ．
１０
１
３ ５×３ ３
解：５× ＝ ＝ ．
１０ １０ ２
２
３
１．一袋面粉重３ｋｇ．已经用去它的 ，用去了多少千克？
１０
× ＝ （ｋｇ）．
２．说一说下列算式的含义，并计算．
３ ５ ７ ９
（１）５× ； （２）９× ； （３）１１× ； （４）１６× ．
７ １２ １１ １０
４ 第一章 分数的乘法与除法１１２ 分数与分数相乘
/
４ ２
一个面积为 公顷的育苗基地，它的 用来种银杏树苗．种银杏树苗
５ ３
的面积是多少公顷？
４ ２ ４ ２
求 公顷的 是多少，可列算式： × ．
５ ３ ５ ３
４ ４ ２
如图１．１３，用一个长方形表示１公顷，先画出 公顷，再画出 公顷的 ．
５ ５ ３
4 2 4×2
1
5 3 5×3
2
×
4 3
5
图１．１３
４
可以这样想：把 公顷平均分成３份，取其中的２份，就是把１公顷平均
５
分成（５×３）份，取其中的（４×２）份，结果是
４ ２ ４×２ ８
× ＝ ＝ （公顷）．
５ ３ ５×３ １５
/
３
一块地为１公顷，如图１．１４，先涂出 公顷，
４
３ １
再涂出 公顷的 ，看看是多少公顷．
４ ５
图１．１４
３ １ ３ １
求 公顷的 是多少，算式是 × ．
４ ５ ４ ５
３ １ （ ）×（ ） （ ）
× ＝ ＝ （公顷）．
４ ５ （ ）×（ ） （ ）
通过上面的计算，你能发现分数与分数相乘的计算方法吗？
第一章 分数的乘法与除法 ５3
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母．用字
母表示是
犫 犱 犫犱
× ＝ （犪≠０，犮≠０）．
犪 犮 犪犮
３ ４ １１
例３ 计算：（１） × ； （２）６× ．
７ ３ １２
１
３ ４ ３×４ ４
解：（１） × ＝ ＝ ；
７ ３ ７×３ ７ 分数乘分数的计算
１
方法，也同样适用于分
１１
数与整数相乘．
（２）６×
１２
第一章 分数的乘法与除法
１
６ １１ ６×１１ １１
＝ × ＝ ＝ ．
１ １２ １×１２ ２
２
分数与分数相乘时，为了计算简便，也可以不把相乘的两个数改写成分
子、分母分别相乘的形式，而是直接约分后再分别相乘．
１ １
３ ４ ３ ４ ４ １１ ６ １１ １１
例如： × ＝ × ＝ ； ６× ＝ × ＝ ．
７ ３ ７ ３ ７ １２ １ １２ ２
１ ２
１．计算：
４ １ ５ ３ ８ ５
（１） × ； （２） ×９； （３） × ； （４）１０× ．
５ ２ ６ ４ ９ １４
３ １ ９ ５
２．（１） ｍ的 是多少米？ （２） ｔ的 是多少吨？
８ ３ １０ ６
５
３．六 （１）班有４０名学生，其中 的学生参加了体育类社团，参加体育类
８
社团的学生有多少人？
６１１３ 小数乘分数
３
例４ 松鼠的尾巴长度约是身体长度的 ．松鼠小欢身体长２．１ｄｍ，松鼠
４
小乐身体长２．４ｄｍ．
（１）松鼠小欢的尾巴约有多长？
（２）松鼠小乐的尾巴约有多长？
３
解：（１）２．１× ＝２．１×０．７５＝１．５７５ （ｄｍ）；
４
可以把分数化成小
３ １ ３ ２１ ３ ６３
或２．１× ＝２ × ＝ × ＝ （ｄｍ）． 数计算，也可以把小数
４ １０ ４ １０ ４ ４０
化成分数计算．
３
（２）２．４×
４
０．６ ３
＝２．４× 这样约分计算更
４
１ 简便．
＝１．８ （ｄｍ）．
答：（１）松鼠小欢的尾巴约有１．５７５ｄｍ；（２）松鼠小乐的尾巴约有１．８ｄｍ．
１．计算：
２ ３ ５ ７
（１）１．２× ； （２）２．５× ； （３）１．４× ； （４）２．４× ．
７ ５ ６ ８
２．蜂鸟是目前发现的世界上最小的鸟．蜂鸟的飞行速度是０．８ｋｍ／ｍｉｎ，
３
它 ｍｉｎ飞行多少千米？５ｍｉｎ飞行多少千米？
４
３．２０２１年我国人均国内生产总值约为８．１万元，２０２０年我国人均国内生
８
产总值为２０２１年的 ，２０２０年我国人均国内生产总值约为多少万元？
９
１１４ 混合运算与运算律
分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同．
７ ３ ７ （１ ３）
例５ 计算：（１） ＋ × ； （２）８× ＋ ．
１２ ８ ９ ３ ４
第一章 分数的乘法与除法 ７７ ３ ７ （１ ３）
解：（１） ＋ ×
（２）８× ＋
１２ ８ ９ ３ ４
１
７ ３ ７ （４ ９）
＝ ＋ × ＝８× ＋
１２ ８ ９ １２ １２
３
７ ７ ２ １３
＝ ＋ ＝８×
１２ ２４ １２
３
７ ２６
＝ ； ＝ ．
８ ３
5
观察每组的两个算式，看看它们有什么关系．
５ １ １ ５
（１） × ， × ；
６ ７ ７ ６
（１ ２） ３ １ （２ ３）
（２） × × ， × × ；
４ ３ ８ ４ ３ ８
（１ １） ２ １ ２ １ ２
（３） ＋ × ， × ＋ × ．
２ ３ ５ ２ ５ ３ ５
比较上面每组算式的得数，你发现了什么规律？
3
整数乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律，对于分数乘法同
样适用．
应用乘法运算律，可以使一些计算更简便．
３ １ （１ １）
例６ 计算：（１） × ×５； （２） ＋ ×４．
５ ７ １０ ４
３ １ ３ １
解：（１） × ×５ 或 × ×５
５ ７ ５ ７
为了计算简便，可
３ １ ３ １ １
＝ ×５× ＝ × ×５
以先约分再计算．
５ ７ ５ ７
１
３ ３
这里应用了什么运
＝ ； ＝ ．
７ ７
算律？
８ 第一章 分数的乘法与除法（１ １）
（２） ＋ ×４
１０ ４
１ １
＝ ×４＋ ×４
１０ ４
＝
＝ ．
１ １ ３
２ ８ ２ ９
几个数连乘时，还可以直接约分．例如： × ×１４× ＝２４．
３ ７ ４
１ １ １
１．计算：
２ ４ １ （３ １） ５ １
（１） － × ； （２）１４× － ； （３）６× ＋ ．
５ ５ ３ ４ ２ ９ ６
２．运用运算律进行简便计算，并说一说运用了什么运算律．
２ １ （８ ４） ３ ３ １
（１） × ×３； （２） ＋ ×２７； （３） ＋ × ．
３ ７ ９ ２７ ７ ７ ６
１．填空：
３ ３ ３ ３ ５ ５ ５
（１） ＋ ＋ ＋ ＝ × ＝ ； （２） ＋ ＋ ＝ × ＝ ．
４ ４ ４ ４ ８ ８ ８
７ ３
２． （１）５ｈ的 是多少小时？ （２）１０ｋｇ的 是多少千克？
１０ ５
３．计算：
２ ３ ６ ３ ６ ５ ９ ５
（１） × ； （２） × ； （３） × ； （４） × ；
９ ５ ７ ５ ５ ３ ２０ ２１
５ ４ １５ ３ １９ １０
（５） × ； （６）０．８× ； （７） ×０．５； （８） × ．
８ １５ １４ １１ ５０ １９
４．计算下列各题，能用简便方法的就用简便方法．
（ ） （ ）
１ １ ３ ７ ８ ７
（１） ＋ ×２８； （２） － ×５； （３） ×２５× ；
７ ４ ４ １０ ７ ８
第一章 分数的乘法与除法 ９３ １ １ ２ １ １ ４ １ ４
（４） ＋ ×６； （５） × ＋ × ； （６） × ＋ ．
４ ３ １２ ３ １２ ３ ５ ２ ５
３ １
５． ｋｇ的某种农药加水稀释后可喷洒１公顷菜地，喷洒 公顷菜地需要这种农
２ ５
药多少千克？
４
６．一种大豆每千克含油 ｋｇ，１００ｋｇ大豆含油多少千克？１ｔ大豆呢？
２５
３
７．做一个零件需用钢条 ｍ，已经做了１５个这样的零件，用了多少米钢条？
２０
１
８．剪一朵花要用 张纸，两名同学在一起剪纸花，分别剪了９朵花和１１朵花，
４
他们一共用了多少张纸？
９．在○里填上 “＞”“＜”或 “＝”．
２ ２ ５ ６ ８ ３ ３
○ ○ ○
（１） ×２ ； （２） × １； （３） × ．
７ ７ ６ ５ ９ ４ ４
１０．下列计算正确吗？把错误的改正过来．
１ ３
１
４ ４ １ ７ ６ ７ ６ １０
（１）４× ＝４× ＝ ； （２） × ＝ × ＝ ＝１．
７ ７ ７ １０ ５ １０ ５ １０
５
１ ５
１１．下列哪两个数的积在 和 之间？
４ ８
１ １ ３ ５ ３ １
（１） × ； （２） × ； （３）７× ； （４） ×９．
４ ２ ５ ６ １４ １２
１２．计算下面两个图形的面积：
11
m
18
4 2
dm m
9 3
3 8
dm m
4 9
（第１２题）
１３．一个垃圾处理场平均每天收到７０车生活垃圾，平均每车垃圾中可回收利用
１
ｔ．１５天收到的生活垃圾中可回收利用多少吨？
３
１０ 第一章 分数的乘法与除法１４．某光伏发电站平均每年发电量高达２４００万千瓦
１ ３ １ “千瓦时”就是平
时，其中 供应居民用电， 供应工业用电，
３ ８ ６
时人们所说的 “度”．
供应农业用电，那么该发电站平均每年供应居
民、工业、农业用电一共多少万千瓦时？
９
１５．一个长方形桌面的面积是１ｍ２ ，一个正方形桌面的边长是 ｍ．长方形桌面
１０
的面积比正方形桌面的面积多多少平方米？
１６．下面的□里可以填的最大整数是多少？
５ ３ ５ □ ４ ５ ５ □
（１） × ＜ ； （２） × ＜ ； （３） × ＜１．
１２ ４ □ ６ ５ ６ ７ ４
１
１７．有两筐苹果，第一筐重３０ｋｇ，如果从第一筐中取出 ｋｇ放入第二筐，则两
２
筐苹果同样重．两筐苹果一共重多少千克 （用不同方法解答）？
第一章 分数的乘法与除法 １１１．２ 分数除法
我们已经会进行分数乘法的计算，怎样计算分数除法呢？
１２１ 倒数
5
先计算，再观察，看看有什么规律．
３ ８ ７ １５ １ １
× ； × ； ５× ； ×１２．
８ ３ １５ ７ ５ １２
可以发现，上述每个算式中两个数的乘积都是１．
我们称乘积是１的两个数互为倒数．
互为倒数的两个数有
３ ８ ３ ８ ８
和 互为倒数，就是指： 的倒数是 ， 什么特点？
８ ３ ８ ３ ３
３
的倒数是 ．
８
３
例１ 写出 ，６的倒数．
５
３ 分子、分母调换位置 ５
解： → ，
５ ３ １的倒数是多少？
６ 分子、分母调换位置 １ ０有倒数吗？０．２呢？
６＝ → ，
１ ６
３ ５ １
× ＝１，６× ＝１．
５ ３ ６
３ ５ １
因此， 的倒数是 ，６的倒数是 ．
５ ３ ６
3
求一个数的倒数，只要把这个数化成分数，分子、分母调换位置．
１２ 第一章 分数的乘法与除法
１．写出下列各数的倒数：
４ １６ ７ １
， ，３５， ， ，１．
１１ ９ ８ １０
２．判断题．
１ ４ ３ １ ４ ３
（１） × × ＝１，所以 ， ， 互为倒数；
２ ３ ２ ２ ３ ２
（２）０的倒数还是０；
（３）一个数的倒数一定比这个数小；
５ ５
（４） ×０．６＝１，所以 的倒数是０．６．
３ ３
１２２ 分数除法
/
４
学校种植社团管理着一块 公顷的蔬菜种植基地．如果把这块地平均
５
分给２个种植小组，每个种植小组的种植面积是多少公顷？
４ ４
把 公顷平均分成２份，求每份是多少公顷，算式是 ÷２．
５ ５
可以画图分析 （图１．２１）：
4 4
5 5
1 4 1
4÷2
5 5 2
图１．２１
４ １ １
÷２，就是把４个 平均分成２份，每份是（４÷２）个 ．
５ ５ ５
４ ４÷２ ２
÷２＝ ＝ （公顷）．
５ ５ ５
４ ４ １
还可以这样想：把 公顷平均分成２份，其中的１份就是 公顷的 ．
５ ５ ２
第一章 分数的乘法与除法 １３４ ４ １
÷２＝ × ＝ （公顷）．
５ ５ ２
5
４
如果把 公顷平均分成３份，每份是多少公顷？
５
画图分析 （图１．２２）：
4
5
1
4
5×3
图１．２２
４ ４ （ ） ４ （ ）
把 公顷平均分成３份，每份就是 的 ，也就是 × ．
５ ５ （ ） ５ （ ）
４
÷３＝ × ＝ （公顷）．
５
3
一个数除以整数 （０除外），等于乘这个整数的倒数．
９ ３
例２ 计算：（１） ÷３； （２） ÷２．
１０ ８
３
９ ９ １ ３ ３ ３ １ ３
解：（１） ÷３＝ × ＝ ； （２） ÷２＝ × ＝ ．
１０ １０ ３ １０ ８ ８ ２ １６
１
１．计算：
８ ６ ３ １５
（１） ÷４； （２） ÷４； （３） ÷６； （４） ÷６．
９ １３ ４ ２８
７
２．一个正方形的周长是 ｍ，它的边长是多少米？
１０
１４ 第一章 分数的乘法与除法/
李明和王芳一起在学校烘焙社团做一块蛋糕．李明负责准备牛奶和砂
４
糖．他准备了１６０ｇ牛奶，是砂糖的 ，准备的砂糖是多少克？
５
４ ４
因为，牛奶质量＝砂糖质量× ，所以，砂糖质量＝牛奶质量÷ ．
５ ５
４
１６０÷ ＝ （ｇ）． 怎样计算呢？画图
５
试试．
g
4
160 g
5
图１．２３
如图１．２３，也就是说，已知４份是１６０ｇ，求这样的５份是多少．
１
先求出这样的１份是多少克，如图１．２４，就要算１６０÷４，也就是１６０× ．
４
g
g
图１．２４
１ ５
再求出这样的５份是多少克，就要算１６０× ×５，也就是１６０× ．
４ ４
根据上面的推导，可以这样计算：
４
１６０÷
５
第一章 分数的乘法与除法
１ （１ ） ５ ４０ ５
＝１６０÷４×５＝１６０× ×５＝１６０× ×５ ＝１６０× ＝１６０× ＝２００（ｇ）．
４ ４ ４ ４
１
４ ４
除以 等于乘 的倒数
５ ５
１５5
２ ２
王芳负责准备鸡蛋和面粉，鸡蛋的质量是 ｋｇ，是面粉质量的 ，准
５ ３
备的面粉是多少千克？
２ ２
因为，面粉质量× ＝鸡蛋质量，所以，面粉质量＝鸡蛋质量÷ ．
３ ３
２ ２
÷
５ ３
第一章 分数的乘法与除法
２ ２ １ ２
＝ ÷２×３＝ × ×３＝ × ＝ （ｋｇ）．
５ ５ ２ ５
２ ２
除以 等于乘 的 （ ）
３ ３
通过上面的推导，你发现怎样计算一个数除以分数了吗？你能用字母表示
你的发现吗？
3
一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数．用字母表示分数除法就是
犫 犱 犫 犮
÷ ＝ × （犪≠０，犮≠０，犱≠０）．
犪 犮 犪 犱
整数也可以看成分母是１的分数．
例３ 计算：
８ ７ ４
（１）２４÷ ； （２） ÷ ．
９ １６ ５
８ ３ ９ ７ ４ ７ ５ ３５
解：（１）２４÷ ＝２４× ＝２７； （２） ÷ ＝ × ＝ ．
９ ８ １６ ５ １６ ４ ６４
１
１．计算：
１０ ４ ３ ３ ９ ３ １４
（１）１５÷ ； （２） ÷ ； （３） ÷ ； （４） ÷ ．
１３ ５ ５ ８ １６ １０ ４５
３
２．张叔叔骑自行车上班， ｈ行９ｋｍ．照这个速度，１ｈ骑行多远？
５
６ ２
３．一个数的 是 ，这个数是多少？
５ １５
１６上面的结论对我们以前学过的整数除法也同样适用，可以用４÷２验证．
先假设４÷２＝犪．
４÷２＝犪，
除法是乘法的逆运算
２犪＝４，
等式的基本性质
１
→４÷２＝４× ．
１ １ ２
２犪× ＝４× ，
２ ２
乘法交换律
１
犪＝４× ，
２
犪＝２．
例４ 填空：（１）２÷７＝ × ＝ ； （２）５÷６＝ × ＝ ．
１ ２ １ ５
解：（１）２÷７＝２× ＝ ； （２）５÷６＝５× ＝ ．
７ ７ ６ ６
填空：
１ １
（１）（ ）÷４＝３× ； （２）１０÷（ ）＝（ ）× ．
（ ） １１
１２３ 混合运算
分数四则混合运算与整数四则混合运算的运算顺序相同．
例５ 计算：
１ １ ２ １ 熿 （２ １） 燄
（１） ＋ ÷ ； （２） ÷ ＋ ×０．６ ．
２ ３ ３ ５ 燀３ ５ 燅
１ １ ２
解：（１） ＋ ÷
２ ３ ３
１ １ ３
＝ ＋ ×
２ ３ ２
＝
＝ ；
第一章 分数的乘法与除法 １７１ 熿 （２ １） 燄
（２） ÷ ＋ ×０．６
５ 燀３ ５ 燅
一个算式里既有小
１ 熿 （１０ ３） ３燄 括号又有中括号时，要
＝ ÷ ＋ ×
５ 燀１５ １５ ５燅
先算小括号里面的．
１ （１３ ３）
＝ ÷ ×
５ １５ ５
＝ ÷
＝
＝ ．
在分数四则混合运算中，有时可以应用运算律使计算更简便．
１ ７ ７ ３
例６ 计算 ＋ ÷ ＋ ．
７ ８ ５ ８
１ ７ ７ ３
解： ＋ ÷ ＋
７ ８ ５ ８
１
１ ７ ５ ３
＝ ＋ × ＋ 这里应用了什么运
７ ８ ７ ８
１ 算律？
１ （５ ３）
＝ ＋ ＋
７ ８ ８
１
＝ ＋１
７
８
＝ ．
７
１．计算：
１ ４ １ １ ４ １ １
（１） ÷３＋ × ； （２） ÷ ＋ ＋ ；
５ ５ ３ ３ ９ ３ ４
（４ ２） １５ １０ ２
（３） － × ； （４）３－１．５× － ．
５ ３ ２ ２１ ７
２．计算：
熿 （３ ３） 燄 ４ 熿 （ ３） 燄 １
（１） ４－ － × ； （２） １－ ０．２５＋ ÷ ．
燀 ４ ８ 燅 ２９ 燀 ８ 燅 ４
１８ 第一章 分数的乘法与除法３．李爷爷每天在操场跑道跑６圈，２ｍｉｎ可以跑半圈，照这个速度，李爷
爷每天跑步要用多少时间？
１．根据乘法算式写出对应的两道除法算式．
（１） ３ ×５＝ １５ ÷ = !
４ ４
÷ = !
３ ２ ６
（２） × ＝ ÷ = !
