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定价：11.93元
义务教育教科书（五·四学制） 数学 七年级 下册
价格批准编序号：鲁发改价格核（2026）602005
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YIWU JIAOYU JIAOKESHU （WU·SI XUEZHI）
SHUXUE
QI NIANJI XIA CE
义务教育教科书（五·四学制）
数学
七年级 下册
出 版：山东出版传媒股份有限公司
山东教育出版社（济南市市中区二环南路 2066 号 4 区 1 号）
网 址：www.sjs.com.cn
发 行：山东新华书店集团有限公司
印 刷：山东潍坊新华印务有限责任公司
版 次：2026 年 1 月第 1 版
印 次：2026 年 1 月第 1 次印刷
开 本：787 毫米×1092 毫米 1/16
印 张：12
字 数：240
千
书 号：ISBN 978-7-5701-4126-5
定 价：11
.
93
元
著作权所有·请勿擅用本书制作各类出版物·违者必究
山东出版传媒股份有限公司教材中心售后服务电话：（0531）82098188
主 编：马 复
编写人员：颜 峰 辛珍文 安德生 周广玲
王瑞霖 刘 栋 杨泽忠 张宇清
责任编辑：王 利
责任校对：任军芳
封面设计：吴江楠 闫 姝
走进数学新天地
亲爱的同学，很高兴又与你相会在数学的世界。
打开这本教科书，你会汲取许许多多新的数学知识。
这学期，你将认识二元一次方程组，并利用它们解决许多现实而有趣
的问题；梳理以前探索过的有关图形的结论，以一些基本事实为出发点，证
明有关平行线的定理；通过试验感受随机事件发生的频率的稳定性，了解
事件的概率，体会概率是描述随机现象的数学模型；研究一元一次不等式
（组），并通过解决一些简单的实际问题，体会不等式、函数、方程之间的
联系；探究三角形中的奥秘，证明全等三角形、特殊三角形的基本性质。
在本学期的学习过程中，你不仅可以揭开诸多谜底，还将探索它们背
后更多的数学知识，并在探索的过程中学会推理证明。这是学习数学给你
带来的最有价值的礼物之一。
在以前的数学学习过程中你可能已经体会到，有效的学习方法对于学
好数学有很大的作用。请继续尝试下面的方法：读一读教科书，自己想一
想、做一做，再与同伴议一议，然后听一听老师的讲解，试一试解决几个
问题。
让我们一起走进数学新天地！
目录
第七章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组 …………………………………………2
2 二元一次方程组的解法 ………………………………………6
3 二元一次方程组的应用 …………………………………… 13
4 二元一次方程与一次函数 ………………………………… 21
※5 三元一次方程组 …………………………………………… 27
★ 问题解决策略：逐步确定 ………………………………… 32
回顾与思考 …………………………………………………… 33
复习题 ………………………………………………………… 34
第八章 证明
1 为什么要证明 ……………………………………………… 38
2 认识证明 …………………………………………………… 41
3 平行线的证明 ……………………………………………… 50
回顾与思考 …………………………………………………… 57
复习题 ………………………………………………………… 58
第九章 概率初步
1 可能性大小 ………………………………………………… 62
2 频率的稳定性 ……………………………………………… 66
3 等可能事件的概率 ………………………………………… 74
回顾与思考 …………………………………………………… 85
复习题 ………………………………………………………… 85
第十章 不等式与不等式组
1 不等关系 …………………………………………………… 90
2 不等式的基本性质 ………………………………………… 95
3 一元一次不等式 …………………………………………… 98
4 一元一次不等式与一次函数 ………………………………103
5 一元一次不等式组 …………………………………………108
回顾与思考 ……………………………………………………115
复习题 …………………………………………………………115
第十一章 三角形的证明及其应用
1 三角形内角和定理 …………………………………………120
2 全等三角形 …………………………………………………129
3 等腰三角形 …………………………………………………136
4 直角三角形 …………………………………………………148
5 线段的垂直平分线 …………………………………………157
6 角平分线 ……………………………………………………164
★ 问题解决策略：反思 ………………………………………171
回顾与思考 ……………………………………………………173
复习题 …………………………………………………………173
综合与实践
生活中的“一次模型” ………………………………………178
七巧板 …………………………………………………………179
总复习题 ………………………………………………………………181
［本教科书中标有※的内容为选学内容，不作考试要求。］
第七章
二元一次方程组
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：“今有雉（鸡）
兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”你
能解决这个问题吗？事实上，利用方程（组）可以很容易地解
决这一问题。
本章将在一元一次方程的基础上，进一步学习二元一次方
程组的概念，通过“消元”将二元一次方程组转化为一元一次
方程，探寻二元一次方程组的解法，并利用二元一次方程组解
决一些有趣的现实问题。在学习的过程中，你将再次经历从现
实到数学的抽象过程，体会化“未知”为“已知”的转化思想，
感受方程的广泛应用，发展抽象能力和模型观念等。
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
方程的学习一般会经历怎样的过程？学习过程中，能体
会到哪些重要的数学思想方法？
方程与函数有怎样的区别和联系？
2
数 学
七年级 下册
小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知
小明栽种的绿植比小颖多 2 株，如果将小颖栽种的绿植给小明 1 株，那么小明
的绿植株数是小颖的 2 倍。
（1）这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，由此你能得到怎
样的方程？
尝试·思考
周末，小亮一家和朋友们到公园游玩，他们一共 8 个人，买门票花了 34
元。已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元。
（1）这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）设他们中有 x 个成人、y 名学生，由此你能得到怎样的方程？
在上面两个情境中，我们分别得到方程
x - y = 2 和 x + 1 = 2（y - 1），以及 x + y = 8
和 5x + 3y = 34 。观察这些方程，它们有什么
共同特征？
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程叫作二元一次
方程（linear equation with two unknowns）。
思考·交流
在上面的方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34 中，x 所表示的对象相同吗？y 呢？
与同伴进行交流。
认识二元一次方程组
1
未知数的个
数、次数……
3
第七章
二元一次方程组
方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34 中，x，y 所表示的对象分别相同。因而 x，y
必须同时满足方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34。把它们联立起来，得
x + y = 8，
5x +3y = 34。
像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作
二元一次方程组（system of linear equations with two unknowns）。
例如，
x - y = 2，
x +1= 2（y - 1）和 x + 2y = 7，
3y +1 = 2
都是二元一次方程组。
尝试·思考
（1）x = 6，y = 2 满足方程 x + y = 8 吗？x = 5，y = 3 呢？x = 4，y = 4 呢？你
还能找到其他 x，y 的值满足方程 x + y = 8 吗？
（2）x = 5，y = 3 满足方程 5x + 3y = 34 吗？x = 2，y = 8 呢？
（3）你能找到一组 x，y 的值，同时满足方程 x + y = 8 和 5x + 3y = 34 吗？
使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个
二元一次方程的一个解。
例如，x = 6，y = 2 是方程 x + y = 8 的一个解，记作
x = 6，
y = 2。
同样，
x = 5，
y = 3
也是方程 x + y = 8 的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
例如，
x = 5，
y = 3
就是二元一次方程组 x + y = 8，
5x + 3y = 34
的解。
4
数 学
七年级 下册
知识技能
1．甲种物品每个 4 kg，乙种物品每个 7 kg。现有甲种物品 x 个，乙种物品 y 个，
共 76 kg。
（1）列出关于 x，y 的二元一次方程
；
（2）若 x = 12，则 y =
；
（3）若乙种物品有 8 个，则甲种物品有
个。
习题 7.1.1
随堂练习
1．根据题意列方程组：
小明从邮局买了面值 50 分和 80 分的邮票共 9 枚，花了 6.3 元。两种邮
票小明各买了多少枚？
2．下面四组数值中，哪些是二元一次方程 2x + y = 10 的解？
（1）
x = -2，
y = 6；
（2）
x = 3，
y = 4；
（3）
x = 4，
y = 3；
（4）
x = 6，
y = -2。
3．二元一次方程组
x +2y = 10，
y = 2x
的解是
。
（1）
x = 4，
y = 3；
（2）
x = 3，
y = 6；
（3）
x = 2，
y = 4；
（4）
x = 4，
y = 2。
5
第七章
二元一次方程组
2．下面四组数值中，哪一组是二元一次方程组
7x - 3y = 2，
2x + y = 8
的解？
（1）
x = -1，
y = -3； （2）
x = 2，
y = 4； （3）
x = 4，
y = 2； （4）
x = 1，
y = 6。
3．根据题意列方程组：
（1）2017 年和 2021 年，我国成功完成宇航发射共计 69 次，其中 2021 年成
功完成宇航发射的次数比 2017 年的 3 倍多 1 次，我国 2017 年和 2021
年成功完成宇航发射各多少次？
（2）将一摞笔记本分给若干学生。若每名学生 5 本，则剩下 8 本；若每名
学生 8 本，又差了 7 本。共有多少本笔记本、多少名学生？
4．（1）找到几组适合方程 x + y = 0 的 x，y 的值；
（2）找到几组适合方程 x - y = 2 的 x，y 的值；
（3）找出一组 x，y 的值，使它们同时适合方程 x + y = 0 和 x - y = 2；
（4）根据上面的结论， 请直接写出二元一次方程组
x + y = 0，
x - y = 2
的解。
问题解决
5．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果。小明买了 1 kg 苹果和 2 kg 梨，
共花了 26 元；小丽买了 2 kg 同样品种的苹果和 1 kg 同样品种的梨，共花了
28 元。这种苹果和梨的价格各为多少？
根据题意，小明列出方程组
x + 2y = 26，
2x + y = 28。
而小丽列出的是
2x + y = 26，
x + 2y = 28。
交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确
的，而对方是错误的。他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原
因是什么？
6
数 学
七年级 下册
在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿植，就需
要解方程组
x - y = 2，
①
x + 1 = 2（y - 1）。
②
（1）两个方程中的未知数 x 有什么关系？未知数 y 呢？
（2）未知数 x 与未知数 y 之间满足什么关系？你能用其中一个未知数表示
另一个未知数吗？
（3）你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗？与同伴进
行交流。
由 ①，得
y = x - 2。
③
由于方程组中相同的字母表示同一对象，所以方程②中的 y 也等于 x - 2，
可以用 x - 2 代替方程 ② 中的 y 。于是有
x + 1 = 2（x - 2 - 1）。
④
解一元一次方程 ④，得 x = 7。
再把 x = 7 代入 ③，得 y = 5。
这样，我们就得到二元一次方程组
x - y = 2，
x + 1 = 2（y - 1） 的解
x = 7，
y = 5。
因此，小明栽种了 7 株绿植，小颖
栽种了 5 株绿植。
把求出的未知数的值
代入原方程组，可以知道
所求得的解是否正确。
二元化为一元了！
二元一次方程组的解法
2
7
第七章
二元一次方程组
3x + 2y = 14，
x= y + 3 。
例1 解方程组：
①
②
解：将 ② 代入 ①，得 3（y + 3）+ 2y = 14，
3y + 9 + 2y = 14，
5y = 5，
y = 1。
将 y = 1 代入 ②，得 x = 4。
2x + 3y = 16，
x + 4y = 13。
所以原方程组的解是
x = 4，
y = 1。
例2 解方程组：
①
②
解：由 ②，得 x = 13 - 4y。 ③
将 ③ 代入 ①，得 2（13 - 4y）+ 3y = 16，
26 - 8y + 3y = 16，
-5y = -10，
y = 2。
将 y = 2 代入 ③，得 x = 5。
所以原方程组的解是
x = 5，
y = 2。
思考·交流
上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？与同伴进行交流。
上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。
主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代
数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程
组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。
8
数 学
七年级 下册
随堂练习
1．用代入消元法解下列方程组：
（1）
y = 2x，
x + y = 12；
（2）
x = y - 5
2 ，
4 x + 3 y = 65；
（3）
x + y = 11，
x - y = 7；
（4）
3x - 2y = 9，
x + 2y = 3。
知识技能
1．用代入消元法解下列方程组：
（1）
x - 3y = 2，
y = x；
（2）
x + y = 5，
2x + y = 8；
（3）
4x + 3y = 5，
x - 2y = 4；
（4）
m - n
2 = 2，
2m + 3n = 12。
2．还记得上一节课我们是用什么方法找到二元一次方程组
x + y = 8，
5x + 3y = 34的解的
吗？用代入消元法解这个方程组，并比较一下这两种方法，说说你的体会。
知识技能
习题 7.2.1
9
第七章
二元一次方程组
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
（1）你能用代入消元法解上面这个二元一次方程组吗？你是怎么做的？
与同伴进行交流。
（2）小明注意到两个方程中的 5y 和 -5y 互为相反数，于是想把两个方程
相加。你认为他的这种想法有道理吗？这样能把“二元”化为“一元”吗？
两个方程相加，可以得到 5x = 10，
x = 2。
将 x = 2 代入①，得 6 + 5y = 21，
y = 3。
所以方程组 3x + 5y = 21，
2x - 5y = -11
的解是 x = 2，
y = 3。
例3 解方程组
2x - 5y = 7，
①
2x + 3y = -1。
②
解：② - ①，得
8y = -8，
y = -1。
将 y = - 1 代入 ①，得 2x + 5 = 7，
x = 1。
所以原方程组的解是
x = 1，
y = -1。
3x + 5y = 21，
2x - 5y = -11。
你还有其他
解法吗？
10
数 学
七年级 下册
例4 解方程组
2x + 3y = 12，
①
3x + 4y = 17。
②
解：①×3，得
6x + 9y = 36。
③
②×2，得
6x + 8y = 34。
④
③ - ④，得
y = 2。
将 y = 2 代入 ①，得
x = 3。
所以原方程组的解是
x = 3，
y = 2。
思考·交流
上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？与同伴进行交流。
上面解方程组的基本思路仍然是“消元”。主要步骤是通过两式相加（或
相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。
回顾·反思
回顾求解方程组的过程，你积累了哪些经验？代入消元法和加减消元法
有哪些联系与区别？
随堂练习
1．用加减消元法解下列方程组：
（1）
7x - 2y = 3，
9x + 2y = -19；
（2）
6x - 5y = 3，
6x + y = -15；
（3）
4s + 3t = 5，
2s - t = - 5；
（4）
5x - 6y = 9，
7x - 4y = - 5。
能否使两个方程
中x（或 y）的系数相
等（或相反）呢？
11
第七章
二元一次方程组
阅读·思考
计算机是如何解方程组的
计算机的迅速发展大大提高了运算的速度和解决数学问题的能力。先进
的计算机能快速准确地求出含有成千上万个未知数的一次方程组的解。这是一
个程序化运算的过程，其数学原理与我们所学的“消元”一致。下面就以二元
一次方程组为例，介绍计算机的求解原理和步骤。
基本原理：对于二元一次方程组
a11x + a12 y = b1， ①
a21x + a22 y = b2。 ②
若a11≠0，则（- a21
a11）×① + ②，得
a11x + a12 y = b1， ③
a′
22 y = b′
2 。
④
其中
a′
22 = a22 - a21
a11·a12，b′
2 = b2 -a21
a11·b1。
若 ④ 中 a′
22≠0，则
y = b′
2
a′
22，
x = b1 - a12 y
a11
。
计算步骤如下表：
一般计算步骤
以方程组
4x + 3y = 5，
2x - y = - 5
为例，
其中 a11 = 4，a12 = 3，b1 = 5，
a21 = 2，a22 = - 1，b2 = - 5。
（1）计算 m = a21
a11；
（2）计算 a′
22 = a22 - ma12，
b′
2 = b2 - mb1；
（3）计算 y = b′
2
a′
22，
x = b1 - a12 y
a11
。
（1）m = 2
4 = 0.5；
（2）a′
22 = - 1 - 0.5×3 = - 2.5，
b′
2 = - 5 - 0.5×5 = - 7.5；
（3）y = - 7.5
- 2.5 = 3，x = 5 - 3×3
4
= - 1。
所以方程组的解为
x = - 1，
y = 3。
对于三元一次方程组、四元一次方程组等多元方程组，其求解原理一样。
12
数 学
七年级 下册
知识技能
1．用加减消元法解下列方程组：
（1）
4x - 3y = 14，
5x + 3y = 31；
（2）
2x - 5y = - 21，
4x + 3y = 23；
（3）
4x + 7y = - 19，
4x - 5y = 17；
（4）
3（x - 1）= y + 5，
5（y - 1）= 3（x + 5）。
2．分别用代入消元法和加减消元法解方程组
x + y = 7，
5x + 3y = 31，
并说明这两种方
法的共同点。
3．（1）解二元一次方程组
5x - 3y = 16，
3x - 5y = 0。
（2）你可以用哪些方法得到方程组
5（x + y）- 3（x - y）= 16，
3（x + y）- 5（x - y）= 0
的解？请你对这些方法进行比较。
联系拓广
4．如果知道了两个数的和与差，你一定能求出这两个数吗？说说你的理由。
习题 7.2.2
13
第七章
二元一次方程组
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）你能列方程解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行
交流。
设笼中有鸡 x 只、兔 y 只，根据以上分析，得方程组
x + y = 35，
2x + 4y = 94。
解这个方程组，得
x = 23，
y = 12。
所以，笼中有鸡 23 只、兔 12 只。
例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲
十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何。（选自《张丘建算经》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的 10 个钱，那么甲