７ ５ ３５
÷ =
２．先看清每组两题之间的关系，再写出得数．
１ ５ ５ ５
（１） ×５＝ ， ÷５＝ ； （２） ×２＝ ， ÷２＝ ；
７ ７ １６ ８
１ ７ １ ２ ８ ２
（３） ×７＝ ， ÷ ＝ ； （４） ×４＝ ， ÷ ＝ ．
１５ １５ １５ ９ ９ ９
３．计算：
１ ３ １ ５ ５ １０
（１） ÷ ； （２）３÷ ； （３）５÷ ； （４） ÷ ；
４ ５ ３ ６ １４ ２１
２ ４ ２ １６ ８ ２ ４ ２８
（５） ÷ ； （６） ÷ ； （７） ÷ ； （８） ÷ ．
３ １７ ７ ３５ ２７ ９ １５ ４５
４
４．王芳将长为 ｍ的丝带剪成同样长的８段，每段丝带多长？
５
５．计算：
３ １ ５ ８ ４ １ ５ ４
（１） × × ； （２） ÷ ÷ ； （３） ÷ ×０．６４；
５ ６ ７ ９ ７ ３ １４ ２１
（ ） （ ）
６ ９ ２ ３ ２ １
（４）２－ ÷ － ； （５） ０．７５－ × ＋ ．
１３ ２６ ３ １６ ９ ３
３ １
６．把 Ｌ橙汁分装在容量是 Ｌ的小瓶子里，可以装满几瓶？
４ ８
第一章 分数的乘法与除法 １９１ ４ ５
７．如果犪÷ ＝犫÷ ＝犮÷ ，并且犪，犫，犮都不为０，试比较犪，犫，犮的大
２ ３ ５
小，并说明理由．
１
８．胶片电影画面一般是由许多连续拍摄的照片以每张 ｓ的速度连续播放的．请
２４
你算一算：半秒可以播放多少张照片？１ｍｉｎ呢？
９．一盒药共１２片，如果每天吃３次，每次吃半片，可以吃几天？
１０．不用计算，你能判断下列哪些题的商大于被除数，哪些题的商小于被除
数吗？
６ １５ ３ ５
（１） ÷３； （２） ÷２； （３）９÷ ； （４）６÷ ；
７ ８ ４ ４
１ ２ １４ ７ ５ ５ ４ ４
（５） ÷ ； （６） ÷ ； （７） ÷ ； （８） ÷ ．
２ ３ ９ ３０ ７ ２ ５ ５
１１．在下面的□里填上适当的整数．
□ ７ □ ３ ６ ５ □ □
（１） ÷３＝ ； （２） × ＝ ； （３） ÷ ＝ ．
１１ □ ５ □ ３５ ９ ４ ２７
２０ 第一章 分数的乘法与除法１．３ 分数乘、除法的应用
运用分数乘、除法运算，可以解决一些实际问题．
３
例１ 海象的平均寿命大约是４０年，海狮的平均寿命是海象的 ，海豹的
４
２
平均寿命是海狮的 ．海豹的平均寿命大约是多少年？
３
分析：根据题意，可以画出线段图 （图１．３１）．
图１．３１
３
解：第一步，根据海狮的平均寿命是海象的 ，先求出海狮的平均寿命．
４
３ １０ ３
４０× ＝４０× ＝３０ （年）．
４ ４
１
２
第二步，根据海豹的平均寿命是海狮的 ，求出海豹的平均寿命．
３
２ １０ ２
３０× ＝３０× ＝２０ （年）．
３ ３
１
上面的分步算式还可以列成综合算式．
１
３ ２ １０ ３ ２
４０× × ＝４０× × ＝２０ （年）．
４ ３ ４ ３
１ １
答：海豹的平均寿命大约是２０年．
第一章 分数的乘法与除法 ２１
２
１．一头鲸体长２８ｍ，一个人的身高是这头鲸体长的 ．这个人身高多
３５
少米？
２．人体血液在主动脉中的流动速度约为２０ｃｍ／ｓ，在静脉中的流动速度约
２ １
为主动脉中的 ，在毛细血管中的流动速度只有静脉中的 ．血液在
５ １６０
毛细血管中每秒约流动多少厘米？
例２ 人的心脏每分钟跳动的次数随年龄而变化．青少年每分钟心脏跳动
４
约７５次，婴儿每分钟心脏跳动的次数约比青少年多 ．婴儿每分钟心脏跳动约
５
多少次？
４
分析：“婴儿每分钟心脏跳动的次数约比青少年多 ”就是指婴儿每分钟
５
４
比青少年多跳的次数约是青少年心脏跳动次数的 （图１．３２）．
５
图１．３２
解：先求出婴儿每分钟比青少年多跳的次数，再求出婴儿每分钟心脏跳动的
次数．
４
７５＋７５×
５
１５ ４ 还有其他解法吗？
＝７５＋７５×
５
１
＝１３５ （次）．
答：婴儿每分钟心脏跳动约１３５次．
２２ 第一章 分数的乘法与除法
５
１．为举行校庆，六 （２）班要做１８０面小旗．已经做了 ，还剩多少面没做？
６
１
２．２０１１年世界人口达７０亿，到２０２２年增加了约 ．２０２２年世界人口达
７
到了多少亿？
例３ 栈道是我国古代交通史上的一大发明．某景区要修复一条栈道，甲
１ １
队单独修，每天修全长的 ；乙队单独修，每天修全长的 ．现在两队合修，
１２ １８
同时从栈道两端开工，多少天可以修完这条栈道？
１
分析：甲队单独修，每天修整条栈道的 ；乙队单独修，每天修整条栈道
１２
１ １ １
的 ．两队一起修，每天修整条栈道的 ＋ ．求多少天可以完成，也就是将这
１８ １２ １８
（１ １） （１ １）
条栈道看作单位 “１”，求单位 “１”里有几个 ＋ ．因此用除法１÷ ＋
１２ １８ １２ １８
解决．
（１ １）
解： １÷ ＋
１２ １８
５
＝１÷
３６
＝７．２ （天）．
答：两队合修，同时从栈道两端开工，７．２天可以修完这条栈道．
１．两辆车同时从甲、乙两地对开．Ａ车每小时行驶６２ｋｍ，Ｂ车每小时行
２
驶７０ｋｍ，经过 ｈ两车相遇．甲、乙两地间的公路长多少千米？
３
１
２．李叔叔在电脑中录入一篇论文，３ｈ录入了 ．照这样的速度，李叔叔工
３
作８ｈ，可以录入这篇论文的几分之几？还剩几分之几没有录入？
第一章 分数的乘法与除法 ２３
１
１．六 （１）班有３６名学生， 的学生长大后想成为教师，想成为科学家的人数
３
５
是想成为教师人数的 ，这个班有多少名学生想成为科学家？
６
１４ ３
２．鹅的孵化期约是３０天，鸭的孵化期是鹅的 ，鸡的孵化期是鸭的 ，鸡的孵
１５ ４
化期约是多少天？
１ １
３．挖一条水渠，王叔叔每天能挖这条水渠的 ，李叔叔每天能挖这条水渠的 ．
２０ ３０
两人合作，几天能挖完？
４．甲车从Ａ城市到Ｂ城市要行驶２ｈ，乙车从Ｂ城市到Ａ城市要行驶３ｈ．两车
同时分别从Ａ城市和Ｂ城市出发，相向而行，几小时后相遇？
２
５．球从高处自由下落，每次接触地面后弹起的高度都比前一次降低了 ．如果球
５
从３５ｍ高处落下，那么第二次弹起的高度是多少米？第三次呢？
１
６．某中学上个月共用电６００千瓦时，这个月比上个月节约了 ，这个月用电多
１２
少千瓦时？
２
７．运送一批大米，４辆车运走大米总量的 ，平均每辆车运走这批大米的几分之
５
几？剩下的大米还要几辆车才能运完？
８．２０２０年第七次全国人口普查结果表明，我国人口最多的两个省是广东省和山
４
东省，山东省约有１０２００万人，比广东省少 ，广东省大约有多少万人？
２１
５
９．某汽车厂去年计划生产汽车１２６００辆，结果上半年完成全年计划的 ，下半
９
３
年完成全年计划的 ，全年超产汽车多少辆？
５
２４ 第一章 分数的乘法与除法１ １
１０．六 （１）班学生人数是本年级学生人数的 ，六年级学生人数是全校的 ．
３ ６
六 （１）班的学生人数是全校的几分之几？如果六 （１）班有４０名学生，全
校有多少名学生？
经分
在我国古代的数学著作 《九章算术》中，对分数除法作了具体的论述．在
该书中，分数除法被称为 “经分”．
书中以实例记载了 “经分术”．例为： “今有七人，分八钱三分钱之一．问
１
人得几何．答曰：人得一钱二十一分钱之四．”大意就是： “现有７人，分８
３
４
钱．问每人平均得多少钱．答：每人得１ 钱．”
２１
解决这个问题的具体方法就是 “经分术”，即 “以人数为法，钱数为实，实
如法而一．有分者通之．重有分者同而通之”．也就是分数除法的具体法则：以
人数作除数 （法），以钱数作被除数 （实），用钱数除以人数．如果被除数或除
数中有分数，就将其通分．
第一章 分数的乘法与除法 ２５
"@0>
按下面的步骤计算，把最后的得数与开始的数相比较，你能发现什
么规律？
７
把 换成其他分数试试，看看有没有同样的规律．你能解释其中的原
１５
因吗？
２ ３ １
÷ ÷ ×
７ ３ ４ ２
→ → →
１５
２ ３ １
÷ ÷ ×
３ ４ ２
→ → →
２ ３ １
÷ ÷ ×
３ ４ ２
→ → →
２ ３ １
÷ ÷ ×
３ ４ ２
→ → →
２６ 第一章 分数的乘法与除法
在本章中，我们理解了分数乘、除法的意义，掌握了分数乘、除法
的计算方法，认识了倒数，并应用分数乘、除法的知识解决了一些实际
问题，提升了运算能力．
几个相同的分数相加，是几个相同的整数相加的延伸；而一个数的
几分之几，是一个数的几倍的扩展．因此，分数乘法的意义就是整数乘法
意义的扩展．计算分数乘法时，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作
分母．分数除法是分数乘法的逆运算，可以转化成分数乘法进行计算．
第一章 分数的乘法与除法 ２７利用分数乘、除法解决实际问题，应先明确条件和问题，再根据数
量关系选择合适的算法，从而把实际问题转化为数学问题，通过计算获
得数学结论，并用数学结论去解释实际问题．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明分数乘、除法的含义．
２．说一说分数乘、除法的计算方法．
３．整数乘法的运算律适用于分数乘法吗？
４．什么是倒数？怎样求一个数的倒数？说出三组互为倒数的数．
５．结合具体的例子说明为什么除以一个数可以转化为乘这个数的倒数．
６．举出几个运用分数乘、除法解决实际问题的例子．
１．计算：
３ ４ １ ２ ４ １
（１） ×２０； （２） ＋ ； （３）１８× ； （４） × ；
５ ７ ３ ９ ５ ８
３ １ １１ ５ ７ ５ ６
（５） － ； （６） × ； （７） × ； （８）０× ．
４ ６ １５ ８ １０ １４ １３
２．把上下两行计算结果相等的算式用线连起来．
２ ２ ３ ２ ３ ２
÷４ ÷ × ×４
５ ５ ４ ５ ４ ５
２ ４ ２ ２ ４ ２×４
÷ ×
５ ３ ５×４ ５ ３ ５
３．计算：
１ ４ ３ ４ ５ ２ ５
（１） ×８÷ ； （２） ＋０．５× ； （３） ÷ ÷ ；
５ ５ ５ ５ ６ ３ ６
（ ） （ ）
５ ５ ４ ５ ２ ７ ７
（４） ＋ × ； （５） － ×０．９； （６）１－ ÷ ；
８ ６ ２５ ６ ３ ９ ８
［ ］ ［ ］
（ ） （ ）
４ １ １ １ １ ２
（７） ÷ ０．８－ ＋ ； （８） １－ － × ．
９ ５ ３ ２ ４ ３
２８ 第一章 分数的乘法与除法９
４．无脊椎动物中游得最快的是乌贼，它的平均速度是 ｋｍ／ｍｉｎ．３０ｍｉｎ它能游多
１０
少千米？１ｈ呢？
１５
５．深圳年平均日照时间约为１８５０ｈ，北京年平均日照时间比深圳多 ．北京年平
３７
均日照时间大约为多少小时？
６．用简便方法计算：
（ ）
５ １ ９ １１ ２ ４ ５ ３ ５
（１） × × ； （２） － ×３６； （３） × ＋ × ．
１８ ４ ２０ １２ ９ ７ ９ ７ ９
１
７．有一批糖果，每袋装 ｋｇ，每箱装２５袋，正好装了４箱．这批糖果一共有多少
２
千克？
８．写出下列各数的倒数：
１ ５１ ８ １２
， ， ，５， ，１．
９ ６２ ３ ２３
９
９．冰融化成水后，水的体积约变为冰的体积的 ．有一块冰，融化成水之后的体
１０
积是３０ｄｍ３ ，这块冰的体积约是多少？
６
１０．狮子奔跑时的最大速度可以达到６０ｋｍ／ｈ，大约是猎豹的 ．猎豹奔跑时的最
１１
大速度大约是多少？
９ ２
１１．校园里有２０棵杨树，柳树棵数是杨树的 ，槐树棵数是柳树的 ．槐树有多
１０ ３
少棵？
７
１２．一列高铁列车从Ａ城市到Ｂ城市行驶了５ｈ，一列普通列车所用时间比它多 ．
５
这列普通列车从Ａ城市到Ｂ城市要行驶多少小时？
１３．王阿姨在集市上卖灯笼．第一天收入７８０元，扣除这一天的成本 （进货费用占
１ １
收入的 ，租摊位等费用占 ）后，王阿姨把利润 （剩余的钱）存入了银行．
２ ６
（１）王阿姨第一天卖灯笼的成本是多少钱？
（２）第一天进货费用比租摊位等费用多多少钱？
（３）如果接下来每天都能有和第一天同样多的利润，在７天集市中，王阿姨一
共能获得多少利润？
第一章 分数的乘法与除法 ２９５
１４．周伯伯家的院子里有一块长方形地，他用这块地的 种蔬菜，其余的种草莓．蔬
８
２
菜地的 种小白菜，其余种生菜．
３
（１）周伯伯种的小白菜和生菜分别占这块地的几分之几？
２
（２）这块地长１２ｍ，宽是长的 ．这块地的面积是多少？
３
（３）请你提出一个数学问题并解答．
１５．计算：
５ １ ４ ９ ３ １ ２
（１）１ ×１８； （２）６ × ； （３） ×３ ； （４）１ ×２ ．
６ ２ ７ １０ ４ ３ ５
１
１６．学校运动会上，某班参加比赛的女生占全班人数的 ，参加比赛的男生占全班
６
１
人数的 ，参加比赛的男生比女生多３人．这个班有学生多少人？
４
１７．我国二十四节气中的 “夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天．这一天，
３
某地的黑夜时长是白昼时长的 ．这一天该地的白昼和黑夜分别是多少小时？
５
１
１８．有两袋米，一袋装了１０ｋｇ米．如果从另一袋中倒出 给这袋，那么两袋米的
３
质量就一样了．另一袋原来装了多少千克米？
４ １１
１９．已知犪× ＝ ×犫＝犮，且犪，犫，犮都不等于０，把犪，犫，犮这三个数按从大
３ １２
到小的顺序排列，并说明理由．
３０ 第一章 分数的乘法与除法第二章 圆的初步认识
在以前的学习中，我们已经学习了很多图形，其中就有圆．
你有没有想过：在施工时，用什么方法能把花坛、喷水池修成圆形？车轮
为什么设计成圆形？为什么绝大多数植物的根和茎的横截面是圆形的？……所
有这些，都需要我们了解更多有关圆的知识．
在这一章中，你将通过自己的思考和活动，探索圆的特征，学会计算圆的
周长和面积，了解圆的应用．
第一章 分数的乘法与除法２．１ 圆和扇形的认识
圆有什么特征？扇形和圆有怎样的关系呢？让我们在观
察、比较与操作中探究吧！
２１１ 圆
圆 （ｃｉｒｃｌｅ）是常见的图形，生活中的许多物体都是圆形的 （图２．１１）．
图２．１１
借助工具，可以画出一个圆 （图２．１２）．
图２．１２
３２ 第二章 圆的初步认识用圆规画圆时，有针尖的脚要固定不动；旋转圆规时，两脚间的距离要保
持不变 （图２．１３）．
O O O
O
O
图２．１３
墨子云：圆，一中同长也；圆，规写交也．如图２．１４，
点犗到圆上任意一点的距离都相等，这一点叫作圆心
d
（ｃｅｎｔｅｒｏｆａｃｉｒｃｌｅ）．连接圆心和圆上任意一点的线段叫作
O
半径 （ｒａｄｉｕｓ），通常用字母狉表示．通过圆心并且两端都 r
在圆上的线段叫作直径 （ｄｉａｍｅｔｅｒ），通常用字母犱表示．
图２．１４
/
在同一个圆内，有多少条半径？多少条直径？直径与半径有什么关系？
用圆规画几个不同大小的圆，剪下来，沿着直径折一折，你有什么
发现？
可以发现，在同一个圆内，半径、直径都有无数条；所有的半径都相等，
１
所有的直径也都相等．直径的长度是半径的２倍，半径的长度是直径的 ，用
２
１
公式表示就是犱＝２狉，狉＝ 犱．
２
如图２．１５，把圆沿任何一条直径对折，两边都可以重合，说明圆是轴对
称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴．
图２．１５
第二章 圆的初步认识 ３３5
圆的大小与什么有关？圆的位置与什么有关？
１．对于图２．１２中用杯口画出的圆，如何找到圆心？请你自己画一画，试
一试．
２．用圆规画一个半径是２ｃｍ 的圆，并分别用字母犗，狉，犱标出它的圆
心、半径和直径．
２１２ 扇形
如图２．１６，圆上犃，犅两点之间的部分叫作弧
A
（ａｒｃ），读作 “弧犃犅”．一条弧和经过这条弧两端的两
条半径所围成的图形叫作扇形 （ｓｅｃｔｏｒ）．像∠犃犗犅这
O
样，顶点在圆心的角叫作圆心角 （ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ）．
B
图２．１６
/
在同一个圆中画几个不同大小的扇形，你有什么发现？
可以发现，在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形
C
的圆心角的大小有关，圆心角越大，相应的扇形就越大
（图２．１７）．特别地，如图２．１８，以半圆为弧的扇形的圆 B
D
O
A
１
心角是１８０°．以 圆为弧的扇形的圆心角是９０°．
４
图２．１７
A
A B B
O O
图２．１８
5
我们知道，圆是轴对称图形，扇形是不是轴对称图形？如果是，它的
对称轴是什么？
３４ 第二章 圆的初步认识
１．指出下列物体中的扇形．
（第１题）
２．先画一个半径是２ｃｍ的圆，再在该圆中画一个圆心角是１００°的扇形．
１．按下面的要求，用圆规画圆．
（１）狉＝３ｃｍ； （２）犱＝５ｃｍ； （３）狉＝３．５ｃｍ．
２．填表 （单位：ｍ）．
狉 ０．２４ １．４２
犱 ０．８６ １．０４
３．用下面的方法可以测量没有标出圆心的圆的直径．请你试一试．
（第３题）
第二章 圆的初步认识 ３５４．根据对称轴画出轴对称图形的另外一半．
（第４题）
５．下面哪个图形中的角是圆心角？
B
A A
B
B
B O
O O O
A
A
1 2 3 4
（第５题）
６．学校要建一个直径是１０ｍ的圆形花坛，你能用什么方法画出这个圆？
７．看图填空．
2 cm
O O
3.5 cm
O
10 cm
d= r= d=
（第７题）
８．如图，长方形中有三个大小相等的圆，已知这
个长方形的长是１８ｃｍ，圆的直径是多少？长
方形的周长是多少？
18 cm
（第８题）
３６ 第二章 圆的初步认识９．在下列图形中，你能分别画出几条对称轴？
（第９题）
１０．如图，许多建筑和物品上都可以见到 “外方内圆”和 “外圆内方”的设计．
“外方内圆”指在正方形中包含一个最大的圆，“外圆内方”指在圆中包含一个
最大的正方形．在这两种设计中，正方形的边长和圆的半径之间有怎样的关系？
（第１０题）
圆的妙用
如果你仔细观察就会发现，我们周围很多东西的形状都是圆形的，如车轮、
马路上的大多数井盖 （图１）……这是为什么呢？
图１
第二章 圆的初步认识 ３７车轮制成圆形，利用了同一圆的半径都相
等的性质．把车轴装在车轮的圆心上，当车轮在
地面上滚动的时候，车轴离地面的距离总是等
于车轮的半径，因此只要道路平坦，车子就会
平稳地在地面上行驶．试想一下：如果车轮是正
方形的，为了保持车辆的平稳行驶，道路应该 图２
是什么样的呢 （图２）？你还有什么奇思妙想？
井盖做成圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好
盖住井口，这里利用了同一圆的直径都相等的性质 （图３）．
图３
３８ 第二章 圆的初步认识２．２ 圆的周长
与学习长方形、平行四边形、梯形、三角形类似，周长
和面积是学习一个图形的重要内容．下面我们首先来学习圆
的周长．
２２１ 圆的周长
与其他平面图形类似，围成圆的曲线的长叫作圆的周长．怎样才能知道一
个圆的周长是多少呢？
如图２．２１，我们可以用一根线 （或纸条）绕圆一周，剪去多余的部分，
再拉直量出它的长度，就得到圆的周长．
A
A A A
0 1cm 2 3 4 5 6 7
图２．２１
如图２．２２，我们也可以把圆放在直尺上滚动一周，直接量出圆的周长．
A
A A
0 1 cm 2 3 4 5 6 7
图２．２２
/
圆的周长与什么有关？有怎样的关系呢？
周长
量出一些大小不同的圆的周长和直径，并算出 的值，把结果填
直径
入表２．２１中．观察表格中的数据，你发现了什么？
第二章 圆的初步认识 ３９表２２１
周长
的值
物品名称 周长 直径 直径
一个圆的周长总是
（保留两位小数）
它的直径的３倍多一些．
其实，人们很早就开始研究圆的周长与直径的关系，发现任意一个圆的
周长
的值是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π （狆à犻）表示．圆周
直径
率是一个无限不循环小数，π＝３．１４１５９２６５３５…，但在实际应用中常常只取
它的近似值，如取它的两位小数的近似值，π≈３．１４．
如果用犆表示圆的周长，就有：
犆＝π犱或犆＝２π狉．
例１ 每辆汽车的仪表盘上都可以显示这辆车出厂以来的总里程，这个总
里程是由车轮的周长乘转动圈数得到的．一辆汽车的轮子直径是７５ｃｍ．轮子
转１圈，这辆汽车可以走多远？这辆汽车从出厂起行驶的总里程是４７１０ｋｍ，
轮子一共转了多少圈？
解：由犆＝π犱，可知这辆汽车的轮子转１圈，可以走
３．１４×７５＝２３５．５ （ｃｍ）＝２．３５５ （ｍ）．
４７１０ｋｍ＝４７１００００ｍ， 在本书中，如无特
４７１００００÷２．３５５＝２００００００ （圈）． 殊说明，π取３．１４．
答：轮子转１圈，这辆汽车可以走２．３５５ｍ．
轮子一共转了２００００００圈．
１．如图，求各圆的周长．
２．一个圆桌面的周长是
r=3cm d=8 cm r =5cm
６．２８ｍ．这个圆桌面的
直径是多少？
（第１题）
４０ 第二章 圆的初步认识２２２ 弧长
5
我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想：圆
的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此可见，１°的圆心角所对
的弧长是多少？狀°的圆心角呢？
在半径为狉的圆中，因为３６０°的圆心角所对的弧长就是圆周长犆＝２π狉，
２π狉 π狉
所以１°的圆心角所对的弧长是 ，即 ．于是，狀°的圆心角所对的弧长为
３６０ １８０
狀π狉
犾＝ ．
１８０
例２ 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算 “展直长度”再下料，试
计算图２．２３所示管道的展直长度犔（结果保留整数）．
A B
7
m 0
m 0 m
7 0 0 m m
m
0
0
9
100e r
D
C
O
图２．２３
解：由弧长公式，得弧犃犅的长
１００×π×９００
犾＝ ＝５００π≈１５７０ （ｍｍ）．
１８０
因此，所要求的展直长度
犔≈２×７００＋１５７０＝２９７０ （ｍｍ）．
１．能够互相重合的弧叫作等弧，弧长相等的两段弧是等弧吗？
２．如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长１２ｍ，弧所对的圆
心角是８１°．这段圆弧所在圆的半径是多少米 （结果保留小
数点后一位）？
（第２题）
第二章 圆的初步认识 ４１
１．一个圆形喷水池的半径是５ｍ，它的周长是多少米？
２．在一个圆形亭子里，张华沿着直径从一端走１２步到达另一端，每步长大约是
５５ｃｍ．这个圆的周长大约是多少米？
３．一个古代建筑中的圆柱横截面的周长是３．１４ｍ．这个圆柱横截面的直径是多少米？
４．一只挂钟的分针长２０ｃｍ，经过３０ｍｉｎ后，分针的尖端所走的路程是多少厘
米？经过４５ｍｉｎ呢？
５．７５°的圆心角所对的弧长是２．５π，这条弧所在圆的周长是多少？半径是多少？
６．看图填空 （单位：ｃｍ）．
（１）如图 （１），正方形的周长是 ｃｍ，圆的周长是 ｃｍ．
（２）如图 （２），其中一个圆的周长是 ｃｍ，长方形的周长是 ｃｍ．
r=2
r=1.5
1 2
（第６题）
第二章 圆的初步认识
m
3
７．如图，两个大小一样的传送轮之间连接着一条传送
10 m
带．求这条传送带的长 （结果保留小数点后一位）．
８．李明家的一扇窗户需要装上形状如图所示的装饰
（第７题）
木条，大约需要木条多少米？
mc
05
d=50c m
5 cm
50 cm
（第８题） （第９题）
９．如图所示的图形的周长是多少厘米？你是怎样计算的？
４２１０．在航海中，常用海里 （ｎｍｉｌｅ）作为路程的度量单位．把地球看作球体，
１ｎｍｉｌｅ近似等于赤道所在的圆中１′的圆心角 （１′是角的单位，６０′＝１°）所
对的弧长．已知地球平均半径 （也就是赤道所在圆的半径）约为６３７０ｋｍ，
１ｎｍｉｌｅ约等于多少米 （结果保留整数）？
１１．把圆柱形物体分别用绳子捆成如图的形状 （从底面方向看），如果接头处不
计，每组至少需要多长的绳子？由计算结果，你发现了什么规律？
7 cm 7 cm 7 cm
（第１１题）
１２．如图，大半圆中有狀个小半圆，大半圆的弧长为
犔，狀个小半圆的弧长之和为犔，比较犔 和犔
１ ２ １ ２
的长短，并说明理由．
（第１２题）
第二章 圆的初步认识 ４３２．３ 圆的面积
我们在三年级时学习了用面积单位去度量，得到图形的
面积．能不能用同样的方法求得圆的面积呢？还有没有更好
的方法呢？
２３１ 圆的面积
/
图２．３１是一个半径为１０ｃｍ的圆，怎样求这个圆的面积呢？
r
O
图２．３１ 图２．３２
１
如图２．３２，我们可以用边长为１ｃｍ的小方格数一数．先数出 圆中的小
４
方格的个数并算出它的面积 （图２．３３），再乘４就是圆的面积．可以发现，圆
的面积大约是半径平方的３．１倍．
整数格的个数： 整数格和不满一格 不满一格算半格：
的小方格个数：
６９×４＝２７６ ６９＋１７＝８６ ６９＋１７÷２＝７７．５
８６×４＝３４４ ７７．５×４＝３１０
图２．３３
想一想：如果用１ｍｍ的小方格来数，得到的结果会更精确吗？如果小方
格分得越来越小呢？
４４ 第二章 圆的初步认识/
我们以前把三角形转化成平行四边形来计算面积．能不能把圆转化成
学过的图形来计算面积？找一个圆，通过剪、拼的方法试一试．
将一个圆分别８等分、１６等分、３２等分，再拼合在一起，得到如图２．３４
的图形．想一想：这些图形可以近似看成什么形状？
图２．３４
5
圆等分的份数越多，拼出的图形会越接近什么形状？由此你能计算圆
的面积吗？
如图２．３５，可以发现，如果等分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形
就会越接近长方形．如果圆的半径是狉，这个长方形的长近似于π狉，宽近似于狉．
r
C
=pr
2
图２．３５
因为长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝π狉×狉＝π狉２．如果用犛表示
圆的面积，那么圆的面积计算公式就是
犛＝π狉２．
例１ ２０２３年６月，全球首台１６兆瓦海上风电机组在我国福建外海风电
场安装完成．风电机组 （图２．３６）的叶轮半径为１２３ｍ，风起时叶轮转动形成
一个圆，这个圆的面积就是叶轮的扫风面积．这个叶轮的扫风面积大约是多少
第二章 圆的初步认识 ４５平方米？已知标准足球场长１０５ｍ，宽６８ｍ，这个叶轮的扫风面积大约相当于
几个足球场 （得数保留整数）？
图２．３６
解：３．１４×１２３２≈４７５０５ （ｍ２ ），
１０５×６８＝７１４０ （ｍ２ ），
４７５０５÷７１４０≈７．
答：这个叶轮的扫风面积大约是４７５０５ｍ２ ，大约相当于７个足球场．
１．一个圆形茶几桌面的直径是１ｍ，它的面积是多少
平方米？
２．一个圆形蓄水池的周长约是３１．４ｍ，它的占地面
积约是多少平方米？
３．如图，正方形的面积是１０ｃｍ２ ，圆的面积是多少
平方厘米？ （第３题）
２３２ 扇形的面积
5
由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想：圆面积
可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为１°的扇形面积是多少？
圆心角为狀°的扇形呢？
如图２．３７，在半径为狉的圆中，因为圆心角为３６０°的扇 A
形的面积就是圆面积犛＝π狉２ ，所以圆心角为１°的扇形面积是
n°
O
π狉２ B
．于是，圆心角为狀°的扇形面积计算公式是
３６０
图２．３７
４６ 第二章 圆的初步认识狀π狉２
犛 ＝ ．
扇形 ３６０
/
比较扇形面积公式与弧长公式，你可以用弧长来表示扇形面积吗？
比较扇形面积公式与弧长公式，可以得到
１
犛 ＝ 犾狉，
扇形 ２
其中犾为扇形的弧长，狉为半径．
例２ 如图２．３８，公园内有一块半径为１８ｍ的扇形草
B
坪．若∠犃犗犅＝１２０°，求草坪的面积 （结果保留整数）．
解：根据扇形的面积公式，草坪的面积为
A O
１２０×π×１８２
＝１０８π≈３３９ （ｍ２ ）． 图２．３８
３６０
答：草坪的面积约为３３９ｍ２．
１．一个圆心角为１５０°，半径为４ｄｍ的扇形，它的面积是多少平方分米
（结果保留小数点后两位）？
２．如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着
一条狗．拴狗的绳子长４ｍ，这条狗活动区域的面积有多大？
m
6
12m
（第２题）
２３３ 圆和扇形面积的应用
利用圆和扇形的面积公式，可以解决一些问题．
第二章 圆的初步认识 ４７例３ 如图２．３９，馆藏于故宫博物院的 “青玉御题
蚕纹璧”，其形状是一个圆环．内圆直径是５．４ｃｍ，外圆
直径是２６．３ｃｍ．这个圆环的面积是多少 （结果保留小数
点后一位）？
（ ） （ ）
２６．３ ５．４
解法１： ３．１４× ２ －３．１４× ２
２ ２
图２．３９
＝
≈ （ｃｍ２ ）．
［（ ） （ ）］
２６．３ ５．４
解法２： ３．１４× ２ － ２
２ ２
＝
≈ （ｃｍ２ ）．
答：这个圆环的面积是 ．
例４ 如图２．３１０，求图中涂色部分的面积．
A G D
E F
5 cm 5 cm
B 3 cm C
（１） （２）
图２．３１０
解：（１）这个图形是由一个大半圆挖去一个小半圆，再加一个小半圆拼接
而成的．可以将小半圆绕着大半圆的圆心旋转１８０°，得到一个大半圆，涂色部
分的面积就是这个大半圆的面积，即
１
×３．１４×５２＝３９．２５ （ｃｍ２ ）．
２
（２）把上面的半圆平移到下面，得到一个长６ｃｍ、宽３ｃｍ的长方形，涂
色部分的面积就是这个长方形的面积，即
６×３＝１８ （ｃｍ２ ）．
10 m
１．如图，一个圆形环岛的直径是５０ｍ，中间是一个
直径为１０ｍ的圆形花坛，其他地方是草坪．求草 50 m
坪的面积．
（第１题）
４８ 第二章 圆的初步认识２．如图，求涂色部分的面积 （单位：ｃｍ）．
11cm
11cm
1cm
2 21 12 2
6
第二章 圆的初步认识
6=d
1
（第２题）
１．计算图中各圆的周长和面积．
d=10 cm r=3 cm
（第１题） （第２题）
２．如图，公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是１０ｍ，它能喷灌的面积是
多少平方米？
３．一个圆形花坛的直径是１０ｍ．为了在这个花坛中种植不同的花卉，把它分成面
积相等的四部分，其中一部分种了月季花．请你计算出月季花的种植面积．
４．如图，两个图中，大圆的半径均等于小圆的直径，请你求出涂色部分的面积．
你发现了什么？
6 cm 6 cm
（第４题） （第５题）
５．一枚铜钱形状如图所示，它的直径为２８ｍｍ，中间正方形的边长为６ｍｍ，
求这枚铜钱的面积．
４９６．生活中有很多圆环形的物体，比如圆筒形卫生纸的横截面是一个圆环，工件
中的金属垫片也基本上是圆环形的．请你找一找生活中圆环形的物体，测量所
需数据，计算出它的面积．
（第６题）
７．如图，图形中涂色部分的面积是多少 （单位：ｄｍ）？
100 m
32 m
O
第二章 圆的初步认识
4
4
（第７题） （第８题）
８．如图，一个运动场的两端是半圆形，中间是长方形．这个运动场的周长是多少
米？面积是多少平方米？
９．图中的花瓣状门洞的边是由４个直径都是１ｍ的半圆组成的，求这个门洞的
周长和面积．
1 m
（第９题） （第１０题）
１０．土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形状有圆形、方形、椭圆形等．
有两座底面是圆环形的土楼，其中一座的底面圆环外直径３４ｍ，内直径１４ｍ；
另一座外直径２６ｍ，内直径１４ｍ．两座土楼的房屋占地面积相差多少？
５０１１．如图，纸扇完全打开后，外侧两竹条所在直线犃犅，犃犆之间的夹角为１２０°，
犃犅的长为３０ｃｍ，扇面犅犇的长为２０ｃｍ．求扇面犅犇犈犆的面积 （结果保留
整数）．
B C
D E
A
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，公园有两块一样大的半圆形草坪，它们的周长都是１２８．５ｍ，这两块
草坪的总面积是多少？
１３．下面的图形是由两个相同的半圆叠拼而成的．已知三角形犃犅犆是一个等腰直
角三角形，犃犅＝犅犆＝１０ｄｍ．图中涂色部分的面积是多少平方分米？
A
D C
D
D B
B C A B A
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，将边长为１０ｃｍ的正方形细铁丝框犃犅犆犇变形为以点犃为圆心，以
犃犅，犃犇为半径的扇形．求所得扇形犃犅犇的面积．
第二章 圆的初步认识 ５１在古代，由于对数的认识有限， 刘徽 （魏 晋 时
计算精度要求也不高，人们粗略地 期）创割圆术计算圆
认为圆周率是３．《九章算术》中记 周率，他在利用圆内
载着 “周三径一”． 接正１９２边形计算圆
面积时，得到圆周率
１５７
为 ＝３．１４，该值
５０
被称为徽率．
《九章算术注》中的割圆术
祖 冲 之 （４２９—５００）
是第一位将圆周率精确到
小数点后第７位的数学家，
早于西方９００多年．他还给
出了圆周率的两个估计值
２２ ３５５
图为汉代记里鼓车复原模型．车直行 （约率）和 （密率），
绘有祖冲之及祖率的 ７ １１３
一里路，敲鼓一下，这说明当时人们
银币 （１９８６） 后者被称为祖率．
就已经能计算圆周长并设计车轮大小．
阿基米德 （Ａｒｃｈｉｍｅｄｅｓ，公元前
２８７—前２１２）利用单位圆 （半径为１的
圆）的内接和外切正多边形，求出圆周
２２３ ２２
率的下界和上界分别为 和 ，并取它
记载圆面积计
７１ ７
算的古巴比伦 们的平均值３．１４１８５１作为圆周率的近
泥版 似值．
古巴比伦人用３作为圆周率计 绘有阿基米德计
算圆的面积．公元前９００年左右，希 算圆周率场景的
伯来人的 《两个编年史》中记载的 银币 （２０１４）
圆周率也为３．
５２ 第二章 圆的初步认识
书书书清代蒙古族数学家、天文学家明安图
中国超级计算机：神威·太湖之光
（约１６９２—约１７６４）在 《割圆密率捷法》
一书中论证了圆周率的无穷级数表达式等
公式．为了纪念他的贡献，１９９９年发现的
一颗小行星被命名为 “明安图星”．
１９４９年，世界首台通用计算机ＥＮＩＡＣ
计算出π的小数点后第２０３７位，标志着
π的计算进入了新时期．如今，借助超级
计算机，已经可以计算到π的小数点后上
万亿位．
明安图塑像
π
随着微积分的诞生，圆周率的计算进入
了分析法时期．欧拉 （Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）
用威廉·琼斯引进的符号 “π”表示圆周率，
并证明了很多关于π的无穷级数表达式，使
π的计算更准确、快速．
2 1 1 1 1
+ + + +... 关于圆周率的各种计算方法承载
6 12 22 32 42
着人类智慧的积淀，这使得圆周率成
为了数学中最有魅力的数字之一！于
是，从２０２０年开始，每年３月１４日被
定为国际数学日，也被称为 “π日”．
欧拉和他的π的无穷
级数表达式
第二章 圆的初步认识 ５３
"* @@
用圆可以设计许多漂亮的图案．下面的图形就是用圆规和直尺一步一
步画出来的．
在画的过程中，你对圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，有了更
深的感受吗？
请你试着用圆规和直尺画一画下面的图形．
５４ 第二章 圆的初步认识
圆是由曲线围成的图形．在同一个圆中，所有半径的长度都相等，也就
是圆上任意一点到圆心的距离都相等，利用这一原理可以用圆规画圆；同一
个圆的直径的长度是半径的２倍，所以同一个圆的直径的长度都相等．
圆的周长和面积公式的探索，利用了转化的数学思想；解决问题贯
穿在整个学习过程中……你都体会到了吗？
扇形是圆的一部分，弧长是圆周长的一部分，扇形的面积也是圆面
积的一部分．因此可以根据扇形与圆的关系，求出弧长和扇形的面积．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．用自己的语言描述出下面这些概念的含义，并用图形表示它们
（圆周率除外）．
圆心、直径、半径、轴对称图形、圆周率、扇形、弧、圆心角．
２．同一个圆中的半径与直径有什么关系？圆的周长与直径和半径分
别有什么关系？圆的面积与半径有什么关系？
３．扇形中弧长和扇形所在圆的周长有什么关系？扇形的面积和它所
在圆的面积有什么关系？
第二章 圆的初步认识 ５５４．圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？扇形呢？说出几种轴对称图形．
５．回顾如何用转化的方法得出圆的面积计算公式．
６．与以前相比，你对圆有什么新的认识？请与你的同桌进行交流．
１． “中国天眼”是目前世界上最大的单口径射电望远镜，其上方的圈梁是一个直径
为５００ｍ的圆．工程师沿着圈梁走一圈，大约是多少米？
（第１题） （第２题）
２．图中的双面绣作品是绣在直径为２０ｃｍ的圆面上的．这个圆的面积是多少？
３．用１０ｍ长的铁条做直径是５０ｃｍ的圆形铁环，最多可以做多少个？
４．某公园要修建一个圆形旋转木马游乐设施，圆的直径是８ｍ，周边还要留出１ｍ
宽的小路，并在外侧围上栏杆．栏杆内的占地面积是多少平方米？
５．在边长为１０ｃｍ的正方形里面，以其中一个顶点为圆心，画一个最大的扇形，
这个扇形的面积是多少平方厘米？
６．把下面的表格补充完整并填空．
圆 半径 直径 周长 面积
Ａ ５ｃｍ
Ｂ ２０ｃｍ
Ｃ ４０ｃｍ
Ｄ ４０ｃｍ
５６ 第二章 圆的初步认识可以发现，圆的半径扩大到原来的狀倍，直径扩大到原来的 （ ）倍，周长
扩大到原来的 （ ）倍，面积扩大到原来的 （ ）倍．
７．如图，一个羊圈依墙而建，呈半圆形，半径是５ｍ．
（１）修这个羊圈需要多长的栅栏？
（２）如果要扩建这个羊圈，把它的直径增加２ｍ，羊圈的面积增加了多少平