的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍；如果乙得到甲的 10 个钱，那么两人钱数相等。
甲、乙两人各带了多少个钱？
分析：题目涉及哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗？
解：设甲带的钱数为 x 个，乙带的钱数为 y 个，根据题意，得
x + 10 = 6（y - 10），
x - 10 = y + 10。
二元一次方程组的应用
3
你能用一元一次
方程或小学的算术方
法求解这个问题吗？
14
数 学
七年级 下册
随堂练习
1．列方程组求解古算题：
今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直
金几何？（选自《九章算术》）
题目大意：5 头牛、2 只羊共值 10 两“金”；2 头牛、5 只羊共值 8 两
“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？
解这个方程组，得
x = 38，
y = 18。
所以，甲带了 38 个钱，乙带了18 个钱。
思考·交流
列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联
系？与同伴进行交流。
问题解决
1．今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入
井，亦长一尺。问井深及绳长各若干。（选自《算法统宗》）
题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份
绳长比井深多 4 尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多 1
尺。绳长、井深各是多少尺？
2．今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何。（选
自《九章算术》）
题目大意是：几个人合伙买东西，若每人出 8 个钱，则会多出 3 个钱；若每
人出 7 个钱，则还少 4 个钱。问合伙人数、物品的价格分别是多少。
习题 7.3.1
15
第七章
二元一次方程组
某工厂去年的利润（总收入-总支出）为 200 万
元。今年的总收入比去年增加了 20%，总支出比去
年减少了 10%，今年的利润为 780 万元。去年的总收
入、总支出各是多少万元？
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？
（2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。
利用表格梳理题目
中的关键信息，是
一种常用的方法。
3．（1）一百馒头一百僧，大和三个更无争。小和三人分一个，大小和尚得几
丁？（选自《算法统宗》）
题目大意：100 个和尚分 100 个馒头，大和尚 1 人分 3 个馒头，小和尚
3 人分 1 个馒头。大和尚、小和尚各有多少人？
（2）回顾雉兔同笼问题和上述问题，比较它们列出的方程组，说说两者的
共同点。
4．今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱
五十。问甲、乙持钱各几何。（选自《九章算术》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙所有钱的一半，那么
甲共有 50 个钱；如果乙得到甲所有钱的 2
3 ，那么乙也共有 50 个钱。甲、乙
两人各带了多少个钱？
5．今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适
平。并雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何。（选自《九章算术》）
题目大意：有 5 只雀、6 只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的
雀重，聚在一起的燕轻。若将其中 1 只雀和 1 只燕互换位置，则二者轻重相
同。已知 5 只雀和 6 只燕总重 1 斤，则 1 只燕和 1 只雀分别重多少？
16
数 学
七年级 下册
设去年的总收入为 x 万元，总支出为 y 万元，则有
年份
总收入/ 万元
总支出/ 万元
利润/ 万元
去年
x
y
今年
根据上表，可以列出方程组
。
解这个方程组，得
。
因此，去年的总收入是
，总支出是
。
例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含
0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。
如果患者每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料
各多少克可以恰好满足患者的需要？
分析：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，则有
成分
甲原料 x g
乙原料 y g
所配制的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
解：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意，得
0.5x + 0.7y = 35，
x + 0.4y = 40。
解这个方程组，得
x = 28，
y = 30。
所以，每餐用甲原料 28 g、乙原料 30 g 可以恰好满足患者的需要。
思考·交流
在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得
体会？与同伴进行交流。
17
第七章
二元一次方程组
随堂练习
1．一班和二班共有 100 名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分
率）为 81%。如果一班学生的体育达标率为 87.5%，二班学生的体育
达标率为 75%，那么一班、二班各有多少名学生？
设一班有 x 名学生，二班有 y 名学生，填写下表并求出 x，y 的值。
人数
一班
二班
两班总和
学生人数
达标学生人数
2．甲、乙两人从相距 36 km 的两地相向而行。如果甲先走 2 h，那么他
们在乙出发 2.5 h 时相遇；如果乙先走 2 h，那么他们在甲出发 3 h 时相
遇。甲、乙两人的速度各是多少？
设甲、乙两人的速度分别是 x km/h，y km/h，填写下表并求 x，y 的值。
两种情况
甲的路程
乙的路程
甲、乙两人的路程之和
第一种情况
（甲先走 2 h）
第二种情况
（乙先走 2 h）
18
数 学
七年级 下册
知识技能
1．编制一道应用题，使得其中的未知数满足方程组
x + y = 200，
5%x + 45% y = 35% ×200。
你可以根据实际背景适当改变上面方程中的数据，但不要改变方程的形式。
问题解决
2．某宾馆的客房有单人间和双人间两种，单人间每间每天300 元，双人间每
间每天 360 元。一个 30 人的旅行团到该宾馆住宿，租住了若干间客房，
且每间客房正好住满，一天共花去住宿费 6 120 元。两种客房各租住了多
少间？
3．某商店准备用两种单价分别为 36 元 /千克和 20 元/千克的糖果混合成杂拌糖
果出售，混合后糖果的单价是 28 元 /千克。现在要配制这种杂拌糖果 100 kg，
需要两种糖果各多少千克？
4．某一天，蔬菜经营户花 90 元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共 40 kg，
到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：
价格
黄瓜
茄子
批发价 /（元 / 千克）
2.4
2
零售价 /（元 / 千克）
3.6
2.8
他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？
习题 7.3.2
19
第七章
二元一次方程组
如图 7-1（单位：cm），8 块相同的小长方形墙砖拼成
一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？
（1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量
关系？
（2）你能列方程组解决这个问题吗？
例3 火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧
道，共用时 30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s，求隧道和火车的
长度。
分析：本题涉及哪些量？你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧
道”的过程吗？这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之
间有什么关系？类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，相信你也可
以得到相应的关系！
解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可
以分别用图 7-2、图 7-3 表示。
设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m，根据题意，得
x + y = 40×30，
x - y = 40×20。
解这个方程组，得
x = 1 000，
y = 200。
所以，隧道和火车的长度分别是 1 000 m 和 200 m。
利用线段图梳理
题目的关键信息，
也是一种常用的
方法。
图 7-2
图 7-3
图 7-1
40
20
数 学
七年级 下册
思考·交流
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流。
回顾·反思
回顾列方程组解决实际问题的学习过程，你对如何列方程有哪些新的认
识？积累了哪些经验？
随堂练习
1．由甲地到乙地的公路全程为 200 km，其中一段为高速公路，其余路段
均为普通公路。已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是
60 km/h 和 100 km/h，从甲地到乙地用时 2.6 h，汽车在普通公路和高
速公路上分别行驶了多少千米？
问题解决
1．相传，阿基米德在洗澡时发现了著名的阿基米德原理，并据此鉴定了纯金
皇冠是否掺假。假设皇冠浸入水中时排开的水的体积为 60 mL，皇冠的质
量是1 114 g，这个皇冠是纯金的吗？如果掺入了白银，你知道皇冠中到底
有黄金多少立方厘米，白银多少立方厘米吗？（1 mL = 1 cm3 ，1 cm3 黄金的
质量约为 19.3 g，1 cm3 白银的质量约为 10.5 g）
2．某环形道路长 400 m，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练
习长跑和骑自行车。如果反向而行，那么他们每隔 25 s 相遇一次；如果同