方米？
（第７题） （第８题）
８．如图，一个图形的中间是边长为１ｃｍ的正方形，四周是四个圆心角为９０°的扇
形，整个图形的周长和面积是多少？
９．如图，一台压路机的前轮直径是１．７ｍ，如果前轮每分钟转动６周，这台压路机
１０ｍｉｎ能前进多远？
（第９题）
１０．如图，大三角形和小三角形都是等边三角形．圆和大三角形的三条边各有一个
交点，犃犇＝犇犅＝犅犈＝犈犆＝犆犉＝犉犃．小三角形的面积是６０ｃｍ２ ，大三角形
的面积是多少？
A
D F
B E C
（第１０题）
第二章 圆的初步认识 ５７１１．如图，分别探索图 （１）的 “外方内圆”图形、图 （２）的 “外圆内方”图形中
圆与正方形的面积关系．进一步，如果把这样的两个图形叠放在一起，得到如
图 （３）的图形，其中小正方形、圆、大正方形的面积又有什么关系？
（１） （２） （３）
（第１１题）
１２． （１）用一根长３１．４ｍ的绳子在操场上围出一块地．怎样围面积最大？请你画一
画，算一算．
（２）为什么草原上蒙古包的底面是圆形的？为什么绝大多数植物的根和茎的横
截面是圆形的？结合 （１）中的研究，请你试着从数学的角度解释一下．
（第１２题）
５８ 第二章 圆的初步认识第三章 圆柱与圆锥
圆柱与圆锥是基本的立体图形．从精密的机器零件到威力巨大的导弹，从
普通的生活用品到气势恢宏的建筑，圆柱与圆锥是人们在生产、生活中经常遇
到的立体图形．
你能在下图中找出圆柱与圆锥吗？它们与以前学过的立体图形有什么不
同？一个圆柱形物体的表面积和体积应该怎样计算呢？圆锥的体积与圆柱的体
积有什么关系呢？
通过本章的学习，我们将对上述问题进行探索与解答．
第二章 圆的初步认识３．１ 圆柱
长方体和正方体都是由平面图形围成的立体图形，本节
我们再来研究一种立体图形———圆柱，并学习它的表面积和
体积的计算．
３１１ 圆柱的认识
7I0 + 4
- %4
图３．１１
图３．１１中这些物体的形状有什么共同点？
图３．１１中的这些物体都给我们以圆柱 （ｃｉｒｃｕｌａｒｃｙｌｉｎｄｅｒ）的形象．
６０ 第三章 圆柱与圆锥观察一个圆柱形的物体，看看它是由哪几部分组成的，有什么特征．
如图３．１２，圆柱的上、下两个面叫作底面，它们是
完全相同的两个圆面．
圆柱周围的面 （上、下底面除外）是一个曲面，叫作
侧面．
圆柱两个底面之间的距离叫作高．
图３．１２
/
想象一下：圆柱可以看成由什么图形，经过怎样的运动形成的？
如图３．１３，圆柱可以看成由一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成的，
也可以看成由一个圆面沿与它垂直的方向平移形成的．
图３．１３
１．下面的图形中，哪些是圆柱？
（１） （２） （３） （４） （５）
（第１题）
第三章 圆柱与圆锥 ６１２．如图，标明各圆柱的底面、侧面和高．
（第２题）
３．如图，旋转长方形犃犅犆犇，生成两个圆柱．说一说它们分别是以长方形
的哪条边为轴旋转而成的，底面半径和高分别是多少．
D
2 cm C
第三章 圆柱与圆锥
mc
1
A
B
（１） （２）
（第３题）
３１２ 圆柱的表面积
与研究长方体、正方体一样，认识了圆柱后，接下来我们也要研究它的表
面积和体积的计算，先来看它的表面积．
与长方体一样，圆柱的表面积就是它的展开图各部分面积的和．因此，为
了计算圆柱的表面积，我们先来看圆柱的展开图．
/
将一个圆柱展开，你能得到什么图形？它的侧面展开图是什么形状？
侧面展开图的各部分与圆柱的底面、高有什么关系？
如图３．１４，沿垂直于底面的方向将一个圆柱展开，可以发现，它的底面
就是两个大小相同的圆面，侧面是一个长方形，并且长方形的长等于圆柱底面
的周长，宽等于圆柱的高．
由圆柱的展开图 （图３．１４）可以得到：
圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面的面积，
其中圆柱的侧面积就是图３．１４中长方形的面积，
圆柱的侧面积＝底面周长×高．
６２因此，如果圆柱的底面半径是狉，高是犺，就可以得到下面的公式：
圆柱的侧面积＝２π狉犺，
圆柱的表面积＝２π狉犺＋２π狉２．
图３．１４
例１ 一顶厨师帽近似圆柱形，高约是３０ｃｍ，帽顶直径是２０ｃｍ．做这样
一顶帽子大约需要用多少平方厘米的面料 （结果保留整十数）？
解：帽子的侧面积为
３．１４×２０×３０＝１８８４ （ｃｍ２ ）；
帽顶的面积为
３．１４×（２０÷２） ２＝３１４ （ｃｍ２ ）；
因此，做这样一顶帽子大约需要用的面料为
１８８４＋３１４＝２１９８≈２２００ （ｃｍ２ ）．
１．求下列各圆柱的侧面积：
（１）底面周长是１．６ｍ，高是０．７ｍ；（２）底面半径是３．２ｄｍ，高是５ｄｍ．
２．计算下面各圆柱的表面积 （单位：ｃｍ）．
12
第三章 圆柱与圆锥
61
5
18
20
51
（第２题）
６３３．一个圆柱的侧面积是１８８．４ｄｍ２ ，底面半径是２ｄｍ．它的高是多少？
４．王芳做了一个笔筒，她想给笔筒的外侧面和外底面贴上彩纸，大约需
要用多少平方厘米彩纸 （结果保留整十数）？
第三章 圆柱与圆锥
mc
31
8 cm
（第４题）
３１３ 圆柱的体积
我们会计算长方体和正方体的体积，怎样计算圆柱的体积呢？能不能将圆
柱转化成我们学过的立体图形，再计算出它的体积呢？
我们曾经把圆切成很多小扇形，再拼成一个长方形来计算圆的面积．
可以用类似方法计算圆柱的体积吗？
如图３．１５ （１），可以把圆柱切成一层一层的圆片，计算出每一层体积单
位的个数，再乘层数就是圆柱的体积．这时
每层体积单位的个数对应圆柱底面的 ，
层数对应圆柱的 ．
（１） （２）
图３．１５
如图３．１５ （２），也可以把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后沿着扇
形把圆柱切开，再拼起来，就能得到一个近似的长方体．分成的扇形越多，拼
６４成的立体图形就越接近长方体．这时，
近似的长方体底面积等于圆柱的 ，
高等于圆柱的 ．
因为，长方体的体积＝底面积×高，
↓ ↓ ↓
所以，圆柱的体积＝ × ．
如果用犞表示圆柱的体积，犛表示底面积，犺表示高，那么圆柱的体积计
算公式是
犞＝犛犺．
如果知道圆柱的底面半径狉和高犺，圆柱的体积计算公式是
犞＝π狉２犺．
例２ 如图３．１６，图中的杯子能不能装下２袋这样的牛奶 （数据是从杯子
的里面测量得到的）？
8 cm
第三章 圆柱与圆锥
mc
01
240 mL
图３．１６
分析：要回答这个问题，先要计算出杯子的容积．
解：
杯子的底面积： ３．１４×（８÷２） ２ 杯子的容积： ５０．２４×１０
＝３．１４×４２ ＝５０２．４ （ｃｍ３ ）
＝５０．２４ （ｃｍ２ ）． ＝５０２．４ （ｍＬ）．
牛奶的体积：２４０×２＝４８０ （ｍＬ）．
５０２．４＞４８０．
答：杯子能装下２袋这样的牛奶．
６５
１．一根圆柱形材料，底面积是７５ｃｍ２ ，长是９０ｃｍ，它的体积是多少？
２．挖一口圆柱形水井，地面以下的井深是１０ｍ，井口直径是１ｍ．挖出的
土有多少立方米？
３．李明和妈妈出去游玩，带了一个圆柱形保温杯，从里面量得底面直径是
８ｃｍ，高是１５ｃｍ．如果两人游玩期间一共要喝１Ｌ水，带这杯水够两人
喝吗？
４．一个圆柱形的水池，从里面量得底面半径是５ｍ，深是３．２ｍ．这个水
池能蓄水多少吨 （１ｍ３ 水的质量是１ｔ）？
１．如图，圆柱的底面半径和高分别是多少 （单位：ｍｍ）？
第三章 圆柱与圆锥
5.21
18
19
02
（第１题）
２．如图，哪个图形是圆柱的展开图 （单位：ｃｍ）？
3
2
3
3
2
3
4
6.28
4
4
20
2
（１） （２） （３）
（第２题）
６６３．如图，求图形的表面积和体积 （单位：ｃｍ）．
第三章 圆柱与圆锥
21
6
02
15
0 1
02
20
0 2
（第３题）
４．填表．
圆柱的底面半径 圆柱的底面积 圆柱的高 圆柱的体积
２ｃｍ ４ｃｍ
２８．２６ｃｍ２ ６ｃｍ
５．如图是一个圆柱形水桶，用它大约可以装多少水？
６．一个圆柱的体积是８０ｃｍ３ ，底面积是１６ｃｍ２ ，它的高是多少
厘米？
60 cm
７．学校建了两个同样大小的圆柱形花坛．花坛的底面内直径是
m
４ｍ，高是０．８ｍ．如果里面填土的高度是０．５ｍ，两个花坛 90 c
一共需要填土多少立方米？
（第５题）
８．一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是１ｍ，高是２ｍ．如果每立方米玉米
的质量约为７５０ｋｇ，这个粮囤能装多少吨玉米？
９．如图，圆柱体切完后的截面或剪完后展开的侧面分别是什么形状？连一连．
（第９题）
６７１０．两个底面积相等的圆柱，一个高为４．５ｄｍ，体积为８１ｄｍ３ ，另一个高为
３ｄｍ，它的体积是多少？
１１．一个装水的圆柱形容器的底面内直径是１０ｃｍ，一个铁块完全浸没在这个容
器的水中，将铁块取出后，水面下降２ｃｍ．这个铁块的体积是多少？
１２．一种内直径是１．２ｃｍ的水龙头，打开后水的流速是２０ｃｍ／ｓ．用一个容积为
１Ｌ的保温壶接水，５０ｓ能接满吗？
１３．如图是一根钢管，求它所用钢材的体积 （单位：ｃｍ）．
第三章 圆柱与圆锥
01 8
80
（第１３题）
20 cm
mc
01
１４．如图，长方形的长是２０ｃｍ，宽是１０ｃｍ．分别以
长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱．它们的体
积各是多少？
１５．如图，４个图形的面积都是３６ｄｍ２．把这些图形分
别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的
（第１４题）
体积最大？你有什么发现 （单位：ｄｍ）？
18
2
12
3
9
4 6
6
（第１５题）
mc
7
mc
81
１６．如图，在一个底面内直径是８ｃｍ的瓶子里装有一些
水，水的高度是７ｃｍ．把瓶盖拧紧，再把瓶子倒置、
放平，无水部分是圆柱形，高度是１８ｃｍ．这个瓶子
的容积是多少？
（第１６题）
６８
圆柱容球
古希腊的阿基米德是历史上杰出的数学家．按照他的遗愿，人们在他的墓
碑上刻了一个 “圆柱容球”的几何图形．
第三章 圆柱与圆锥
r2
如图１，“圆柱容球”就是把一个球放在一个圆
柱形容器中，盖上容器上盖后，球恰好与圆柱的上、
r
下底面及侧面紧密相触．
当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径
相等．假设圆柱的底面半径为狉，那么圆柱的体积
犞 ＝π狉２×２狉＝２π狉３．阿基米德发现并证明了球的体
圆柱
４ ２
积公式是犞 ＝ π狉３ ，所以犞 ＝ 犞 ，即当圆柱容
球 ３ 球 ３ 圆柱
图１
球时，球的体积正好是圆柱体积的三分之二．
阿基米德还发现，当圆柱容球时，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．
如果球的表面积犛 ＝４π狉２ ，你能求出圆柱的表面积，并验证 “球的表面积
球
也是圆柱表面积的三分之二”这一结论吗？
圆柱容球中涉及的球的体积和表面积公式，同学们可能觉得比较陌生，我
们今后会学习这些知识．
６９３．２ 圆锥
在学习圆柱时，我们发现，将一个长方形绕它的一条边
旋转一周会形成一个圆柱．将一个直角三角形以它的一条直
角边为轴旋转一周，也会形成一个立体图形，这就是本节要
研究的圆锥．
３２１ 圆锥的认识
0 $ 0
EM 3 %
图３．２１
图３．２１中的物体的形状有什么共同点？
７０ 第三章 圆柱与圆锥图３．２１中的这些物体都给我们
以圆锥 （ｃｉｒｃｕｌａｒｃｏｎｅ）的形象．
如图３．２２，圆锥的底面是一个
h
圆面，侧面是曲面．从圆锥的顶点到
底面圆心的距离是圆锥的高．
r
图３．２２
/
如何测量圆锥的高？拿一个圆锥形物体，试着测量它的高．
可以用图３．２３中所示
测量时，圆锥的底
的方法测量圆锥的高．
面要放水平．
第三章 圆柱与圆锥
01
9
8
7
6
5
4
3
2mc1
0
10
9 8
7
6
5
4 3
2 1cm
0
图３．２３
/
如图３．２４，把一张直角三角形的硬纸
贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来的
图形是什么形状．
图３．２４
１．图中哪些图形是圆锥？圈一圈．
（第１题）
７１２．指出下面圆锥的底面、侧面和高．
（第２题）
３２２ 圆锥的表面积
我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几
何体．如图３．２５所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周
上任意一点的线段叫作圆锥的母线．
图３．２５
圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆
锥的表面积？
如图３．２６所示，沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展
平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形．
2πr
设圆锥的母线长为犾，底面圆的半径为狉，那么这个扇
l
形的半径为犾，扇形的弧长为底面圆的周长２π狉．
r
因此，
O
圆锥的侧面积＝π狉犾，
图３．２６
圆锥的表面积＝π狉（狉＋犾）．
例１ 蒙古包 （图３．２７）可以近似地看作由圆锥
和圆柱组成．如果想用毛毡搭建２０个底面直径为４ｍ，
圆柱部分高１．８ｍ，圆锥部分母线长为２．４５ｍ的蒙古
包，大约需要多少平方米毛毡 （结果保留整数）？
解：图３．２８是一个蒙古包的示意图．
根据题意，圆柱和圆锥的底面直径犱＝４ｍ，圆
图３．２７
柱高犺＝１．８ｍ；圆锥母线犾＝２．４５ｍ．
７２ 第三章 圆柱与圆锥圆柱部分侧面积为
l
３．１４×４×１．８＝２２．６０８ （ｍ２ ）．
圆锥侧面展开扇形的弧长为
h
d
３．１４×４＝１２．５６ （ｍ），
图３．２８
圆锥的侧面积为
１
×１２．５６×２．４５＝１５．３８６ （ｍ２ ）．
２
因此，搭建２０个这样的蒙古包大约需要毛毡
２０×（２２．６０８＋１５．３８６）≈７６０（ｍ２ ）．
１．圆锥的底面半径是６，母线长是１８，求它的侧面展开
图的圆心角．
２．如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是８０ｃｍ，母线
长是５０ｃｍ，制作１００个这样的烟囱帽至少需要多少
平方米铁皮？ （第２题）
３２３ 圆锥的体积
我们会计算圆柱的体积了，怎样计算圆锥的体积呢？
圆柱和圆锥的底面都是圆．圆锥的体积与圆柱的体积有关系吗？
/
（１）准备一组等底、等高的圆柱和圆锥形容器 （图３．２９）．
图３．２９
第三章 圆柱与圆锥 ７３（２）往空圆锥里装满沙土或水，倒入空圆柱里，看看像这样倒几次正
好装满圆柱．往圆柱里装满沙土或水，倒入空圆锥里，看看倒满圆锥几次
后，正好把圆柱里的沙土或水倒完．
（３）你发现等底、等高的圆柱与圆锥的体积之间的关系了吗？
通过探究，可以发现圆锥的体积犞等于和它等底等高的圆柱体积的三分之
一，即
１ １
犞 ＝ 犞 ＝ 犛犺．
圆锥 ３ 圆柱 ３
例２ 一顶帐篷近似于圆锥形 （图３．２１０）．
它的底面直径是６ｍ，高是３ｍ．帐篷的占地面
积是多少平方米？帐篷里面的空间有多大？
解：帐篷的占地面积是
（ ）
６
２
３．１４× ＝３．１４×９＝２８．２６ （ｍ２ ）．
２
图３．２１０
帐篷里面的空间有
１
×２８．２６×３＝２８．２６ （ｍ３ ）．
３
答：帐篷的占地面积是２８．２６ｍ２ ，帐篷里面的空间有２８．２６ｍ３．
１．机场候机厅提供的一个圆锥形纸杯，高是９ｃｍ，底面半径是３．５ｃｍ，
这个纸杯能装多少毫升水？
２．一个用钢铸造而成的圆锥形铅锤，底面积是１２．５６ｃｍ２ ，高是６ｃｍ．每
立方厘米钢的质量大约是７．９ｇ．这个铅锤的质量大约是多少克 （结果
保留整数）？
３．一些煤堆成圆锥形，底面半径是１．５ｍ，高是１．１ｍ．这堆煤的体积是
多少？如果每立方米的煤的质量大约是１．４ｔ，这堆煤大约有多少吨
（结果保留整数）？
７４ 第三章 圆柱与圆锥
１．下列的图形哪些是圆锥？在图形下面画 “√”，并标出圆锥的底面和侧面．
（第１题）
２．填表．
图形名称 已知条件 侧面积 表面积 体 积
圆柱 底面半径６ｃｍ，高７ｃｍ
底面积２８．２６ｃｍ２，
圆锥
高４ｃｍ，母线长５ｃｍ
底面积２００．９６ｄｍ２，
圆锥
高６ｄｍ，母线长１０ｄｍ
３．用一个圆心角为１２０°，半径为４ｃｍ的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底
面圆的半径为 ．
４．一个圆锥的侧面积是底面积的２倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是
（ ）．
（Ａ）１２０° （Ｂ）１８０° （Ｃ）２４０° （Ｄ）３００°
５．判断题．
１
（１）圆锥的体积等于圆柱体积的 ；
３
（２）圆柱的体积大于与它等底、等高的圆锥的体积；
（３）若圆锥的高是圆柱高的３倍，则它们的体积一定相等．
６．将一个边长分别为３ｃｍ，４ｃｍ，５ｃｍ的直角三角形，分别沿三边所在直线旋
转一周．求所得三个几何体的表面积和体积．
第三章 圆柱与圆锥 ７５
７．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为３２ｍ，母线长７ｍ．
为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？
7
1
4
16
（第７题） （第８题）
８．求图中所示立体图形的体积 （单位：ｃｍ，结果保留小数点后两位）．
９．打谷场上有一个近似于圆锥形的小麦堆，测得它的底面直径是４ｍ，如果每立
方米小麦的质量约是７５０ｋｇ，这堆小麦的质量大约是１８．８４ｔ．这堆小麦的高
是多少米？
１０．一个圆柱形木块如果平均切成四块，如图 （１），表面积将增加４８ｃｍ２ ；如果
切成三段，如图 （２），表面积将增加５０．２４ｃｍ２ ；如果削成一个最大的圆锥，
如图 （３），体积将减少多少立方厘米？
h=3m
（１） （２） （３）
（第１０题）
S=6 m2
１１．请你设计一个与如图所示的圆柱体积相等的圆锥，写出
（第１１题）
你设计的圆锥的有关数据．
１２．如图，从一块直径是１ｍ的圆形铁皮上剪下一个圆心角
A
为９０°的扇形，求剩余部分的面积；如果将剪下来的扇
形围成一个圆锥，圆锥的侧面积是多少 （结果保留小数
B C
O
点后两位）？
（第１２题）
７６ 第三章 圆柱与圆锥
"
在一张纸上画出一个底面直径和高都是１２ｃｍ的圆柱展开图，然后
把这个展开图折叠起来，制作一个圆柱模型．算一算做这个模型至少要用
多少纸．
" J
在一张纸上画出下面的图样 （图１），制作一个圆锥模型．量一量这
个圆锥模型的底面直径和高，计算它的体积．
图１
第三章 圆柱与圆锥 ７７
1 1
V = V = Sh.
3 3
圆柱与圆锥是人们在日常生产和生活中经常遇到的立体图形．在本章
中，我们通过生活中具有圆柱与圆锥特征的实物，直观地认识了圆柱与
圆锥，分别学习了它们的表面积和体积的计算，并应用有关知识解决了
一些简单的实际问题．本章内容的学习，有助于你的几何直观和空间观念
的增强．
圆柱是由圆面和曲面围成的立体图形．求圆柱的表面积就是求上下两
个底面的面积与侧面面积的和．通过把圆柱转化成长方体，推导出了圆柱
的体积计算公式．与长方体的体积公式相似，可以用底面积乘高来计算圆
柱的体积．
圆锥也是由圆面和曲面围成的立体图形．沿一条母线将圆锥的侧面剪
开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形，求圆锥的侧面积就是
求这个扇形的面积．通过实验发现圆锥的体积等于与它等底、等高的圆柱
体积的三分之一．
以上这些知识的学习，利用了转化的思想方法，就是想办法把新知识
７８ 第三章 圆柱与圆锥转化成学过的知识来解决，转化是非常重要的思想方法．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．通过学习本章，你对圆柱与圆锥的特征有哪些认识？举例说明生
活中见过的圆柱、圆锥形物体．
２．圆柱的侧面展开图与圆柱的底面周长和圆柱的高有什么关系？
３．你能说一说如何通过转化的思想求出圆柱的体积吗？
４．圆锥的侧面展开图是什么形状？等底、等高的圆柱和圆锥的体积
有什么关系？
１．将下列图形分类，说说每类图形的名称和特征．
（第１题）
２．填表．
图形名称 底面半径 底面直径 高 表面积 体 积
５ｄｍ ４ｄｍ
圆柱 ２ｍ ０．７ｍ
２０ｃｍ ５ｃｍ
４ｄｍ ２．４ｄｍ —
圆锥
０．５ｍ ４．５ｍ —
第三章 圆柱与圆锥 ７９３．如图，计算各图形的体积．
m
c 8
16 cm
第三章 圆柱与圆锥
mc5
8cm
mc5
15cm
mc8
（第３题）
４．修建一个圆柱形的沼气池，底面直径是３ｍ，深２ｍ．在池的侧面与下底面抹上
水泥，抹水泥部分的面积是多少？
５．如图，妈妈给李明的水杯做了一个布套，至少用了多少平方厘米的布料？这个
水杯大约能装多少升水 （水杯和布套的厚度忽略不计）？
10 cm
mc02
4 cm 2 cm
12 cm
（第５题）
mc
01
（第６题）
６．如图，一个圆柱形金属零件上有９个圆柱形孔．这个零件的金属用量大约是多少
立方分米 （结果保留小数点后两位）？
７．一个近似于圆锥形的沙堆，底面积是２８．２６ｍ２ ，高是２．５ｍ．
用这堆沙在１０ｍ宽的公路上铺２ｃｍ厚的路面，能铺多长？
８．如图，有一块正方体木料，它的棱长是４ｄｍ．把这块木料加工
成一个圆柱．这个圆柱的体积最大是多少？
（第８题）
９．如图，一个圆柱形容器装有水，水中浸没一个底
面直径为６ｃｍ、高为１０ｃｍ的圆锥形铁制零件．
如果把此零件从水中取出，那么容器中的水面高
度将下降多少厘米 （容器厚度忽略不计）？
１０．如图，一个户外圆柱形展示柱的高是１０ｄｍ，
底面直径是６ｄｍ．这个展示柱的一端有一个
圆柱形的凹洞，凹洞的直径是４ｄｍ，深
10 cm
５ｄｍ．如果把这个展示柱接触空气的部分都
（第９题） （第１０题）
涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方分米
（最后结果保留π）？
８０第四章 百分数
在前面，我们已经学过分数，并会解决与分数相关的问题．在生产、生活
和统计活动中，我们还经常会用到一种特殊的分数———百分数．例如：
（１）星期一，六 （１）班４６人中有３人请假，六 （２）班４２人中有２人请
假，两个班的出勤率分别约是９３．５％和９５．２％；
（２）２０２３年３月，某汽车公司销售新能源汽车约２０．７万辆，大约是２０２２
年３月销售量的１９７．４５％．
百分数有什么特点？百分数与小数、分数有什么联系与区别？如何解决与
百分数相关的实际问题？这是本章要学习的主要内容．
百分数与分数有着紧密的联系，合理利用已有的分数知识，可以帮助我们
学习百分数的知识．
第四章 百分数
书书书４．１ 百分数的意义
日常生活中经常用到百分数，为什么要用百分数？百分
数的意义是什么？
/
校篮球队准备选拔一名投篮水平高的队员．在选拔比赛中，教练统计
了３名选手的投篮情况．结果如表４．１１所示．
表４１１
编号 投篮命中数 投篮出手数
１号 ９ ２０
２号 ４ １０
３号 １１ ２５
如果你是教练，会选谁？
根据表格中的数据，我们发现，投篮命中数、投篮出手数都不相等，不能单
独比较，如果能求出３名选手投篮命中数占投篮出手数的几分之几就可以比较了．
在篮球比赛中，经常用命中率表示球员的投篮水平，命中率指的是投篮命
中数占投篮出手数的百分之多少．算出３名选手的命中率 （表４．１２），就便于
对他们的投篮情况进行描述和比较了．命中率一般用百分数表示．
表４１２
编号 投篮命中数 投篮出手数 投篮命中数占投篮出手数的几分之几
９ ４５
１号 ９ ２０
２０ １００
４ ４０
２号 ４ １０
１０ １００
１１ ４４
３号 １１ ２５
２５ １００
４５ ４０ ４４
这里的 ， ， 可以分别写成百分数４５％，４０％，４４％，读作百分
１００ １００ １００
之四十五，百分之四十，百分之四十四．
想一想：在接下来的比赛中，这３名选手的命中率仍会是４５％，４０％，
４４％吗？会有很大的变化吗？
８２ 第四章 百分数在实际生活中，像命中率这样常用的百分数还有许多，如出勤率９５％指出
９５ ９９
勤的人数占应到人数的 ，合格率９９％指合格的产品数占产品总数的 ．
１００ １００
在生活中，我们经常见到其他的百分数 （图４．１１）．
图４．１１
你能说一说本章引言和图４．１１中的百分数分别表示什么意思吗？你还见
过哪些百分数？它们分别表示什么意思？
由上面的例子可以看到：百分数表示一个数是另一个数的百分之多少，在
实际生活中，百分数有时也叫作百分率或百分比．百分数通常不写成分数形式，
而在原来的分子后面加上百分号 “％”来表示．
说说下面的百分数表示的意思：
（１）某工厂超额完成生产任务，实际产量是计划产量的１１２％．
（２）人类的泪腺会分泌泪液．泪水中９８．２％是水，其余为无机盐和蛋白体
等其他物质．
（３）有一台磨粉机产能稳定，磨出的面粉质量是小麦总质量的７５％．
前面我们学过的分数、小数都可以化为百分数．
例１ 篮球比赛一般由４节组成，每节１０ｍｉｎ．在一场篮球比赛中，刘伟
在第１节５投３中，在第２节６投４中．他在这两节比赛中的命中率分别是多
少？他在哪节比赛中的命中率高？
分析：投篮命中数占投篮出手数的百分数就是命中率．根据前面的讨论，
可以知道命中率可用下面的公式计算：
第四章 百分数 ８３投篮命中数
命中率＝ ×１００％．
投篮出手数
“×１００％”表示结果要用百分数表示．可以把小数改写成分母是１００，１０００的
分数，再化成百分数；也可以将分数改写成分母是１００的分数，再改写成百
分数．
解：在第１节比赛中的命中率为
６０ ３ ３×２０ ６０
３÷５＝０．６＝ ＝６０％，或３÷５＝ ＝ ＝ ＝６０％．
１００ ５ ５×２０ １００
在第２节比赛中的命中率为
４
６６７ ６６．７ 可以直接改写成
６
４÷６≈０．６６７＝ ＝ ＝６６．７％．
１０００ １００
分母是１００的分数吗？
答：刘伟在这两节比赛中的命中率分别是６０％
和６６．７％，在第２节比赛中的命中率高．
有的时候，如果所求的是一个百分数 （如命中率），就需要将得到的小数
或分数结果化成百分数．
一般地，可以按如下方法把小数或分数转化成百分数．
3
把小数化成百分数，要把小数点向右移动两位，再加上百分号；把分
数化成百分数，可以先改写成分母是１００的分数，再改写成百分数，也可
以先化成小数，再将小数化成百分数．
在求生活中一些常见的百分率时，结果通常用百分数的形式表示．
出勤的学生人数
出勤率＝ ×１００％，
学生总人数
合格产品数
合格率＝ ×１００％，
产品总数
面粉质量
出粉率＝ ×１００％，
小麦总质量
成活棵数
成活率＝ ×１００％．
种植树木总棵数
你还能举出一些百分率的例子吗？
８４ 第四章 百分数
１．李明试着用绿豆发绿豆芽，表中记录的是他进行的４次试验情况．
（１）想一想：发芽率表示什么意思？
（２）把表格补充完整．哪一次的发芽率最高？
试验 种子数 发芽数 发芽率
第１次 １０ ５ ５０％
第２次 ２０ １５
第３次 ２２ １８
第４次 ２５ ２３
２．把下列的小数和分数改写成百分数：
２ ６ １
０．９７，０．０８，０．１２５， ， ， ．
３ ７ ６
３．某学校六年级有学生１６０人，已达到国家体育锻炼标准的有１５２人．六
年级学生的体育达标率是多少？
在解决实际问题时，常常需要先将百分数转化成小数或分数．
例２ 为活跃校园生活，增强学生体质，学校举办了定点投篮比赛，每位
选手投篮２０次．李明的命中率为２５％．李明投中了多少个球？
分析：求李明投中了多少个球，就是求２０的２５％是多少，同求一个数的
几分之几的意义一样．可以把百分数改写成分母是１００的分数，再直接写成小
数，也可以把百分数改写成分母是１００的分数，直接用分数乘法计算．
解法１： ２０×２５％ 解法２： ２０×２５％
２５ ２５
＝２０× ＝２０×
１００ １００
＝２０×０．２５ １
＝２０×
４
＝５ （个）．
＝５ （个）．
答：李明投中了５个球．
第四章 百分数 ８５一般地，可以用如下方法把百分数转化成分数或小数．
3
把百分数化成小数，只要小数点向左移动两位，并去掉百分号；把百
分数化成分数，先把百分数改写成分母是１００的分数，能约分的要约成最
简分数．
１．把下列百分数改写成小数和分数：
７５％，３７．５％，０．８５％，２５％，１２．５％，１６．７％．
２．六 （１）班有４０名学生，上学期期末跳远测验有９５％的学生及格．及格
的学生有多少人？
１．读一读下列信息中的百分数，再说一说它们分别表示什么意思．
（１）第七次全国人口普查结果表明，全国人口中０～１４岁人口约占１８％．
（２）都匀处于贵州苗岭山脉南部，是全球绿色城市，森林覆盖率达６５．６７％．
（３）某食品厂９月份的生产量是８月份的１２０％．
２．把表格补充完整．
百分数 ３２％ ０．５％
小数 １．５ ０．０２５
１ ３
分数
３ ４
３．人体每天大约需要摄入２５００ｍＬ的水分，其中从食物中获得的约为１２００ｍＬ，
饮水获得的约为１３００ｍＬ．
（１）从食物中获得的水分占每日需摄入水量的百分之多少？
８６ 第四章 百分数（２）饮水获得的水分占每日需摄入水量的百分之多少？
４．某中学有４８０人，有１０％的学生参加了合唱团．参加合唱团的学生有多少人？
５．一中和二中的男生人数分别占全校学生总数的４８％和５４％，一中有学生８００
人，二中有学生７５０人．哪个学校的男生多？多多少人？
６．某中学六 （１）班学生参加课后服务社团活动的情况如图所示．
14
12
10
8
6
4
2
0
（第６题）
（１）参加合唱社团的人数占总人数的百分之多少？
（２）请你再提出一个与百分数有关的问题，并解答．
７．某商场在国庆节期间开展购物抽奖返现活动．预计发放１００００张奖券，返现总
金额合计３００００元，中奖率合计不低于５０％．请你设计活动方案，并把表格
填写完整．
每张奖券
奖次 中奖数量 返现总金额／元 中奖率
返现金额／元
一等奖 ２００ １０ ２０００ ０．１％
二等奖 ５０
三等奖 ５
第四章 百分数 ８７
恩格尔系数
１９世纪中期，德国统计学家、经济学家恩格尔 （ＥｒｎｓｔＥｎｇｅｌ，１８２１—１８９６）
对比利时不同收入的家庭消费情况进行了调查，提出了恩格尔定律：一个家庭
收入越少，用于购买食品的支出在家庭收入中所占的比率就越大．这一定律是
通过恩格尔系数反映出来的．
食品支出总额
恩格尔系数＝ ×１００％．
家庭消费支出总额
联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活水平进行了划分：一个国家
平均家庭的恩格尔系数大于６０％为贫穷；５０％～６０％为温饱；４０％～５０％为小
康；３０％～４０％为相对富裕；２０％～３０％为富裕；２０％以下为极其富裕．
８８ 第四章 百分数４．２ 百分数的应用
由于百分数表示一个数是另一个数的百分之多少，所以
可以按照解决和分数相关的实际问题的方法来解决有关百分
数的实际问题．
商店有时会采用打折扣销售的方式，降价出售商品，俗称 “打折”．
几折就表示十分之几，也就是百分之几十．例如，打九折出售，就是按照
原价的９０％出售．那么如何求一件商品打折后的价格呢？
按照原价的９０％出售，就是求原价的９０％是多少，根据求一个数的几分
之几是多少的经验知道：
现价＝原价×９０％．
例１ （１）爸爸要给张华买一辆自行车，原价２８０元，现在打八五折出售．
买这辆自行车要用多少钱？
（２）一个电水壶原价１６０元，现在打九折出售，与原价相比，便宜了多少钱？
解：（１）２８０×８５％＝２３８ （元）．
（２）１６０×（１－９０％）＝１６０×１０％＝１６ （元）． 八五折就是原价
答：（１）买这辆自行车要用２３８元．（２）与原 的８５％．
价相比，这个电水壶便宜了１６元．
１．算出下面各物品打折后的价钱 （单位：元）．
原价：８０．００ 原价：１０５．００ 原价：３５．００
现价： 现价： 现价：
第四章 百分数 ８９２．甲、乙两家商场以同样的标价销售同一款笔记本电脑．甲商场的促销活
动是 “先降价８０元再打八折”，乙商场的促销活动是 “先打八折再降价
８０元”．两家商场促销后的价格相比，哪家商场更便宜？
人们常常把节约下来或暂时不用的钱存入银行，我们把这称为储蓄．储蓄
不仅可以使个人钱财更安全，并增加一些收入，还可以支援国家建设．
你了解哪些存款方式？如何计算利息？
在银行存款的方式有多种，如活期、整存整取、零存整取等．存入银行的
钱叫作本金；取款时银行多支付的钱叫作利息；单位时间 （如１年、１月、１
日等）内利息与本金的比率叫作利率，通常用百分数表示．利息的计算公式是
利息＝本金×利率×存期．
银行的利率有时会随着国家经济的发展而变动．下面是我国执行的中国人
民银行公布于２０１５年１０月２３日的存款基准利率 （表４．２１），各家商业银行
可在基准利率基础上适度上浮．
表４２１
类型 活期 整存整取
存期 — 三个月 六个月 一年 二年 三年
年利率／％ ０．３５ １．１０ １．３０ １．５０ ２．１０ ２．７５
例２ 王奶奶把５０００元按整存整取存入某家银行，存２年定期，年利率
为２．１０％．到期时连本带息取出，王奶奶可以取出多少钱？
解法１： ５０００×２．１０％×２＝２１０ （元），
５０００＋２１０＝５２１０ （元）． 到期时，王奶奶可
解法２： ５０００×（１＋２．１０％×２）
以取出的钱除了本金，
还应加上利息．
＝５０００×（１＋０．０４２）
＝５２１０ （元）．
答：王奶奶可以取出５２１０元．
９０ 第四章 百分数
１．张爷爷把８０００元存入某家银行，存３年定期，年利率为２．７５％．到期
支取时，张爷爷可得多少利息？一共能取出多少钱？
２．李明准备将自己攒的９００元存入某家银行，存１年定期，年利率为
１．５０％．一年后李明可以从银行连本带息取出多少钱？
３．妈妈有１万元，有两种理财方式：一种是买３年期国债，年利率为
３％；另一种是存入某家银行１年定期，存款利率为２．８％，每年到期
后可连本带息继续存一年定期．３年后，两种理财方式的收益相差
多少？
在实际生活中，人们常用 “增长百分之多少”“下降百分之多少”来表示
增加、减少的幅度．
例３ 某汽车公司计划生产新能源汽车１２万辆，实际生产了１４万辆．实际
产量比原计划产量增长了百分之多少？
分析：可以先画线段图 （图４．２１）表示数量关系．
@U
!@
12D
*+
KU
14D
图４．２１
解法１：（１４－１２）÷１２≈０．１６７＝１６．７％．
解法２：１４÷１２≈１．１６７＝１１６．７％． 在解决有关百分数
１１６．７％－１００％＝１６．７％． 的实际问题时，遇到除
答：实际产量比原计划产量增长了１６．７％． 不尽的情况，百分号前
保留一位小数．
例４ 某公司２０２２年的利润为３０００万元，比
上年增长２０％，该公司２０２１年的利润为多少？
分析：可以先画线段图 （图４．２２）表示数量关系．
第四章 百分数 ９１2021"U
U J20
2022"U
3 000
图４．２２
解法１：３０００÷（１＋２０％）＝３０００÷１２０％＝２５００ （万元）．
解法２：若该公司２０２１年的利润为犪万元，则
犪×（１＋２０％）＝３０００， 不管哪种方法，两
犪×１２０％＝３０００， 年利润之间的数量关系
犪＝３０００÷１２０％，
是相同的，即：２０２１年
利润×（１＋２０％）＝２０２２
犪＝２５００．
年利润．
答：该公司２０２１年的利润为２５００万元．
１．某村原计划造林１６公顷，实际造林比原计划造林多４公顷，该村实际
造林比原计划增长了百分之多少？
２．某汽车公司新能源汽车在去年４月份的产量是５０００辆，５月份产量比
４月份增长了１０％，５月份的产量是多少辆？
３．某市去年的生产总值是１２００亿元，比前年增长２５％，该市前年的生产
总值是多少亿元？
在买卖商品时，会出现先打折后涨价或者先提价再打折的情况．这些情况
下，商品是贵了还是便宜了？
/
一套图书在促销期间八折出售，促销结束后又涨价２０％．这套图书
现在的价格与促销前的价格比，贵了还是便宜了？变化幅度是多少？
知道图书先打折，再涨价的情况，要求的是变化幅度，可以假设这套图书
促销前的价格是１００元．
９２ 第四章 百分数打折后的价格：１００×８０％＝８０ （元）．
提价后的价格：８０×（１＋２０％）＝９６ （元）．
变化幅度：（１００－９６）÷１００＝４％．
也可以直接假设这套图书促销前的价格是 “１”．
１×８０％×（１＋２０％）＝０．９６．
（１－０．９６）÷１＝４％．
这表明，我们假设成不同的价格，得到的结论是一样的．若原来的价格是
犪元，则
打折后的价格：犪×８０％＝０．８犪（元）．
提价后的价格：０．８犪×（１＋２０％）＝０．９６犪（元）．
变化幅度：（犪－０．９６犪）÷犪＝（１－０．９６）犪÷犪＝４％．
因此，这套图书现在价格与促销前相比，便宜了４％．
１．一种产品刚上市时非常畅销，商家决定加价２０％出售，畅销期过后又
降价２０％．现在这种产品的价格与原来比，贵了还是便宜了？变化幅度
是多少？
２．某款手机进行促销活动，降价８％．在此基础上，商场又返还实际售价
５％的现金．此时买这款手机，相当于降价百分之多少？
１．某超市有４种面包，价格分别为４元、５元、６元、８．８元．２０：００以后，一律
五折出售．
（１）打折后，每种面包各多少元？
（２）２０：００以后，张华拿了１０元去买面包，她可以怎样买？
２．为了缓解交通拥堵的状况，某市正在进行道路拓宽．团结路的路宽由原来的
１２ｍ增加到２５ｍ，拓宽了百分之多少？
３．某养鸡场用２４００个鸡蛋孵小鸡，有５％没有孵出来．孵出来的小鸡有多少只？
第四章 百分数 ９３４．袁隆平院士是我国著名科学家，被誉为 “杂交水稻之父”．袁隆平院士生前指
导的杂交水稻示范片双季稻２０２１年年平均产量达到了每公顷２４．０６ｔ，比攻关
目标高了约７％．攻关目标约是每公顷多少吨 （结果保留小数点后一位）？
５．去年８月初某商场鸡蛋价格比７月初上涨了１０％，９月初又比８月初回落了
１５％．９月初鸡蛋价格与７月初相比是涨了还是跌了？涨跌幅度是多少？
６．某种蔬菜去年３月第２周比第１周降价５％，第３周比第２周又降价５％．两周
以来共降价百分之多少？
７．一款电脑原价为３６００元，第一次促销时比原价降低了１０％，第二次促销时
在这个基础上又降低了１０％．这款电脑现价多少元？
８．李叔叔投资２０万元开了一家餐厅，预计每年纯收益１０万元．李叔叔准备将每
年收益的４５％留作新的投资．如果每年年底将该年用于投资的钱存入银行，到
了第４年年底全部取出，这些钱连本带息，够再开一家相同规模的餐厅吗
（参考第９０页的利率表）？
９．一个长方体木块的长、宽、高分别是５ｃｍ，４ｃｍ，３ｃｍ．如果把它锯成一个最
大的正方体，体积要比原来减少百分之多少？
１０．某品牌的运动服搞促销活动．Ａ商场 “每满１００元减３０元”，Ｂ商场打七折销
售．妈妈准备给李明买一套标价为５５０元的运动服，选择哪家商场买更省钱？
Ａ，Ｂ两家商场的价格相差多少元？
１１．刘伟和两个朋友一起去电影院看了一场电影，根据下表中的优惠办法，票价
共节省了６０元．他们三人看的是哪个场次的电影？
票价 每张８０元
上午场 买二送一
优惠办法
下午场 七五折
１２．银行信用卡账单可以根据个人经济情况申请分期还
分期数 每期分期利率
款 （一个月为１期）．每月除了还分期本金 （分期本金
３期 ０．６５％
总额÷分期数），还要按账单分期本金总额的百分比
６期 ０．６０％
（每期分期利率）付给银行利息．张阿姨本月账单金额
１２期 ０．６０％
为１００００元，每期分期利率见右表．如果她选择全部金
１８期 ０．６５％
额分３期还款，一共要付多少利息？如果分１２期呢？
２４期 ０．６３％
９４ 第四章 百分数
税率
税收是国家财政收入的主要来源之一．纳税是根据国家税法的有关规定，
按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家．国家用税收发展科学、
技术、教育、文化、卫生、环境保护、社会保障和国防等事业．每个公民都有
依法纳税的义务．
我们生活中常接触的税收种类主要有消费税、增值税和个人所得税等几类．
应缴纳的税款叫作应纳税额，应纳税额与各种收入 （销售额、营业额……）中
应纳税部分的比率叫作税率．
例如，某小规模纳税企业要按应纳税销售额的３％缴纳增值税．
成数
农业收成，经常用 “成数”来表示．例如，报纸上写着：“今年我省小麦比
去年增产二成……”．
成数表示一个数是另一个数的十分之几，通常称作 “几成”．例如：“一成”
就是十分之一，改写成百分数是１０％；“二成”就是十分之二，改写成百分数
是２０％；“三成五”就是十分之三点五，改写成百分数是３５％．
现在，成数广泛用于表示各行各业的发展变化情况．例如，去年某品牌的
汽车出口总量比前年增加三成，去年某铁路货运量比前年增加二成……
你能再举出一些现实生活中使用 “成数”的例子吗？
第四章 百分数 ９５４．３ 扇形统计图
百分数的知识在统计中也有广泛的应用，在制作扇形统
计图的时候，经常要用到百分数．
问题：某学校开展 “低碳生活，绿色出行”活动，为了解学生响应活动的
情况，学校对六年级学生上学采用的交通方式进行了调查．
统计表 （表４．３１）中记录了采用各种交通方式的人数占总人数的百分率．
表４３１
采用的交通方式 步行 校车 公交车 私家车 其他
人数 ４５ ８０ ２５ １８ ３２
占总人数的百分率 ２２．５％ ４０％ １２．５％ ９％ １６％
如图４．３１，可以用扇形统计图清楚、直观地表示各部分数量与总量之间
的关系．
16
22.5
9
12.5
40
图４．３１
图４．３１中整个圆表示什么？各个扇形的大小与什么有关系？用这样
的统计图有什么好处？
根据统计图中的数据，你还能提出什么数学问题？得出什么结论？与
同学交流一下．
９６ 第四章 百分数扇形统计图可以直观表示各部分占总体的百分率．例如，图４．３１的扇形
统计图中，圆内各扇形占整个圆的百分率，与它所表示的人数占全班人数的百
分率一致．
例１ 某中学要了解校园内树木总量逐年变化的情况及各种树木的构成情
况．下面调查到的几组数据分别选用哪种统计图表示更合适？
（１）某中学２０１８—２０２２年校园内树木总量变化情况统计表．
年份 ２０１８ ２０１９ ２０２０ ２０２１ ２０２２
总量／棵 １００ １２０ １５０ １７０ ２００
（２）某中学２０２２年校园内各种树木所占百分率情况统计表．
树种 杨树 柳树 松树 槐树 其他
百分率 ２５％ ２０％ １５％ １５％ ２５％
分析：第 （１）组数据给出了５年中每年的树木总量，用条形统计图和折
线统计图都可以表示出数量的变化．折线统计图能更直观地表示出数量随时间
的变化趋势．
第 （２）组数据给出了各种树木占树木总量的百分率，用条形统计图和扇
形统计图都可以表示出这些信息．用扇形统计图能更直观地看出它们之间的
关系．
解：（１）如图４．３２，某中学２０１８—２０２２年校园内树木总量变化情况可以
用条形统计图或折线统计图表示．折线统计图能更直观地表示出校园内树木总
量逐年增多的变化趋势．
250 250
200 200
200 200 170
170
150 150
150 150 120
120
100 100
100 100
50 50
0 0
2018 2019 2020 2021 2022 2018 2019 2020 2021 2022
图４．３２
（２）如图４．３３，某中学２０２２年校园内各种树木所占百分率情况可以用条
形统计图或扇形统计图表示．用扇形统计图能更直观地看出各种树与树木总量
第四章 百分数 ９７之间的关系．
30
25 25
25
20
20 25 25
15 15
15
10
15
20
5
15
0
图４．３３
１．牛奶里含有丰富的营养成分，某种牛奶所含营养成分所占百分率如图
所示．
5 0.7
4
3.3
87
（第１题）
每天喝一袋２５０ｇ的牛奶，能补充蛋白质和脂肪各多少克？
２．在林业科学里，通常根据生长期的长短将乔木分成不同的类型．下面是
《中国森林资源报告 （２０１４—２０１８）》中公布的我国乔木林各龄组的面
积构成情况．
类型 幼龄林 中龄林 近熟林 成熟林 过熟林
百分率 ３２．６７％ ３１．２７％ １５．９１％ １３．７２％ ６．４３％
以上信息可以用什么统计图表示？哪种更合适些？
９８ 第四章 百分数
１．李明家去年每月各种支出计划如图所示．
10
5
30
10
15
30
（第１题）
（１）你能得到哪些信息？
（２）如果李明家去年每月总计支出２０００元，请你提出数学问题并解答．
２．某校六 （１）班学生去年１—５月课外阅读情况如图所示．
1 1?5
140
125
120
105
100
85
75
80
60
60
40
20
0
1 2 3 4 5
1?5
10
40
50
第四章 百分数 ９９
书书书 1 15
16 15
14
12
12
10
8
8
6 5
4
2
0
2 h 2 h 4 h 6 h
4 h 6 h
（第２题）
（１）这三幅统计图分别表示什么？
（２）哪幅统计图更容易看出六 （１）班学生去年１—５月阅读课外书数量的变
化情况？
（３）六 （１）班平均每星期阅读课外书４ｈ及以上６ｈ以下的学生有多少人？
从哪幅统计图更容易看出来？
（４）六 （１）班学生去年１—５月阅读的文学书数量与科学和其他类的总和一
样多，从哪幅统计图可以得到这个结论？
３．根据第５１次 《中国互联网络发展状况统计报告》，截至２０２２年１２月末，我国
农村网民规模为３．０８亿人，比２０１１年１２月末增加１．７２亿人．
201112 202212
201112
202212
80
73.5 71.1
60
40
26.5 28.9
20
0
（第３题）
１００第四章 百分数（１）截至２０２２年１２月末，我国共有网民多
202212
少人？
（２）２０１１年１２月末，我国共有农村网民多
少人？
（３）请把扇形统计图补充完整．
（４）你能画出２０１１年１２月末网民城乡结构
的扇形统计图吗？
（第３题）
其他形式的扇形统计图
扇形统计图还可以画成分离型扇形、圆柱形、分离型圆柱形等多种形式．例
如，根据第七次全国人口普查结果，我国人口最多的５个省的人口数量占全国的百分率情
况可表示成以下形式 （图１）：
8.93
7.19
8.93
7.19
7.04 7.04
6.00
6.00
5.93
5.93
64.91 64.91
7.19 8.93
7.04
6.00
5.93
64.91
图１
你还看到过什么样的扇形统计图？课余时间查找一下，想一想图中各数据
的意义．
第四章 百分数１０１
" -C4D 3
为了使少年儿童的身体素质达到应有的水平，国家有关部门制定了
每个年级的跳绳达标线．你知道这些达标线是怎样制定出来的吗？假如让
你来确定这些达标线，你会怎样做？请设计一个确定六年级学生１ｍｉｎ跳
绳的达标线的方法．
确定目标
要确定六年级学生１ｍｉｎ跳绳的达标线，首先就要收集六年级学生
１ｍｉｎ跳绳的数据．例如，可以随机选取１００名六年级学生进行测试，记
录这些学生１ｍｉｎ的跳绳次数．
收集数据
收集１００名六年级学生１ｍｉｎ跳绳次数的数据并记录下来．
１００名六年级学生１犿犻狀跳绳次数统计表
序号 跳绳次数 序号 跳绳次数 序号 跳绳次数 序号 跳绳次数 序号 跳绳次数
１ １５４ ２１ ９６ ４１ １５５ ６１ １３７ ８１ １２５
２ １５２ ２２ ８７ ４２ １５３ ６２ １４０ ８２ １２７
３ １４１ ２３ ６１ ４３ １５０ ６３ １３７ ８３ １２１
４ １３６ ２４ ８５ ４４ １５０ ６４ １５０ ８４ １１８
５ １３０ ２５ １２１ ４５ １８０ ６５ １６２ ８５ １１６
６ １３３ ２６ １３０ ４６ １５０ ６６ １５６ ８６ ９３
７ １３２ ２７ １８２ ４７ １４３ ６７ １３６ ８７ １１５
８ ９９ ２８ ８０ ４８ １０１ ６８ １１９ ８８ １１１
９ ４０ ２９ １４５ ４９ １１６ ６９ １１２ ８９ １１０
１０ ９５ ３０ １３５ ５０ ９５ ７０ １１２ ９０ ９６
１１ １０３ ３１ １３５ ５１ ８０ ７１ １１８ ９１ １０６
１２ １２０ ３２ １２２ ５２ ９０ ７２ １３７ ９２ １０９
１３ １３３ ３３ １１９ ５３ ８６ ７３ １４３ ９３ １０９
１４ １４１ ３４ １１２ ５４ １３０ ７４ １５５ ９４ １０２
１５ １４０ ３５ ８７ ５５ １３０ ７５ １５３ ９５ ９９
１６ １７４ ３６ ６５ ５６ １２７ ７６ １５０ ９６ １５８
１７ １６０ ３７ １０７ ５７ １６３ ７７ １４５ ９７ １０５
１８ １５５ ３８ １２８ ５８ １５２ ７８ １２１ ９８ １２３
１９ １０３ ３９ １２６ ５９ １５０ ７９ １２１ ９９ １３０
２０ １１０ ４０ １１６ ６０ １３３ ８０ １２３ １００ １７４
１０２第四章 百分数
书书书整理数据
收集的数据比较多，杂乱无章，可以将这些数据按从大到小的顺序
排列，列出排序后的统计表，这样更有利于分析数据．
分析数据
说一说你打算怎样确定达标线．
为了调动同学们对体育锻炼的热情，应该让大多数同学的跳绳成绩
在达标线以上，可以借助百分数来制定达标线．
例如，如果要六年级学生大约有６０％的人能达标，可以用第６０名同
学对应的跳绳次数作为达标线；也可以用第７５名同学所对应的跳绳次数
作为达标线，这样大多数学生 （大于或等于７５％）都能达标，少数 （小
于２５％）没有达标的学生经过努力也可能达标．
调查一下国家制定的标准．根据这些国家标准，你想说些什么？
分享收获
通过确定达标线的活动，说一说你有什么收获．
第四章 百分数１０３
百分数在实际生活中有广泛的应用，如增长率、合格率、利率等．
百分数实际上就是表示一个数是另一个数的百分之多少的数．因此，
它与分数有密切的关系，也可以说百分数是一种比较特殊的分数，主要
体现在以下两点：一是分母必须是１００，分子不一定是整数；二是它仅表
示两个数量的倍数关系，不用于表示具体数量的大小．因此，与百分数相
关的实际问题都可以转化为学过的分数问题来解决．
扇形统计图利用各部分数量占总数量的百分率来表示和呈现统计数
据，对认识局部与整体的数量关系十分重要．学习时，应结合已学过的统
计图来加深对扇形统计图作用的理解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．百分数在生产、工作和生活中有哪些应用？百分数和分数的区别
和联系是什么？
２．举例说明：在实际应用中，什么情况下最多能达到１００％？什么
情况下达不到１００％？什么情况下能超过１００％？
１０４第四章 百分数３．百分数与分数、小数怎样互化？
４．怎样解决含百分数的实际问题？你能说说解决百分数问题与解决
分数问题的联系吗？
５．扇形统计图有哪些特点和作用？它与条形统计图、折线统计图有
什么联系和区别？
１．如图，分别用百分数、小数、分数表示直线上的各点．
0 1
20
1
?