向而行，那么每隔 80 s 乙就追上甲一次。甲、乙两人的速度分别是多少？
习题 7.3.3
21
第七章
二元一次方程组
3．小颖家离学校 1 880 m，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路。她从家跑
步去学校共用了 16 min。已知小颖在上坡路上的平均速度是 4.8 km/h，在
下坡路上的平均速度是 12 km/h。小颖上坡、下坡各用了多长时间？
4．小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔 1 h 看到一个里程碑上
的数，下面是对三个数的描述。你能确定小明在 12 : 00 时看到的里程碑上
的数吗？
5．现实生活和数学学习中，有许多问题可以利用二元一次方程组解决。试编
制一个可以用二元一次方程组解决的问题。
是一个两位数，
它的两个数字之
和为 7。
十位数字和个位数
字与12 : 00 时所看
到的正好互换了。
比 12 : 00 时看到
的两位数中间多
了个 0。
12 : 00
13 : 00
14 : 00
（1）方程 x + y = 5 的解有多少个？写出其中的几个。
（2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数
y = 5 - x 的图象上吗？
（3）在一次函数 y = 5 - x 的图象上任取一点，它的坐标适合方程 x + y = 5
吗？
（4）以方程 x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = 5 - x
的图象相同吗？
二元一次方程与一次函数
4
22
数 学
七年级 下册
x + y = 5 与 y = 5 - x
表示的关系相同。
方程 x + y = 5 的解有无数个。以方程
x + y = 5 的解为坐标的点组成的图象与一次
函数 y = 5 - x 的图象相同，是同一条直线。
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成
的图象与相应的一次函数的图象相同，是同一条直线。
尝试·思考
如图 7-4，在同一平面直角坐标系中分别画出
一次函数 y = 5 - x 和 y = 2x - 1 的图象，这两个图象
有交点吗？交点的坐标与方程组
x + y = 5，
2x - y = 1
的解有
什么关系？
一次函数 y = 5 - x 与 y = 2x - 1 的图象的交点
为 A（2，3），而
x = 2，
y = 3 就是方程组
x + y = 5，
2x - y = 1
的解。
一般地，从图形的角度看，确定两条直线
交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的
解；解一个二元一次方程组，相当于确定相应两
条直线交点的坐标。
思考·交流
如图 7-5，在同一平面直角坐标系中，一次
函数 y = x + 1 与 y = x - 2 的图象有怎样的位置关
系？方程组 x - y = -1，
x - y = 2
的解的情况如何？你发
现了什么？与同伴进行交流。
二元一次方程组的解对
应着平面上两条直线的
交点。
图 7-5
一个二元一次方
程对应着平面上
的一条直线。
图 7-4
1
3
23
第七章
二元一次方程组
随堂练习
1．已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 的图
象的交点的坐标是（1，2），求方程组
3x - y = 1，
y = 2x
的解。
2．图中两条直线 l1，l2
交点的坐标可以看
作哪个方程组的解？
3．存在一组数同时适合方程 x + y = 2 和
x + y = 5 吗？直线 y = - x + 2 与 y =- x + 5 之间有什么关系？
（第 2 题）
知识技能
1．已知方程组 -3x + y + 3 = 0，
3x + 2y - 6 = 0
的解是
x = 4
3，
y=1，
试求直线 y = 3x - 3 与 y = -3
2
x + 3
的交点坐标。
2．已知直线 y = 3x - 5 与 y = 2x + b 交点的坐标为（1，-2），试确定关于 x，y
的方程组 y = 3x - 5，
y = 2x + b
的解和 b 的值。
3．已知直线 y = 2x 与 y = - x + b 交点的坐标为（1，a），试确定关于 x，y 的方
程组 2x - y = 0，
x + y - b = 0 的解和 a，b 的值。
问题解决
※4．（1）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解。
（2）你还能写出其他无解的二元一次方程组吗？如果能，请观察这些方程
组中两个方程有什么共同特征。
知识技能
习题 7.4.1
24
数 学
七年级 下册
A，B 两地相距 100 km，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而
行。假设他们都匀速骑行，则他们各自与 A 地之间的距离 s（单位：km）都是
骑行时间 t（单位：h）的一次函数。骑行 1 h 乙距离 A 地 80 km，骑行 2 h 甲距
离 A 地 30 km。经过多长时间两人相遇？
你是怎样做的？与同伴进行交流。
如图 7-6，可以分别画出两人
s 与 t 之间关系的图象，找出交点的
横坐标就行了！
对于乙，s 是 t 的一次函数， 可以设 s = k t + b。当 t = 0 时，
s = 100；当 t = 1时，s = 80。将它们分别代入 s = kt + b 中，可以
求出 k，b 的值，从而确定乙的 s 与 t 之间的关系式。同样可以
求出甲的 s 与 t 之间的关系式，再联立这两个关系式，求解方
程组就行了！
骑行 1 h 乙距离 A 地 80 km，即乙的速度是 20 km/h；骑
行 2 h 甲距离 A 地 30 km，即甲的速度是 15 km/h。由此可以
求出甲、乙两人的速度和……
图 7-6
小亮
小颖
（1）你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？
（2）小亮的方法求出的结果准确吗？
用画图象的方法可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为
了获得准确的结果，我们一般用代数方法。
小明
25
第七章
二元一次方程组
例1 在某汽车客运站，乘坐长途车的乘客可以免费携带一定质量的行
李，超过该质量需购买行李票，且行李费 y（单位：元）是行李质量 x（单
位：kg）的一次函数。已知李明带了 60 kg 的行李，交了行李费 5 元；张华带
了 90 kg 的行李，交了行李费 10 元。
（1）写出 y 与 x 之间的关系式；
（2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设 y = k x + b，根据题意，得
解这个方程组，得
k = 1
6 ，
b = -5。
所以
y = 1
6
x - 5。
（2）令 y = 0，即 1
6
x - 5 = 0 ，解得 x = 30；当 x＞30 时，y＞0。
所以，每名乘客最多可免费携带 30 kg 的行李。
像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条
件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的
方法，叫作待定系数法。
尝试·思考
已知一次函数 y = 2 x + b 的图象经过点（a，7）和（-2，a），求这个函数
的表达式。
5 = 60k + b，
10 = 90k + b。
一次函数的表达式
y = kx + b（k ≠0）
有两个参数 k，b，
因此要确定一次函
数的表达式，需要
两个条件！
26
数 学
七年级 下册
1．右图中的两条直线 l1，l2
的交点坐标可以
看作方程组
的解。
2．在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）
是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函
数。当所挂物体的质量为 1 kg 时，弹簧
长 15 cm；当所挂物体的质量为 3 kg 时，
弹簧长 16 cm。写出 y 与 x 之间的关系式，
并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度。
随堂练习
问题解决
1．生物学研究表明，某种蛇的长度 y（单位：cm）是其尾长 x（单位：cm）
的一次函数。当尾长为 6 cm 时，蛇长为 45.5 cm；当尾长为 14 cm 时，蛇长
为 105.5 cm。
（1）求出 y 与 x 之间的关系式；
（2）当一条蛇的尾长为 10 cm 时，这条蛇的长度是多少？
2．对于密闭容器内的气体，其压强 p（单位：kPa）是温度 t（单位：℃）的一
次函数。现测得某密闭容器内气体的压强 p 与温度 t 之间的关系如图所示。
（1）求 60 ℃ 时该容器内气体的压强；
（2）通常情况下，当压强不超过 1 200 kPa
时，该容器是安全的（否则会有破裂甚
至爆炸的风险），求该容器的安全温度
（超过该温度就有安全风险）。
习题 7.4.2
（第 2 题）
（第 1 题）
O
s/km
l1
l2
t/h
27
第七章
二元一次方程组
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾
三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六
斗。问上、中、下禾实一秉各几何。（选自《九章算术》）
题目大意：有上禾 3 束，中禾 2 束，下禾 1 束，可得米 39 斗；上禾 2 束，
中禾 3 束，下禾 1 束，可得米 34 斗；上禾 1 束，中禾 2 束，下禾 3 束，可得米
26 斗。问上、中、下禾每束各可得米多少斗。
在这个问题中，设每束上禾可得米 x 斗，每束中禾可得米 y 斗，每束下禾
可得米 z 斗，根据题意可得方程组
3x + 2 y + z = 39，
2x + 3y + z = 34， （*）
x + 2y + 3z = 26。
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中，3x + 2y + z = 39，2x + 3y + z = 34 和 x + 2y + 3z = 26 都含
有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次
方程（linear equation with three unknowns）。
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作
三元一次方程组（system of linear equation with three unknowns）。
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。
三元一次方程组
5
※
28
数 学
七年级 下册
怎样解这个三元一次方程组呢？解二元一次方程组的基本思路是什么？
你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗？请你试一试。
例1 解方程组：
①
②
③
解：由 ①，得
z = 39 - 3x - 2y。 ④
把 ④ 分别代入 ②③ 并化简，得
x - y = 5， ⑤
8x + 4 y = 91。 ⑥
解由 ⑤⑥ 组成的二元一次方程组，得
x =
4
37，
y =
4
17。
把 x =
4
37 ，y =
4
17 代入 ④，得 z =
4
11。
经检验，x =
4
37 ，y =
4
17 ，z =
4
11 适合原方程组。
所以原方程组的解是
x =
4
37，
y = 4
17
，
z = 4
11。
消去了未知数 z，
原方程组变成二元一
次方程组了。
检验时可以口算
或在草稿纸上演算，
以后可以不写。
3x + 2y + z = 39，
2x + 3y + z = 34，
x + 2y + 3z = 26。
29
第七章
二元一次方程组
尝试·交流
（1）在解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数 x（或 y），从
而得到方程组的解吗？
（2）你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，并思考不同方法之间
的区别和联系。
思考·交流
回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次
方程组的基本思路，并与同伴进行交流。
解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二
元”，再化为“一元”。
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
随堂练习
1．解方程组：
x + y + z = 26，
x - y = 1，
2x - y + z = 18。
2．一个三位数，各数位上的数字和是 14，个位数字、百位数字的和等于
十位数字，百位数字的 7 倍比个位数字、十位数字的和大 2。求这个
三位数。
30
数 学
七年级 下册
对比一下（1）与方程组（*）不难发现，（1）是方程组略去了未知数之后
形成的数阵。依此类推，相信聪明的你经过思考能够明白上面数阵的变化过程
和道理。不难发现，数阵（7）对应的方程组是
3x + 2y + z = 39，
5y + z = 24，
36 z = 99，
很容易求解。
古人采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单阶梯数阵，最
终求出答案。它不断重复，看似枯燥无趣，但具有明显的程序化、机械化特
点，便于编写计算机程序。悠久的算法在信息时代又迸发出新的生命活力，古
人的智慧令人赞叹！有兴趣的同学可以通过计算机或计算器探索多元一次方程
组的解法。
3 2 1 39
2 3 1 34
1 2 3 26
（1）
3 2 1 39
0 5 1 24
0 4 8 39
（5）
3 2 1 39
0 5 1 24
0 20 40 195
（6）
3 2 1 39
0 5 1 24
0 0 36 99
（7）
3 2 1 39
6 9 3 102
1 2 3 26
（2）
3 2 1 39
0 5 1 24
1 2 3 26
（3）
3 2 1 39
0 5 1 24
3 6 9 78
（4）
②×3
③×5
③ - ①
③×3
② - ①×2
③ - ②×4
阅读·思考
《九章算术》中的机械化算法思想
《九章算术》是中国传统数学最重要的著作。它以计算为中心，其算法具
有强烈的程序化、机械化特点。下面以本节课讨论的三元一次方程组（*）为
例加以说明。
《九章算术》是用算筹求解的，用现在的符号书写，思路大致如下（第
一、二、三行分别用 ①②③ 表示）：
31
第七章
二元一次方程组
知识技能
1．解下列方程组：
（1）
2x - y + 2z = 8，
y + 2z = -2，
3x + y - 4z = 1；
（2）
x + y + z = 10，
2x + 3y + z = 17，
3x + 2y - z = 8。
2．用不同的方法解方程组：
x + y = 15，
y + z = 5，
z + x = 20。
再对这些方法进行比较。
问题解决
3．某校初中七、八、九年级共有 651 人，八年级学生的人数比九年级学生的
人数多 10%，七年级学生的人数比八年级学生的人数多 5%。求三个年级各
有多少学生。
4．一个三位数，十位数字比个位数字大 2，百位数字是十位数字的 2 倍，如果
把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数小 495。
求原来的三位数。
※5．今有鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百
只，问鸡翁、母、雏各几何。（选自《张丘建算经》）
题目大意：1 只公鸡价值 5 个钱，1 只母鸡价值 3 个钱， 3 只小鸡合计价值 1 个
钱。购买 100 只鸡总共花了 100 个钱，则公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
习题 7.5.1
32
数 学
七年级 下册
很多问题的解需要同时满足多个条件，这时，我们可以按照某种顺序逐
步满足这些条件，最终确定问题的答案。
问题 今有物不知其数：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，
问物几何。（选自《孙子算经》）
你知道物品最少有多少个吗？
理解问题
（1）你能用自己的语言叙述一下这个问题吗？
（2）所求物品的个数应同时满足哪些条件？
拟订计划
（1）解决这个问题你有什么困难？
（2）怎样逐步满足每个条件呢？写出你的方案，并与同伴进行交流。
实施计划
（1）找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数，需要符
合三个条件：① 除以 3 余 2，② 除以 5 余 3，③ 除以 7 余 2。
（2）逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件 ① 的正整数有：
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…
（A）
在（A）中，符合条件 ② 的正整数有：
8，23，38，…
（B）
在（B）中，符合条件 ③ 的正整数有：23，…
因此，同时满足三个条件的最小正整数是 23。所以，物品最少有 23 个。
问题解决策略：逐步确定
★
33
第七章
二元一次方程组
回顾反思
（1）通过解决上述问题，你对“逐步确定”的策略有怎样的认识？
（2）在以往的学习中，还有哪些问题可以采用“逐步确定”的策略来
解决？
采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程：根据题意找出问题的解需
要满足的各个条件；按照某个顺序，逐步满足这些条件，最终确定问题的解。
1．若四位数 9a8b
能被 15 整除，则这个数最小是多少？
2．大年三十彩灯悬，彩灯齐明光灿灿，三三数时能数尽，五五数时剩一盏，
七七数时刚刚好，八八数时还缺三。你知道这些彩灯最少有多少盏吗？
3．如图，已知线段 a，b，h（h＜b），用尺规作锐角三角形
ABC，使 BC = a，AB = b，BC 边上的高 AD = h。
1
若四位数9a8b 能被15整除
则这个数最小是多少？
习题
回顾与思考
1．举出生活中利用二元一次方程组解决问题的两个例子。
2．在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是
什么？你积累了哪些经验？
3．解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明解
二元一次方程组的过程。解三元一次方程组呢？
4．举例说明二元一次方程与一次函数有什么关系。
5．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行
交流。
（第 3 题）
34
数 学
七年级 下册
知识技能
1．二元一次方程组
3x - 2y = 3，
x + 2y =5
的解是 _________。
（1）
x
= 1，
y
= 0； （2）
x = 3
2 ，
y = 2；
（3）
x = 2 ，
y = 3
2 ； （4）
x
= 7，
y
= - 1。
2． 解下列方程组：
（1）
2x - y = 5，
7x - 3y = 20；
（2）
4x - y = 1，
y = 2x + 3；
（3）
5x + y = 2，
x - 3y = 4；
（4） 3x - 2y = 1，
2x + 3y = -7；
※（5）
z = x + y，
2x - 3y + 2z = 5，
x + 2y - z = 3。
3．已知 x = 1，
y = 3
和 x = 0，
y = -2
都是方程 ax - y = b 的解，求 a 与 b 的值。
※4．在代数式 ax2 + bx + c 中，当 x = 1，2，3 时，代数式的值依次是 0，3，28。
（1）求 a，b，c 的值；
（2）当x = -1 时，求这个代数式的值。
5．如图，直线 l1，l2
交点的坐标可以看作方程组
的解。
复习题
（第 6 题）
（第 5 题）
6．如图，直线 l1，l2
相交于点 A，试求点 A 的坐标。
35
第七章
二元一次方程组
7．尝试用多种方法解方程组
2
x + y +
3
x - y = 7，
2
x + y -
3
x - y = 3，
并对这些方法进行比较。
※8．今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几
何。（选自《九章算术》）
将这类问题抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出 a1
个钱，则
多出 b1
个钱；若每人出 a2
个钱，则又少 b2
个钱。求总人数及物品总价。
如果设有 x 人，物品总价为 y，那么可列出二元一次方程组
y = a1x - b1，
y = a2x + b2。
（1）求解这个二元一次方程组；
（2）查阅资料，了解《九章算术》的求解方法。
问题解决
9．某厂由甲、乙两个小组共同生产某种产品。若甲组先生产 1 天，然后两组又各
生产 5 天，则两组产量一样多；若甲组先生产 300 件产品，然后两组又各生产
4 天，则乙组比甲组多生产 100 件产品。两组每天各生产多少件产品？
10．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共 15 t，实际生产了 17 t，其中水
稻超产 15%，小麦超产 10% 。该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？
11．某商场销售某种商品，当按定价销售时，每件可获利 45 元；当按定价的
八五折销售时，销售 8 件所获利润与将定价降低 35 元销售 12 件所获利润
相同。该商品的进价、定价分别是多少？