5
（第１题）
２． （１）油菜籽的出油率约是４２％．２１００ｋｇ油菜籽可以榨油多少千克？
（２）油菜籽的出油率约是４２％．一个榨油厂榨出２１００ｋｇ菜籽油，用了多
少千克油菜籽？
３．国家规定，发芽率低于８５％的种子不得销售．质检部门抽取了３批种子做
检测，结果如下表．这３批种子都可以销售吗？
批次 检测种子总数 发芽种子数
第１批 ３００ ２８５
第２批 ３００ ２９１
第３批 ３００ ２７０
４．李明每天的作息时间安排如图所示．
（１）李明每天花多长时间做作业？从图中你还能得到哪些信息？
（２）你认为李明的作息时间安排得合理吗？
第四章 百分数１０５（３）你的作息时间与李明的相比有什么不同？
5
13
10
4
4
41
8 25
13 60
17
（第４题） （第５题）
５．某班一次体育测试成绩的情况如图所示．其中不及格的有２人，其他成绩
各有多少人？
６．某中学对学生吃早餐的情况进行了调查，结果如下表．请你将表格补充
完整．
吃早餐的情况 人数 占学生总人数的百分之多少
每天吃早餐 ４３７ ９５％
不能做到每天吃早餐
７．某冷饮厂２０２２年１月份至６月份的销售情况如图所示．
300
250
224
212
200
162
150
94
100
58
42
50
0
1 2 3 4 5 6
（第７题）
（１）６月份的销量是１月份的百分之多少 （百分号前保留一位小数）？
（２）你还能提出什么数学问题？试着解决一下．
１０６第四章 百分数８．下面是我国２０１７—２０２１年年末互联网宽带接入用户数和移动互联网用户数
统计图．
141 565
150 000
131 853 134 852
127 154 127 482
120 000
90 000
48 355 53 579
60 000
44 928
40 738
34 854
30 000
0
2017 2018 2019 2020 2021
（第８题）
（１）２０１８年年末的移动互联网用户数比２０１７年年末多百分之多少？２０１９
年年末比２０１８年年末呢？根据计算结果，和同学交流一下你的感想．
（２）根据条形统计图中的数据，请你完成下面的折线统计图：
150 000
120 000
90 000
60 000
30 000
0
2017 2018 2019 2020 2021
９．广东省２０００年、２０１０年、２０２０年总常住人口和城镇常住人口变化情况如
下页图所示．
第四章 百分数１０７
13 000
12 000
11 000
12 601.25
10 000
9 000 74.1
10 440.94
8 000
7 000
8 650.03 66.2
6 000
9 343.61
5 000
5 5
4 000
6 911.9 0
3 000
2 000 4 757.52
1 000
0
2000 2010 2020
（第９题）
（１）通过统计图中的数据，你能得到哪些信息？这些信息反映了怎样的变
化趋势？
（２）你能根据上面统计图中的数据，完成下面两个统计图吗？
13 000 100
12 000
90
11 000
80
10 000
9 000 70
8 000
60
7 000
50
6 000
5 000 40
4 000 30
3 000
20
2 000
1 000 10
0 0
2000 2010 2020 2000 2010 2020
１０８第四章 百分数
１０． 《中国居民膳食营养素参考摄入量 第１部分：宏量营养素》中指出１１～
１４岁儿童每天碳水化合物参考摄入量为１５０ｇ．部分食物的碳水化合物含
量如下表．如果午餐需要摄入碳水化合物９０ｇ，请你根据表中的信息，给
自己设计一份午餐食品清单，并写出你的思考过程．
食物 牛肉 鸡蛋 黄豆 白菜 番茄 米饭 馒头
碳水化合物含量 ０．５％ ２．４％ ３４．２％ ３．４％ ３．３％ ２５．９％ ４７％
１１．我国城市空气质量正逐步提高，在２０２１年监测的３３９个城市中，环境空
气质量达标的城市占６４．３％．监测城市的空气质量情况如图所示．
（１）环境空气质量达标的城市有多少个？
（２）了解你所在城市的空气质量，并提出提高空气质量的建议．
35.7
64.3
（第１１题）
第四章 百分数１０９综合与实践
水是生命之源
从烟波浩渺的江湖水面，到沙漠中的生命绿洲，水是生命和文明诞生的摇
篮．人的各种生命活动都离不开水；作物的生长需要合适的水分条件，农业的
发展离不开水；三峡电站将长江的滚滚波涛转化为源源不断的电力，工业活动
也同样离不开水．１９９３年１月１８日，第四十七届联合国大会做出决议，确定
每年的３月２２日为 “世界水日”．虽然地球上的海洋面积占表面积的７１％，但
是可以被人类利用的淡水资源并不丰沛，水资源短缺和分配不均的问题一直阻
碍着人类的发展．
下面让我们通过活动进一步了解我国水资源的基本状况和缓解水资源问题
的相关举措，探索生活用水的使用中存在的问题，一起制订节水方案，践行节
约用水的号召．
通过合作探究，了解我国水资源的基本情况，通过调查深入了解生活用水
的使用情况，根据调查结果制订节水方案．
咨询老师、实地走访或查阅相关资料，了解水对人类生存和发展的重要作
用以及地球上水资源的基本情况．
１１０综合与实践 水是生命之源
了解我国水资源状况
我们通常把淡水资源称为水资源，我国的水资源总量丰富，但是人均水资
源相对较少．２０１８年，世界人均可再生淡水资源为５６５８．１ｍ３ ，而我国人均可
再生淡水资源仅为２００５．３ｍ３．此外，我国的水资源还存在时空分布不均衡的
问题，南方淡水资源占全国的８０％以上，北方不足２０％，而且降水主要集中
于夏秋两季，洪涝灾害频发．这种不均衡的时空分布情况加剧了我国 （特别是
西北和华北地区）的缺水状况．为了解决水资源分布的问题，我国也采取了很
多相关措施，如兴建水库解决水资源的时间分布问题，通过跨流域调水缓解各
地区水资源分布不均衡的问题．你对我国的水资源情况有哪些具体了解？你知
道我国实施了哪些水利工程吗？它们分别有什么作用？
任务１ 了解我国的水资源情况
我国各地区的水资源总量有多少？水资源的时间分布是怎样的？每年的用
水量是多少？通过查询相关资料，了解我国水资源的基本情况，并将收集到的
资料整理成报告．
任务２ 水利工程调查
为了缓解水资源问题，我国采取了很多措施．选择一个水利工程 （如三峡
工程、南水北调工程等）或者本地区的水利设施 （如距离较近的水库、引水渠
等），调查它们的基本信息，了解它们在调节水资源方面的作用．有条件的话，
还可以实地走访这些水利设施，聆听工作人员讲解工程作用和效果，近距离感
受我国的建设成就，体会水资源的重要性．
生活用水使用情况调查
保护珍贵的水资源不仅需要国家的法律政策保障，更需要我们每个人的参
与．２０２２年，我国用水总量为５９９８．２亿立方米，其中生活用水为９０５．７亿立
方米，超过用水总量的１５％．日常生活中有哪些地方需要用水？用了多少水？
从 “生活用水”这个主题出发选择你要研究的问题并探究解决．也可以在下面
两个任务中任选一个完成，还可以提出自己感兴趣的问题开展调查．
任务１ 家庭用水量及用水习惯调查
日常生活需要使用多少水？生活中有哪些不良的用水习惯？设计一个用水
综合与实践 水是生命之源１１１情况调查，了解不同家庭的用水量和用水习惯，分析不同用水习惯家庭的人均
用水情况，估计不良用水习惯浪费的水量．
提示：可以通过测量一个水龙头全开、半开以及滴水状态下的出水量等方
式估计某些不良用水习惯可能浪费的水量．
任务２ 阶梯水价定价调查
自来水公司会定期根据我们的用水量
收取自来水费，我国大多数城市目前都实
行了居民阶梯水价制度，针对家庭不同的
用水量收取不同的水费．你会根据用水量
计算水费吗？你所在的地区是如何进行水
价阶梯划分的？各级阶梯的用水量是多
少？这些用水量和对应的水费又是怎么确
定的？调查相关问题，并整理成报告．
任务３ 其他相关调查
你还能提出什么感兴趣的研究问题？
自己提出问题，设计相应的调查方案，在
老师的帮助下开展活动．
制订节水方案
任务 节约用水是解决我国水资源问题的重要途径之一，也是我们参与保
护绿色家园的最直接的方式．根据前面活动的调查结果，针对生活用水中存在
的问题制订家庭或校园节水方案，并付诸实施，一段时间后验收结果．注意将
你们的节水过程和结果记录下来．
提示：可以查阅资料了解更多有效的节水措施．
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．首先，在班级中组成５～８人一组的
研究小组，每小组确定１名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决方案．
１１２综合与实践 水是生命之源３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选定代表展示本组的成果，分享实践过程中
的活动经验、遇到的困难及解决方法，反思活动中的不足．展示交流活动可以
邀请地理或科学老师参加点评．
通过成果展示与交流，基于各组代表完成的研究报告，根据情况选择任务
完成表、作品评分表、表现评分表、自我反思表等进行评价．通过质疑、辩
论、评价，与老师和全班同学一起，总结成果，分享体会，分析不足．
综合与实践 水是生命之源１１３附：综合与实践活动研究报告的参考形式
报告主题：
年级 班 组 报告时间：
１．活动名称
２．研究小组成员与分工
３．选题的意义
４．研究方案
５．研究过程
６．研究成果
７．收获与体会
８．对此研究报告的评价 （由评价小组或教师填写）
１１４综合与实践 水是生命之源第五章 比和比例关系
教室里和操场上的五星红旗大小不同，但形状却是相同的，你知道这是为
什么吗？某地图的比例尺是１∶３６００００００，你知道比例尺的作用是什么吗？在
医用酒精消毒液中，纯酒精和水要按照３∶１去配制，你知道３∶１是什么意思
吗？照相时人物和风景为什么不会变形呢？……这些都是比和比例在生活中的
实际应用．
那么，什么是比？什么是比例？比和比例有什么关系？它们的基本性质分
别是什么？怎样化简比？怎样解比例？这些都是本章要研究的内容．
比和除法、分数之间有着紧密的联系，而比例又与比的知识关系密切．因
此在学习本章之前，对相关内容进行适当的复习是很有必要的．
比和比例在生活中有着广泛的应用，通过本章的学习，你可以利用比和比
例的知识解决许多实际问题．
书书书５．１ 比
在日常生活中，我们经常见到或听到 “比”．本节我们就
来认识比，并学习比的基本性质．
５１１ 比的意义
5
图５．１１中的２∶１
和１００∶１都是生活中 N+ F!