12．某商场购进甲、乙两种商品后，均加价 40% 作为销售价。商场搞优惠促销
活动，决定由顾客抽奖确定折扣。某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到
七折和九折，共付款 399 元，两种商品原销售价之和为 490 元。两种商品的
进价分别为多少元？
13．今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢。有雀燕二十五只，并重二斤
一十三铢 1 ，问燕雀各几何。（选自《张丘建算经》）
题目大意：1 只雀重1 两 9 铢，1 只燕重 1 两 5 铢。雀和燕一共有 25 只，共
重 2 斤 13 铢。燕、雀各有多少只？
1 这里的“斤”“两”“铢”为我国古代的质量单位，1 斤 = 16 两，1 两 = 24 铢，而现代的 1 斤 = 10 两。
36
数 学
七年级 下册
1 4．在干燥的空气中，声速 v（单
位：m / s）可以近似看成温度
t（单位：℃）的一次函数。已
知近地处 v 与 t 的关系如图所示，
试写出这个一次函数的表达式，
并估计当 t = 50 ℃ 时的声速。
15．某景点的门票价格如下表：
购票人数 x /人
1 ≤ x ≤ 50
51 ≤ x ≤ 100
x ＞ 100
票价/ （元/人）
12
10
8
某校七年级一班和二班师生共 102 人去该景点游览，其中一班人数较少，
不足 50 人，二班人数较多，超过 50 人。如果两个班都以班级为单位分别购
票，那么一共应付 1 118 元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，那么
可以节省不少钱。两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？
※16．如图是由 6 个颜色不同的正方形组成的长方形。已知
中间小正方形的边长是 1，求这个长方形的面积。
※17．将一个长方形的长减少 4 cm、宽增加 2 cm 后，得到一
个正方形，并且这个正方形的面积与原长方形的面积
相等。求原长方形的长和宽。
18．通过本章的学习，你对二元一次方程组及其应用有哪些感悟？请以此为主
题写一篇小短文。
联系拓广
※19．方程组 -2x + y = 3，
4x - 2y = -6 的解是什么？两个方程对应的两个一次函数的图象
有怎样的位置关系？ 你能从中悟出什么？
（第 16 题）
350
330
320
310
-20 -10
10 15 20
30
40
50
（第 14 题）
340
v
t ℃
m s
第八章
证明
章
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
在什么情况下需要进行证明？证明有什么意义？
怎样才能保证证明是严谨的？
通过观察、测量、猜测得到的结论都
是正确的吗？如果不是，那么用什么方法
才能说明这些结论的正确性呢？在证明一
个观点、结论正确时，人们常常说“因为
A 正确，所以 B 正确”，但你是否想过：
A 正确又是因为什么呢？如此下去，源头
在哪里？如何确定证明的起点呢？
本章以之前学过的部分基本事实作为
证明的起点，经历根据基本事实推出其他
结论的过程，证明与平行线的性质和判定
有关的一些结论。在这些活动过程中，你
将认识到证明的价值，初步掌握证明的方
法及相应表达规范，体会数学的严谨性，
形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维习
惯，发展推理能力等。
欧几里得
38
数 学
七年级 下册
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。观察、实
验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！
（1）图 8-1 中两条线段 a，b 的长度相等吗？图 8-2 中的四边形是正方形
吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。
（2）如图 8-3，把地球看成球形，假如用
一根比地球赤道长 1 m 的铁丝将地球赤道围起
来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能
放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体
算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
尝试·思考
（1）代数式 n2 - n + 11 的值是质数吗？取 n = 0，1，2，3，4，5 试一试，
你能否由此得到结论“对于所有自然数 n，n2 - n + 11 的值都是质数”？
（2）小颖在一张纸上画出一条直线，这条直线把纸面分为 2 部分；她在
纸上又画出一条直线，发现这两条直线最多可以把纸面分为 4 部分。于是她猜
想：“三条直线最多可以把一个平面分为 6 部分。”小明则认为：“三条直线最
多可以把一个平面分为 7 部分。”你认为谁的说法是正确的？为什么？
眼睛与直觉有
时也会欺骗你。
为什么要证明
1
图 8-1 图 8-2
图 8-3
39
第八章
证明
随堂练习
思考·交流
观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归
纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确
的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断
一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有
理有据的证明。
1．（1）图（1）中有三条线段 a，b，c，哪一条和线段 d 在同一条直线
上？请你先观察，再用直尺验证一下。
（2）图（2）中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？请设法验证。
2．小明在计算（a + b）2 时，以为（a + b）2 = a2 + b2。发现不对，后来学
习了（a + b）2 = a2 + 2ab + b2 后，他又猜想：（a + b）3 = a3 + 3ab + b3。
小明的猜想正确吗？为什么？
3．当 n 为正整数时，n2 + 3n + 1 的值一定是质数吗？为什么？
（1）
（2）
（第 1 题）
40
数 学
七年级 下册
阅读·思考
费马的失误
历史上，很多数学家都想找到求质数的公式。1640 年，数学家费马
（Pierre de Fermat，1601—1665）验证了当 n = 0，1，2，3，4 时，式子
22n + 1
的值 3，5，17，257，65 537 都是质数，于是他高兴地断言：“对于所有的自然
数 n，22n + 1 的值都是质数。”由于费马在数学界的崇高威望，以及验证这类数
字是否为质数的艰巨性，因此在很长一段时间里没有人怀疑这一结论的正确
性，并且把这类数称为费马数。
1732 年，数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）指出，当 n = 5 时，
22n + 1 = 4 294 967 297 = 641×6 700 417，从而否定了费马的结论。更有意思的
是，从第 6 个费马数开始，数学家们在费马数中再也没有发现一个新的质数，
全都是合数。有人甚至给出一个新的猜想：当 n ≥ 5 时，费马数全都是合数。
通过以上材料，你认为费马的失误在哪里？能根据部分具体数据验证结
果来判定一个结论的正确性吗？
知识技能
1．七年级一班有 39 名同学，他们每人将自己的学号作为 n 的取值（n = 1，
2，3，…，39）代入式子 n2 + n + 41，结果发现式子 n2 + n + 41 的值都是质
数，于是他们猜想：对于所有的自然数，式子 n2 + n + 41 的值都是质数。
你认为这个猜想正确吗？验证一下 n = 40 的情形。
2．观察下列各式：
1 = 12 - 02，3 = 22 - 12，5 = 32 - 22，7 = 42 - 32，…
你能否得到结论“所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差”？所有偶
数也都能表示为两个自然数的平方差吗？与同伴进行交流。
知识技能
习题 8.1.1
41
第八章
证明
3．如图，AB∥DE，BC∥EF，那么你能判断∠ABC 与
∠DEF 的大小关系吗？小颖据此得出结论：如果两个
角的两边分别平行，那么这两个角相等。你认为她的
想法正确吗？与同伴进行交流。
问题解决
4．归纳是数学发现的重要方法，但仅仅由几种特殊情况归纳出来的结论并不
可靠。请你查阅资料，了解数学史上有关这方面的一些事例，并在班级内
分享。
A
D
C
F
G
B
E
（第 3 题）
证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为
此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的
定义（definition）。
“两点之间线段的长度，叫作这两点间的距离”是“两点间的距离”的
定义；
“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义；
“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫作多边
形”是“多边形”的定义。
定义实际上就是一种规定。例如，“大于直角而小于平角的角叫作钝
角”。这个定义规定了凡是大于直角而小于平角的角都是钝角，反过来，凡是
钝角都大于直角而小于平角。这个定义既可以作为钝角的一种判定方法——凡
是大于直角而小于平角的角都可“判定”为钝角，又可以作为钝角的性质——
钝角都大于直角而小于平角。
认识证明
2
42
数 学
七年级 下册
尝试·思考
下面语句中，哪些语句对事情作出了判断？哪些没有？
（1）如果 a = b，那么 a + c = b + c；
（2）对顶角相等；
（3）如果 a，b，c 是三角形的三条边的长，并且 a2 + b2 = c2，那么这个三
角形是直角三角形；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）平行用符号“∥”表示；
（6）作线段 AB = CD；
（7）∠A = 90°吗？
判断一件事情的句子叫作命题（proposition）。例如，上面“尝试·思
考”中的语句（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题。
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。例
如，上面“尝试·思考”中的语句（5）（6）（7）都不是命题。
思考·交流
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？其他命题是
否也有这样的结构特征呢？与同伴进行交流。
（1）如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等；
（2）如果 a = b，那么 a2 = b2；
（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（4）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等；
（5）如果两个角是内错角，那么它们相等。
一般地，每个命题都由条件（condition）和结论（conclusion）两部分组
成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成
“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引
出的部分是结论。例如，对于命题（2），“a = b”是条件，“a2 = b2”就是结论。
43
第八章
证明
指出上面五个命题的条件和结论，其中哪些命题是正确的？哪些命题是
不正确的？你是如何判断的？与同伴进行交流。
在上面的命题中，（1），（2），（3）都是正确的。正确的命题叫作真命题
（true proposition）。对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立。命题
（4）和（5）都是不正确的。不正确的命题叫作假命题（false proposition）。
对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论一定成立。
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条
件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例（counter example）。
尝试·思考
（1）在上一节“阅读·思考”中，欧拉用什么方法推翻了费马的结论？
（2）你能举出一个反例，说明“相等的角是对顶角”是假命题吗？试
试看。
例1 说出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题：
（1）面积相等的两个三角形全等；
（2）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
解：（1）先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式：如果两个三
角形的面积相等，那么这两个三角形全等。
条件：两个三角形的面积相等；
结论：这两个三角形全等。
它是假命题。
（2）原命题可以写成：如果两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的
对边相等，那么这两个三角形全等。
条件：两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等；
结论：这两个三角形全等。
它是真命题。
44
数 学
七年级 下册
随堂练习
1．（1）你能列举出一些学过的定义吗？
（2）分别举出一些是命题和不是命题的语句。
2．指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题：
（1）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）两个锐角的和是钝角；
（3）如果 x - 5
2
= 3 - x
3 ，那么 x = 4；
（4）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（5）如果 x2＞0，那么 x＞0；
（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等。
知识技能
1．下列语句中哪些是命题？
（1）三个角分别相等的两个三角形一定全等；
（2）锐角都小于直角；
（3）你的作业做完了吗？
（4）所有的质数都是奇数；
（5）过直线 l 外一点 P 作 l 的平行线；
（6）如果明天是星期五，那么后天是星期六。
2．分别指出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题：
（1）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（2）直角三角形的两锐角互余；
（3）两直线平行，同位角相等；
（4）同角的补角相等；
（5）如果 a 为实数，那么| a | > 0。
习题 8.2.1
45
第八章
证明
1 《原本》中有“公理”与“公设”之分，近代数学对此不再区分，都称“公理”。
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前 3 世
纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得
（Euclid，约前 330—前 275）编写了一本书，书名为《原本》（Elements）。为
了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分
数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据，其中的数
学名词称为原名，公认的真命题称为公理 1（axiom）。除了公理外，其他命题
的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真
命题呢？
用我们以前学过的观察、实验、验证
特例等方法。
这些方法往往不可靠。
能不能根据已经知道的真命题
证实呢？
那已经知道的真命题又是如何
证实的？
哦……那可怎么办？
46
数 学
七年级 下册
定理 同角（或等角）的补角相等。
定理 同角（或等角）的余角相等。
定理 三角形的任意两边之和大于第三边。
演绎推理的过程称为证明（proof），经过证明的真命题称为定理（theorem）。
每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。
本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识
了其中的八条：
1．两点确定一条直线。
2．两点之间线段最短。
3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
（简述为：同位角相等，两直线平行）。
5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
6．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
7．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
8．三边分别相等的两个三角形全等。
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它。
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关
系的有关性质都可以作为证明的依据。例如，如果 a = b，b = c，那么a = c ，
这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”。又如，如果 a＞b，b＞
c，那么 a＞c，这一性质同样可以作为证明的依据。
从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。例如，我们可
以证明下面的定理：
47
第八章
证明
例2 证明定理“同角（或等角） 的补角相等”。
已知：∠1 =∠2，∠1 +∠3 = 180°，∠2 +∠4 = 180°。
求证：∠3 =∠4。
证明：∵ 1∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠4 = 180°（已知），
∴ ∠3 = 180° -∠1，∠4 = 180° -∠2（等式的基本性质）。
∵ ∠1 =∠2（已知），
∴ ∠3 =∠4（等式的基本性质）。
证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写
出。其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由
条件（已知）出发，根据已给出的定义、基本事实和已经证明的定理，经过一
步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程。
例3 已知：如图 8-4，直线 AB 与直线 CD 相交于
点O。
求证：∠AOC =∠BOD。
分析：在基本事实和已证定理中，哪些结论可以
判定两个角相等？
证明：∵ 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，
∴ ∠AOB 和∠COD 都是平角（平角的定义）。
∴ ∠AOC 和∠BOD 都是∠AOD 的补角（补角的定义）。
∴ ∠AOC =∠BOD（同角的补角相等）。
由上面的例题，我们可以得到定理：
1 符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”。
定理 对顶角相等。
图 8-4
48
数 学
七年级 下册
阅读·欣赏
《原本》
《原本》，欧几里得著，约成书于公元前 300 年。1607 年，明代数学家徐
光启（1562—1633）与意大利人利玛窦（Matteo Ricci，1552—1610）把该书
的前 6 卷平面几何部分合译成中文，并定名为《几何原本》。1857 年，清代
数学家李善兰（1811—1882）与英国人伟烈亚力（Alexander Wylie，1815—
1887）把该书的后 9 卷立体几何和数论部分合译成中文。
《原本》以公理和原始概念为基础推演出更多的结论。这种做法为人们提
供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），标志着人类思维的一场革命，
是科学思想史上的一个里程碑。它对数学及其他科学乃至人类的思想产生了巨
大的推动作用。牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在撰写《自然哲学的数学
原理》时就曾受到过《原本》的启迪。有人说，进化论乃至美国的《独立宣
言》，都深受欧几里得方法的影响。甚至于，几百年前有的哲学家在自己的著
作中也曾设法从定义、公理推导出定理进行论证。
正因如此，《原本》成为流传最广、影响最大的一部世界数学名著。
随堂练习
1．你认为基本事实和定理有哪些相同点和不同点？
2．证明定理“同角（或等角）的余角相等”。
49
第八章
证明
知识技能
1．已知：如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，且∠AOC 是
直角。
求证：∠COB，∠BOD，∠DOA 都是直角。
2．证明定理“三角形的任意两边之和大于第三边”。
问题解决
3．某地有 A，B，C 三个文化景点，由于三个景点具有一定的关联性，去了景
点 A 的游客都会继续游览景点 B，游览了景点 B 的游客也会游览景点 C。