的比，分别读作 “２比 L1 ! 2U1
１”和 “１００比１”．你知 L1 F 100U1
道它们分别表示什么意
图５．１１
思吗？
２∶１是面粉和水的质量之比，表示和面时要按２份面粉和１份水的质量关
系放入材料．如表５．１１所示，取１００ｇ面粉，就要放入５０ｇ水．如果面粉增
加，水也要相应增加．面粉从１００ｇ增加到１０００ｇ，水也要相应地从５０ｇ增加
到５００ｇ；如果面粉减少，水也要相应减少．不管怎么变，面粉的质量都是水
１
的２倍，水的质量都是面粉的 ．
２
表５１１
面粉的质量／ｇ … ５０ １００ １０００ …
水的质量／ｇ … ２５ ５０ ５００ …
一般来说，只要面粉和水的质量按２∶１配制，馒头的软硬程度基本一致．
面粉和酵母的质量比１００∶１表示：如果用１０００ｇ面粉做馒头，需要用１０ｇ
酵母；如果用１００ｋｇ面粉做馒头，需要用１ｋｇ酵母．
在两个数的比 （ｒａｔｉｏ）中， “∶”是比号，比号前面的数叫作比的前项，
比号后面的数叫作比的后项．两个数的比也可以写成分数形式．例如：２∶１也
２
可以写成 ，仍读作 “２比１”．
１
１１６第五章 比和比例关系/
有时候，面粉、水和酵母的质量比也写成１００∶５０∶１的形式，说一
说这个比表示什么意思．这个比与前面的２∶１和１００∶１有什么联系？
这个比表示如果放入１００份面粉，就相应地放入５０份水和１份酵母．生活
中还有２∶１和１００∶５０∶１这样的比，例如，我国国旗法规定，中华人民共和
国国旗的长和高的比是３∶２；把红、黄、蓝三种颜色按１∶１∶１的比混合在一
起，就能得到黑色．
上面的比都表示相同类别的数量之间的关系．在生活中，还有一些不同类
别的数量之间的比．例如：
狊
在物理学中，把路程 （狊）与时间 （狋）之比叫作速度 （狏），即狏＝ ．把
狋
某种物质组成的物体的质量 （犿）与它的体积 （犞）之比叫作这种物质的密
犿
度 （ ρ ），即 ρ＝ ．
犞
１．说一说下列各比的意思：
（１）一般海水中所含盐类的质量与海水的质量比是３５∶１０００；
（２）黑火药是中国古代四大发明之一．现在配制黑火药时，硝酸钾、硫
黄和木炭的质量比一般为１５∶２∶３．
２．你能将下列信息中各数量之间的关系用比表示吗？
１
（１）新生儿的头长约占身高的 ；
４
（２）某小区的总户数和车位数一样多；
（３）爸爸用５０元钱买了５ｋｇ苹果；
（４）地球上大约９７％的水是海水，３％的水是淡水．
５１２ 比值
比的前项除以后项所得的商，叫作比值．比值通常用分数表示，也可以用
小数或整数表示．我们可以这样来表示犪∶犫的比值：
第五章 比和比例关系１１７a
a ÷ b = b≠0
b
例如，面粉和水的质量比是２∶１，２÷１＝２，比值２表示面粉的质量是水的质
３ ３ ３
量的２倍；国旗长和高的比是３∶２，３÷２＝ ，比值 表示国旗的长是高的 倍．
２ ２ ２
再如，一辆汽车２ｈ行驶的路程是１５０ｋｍ，其平均速度用比的形式可以表
１５０
示为 ，比值就是１５０÷２＝７５ （ｋｍ／ｈ），表示这辆汽车行驶的快慢程度．一
２
７８
个体积为１０ｃｍ３ 的铁块质量为７８ｇ，其密度用比的形式可以表示为 ，比值
１０
是７８÷１０＝７．８ （ｇ／ｃｍ３ ）．所有用纯铁制成的实心物体，密度都是这个值．
例１ 医学上把成人的体重 （用 “ｋｇ”作单位）与身高 （用 “ｍ”作单位）
体重
的平方之比 （即 ）的比值称为体重指数 （简称ＢＭＩ），用来衡量人体的胖
身高
２
瘦程度及健康状况．一般情况下，中国成年人ＢＭＩ值的正常范围为１８．５～
２３．９；小于１８．５为低体重；如果大于２３．９，说明体重过大．
王叔叔身高１．７５ｍ，体重８３ｋｇ，他的胖瘦程度如何？
解： ８３÷１．７５２≈２７．１ （ｋｇ／ｍ２ ），
你能算一算家人的
２７．１＞２３．９．
ＢＭＩ，并提出一些合
答：王叔叔偏胖． 理化建议吗？
５１３ 比的基本性质
5
图５．１２是三种规
64 cm
格的国旗．三面国旗
9966 ccmm
的长和高之比分别为
９６∶６４，１９２∶１２８， 192 ccmm
128 ccmm
２８８∶１９２，这三个比
之间有什么关系？
192 cm 288 cm
图５．１２
１１８第五章 比和比例关系比可以写成分数的形式，可以利用比和分数的关系来研究．
１９２÷２
＝（１９２÷２）∶（１２８÷２）＝９６∶６４；
１２８÷２
分子、分母同时除以２
１９２
１９２∶１２８＝ ；
１２８
分子、分母同时乘１．５
１９２×１．５
＝（１９２×１．５）∶（１２８×１．５）＝２８８∶１９２．
１２８×１．５
所以，１９２∶１２８＝（１９２÷２）∶（１２８÷２）＝（１９２×１．５）∶（１２８×１．５）．
因为９６∶６４＝１９２∶１２８＝２８８∶１９２，所以三面国旗虽然大小不同，但形状
相同．
可以发现，比的前项和后项同时乘或除以相同的数 （０除外），比值不变．
这叫作比的基本性质．
根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比．
例２ 神舟五号搭载了两种规格的联合国旗帜，一种规格的旗帜长１５ｃｍ，
宽１０ｃｍ，另一种规格的旗帜长１８０ｃｍ，宽１２０ｃｍ．这两种规格的联合国旗帜
长和宽的最简单的整数比分别是多少？
解： １５∶１０＝
１５和１０为什么要同
时除以５？
第五章 比和比例关系
（１５÷５）∶（１０÷５）
＝３∶２．
１８０
１８０∶１２０＝
１２０
３
＝
２
＝（ ）∶（ ）．
答：这两种规格的联合国旗帜长和宽的最简单的整数比都是３∶２．
5
当一个比的前项或后项不是整数时，怎样把它化成最简单的整数比？
当比的前项或后项不是整数时，可以利用比的基本性质先把它们转化为整
数，再进行化简．
１１９例３ 把下列各比化成最简单的整数比：
１ ２
（１） ∶ ； （２）０．７５∶２．
６ ９
１ ２
解：（１）
６
∶
９
为什么要同时乘１８？
第五章 比和比例关系
（１ ） （２ ）
＝ ×１８ ∶ ×１８
６ ９
＝３∶４；
（２）０．７５∶２＝（０．７５×１００）∶（２×１００）
＝７５∶２００
＝（７５÷２５）∶（２００÷２５）
＝３∶８．
利用比的基本性质，把下列各比化成最简单的整数比．
（１）３２∶１６； （２）４８∶４０； （３）０．１５∶０．３；
５ １ ７ ３ ５
（４） ∶ ； （５） ∶ ； （６）０．１２５∶ ．
６ ６ １２ ８ ８
１．张华和李明买同样的中性笔．张华用２．４元买了４支，李明用３．６元买了６支．
张华买的支数∶李明买的支数＝ （ ）∶（ ），比值是（ ）．张华花的
钱数∶李明花的钱数＝（ ）∶（ ），比值是（ ）．张华花的钱数∶张
华买的支数＝（ ）∶（ ），比值是（ ），表示中性笔的（ ）．
２．求下列各比的比值：
２ ６ １
（１）５∶９； （２）０．６∶０．１６； （３） ∶ ； （４）０．８∶ ．
３ ７ ２
３．化简下列各比：
２ ４ ８
（１）３５∶７５； （２）３∶ ； （３）０．３∶７．５； （４） ∶ ；
３ ７ ９
１
（５）３ｋｇ∶８００ｇ； （６）４５ｍｉｎ∶ ｈ； （７）０．５公顷∶８００平方米．
４
１２０４．不同蔬菜中钙和磷含量的比是不同的．
蔬菜种类 生菜 番茄 茄子
钙、磷含量比 ７∶６ １∶６ ２４∶２３
上面哪种蔬菜的钙、磷含量比最高？哪种最低？
５．如图，未涂色部分与涂色部分的面积比是 （ ）∶ （ ），
未涂色部分与整个图形的面积比是 （ ）∶ （ ），
（ ） （第５题）
涂色部分占总面积的 ．
（ ）
６．在方格纸上画出两个大小不同的正方形，使两个正方形的边长比是２∶１．
（１）这两个正方形的周长比是 （ ）∶ （ ）．
（２）这两个正方形的面积比是 （ ）∶ （ ）．
７．有两个大小不同的圆，直径分别是６ｃｍ和４ｃｍ．
（１）这两个圆的半径比是 （ ）∶ （ ）．
（２）这两个圆的周长比是 （ ）∶ （ ）．
（３）这两个圆的面积比是 （ ）∶ （ ）．
８．甲数和乙数的比是２∶３，乙数和丙数的比是４∶５．甲数和丙数的比是多少？
９．有一个两位数，十位上的数和个位上的数的比是２∶３．十位上的数加２，就和
个位上的数相等．这个两位数是多少？
１
１０．如图，两个长方形重叠部分的面积是大长方形面积的 ，是小长方形面积的
６
１
．大长方形和小长方形的面积比是多少？
４
（第１０题）
第五章 比和比例关系１２１５．２ 比例
与比一样，比例也是生活中常见的概念，本节我们在比
的基础上认识比例，并学习比例的基本性质．
５２１ 比例的意义
借助三种规格的国旗长和高的比，我们在前面探索了比的基本性质，知道
了三个比相等．通过求比值的方法，我们也能发现三个比相等．
９６∶６４＝１９２∶１２８＝２８８∶１９２．
表示两个比相等的式子叫作比例 （ｐｒｏｐｏｒ
ｔｉｏｎ）．例如，９６∶６４＝１９２∶１２８和９６∶６４＝
图５．１２中的三面国
２８８∶１９２都是比例．
旗的尺寸中，还有哪些比
例１ 下列哪组中的两个比可以组成比例？ 可以组成比例？
把组成的比例写出来．
１ １
（１） ∶ 和６∶４； （２）２０∶５和１∶４．
２ ３
１ １ ３ ３
解：（１）因为 ∶ ＝ ，６∶４＝ ，它们的比值相等，所以能组成比例
２ ３ ２ ２
１ １
∶ ＝６∶４；
２ ３
４ １
（２）因为２０∶５＝ ，１∶４＝ ，它们的比值不相等，所以不能组成比例．
１ ４
１．下列哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来．
第五章 比和比例关系
mc3
4cm
mc5.1
（１）６∶１０和９∶１５； （２）２５∶５和１∶５；
３ １
（３）０．６∶０．２和 ∶ ．
４ ４
２．如图，用图中的４个数据可以组成哪些比例？
2cm
（第２题）
１２２５２２ 比例的基本性质
组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的
两项叫作比例的内项．
例如：
２．４∶１．６＝６０∶４０．
２．４ ６０
如果把上面的比例写成分数形式 ＝ ，２．４和４０仍然是外项，１．６和
１．６ ４０
６０仍然是内项．
/
计算下列比例中两个外项的积和两个内项的积．比较一下，你能发现
什么规律？
３ ９
（１）２．４∶１．６＝６０∶４０， （２） ＝ ，
５ １５
２．４×４０＝ ， ３×１５＝ ，
１．６×６０＝ ； ５×９＝ ．
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质，用
字母表示就是
如果犪∶犫＝犮∶犱（犪≠０，犫≠０，犮≠０，犱≠０），那么犪犱＝犫犮．
反过来，四个不为０的数，如果其中两个数的乘积和另外两个数的乘积相
等，这四个数就可以组成比例．
例２ 判断下列哪组中的两个比可以组成比例．
３ ４
（１）０．２∶２．５和４∶５０； （２）１．２∶ 和 ∶５．
４ ５
解：（１）因为０．２×５０＝１０，２．５×４＝１０，两个积相等，所以它们可以组
成比例，０．２∶２．５＝４∶５０；
３ ４ ３
（２）因为１．２×５＝６， × ＝ ，两个积不相等，所以它们不能组成
４ ５ ５
比例．
第五章 比和比例关系１２３根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例
中的未知项．求比例中的未知项，叫作解比例．
例３ 有一种液晶电视机，其屏幕的长与宽的比是１６∶９，王阿姨买了一
台这样的电视机，屏幕长约１０４ｃｍ，这台电视机屏幕的宽约为多少厘米？
分析：这种液晶电视机屏幕的长与宽的比是１６∶９，把这台电视机屏幕的
宽表示成犪ｃｍ，就可以得到比例式１０４∶犪＝１６∶９，再根据比例的基本性质，
即可求出这台电视机屏幕的宽．
解：把这台电视机屏幕的宽表示为犪ｃｍ，则
１０４∶犪＝１６∶９， 根据比例的基本性
１６犪＝１０４×９， 质，把已知数的关系写
成分数的形式，能约分
１０４×９
犪＝ ，
１６ 的先约分，再计算，会
比较简便．
犪＝５８．５．
答：这台电视机屏幕的宽约为５８．５ｃｍ．
２．４ ６
１．解比例： ＝ ．
１．５ 犪
解：２．４犪＝１．５×６，
（ ）× （ ）
犪＝ ，
（ ）
犪＝ （ ）．
２．如图所示的长方形形状都相同，用比例的知识求出犪，犫，犮．
2
4
a
b
6 c
9
15
（第２题）
１２４第五章 比和比例关系
１．下列各表中相对应的两个量的比能否组成比例？如果能，把组成的比例写出来．
年龄／岁 １２ １４ 箱子数量／个 ２ ８
身高／ｍ １．４ １．６ 质量／ｋｇ ３０ １２０
时间／ｈ ２ ３ 衣服数量／件 ５ １０
路程／ｋｍ ３０ ４０ 总价／元 ４００ ８００
２．下列哪组中的四个数可以组成比例？把组成的比例写出来．
（１）４，５，１２和１５； （２）２，３，４和５；
１ １ １ １
（３）１．６，６．４，２和５； （４） ， ， 和 ．
２ ３ ６ ４
３．李叔叔驾车从甲地行驶到乙地．行驶路程与时间的关系如下表．
行驶路程／ｋｍ ８０ １６０ ２４０ ３２０
行驶时间／ｈ １ ２ ３ ４
从表格中选出四个数组成比例，你可以写出几组？
４． （１）写出比值是５的两个比，并组成比例．
（２）根据２４×３＝８×９，你能写出比例吗？能写几个？
５．解比例：
１ １ １
（１） ∶ ＝ ∶犪； （２）０．８∶４＝犪∶８；
２ ３ ４
３ ２ ８
（３） ∶犪＝３∶１２； （４） ＝ ．
４ ９ 犪
６．王芳说：“我不运动时心脏４５ｓ跳５４次．”李明说： “那你心脏１ｍｉｎ跳７２
次．”李明说得对吗？
７．李叔叔承包了两块水稻田，面积分别为０．５公顷和０．８公顷．秋收时，两块水
稻田的产量分别为３．７５ｔ和６．５ｔ．两块水稻田的产量与面积之比，是否可以
组成比例？如果可以组成比例，请写出比例．如果不能组成比例，哪块水稻田
的产量更高？
第五章 比和比例关系１２５第五章 比和比例关系
2.3
８．利用图中的４个数，你能写出比例吗？依据是
什么？
4
９．一个秦代高级军吏俑模型的高度与实际高度的比 8
3.
是１∶１０，模型高度是１９．６ｃｍ．这个高级军吏
俑的实际高度是多少？ 4.75
（第８题）
１０．李老师买了６个足球和８个篮球，买两种球所花的钱数相同．
（１）足球与篮球的单价之比是多少？
（２）足球的单价是４０元，篮球的单价是多少元？
（３）请你提出其他数学问题并解答．
黄金比
你听说过 “黄金比”吗？
把一条线段分成两部分，当较短部分与较长部分长度之比等于较长部分与
整体长度之比时，我们把这个比称为黄金比 （约为０．６１８∶１）．当一个物体的两
个部分长度的比大致符合黄金比时，常常给人以优美的视觉感受，因此，人们
设计许多物品时都会考虑黄金比这一因素．
b
a
犪∶犫≈０．６１８∶１
图１
图１中的五角星内还有其他线段长度的比符合黄金比吗？
请收集一些有关黄金比的信息与同学交流．
１２６５．３ 正比例与反比例
通过前面的学习，我们知道了比和比例的意义．接下来
我们会结合两个变化的量之间的关系，继续扩充关于比例的
知识．
在生活中有很多变化的量，有些变化的量之间是有联系的．下面两组情境
（图５．３１和图５．３２）中分别有哪两个量？它们都是怎样变化的？
1 min 1 min 1 min 1 min 1 min
图５．３１
有燃烧时间和蜡烛长度这两个量，燃烧时间越长，蜡烛长度越短 （表５．３１）．
表５３１
燃烧时间／ｍｉｎ １ ２ ３ ４ ５ ６
蜡烛长度／ｃｍ ６ ５．７ ５．４ ５．１ ４．８ ４．５
图５．３２
有水的高度和体积这两个量，体积也随着高度的变化而变化 （表５．３２）．
表５３２
水的高度／ｃｍ ２ ４ ６ ８ １０ １２
水的体积／ｃｍ３ ５０ １００ １５０ ２００ ２５０ ３００
像这样的两个量，一个量变化，另一个量也随着变化，这两个量就是相关
联的量．
第五章 比和比例关系１２７5
新能源汽车不仅能够减少空气污染，还可以降低交通的能源消耗．一
款新能源汽车，行驶时间与路程的关系如表５．３３所示：
表５３３
行驶时间／ｈ １ ２ ３ ４ ５ ６ …
行驶路程／ｋｍ ６０ １２０ １８０ ２４０ ３００ ３６０ …
观察上表并思考：
（１）表中有哪两个量？
（２）路程是怎样随着时间的变化而变化的？
（３）相应的路程与时间的比分别是多少？比值是多少？
从表５．３３可以看出，路程和时间是两个相关联的量，路程随着时间的
６０ １２０ １８０
变化而变化，路程与时间相应数量的比值是一定的， ＝ ＝ ＝…＝
１ ２ ３
６０（ｋｍ／ｈ）．实际上，比值６０ｋｍ／ｈ就是汽车的速度．用式子表示它们的关系就是：
路程
＝速度．
时间
像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个
量的比值一定，这两个量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系．
上表中，路程和时间就是成正比例的量，路程与时间成正比例关系．
如果用字母狔和狓表示两个相关联的量，用犽表示它们的比值 （犽一定，
犽≠０），正比例关系可以表示为
狔
＝犽（犽一定，犽≠０）．
狓
正比例关系还可以表示为狔＝犽狓（犽一定，犽≠０），这样便于根据其中一
个量的值计算另一个量的值，了解它们之间的变化规律．
在生活中，还有很多成正比例关系的量．例如，商场的折扣一定，商品的
现价与原价成正比例；工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例；正方形
的周长与边长成正比例……你还能举出几个生活中成正比例关系的例子吗？
１２８第五章 比和比例关系
１．判断下列每题中的两个量是否成正比例关系，并说明理由．
（１）某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量；
（２）正方体的表面积与它的棱长；
（３）一个人的身高与他的年龄；
（４）小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与种植面积 （单位：公顷）；
（５）一本书的总页数一定，未读的页数与已读的页数．
２．下面是森林面积和对应的可供氧人数的数据．
森林面积／公顷 ２ ３ ４ ５ …
可供氧人数 ２０００ ３０００ ４０００ ５０００ …
（１）写出森林面积与相对应的可供氧人数的比，并比较比值的大小．说
一说这个比值表示什么．
（２）森林面积与可供氧人数成正比例关系吗？为什么？
（３）估计一下８公顷森林可以给多少人供氧．
5
北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．某
赛场在承办冬季奥运会前，计划造雪２６００００ｍ３．请解答下列问题：
（１）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，把表５．３４填写完整．
表５３４
每天造雪量／ｍ３ ５０００ ５２００ ６５００ …
造雪天数 …
（２）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么
关系？
此问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数．根据它们之间的
关系
造雪总量
造雪天数＝ ，
每天造雪量
第五章 比和比例关系１２９２６００００
每天造雪量为５０００ｍ３ 时，造雪天数为 ＝５２；每天造雪量为５２００ｍ３ 时，
５０００
２６００００ ２６００００
造雪天数为 ＝５０；每天造雪量为６５００ｍ３ 时，造雪天数为 ＝４０．
５２００ ６５００
因此，表５．３４中依次填５２，５０，４０．
可以发现，造雪天数随着每天造雪量的增加而减少，而且造雪天数与每天
造雪量的乘积一定，总是２６００００．例如，５０００×５２＝５２００×５０＝６５００×４０＝
２６００００．
像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个
量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例
关系．
如果用字母狓和狔表示两个相关联的量，用犽表示它们的积 （犽一定，
犽≠０），反比例关系可以表示为
狓狔＝犽（犽一定，犽≠０）．
例１ 如图５．３３，四个圆柱形容器内部的底面
积分别为１０ｃｍ２ ，２０ｃｍ２ ，３０ｃｍ２ ，６０ｃｍ２．分别往
这四个容器中注入３００ｃｍ３ 水．
（１）四个容器中水的高度分别是多少？
（２）分别用狓（单位：ｃｍ２ ）和狔（单位：ｃｍ）
表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示狔
图５．３３
与狓的关系，狔与狓成什么比例关系？
分析：题中包含圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆
圆柱的体积
柱的体积＝底面积×高，高＝ ．
底面积
３００ ３００
解： （１）四个容器中水的高度分别为 ＝３０ （ｃｍ）， ＝１５ （ｃｍ），
１０ ２０
３００ ３００
＝１０ （ｃｍ）， ＝５ （ｃｍ）．
３０ ６０
（２）狓狔＝３００，狔与狓成反比例关系．
１３０第五章 比和比例关系生活中，成反比例关系的例子是很常见的．例如，购物时，总价一定，购
买同一商品的数量与该商品的单价成反比例关系．你还能举出一些这样的例
子吗？
１．如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反
比例关系？为什么？
２．判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由．
（１）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱
的质量；
（２）长方体的体积一定，长方体的底面积与高；
（３）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，购买荧光笔的费用与购买中
性笔的费用．
３．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的质量与运输的天数之间的
关系如下表．
每天运输的质量／ｔ ５００ ２５０ １００ ５０ …
运输的天数 １ ２ ５ １０ …
（１）这批货物共有多少吨？
（２）运输的天数是怎样随着每天运输的质量变化而变化的？
（３）用狋表示运输的天数，用犪表示每天运输的质量，用式子表示狋与
犪的关系．狋与犪成什么比例关系？
１．下表是李明家去年上半年每月用自来水的情况．
月份 １ ２ ３ ４ ５ ６
用水量／ｔ ７ ９ ８ ７ ６ １０
水费／元 ３５ ４５ ４０ ３５ ３０ ５０
第五章 比和比例关系１３１（１）分别写出各月水费与用水量的比，比较比值的大小．
（２）说明这个比值表示的意义．
（３）上表中的水费与相应的用水量成正比例关系吗？为什么？
２．某种汽车行驶路程和耗油量如下表．
行驶路程／ｋｍ １５ ３０ ４５ ７５
耗油量／Ｌ ２ ４ ６ １０
（１）该汽车的耗油量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？
（２）估计一下：该汽车行驶５５ｋｍ的耗油量是多少？
３．已知狔与狓成反比例关系，在下表的空格中填写合适的数．
１
狓 ２ ４０
５
５
狔 ５ ０．１
６
４．某高铁列车的平均行驶速度与驶完全程所需时间如下表．
速度／（ｋｍ／ｈ） ２７０ ２６０ ２５０ ２００ １８０ １５０ …
１３０ ６５ ２６
时间／ｈ ５ ５．２ ６．５ …
２７ ９ ３
（１）这段铁路全长多少千米？
（２）如果用狏表示列车的平均速度，狋表示驶完全程所需时间，狋与狏成什么
比例关系？你能写出这个关系式吗？
（３）如果列车的平均速度为３２５ｋｍ／ｈ，驶完全程需要多长时间？
５．已知一种铅笔每支售价为０．６元，请把下表填写完整．
数量／支 １ ２ ３ ４ ５ ６ …
总价／元 ０．６ １．２ …
（１）买７支这样的铅笔需要多少钱？
（２）张华买这种铅笔花的钱是李明的４倍，张华买的铅笔支数是李明的几倍？
１３２第五章 比和比例关系
６．先把下面的表格补充完整，再回答问题．
半径／ｃｍ １ ３ …
直径／ｃｍ ２ ２０ …
周长／ｃｍ ２π １２π …
面积／ｃｍ２ π …
（１）圆的周长和半径成正比例关系吗？为什么？
（２）在上表中你还能找出哪两种成正比例关系的量？请说明理由．
正比例关系和反比例关系的图象
正比例关系可以用图象来表示，例如第１２８页中新能源汽车的行驶时间与
行驶路程的对应数据，就可以用图１的图象表示．图象上的路程随着时间的增加
而增加，路程随着时间的减少而减少．
正比例关系的图象是一条直线．从图１中，你能看出汽车行驶５ｈ，６ｈ所
对应的路程分别是多少吗？
/cm
/km
480 60
55
420 50
360 45
40
300 35
240 30
25
180 20
120 15
10
60 5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 h 5 10 15 20 2530 3540 45 50 55 60 /cm2
图１ 图２
反比例关系也可以用图象来表示．第１３０页例１中的数据可以用图２的图象
表示．反比例关系的图象是光滑的曲线．从图象中，你能看出圆柱形容器内部的
底面积分别是５ｃｍ２ ，１５ｃｍ２ 时，水的高度分别是多少吗？
第五章 比和比例关系１３３５．４ 比和比例的应用
比和比例的知识可以帮助我们解决生活中的许多实际问
题．在解决问题的过程中，我们能再次体会量与量之间的内
在关系．
５４１ 比例尺
5
如图５．４１，地图绘制人员是怎样在地图上准确地画出青藏铁路线的？
博物画家是怎样准确地画出一只蚂蚁的？
图５．４１
在绘制地图和平面图的时候，有时需要把实际距离按一定的比缩小，再画
在图纸上．这时，就要确定图上距离和相对应的实际距离的比．
一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺．
图上距离
图上距离∶实际距离＝比例尺 或 ＝比例尺
实际距离
例如，一幅中国地图的比例尺是１∶１００００００００，这是数值比例尺，有时
１ ０ ５０ｋｍ
也写成 ．又如，一幅北京地图的比例尺这样表示： ，这是
１００００００００
线段比例尺，表示地图上１ｃｍ的距离相当于地面上５０ｋｍ的实际距离．你能把
它改成数值比例尺吗？
图上距离∶实际距离＝１ｃｍ∶５０ｋｍ
计算比例尺时，图
＝１ｃｍ∶５００００００ｃｍ 上距离和实际距离的长
＝１∶５００００００． 度单位要相同．
１３４第五章 比和比例关系比例尺１∶５００００００表示图上距离是实际距离
１ 为了计算方便，一
的 ，实际距离是图上距离的５００００００倍．
５００００００
般把比例尺写成前项或
在绘制比较精细的零件图时，经常需要把零件
后项是１的形式．
的尺寸按一定的比放大．如一幅零件图纸的比例尺
是２∶１，它就表示图上距离是实际距离的２倍．
为了方便制图，人们根据不同的比例尺把不同的
1m
实际距离直接标在刻度尺上，如图５．４２是一个三棱
比例尺，这样就不必测量出图上距离再计算出实际距
离了，因为可以用刻度尺直接量出实际距离．
例１ 两地之间的实际距离是１２０ｋｍ，在一幅 图５．４２
地图上量得两地的图上距离是２．４ｃｍ．这幅地图的比例尺是多少？
解：图上距离∶实际距离＝比例尺，
１２０ｋｍ＝１２００００００ｃｍ，
２．４∶１２００００００＝１∶５００００００．
答：这幅地图的比例尺是１∶５００００００．
例２ 在一幅比例尺为１∶３００００的地图上，北京地铁２号线的长度大约
是７７ｃｍ．北京地铁２号线的实际长度大约是多少千米？
图上距离
分析：根据 “ ＝比例尺”，可以用图上距离除以比例尺，求出实际
实际距离
距离．也可以根据比例的意义，列出比例式 “图上距离∶实际距离＝１∶３００００”，
通过解比例的方法求出实际距离，注意换算成合适的单位．
１
解法１：７７÷ ＝７７×３００００＝２３１００００ （ｃｍ）．
３００００
２３１００００ｃｍ＝２３．１ｋｍ．
解法２：把北京地铁２号线的实际长度表示为犪ｃｍ，则
７７∶犪＝１∶３００００，
犪×１＝７７×３００００，
犪＝２３１００００．
２３１００００ｃｍ＝２３．１ｋｍ．
答：北京地铁２号线的实际长度大约是２３．１ｋｍ．
第五章 比和比例关系１３５
１．一个零件的高是５ｍｍ，在图纸上
!>
的高是２ｃｍ．这幅图纸的比例尺是
!D0
多少？
２．先把图中的线段比例尺改写成数值
比例尺，再用直尺量出图中河西村
与汽车站之间的距离，并计算出两
0 600m
地的实际距离大约是多少．
（第２题）
３．两个城市间的铁路线大约长１９００ｋｍ，在比例尺为１∶４０００００００的地
图上，它的长度大约是多少厘米？
５４２ 图形的放大与缩小
如图５．４３，你见过这些现象吗？这些现象中，哪些是把物体放大？
哪些是把物体缩小？
图５．４３
１３６第五章 比和比例关系放大和缩小是生活中一种常见的现象．在放大和缩小的过程中，只是改变
了被观测对象的大小，形状保持不变．
/
按２∶１画出图５．４４中三个图形放大后的图形．
按２∶１放大，就是
将各边的长放大到原来
的２倍．
图５．４４
想一想：放大后的图形与原来的图形相比，它们的形状、大小、内
角、边长、周长……什么变了？什么没变？你发现了什么？
图５．４４中的正方形的边长是３，按２∶１放大，放大后正方形的边长就是
３×２＝６；原来正方形的周长是１２，放大后的周长是２４．
同理，按２∶１放大长方形，也是把长和宽放大到原来的２倍，长放大后
是４×２＝８，宽放大后是２×２＝４．原来的周长是１２，放大后是２４．
直角三角形的两条直角边放大到原来的２倍，斜边也变为原来的２倍．
放大后的图形如图５．４５所示．
图５．４５
长方形 长方形
放大前的长∶放大前的宽 放大后的长∶放大后的宽
＝ ４ ∶ ２ ＝ ８ ∶ ４
＝ ２ ∶ １ ＝ ２ ∶ １
图形放大前、后所对应的边长的比值是保持不变的．因此把一个图形按比
放大或缩小，图形的大小变了，边长和周长变了，但形状不变．对应角的度数
也保持不变．
第五章 比和比例关系１３７如果把图５．４５中放大后的正方形按１∶３、长方形按１∶４、直角三角形按
１∶２缩小，各个图形又会发生什么变化？在方格纸上画画看，你又发现了什么？
先按４∶１把图中的三角形放大，再把放大后的图形按１∶２缩小．
５４３ 用比和比例解决的其他问题
除了比例尺、图形的放大或缩小，比和比例还有很多应用．我们再看一些
例子．
5
王老师把水和浓浆按３∶２的比配制了一杯５００ｍＬ的润喉茶，其中水
与浓浆分别用了多少？
在这一问题中有三个量，即水、浓浆、润喉茶的体积，
如图５．４６，在５００ｍＬ润喉茶中，水是３份，浓浆是２份，
我们可以利用这个份数计算出每份的毫升数，再根据水、浓
浆分别是几份，计算出水和浓浆分别用了多少毫升．
图５．４６
还可以把这杯润喉茶的总量看作单位 “１”，这样就把问
题转化成了求一个数的几分之几是多少，进而求出水和浓浆
分别是多少毫升．
解法１：把总体积平均分成３＋２＝５ （份），
每份：５００÷５＝１００ （ｍＬ），
水：１００×３＝３００ （ｍＬ），
浓浆：１００×２＝２００ （ｍＬ）．
３
解法２：水：５００× ＝３００ （ｍＬ），
３＋２
１３８第五章 比和比例关系２
浓浆：５００× ＝２００ （ｍＬ）．
３＋２
所以，水与浓浆分别用了３００ｍＬ，２００ｍＬ．
１．李老师也用上面的配比配制润喉茶，他往杯子里放了１００ｍＬ浓浆．请
你帮忙算一算：他需要往杯子里倒多少毫升水？
２．某妇产医院上月出生新生儿３８８名，男、女人数之比是４９∶４８．上月新
生儿中男、女各有多少人？
/
绿叶小队的同学研究校园的旗杆有多高．他们想到 “立竿见影”的方
法．通过测量得到王芳的身高是１．５ｍ，她的影长是２．７ｍ，同一时间、
同一地点测得旗杆的影长是３２．４ｍ．你能推算出校园的旗杆大约有多
高吗？
从问题的信息中我们知道了两个相关联的量，分别是物体的高度和影长，
由于同一时间、同一地点物体高度和影长的比值是定值，它们成正比例关系，
所以可以得到一个比例式：
王芳的身高 旗杆的高度
＝ ，
王芳的影长 旗杆的影长
利用比例的基本性质就可以求出结果了．
由此，可以把旗杆的高度表示为犪ｍ．则
１．５ 犪
＝ ，
２．７ ３２．４
２．７犪＝１．５×３２．４，
２．７犪＝４８．６，
犪＝１８．
所以，旗杆的高度大约是１８ｍ．
从以上问题可以看出，只要问题中两个量的比值是定值，就可以用正比例
关系来解决．类似地，什么样的问题能用反比例关系来解决呢？请你举例说明．
第五章 比和比例关系１３９
１．一列货车运送物资，２ｈ行驶了１６０ｋｍ．按照这样的速度，行驶４００ｋｍ
需要多少小时？
２．学校小商店有两种圆珠笔，李明带的钱刚好可以买４支单价是１．５元的
笔．如果他只买单价是２元的圆珠笔，可以买多少支？
３．要想知道你们学校教学楼的高度，想一想还有哪些不同的方法可以测
量出实际高度．
１．在一幅比例尺是１∶５００００００的地图上，量得两个城市的图上距离是３．４ｃｍ，
这两个城市之间的实际距离是多少？
２．下面哪个图形是图形Ａ按２∶１放大后得到的图形？
A B C D
（第２题）
３．周叔叔一家四口和李叔叔一家五口一起到餐厅用餐，餐费一共是４５０元．两家
商量按人数分摊餐费，每家应付餐费多少钱？
４．在生活中，可以利用正比例关系估测一条河的宽度．如图，
犫 犮 b
犫为河宽，已知 ＝ ，测得犮＝３ｍ，犱＝６ｍ，犲＝４ｍ，
犪 犱 a
c
你能求出河宽犫是多少吗？ e
５．中国空间站在太空中绕地球运行６周需要９ｈ，运行１５周大 d
（第４题）
约要用多长时间？
６．用收割机收割小麦．如果每小时收割０．３公顷，４０ｈ能完成任务．
（１）现在想用３０ｈ割完，那么每小时应收割多少公顷？
（２）如果每公顷产小麦８ｔ，这块地总共产小麦多少吨？
１４０第五章 比和比例关系（３）请你提出其他数学问题并解答．
７．用１２０ｃｍ的铁丝做一个长方体框架，使长、宽、高的比是３∶２∶１．这个长
方体的体积是多少？
８．李明家正西方向５００ｍ是街心公园，街心公园正北方向３００ｍ是科技馆，科
技馆正东方向１ｋｍ是动物园，动物园正南方向４００ｍ是医院．先确定比例尺，
再画出上述地点的平面图．
（第８题）
９．自己找一幅中国地图．
（１）这幅地图的比例尺是１∶ ．
（２）量出地图上哈尔滨市与海口市之间的距离大约是 ｃｍ，这两个城
市之间的实际距离大约是 ｋｍ．
（３）刘伟假期从北京去武汉的爷爷家，高铁列车平均每小时行驶２６０ｋｍ．请
你提出数学问题并解答．
１０． 《九章算术》卷二 “粟米”章提到了古代一种以粟为基础进行粮食兑换的标
准，其中规定：粟率５０，粝米３０，稗米２７……．同时，还举例说明了问题
的解决之法，如 “今有粟一斗，欲为粝米．问得几何？答曰：为粝米六升．
术曰：以粟求粝米，三之，五而一．”意思是，现在有一斗粟，想换成粝米
（糙米），可以换多少？方法是以粟乘３，再除以５，答案是６升．注意：古代
的一斗是十升．你能用本章所学的知识说明这个方法的合理性吗？
第五章 比和比例关系１４１
"4 L
活动准备
（１）校园里有许多建筑，根据主题，你们准备绘制哪些主要的建
筑物？
（２）需要准备哪些测量工具？收集哪些数据？怎样收集这些数据？
（３）如何确定平面图的比例尺？
测量绘制
绘制校园平面图活动报告
１．我们的分工：
２．记录的数据：
３．绘制平面图：
想一想：怎样可以使得校园平面图完整、准确、美观？
交流评价
（１）向别人介绍你们绘制的平面图有哪些亮点．
（２）从其他小组绘制的平面图中，你学到了什么？
１４２第五章 比和比例关系
在本章中，我们首先学习了比和比例的相关知识．两个同类数量之
间，存在着各种关系，有大小关系、相差关系、倍数关系……我们常用
两个量之间的比来表示它们之间的倍数关系．我们知道了比的各部分名称
和它的基本性质，利用比的基本性质化简比．比例以比的知识为基础，描
述了两个比之间的相等关系．任一比例中的内项之积等于外项之积，利用
这一性质，可以求出比例中的未知项，即解比例．
接下来，我们又认识了正比例关系和反比例关系．在此之前，我们接
触得较多的是数与数之间的关系，而正比例关系和反比例关系反映的是一
个量随着另一个量的变化而变化的动态关系，它帮助我们进一步理解现实
世界的事物是联系的、变化的，并使我们学会用数学的方法来刻画现实世
界中量与量之间的关系．将来，我们还要学习更多的 “两个量之间的关系”．
第五章 比和比例关系１４３利用本章的知识我们可以解决一些实际问题，体会所学数学知识的应
用价值．在解决这些实际问题的过程中，对数学概念、数学方法、数学思
想的理解也会越来越深入，你的运算能力将得到提升，模型观念得到增强．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．什么是比？你能尝试写出一些比吗？比和除法、分数有什么关系？
２．比的基本性质是什么？你会用比的基本性质化简比吗？
３．什么是比例？请你举出一些实例加以说明．比例和比有什么关系？
你会用两种不同的写法表示比例吗？
４．比例的基本性质是什么？你会利用比例的基本性质来解比例吗？
５．什么样的两个量成正比例关系？什么样的两个量成反比例关系？
你会用字母表达式分别表示这两种关系吗？
６．你会利用比例尺、图形的放大与缩小、按比例分配、正比例和反
比例关系等知识来解决一些实际问题吗？
１．填空．
（１）一幅地图上两地的图上距离是５ｃｍ，它们之间的实际距离是１５ｋｍ，这幅
地图的比例尺是 ．
（２）大、小两个圆的半径之比是５∶３．它们的直径之比是 ，周长之比
是 ，面积之比是 ．
（３）把一个长５ｃｍ、宽３ｃｍ的长方形按３∶１放大，得到的图形的面积是
ｃｍ２．
２．下列各题中的两个量之间是否成正比例关系？你是怎样判断的？
（１）比例尺一定，两地的实际距离和图上距离；
（２）积 （０除外）为定值，一个因数和另一个因数；
（３）梯形的上底和下底不变，梯形的面积和高；
（４）如果狔＝５狓，狔和狓．
１４４第五章 比和比例关系３．解下列比例：
４ ５ １ ２
（１） ＝ ； （２）犪∶ ＝ ∶４；
犪 ６ ２ ３
１．２ ３
（３） ＝ ； （４）６．５∶犪＝３．２５∶４．
２．５ 犪
４．在一幅比例尺是１∶２００００００的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是
５．５ｃｍ．在另一幅比例尺是１∶５００００００的地图上，这两个城市之间的图上距离
是多少？
５．食盐在水里的溶解能力是有限的，当一杯水中放入食盐但食盐不再继续溶解的
时候，我们称这杯盐水 “饱和”了．已知在一定温度和大气压下，１００ｇ水最多
可以溶解食盐３６ｇ，在同样的环境下，３００ｋｇ水最多可以溶解食盐多少千克？
６．甲、乙两地之间的高速铁路大约长１６００ｋｍ．丙地在甲地、乙地之间，甲地到丙
地的高速铁路大约长７００ｋｍ．一列由甲地开往乙地的高铁列车，９：００出发，
１１：３０到达丙地．照这样的速度，６ｈ能从甲地到达乙地吗？
７．要读一本文学名著，如果每天读３０页，８天可以读完．若想６天读完，那么平均
每天要读多少页？
８．王叔叔驾驶一辆电动汽车外出旅游，途中记录了数据，整理结果如下表．
行驶路程／ｋｍ １２０ １３０ １４０ １５０ …
耗电量／千瓦时 １８ １９．５ ２１ ２２．５ …
（１）行驶２４０ｋｍ需要耗电多少千瓦时？
（２）汽车电池充满后有６５千瓦时的电量，如果行驶４２０ｋｍ，这些电量够吗？
９．先画图，再填空．
（第９题）
（１）将梯形①按１∶２缩小，得到梯形③，再把梯形③按３∶１放大，得到梯
形④．
第五章 比和比例关系１４５（２）将半圆②按３∶２放大，得到半圆⑤，半圆⑤与半圆②直径的比是 ∶ ，
半径的比是 ∶ ，周长的比是 ∶ ，面积的比是 ∶ ．
１０．在一幅比例尺为１∶４００００００的地图上，量得甲、乙两地相距３０ｃｍ，两车同
时从甲、乙两地相对开出．甲车每小时行驶１５５ｋｍ，乙车每小时行驶１４５ｋｍ，
几小时后两车相遇？
１１．李叔叔一家假期自驾游．下面是相关驾驶数据的统计表．
时间／ｈ １ ２ ３ ４ …
路程／ｋｍ ８０ １６０ ２４０ ３２０ …
耗油量／Ｌ １０ ２０ ３０ ４０ …
（１）李叔叔从Ａ景区到Ｂ景区一共行驶了１８０ｋｍ，汽车需要耗油多少升？
（２）李叔叔从Ｂ景区到Ｃ景区，３ｈ正好行驶了全程的７５％，照这样的速度，
行驶完全程还需要几小时？
（３）请你提出其他数学问题并解答．
１２．张华家的客厅是正方形的，用边长是０．６ｍ的方砖铺地，正好需要６４块．如果
改用边长是０．８ｍ的方砖铺地，需要多少块？
１３．学校把栽６３棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班，一班有４２人，
二班有４４人，三班有４０人．三个班分别应栽多少棵树？
１４．填空．
（１）一个三角形的三个内角的度数比是５∶３∶１，这个三角形是 三角形．
（２）一个直角三角形的两个锐角的比是３∶１，这两个锐角的大小分别是 °
和 °．
１５．王叔叔需要３６ｍ铁丝．他用取样的方式对家中的一捆铁丝进行测量．先从中截
取了２ｍ长的一段，测得它的质量为１５０ｇ，再测得整捆铁丝的质量为３ｋｇ．这
捆铁丝够吗？
１４６第五章 比和比例关系综合与实践
营养午餐
饮食是我们生活中重要的组成部分．食物不仅为我们每天的基本活动提供
能量，美味的餐食也能让人的身心得到满足，合理的膳食还是我们健康成长的
保证．你对膳食营养知识有哪些了解？你知道人体需要的基本营养物质和它们
的作用吗？学校每天都会提供种类丰富的午餐，这些餐食能满足同学们的营养
需求吗？食堂是怎么确定每周的午餐安排的？让我们借助数学工具探寻午餐背
后的营养知识，评价校园午餐食谱的营养情况，并设计一周的校园午餐食
谱吧．
通过合作探究，了解营养膳食的基本知识，制订午餐营养情况的评价标
准，调查学校一周的午餐食谱并分析其营养情况；利用活动获得的知识设计一
周的营养午餐食谱．
咨询营养师或查阅相关资料，了解人体所需的基本营养物质和健康饮食的
基本要求．
调查午餐营养情况
我们平常摄入的食物大致可以分为五大类：谷类和薯类；蔬菜类和水果
类；动物性食物 （包括禽畜肉、水产品和蛋类）；奶及奶制品、大豆和坚果；
动、植物油等．这些食物为我们提供了蛋白质、碳水化合物、脂肪、水、维生
素、矿物质和膳食纤维等人体必需的营养物质．各种食物中营养物质的种类和
含量各有不同，而人体对不同营养物质的需求也有所不同，学校午餐中提供的
营养能否满足我们日常学习生活所需呢？让我们带着问题，调查一下校园的午
餐营养情况吧．
综合与实践 营养午餐１４７任务１ 提出营养午餐的研究问题
人体每天需要从午餐中摄取多少营养物质？每种食物中又含有多少我们所
需的营养？日常膳食在搭配中还需要注意哪些问题？从 “营养午餐”的主题出
发，提出你感兴趣的问题．带着问题查阅相关资料或者咨询专业人士，了解相
关知识．
任务２ 制订评价午餐营养的标准
如何判断校园午餐是否满足我们的营养需求？根据六年级学生的午餐营养
需求和了解到的其他营养知识，制订评价午餐营养情况的标准．
任务３ 评价校园午餐的营养情况
想要评价校园午餐的营养情况，除了知道每天的菜品，还需要收集哪些信
息？根据需求收集学校一周的午餐食谱和相关数据，按照任务２中制订的营养
标准进行评价，将评价过程和结果记录下来．
设计营养午餐食谱
一份有营养又美味的午餐食谱是怎样设计出来的？根据午餐营养需求和各
种食物的营养物质含量，营养师可以搭配出丰富多样又平衡健康的午餐食谱．
有了活动一中制订的营养评价标准，我们也可以做个 “小小营养师”，为同学
们设计一份既有营养又美味的午餐食谱．
任务 设计校园午餐营养食谱
利用你在活动一中制订的营养标准，为学校食堂设计一周的校园午餐食谱．
在满足营养标准的同时，注意综合考虑活动一中发现的问题和同学们的喜好．
自己提出问题并解决
在探究过程中，你还想研究哪些和膳食营养相关的问题？自己提出与数学
有关的膳食营养问题并解决．
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．首先，在班级中组成５～８人一组的
研究小组，每小组确定１名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决方案．
１４８综合与实践 营养午餐３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表展示本组的成果，分享实践过程中
的活动经验、遇到的困难及解决方法，反思活动中的不足．
通过成果展示与交流，基于各组代表完成的研究报告，根据情况选择任务
完成表、作品评分表、表现评分表、自我反思表等进行评价．通过质疑、辩
论、评价，与老师和全班同学一起总结成果，分享体会，分析不足．
综合与实践 营养午餐１４９!"#
本套教科书 （六～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所小学和中学数学课
程教材研究开发中心依据教育部 《义务教育数学课程标准 （２０２２年版）》编写．
本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版 《义务教育
教科书 （五·四学制）数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写人
员、教研人员及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有李海东、王光明，
参加本册教科书统稿的还有丁国忠，参加本册教科书编写的还有王利、张珈瑞、陈
昕、胡雪丹等，亢重博参加了本册教科书的编辑工作．本套教科书封面设计由中央美
术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．本册教科书版式设计为王俊宏，
内文插图绘制为王俊宏、张婷婷．我们感谢所有对教科书的编写、审读、试教、出版
等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系，
得到了他们的大力支持．故宫博物院、视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ等为本册教科书提供了图
片素材．对此，我们表示衷心的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意
见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋
完善．
联系方式
电 话：０１０５８７５８３１１，５８７５８８６６
电子邮箱：ｊｃｆｋ＠ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
中小学教材意见反馈平台：ｊｃｙｊｆｋ．ｐｅｐ．ｃｏｍ．ｃｎ
人民教育出版社 课程教材研究所® 义 务 教 育 教 科 书 ( 五·四 学 制 )
义
务
教
育
教
科
书
（
义务教育教科书(五·四学制)
五
·
四 六年级
学
制
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上册
六年级 上册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU 数
WUSI XUEZHI
学
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六
年
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