（1）如果小明去了景点 C，那么他一定去了景点 A 吗？
（2）如果小明没去景点 C，那么他一定没去景点 A 吗？
（3）根据上面的信息，你还可以得出哪些结论？
4．A，B，C，D，E 五名同学猜测自己的数学成绩。
A 说：“如果我得优，那么 B 也得优。”
B 说：“如果我得优，那么 C 也得优。”
C 说：“如果我得优，那么 D 也得优。”
D 说：“如果我得优，那么 E 也得优。”
大家都没有说错。如果 A 得优，那么他们之中有几人得优？如果 C 得优，
那么他们之中至少有几人得优？
联系拓广
5．收集欧几里得和《原本》的有关资料，并与同伴进行交流。
6．现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作
为出发点，这不正是《原本》的思想吗？试找出几个这样的生活实例，与
同伴进行交流。
（第 1 题）
A
D
B
C
O
习题 8.2.2
50
数 学
七年级 下册
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条
直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
已知：如图 8-6 ，∠1 和∠2 是直线 a，b 被直线 c 截出
的同旁内角，且∠1 与∠ 2 互补。
求证：a∥b。
证明：∵∠3 +∠2 = 180°（平角的定义），
∴ ∠3 是∠2 的补角（互补的定义）。
∵ ∠1 是∠2 的补角（已知），
∴ ∠1 = ∠3（同角的补角相等）。
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。
还有其他
证法吗？
已知：如图 8-5，∠1 和∠2 是直线 a，b 被直线 c 截出的
内错角，且∠1 =∠2。
求证：a∥b。
分析：现在有哪些结论可以用来证明两条直线平行？能利
用“同位角相等，两直线平行”这一基本事实吗？
证明：∵ ∠1 =∠2（已知），
∠1 =∠3（对顶角相等），
∴ ∠3 =∠2（等量代换）。
∴ a ∥b（同位角相等，两直线平行）。
前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两
直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。
平行线的证明
3
图 8-5
图 8-6
51
第八章
证明
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两
条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
随堂练习
1．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所
示，其中∠α = 109°28′，∠β = 70°32′。试确定这个四边形对边的位
置关系，并证明你的结论。
图 8-7
已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证
明新的结论。
思考·交流
我们可以用图 8-7 的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？与同伴
进行交流。
（第 2 题）
a
b
c
1
2
2．如图，已知直线 b⊥a，c⊥a，那么直线 b 与 c 平行吗？如果平行，
请给出证明；如果不平行，请举出反例。
（第 1 题）
52
数 学
七年级 下册
知识技能
1．下列推理是否正确？为什么？
（1）如图，∵ ∠1 =∠2，
∴ l1∥l2；
（2）如图，∵ ∠4 +∠5 = 180°，
∴ l3∥l4；
（3）如图，∵ ∠2 =∠4，
∴ l3∥l4；
（4）如图，∵ ∠3 +∠6 = 180°，
∴ l1∥l2 。
2．已知：如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且∠1
+∠2
= 180°。
求证：a∥b。
你有几种证明方法？
3．已知：如图，BP 交 CD 于点 P，∠ABP +∠BPC = 180°，∠1 =∠2。
求证：EB∥PF。
（第 1 题）
l3
l4
l1
l2
5
1
6
3
2
4
（第 2 题）
c
b
a
2
1
（第 3 题）
A
E
C
P
D
2
F
B
1
A
D
E
B
C
（第 4 题）
习题 8.3.1
4．已知：如图，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，CD 平分 ∠ACB，∠DCB = 40°，
∠AED = 80°。
求证：DE∥BC。
53
第八章
证明
问题解决
5．如图，木工师傅经常用一把直角尺画出两条平
行的直线 a 和 b。请说说这样做的道理。
我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们。
已知：如图 8-8，直线 AB∥CD，∠1 和 ∠2 是直线 AB，CD 被直线 EF 截
出的同位角。
求证：∠1 = ∠2。
a
b
（第 5 题）
图 8-8
1
E
A
C
M
N
F
2
B
D
如果∠1≠∠2，
AB 与 CD 的位置关系
会怎样呢？
※证明：假设 ∠1 ≠∠2，那么我们可以过点 M 作直
线 GH，使∠EMH =∠2，如图 8-9 所示。
根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD。
又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和
GH 都与直线 CD 平行。
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这
条直线平行”相矛盾。
这说明∠1 ≠∠2的假设不成立，所以 ∠1 = ∠2。
图 8-9
F
N
2
C
D
H
B
E
1
A
G
M
54
数 学
七年级 下册
利用上面的定理，我们可以证明平行线的其他性质。
已知：如图 8-10，直线 a∥b，∠1 和 ∠2 是直线 a，
b 被直线 c 截出的内错角。
求证：∠1 = ∠2。
分析：由条件 a∥b 可以得到哪些角的等量关系？这
些等量关系中的角与 ∠1，∠2 有什么联系？
证明：∵ a∥b（已知），
∴ ∠3 =∠2（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠1 =∠3（对顶角相等），
∴ ∠1 =∠2（等量代换）。
a
b
c
3
1
2
图 8-10
类似地，还可以证明：
已知：如图 8-11，直线 a∥b，∠1 和∠2 是直线 a，
b 被直线 c 截出的同旁内角。
求证：∠1 +∠2 = 180°。
请你写出证明过程。
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简述为：两直线平行，同旁内角互补。
b
a
c
1
2
图 8-11
定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简述为：两直线平行，同位角相等。
定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
简述为：两直线平行，内错角相等。
55
第八章
证明
例1 已知：如图 8-12，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3 是
直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角。
求证：b∥c。
分析：由条件 b∥a，c∥a 可以得到哪些等量关系？为了
证明b∥c 需要怎样的等量关系？
证明：∵ b∥a（已知），
∴ ∠2 = ∠1（两直线平行，同位角相等）。
∵ c∥a（已知），
∴ ∠3 = ∠1（两直线平行，同位角相等）。
∴ ∠2 = ∠3（等量代换）。
∴ b∥c（同位角相等，两直线平行）。
一般地，我们有如下定理：
定理 平行于同一条直线的两条直线平行。
回顾·反思
（1）回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要
环节？
（2）对于证明思路的分析，你积累了哪些经验？
随堂练习
1．已知：如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且 a∥b。
求证：∠1 = ∠3。
a
b
c
1
2
3
（第 1 题）
图 8-12
56
数 学
七年级 下册
知识技能
1．已知：如图，AD ∥ BC，∠ABD =∠D。
求证：BD 平分∠ABC。
2．已知：如图，AB∥DC，AD∥BC。
求证：∠A =∠C，∠B =∠D。
3．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关。如
图，从点 O 照射到抛物线上的光线 OB，OC 等反射以后沿着与 PO 平行的
方向射出。如果∠BOP = 45°，∠OC = 88°，那么∠ABO 和∠DCO 各是多
少度？
知识技能
习题 8.3.2
2．如图，按照题目中给出的条件，补全结论，并给出证明：
（1）已知 AD∥BC，可以推出哪些角相等？
（2）已知 AB∥DC，可以推出哪些角的和是 180°？
A
B
C
D
2 1
8
7
3
4
5 6
（第 2 题）
（第 1 题）
（第 2 题）
（第 3 题）
57
第八章
证明
4．如图，一条直线分别与直线 BE、直线 CE、直线 BF、直
线 CF 相交于点 A，G，H，D，且∠1 =∠2， ∠B =∠C。
（1）找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平
行的；
（2）证明：∠A =∠D。
回顾与思考
1．直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你能找出这样的例子吗？
2．请用自己的语言说说什么是定义、命题，并举例说明真命题和假
命题。
3．本书中作为证明出发点的基本事实有哪些？
4．为什么需要证明？证明的一般步骤是怎样的？如何分析证明的思
路？与同伴进行交流。
5．什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会有怎样的结论？这
两类命题的条件和结论有什么关系？
6．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章的知识结构，并与同伴进
行交流。
（第 4 题）
58
数 学
七年级 下册
3．已知：如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC 平分 ∠AOD，且 OC⊥OE。
求证：∠DOE =∠BOE。
4．将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对
角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段 AE，DE，EF，BF，CF
把四个顶点连接起来）。已知图中 ∠DAE =∠ ADE = 30°，∠AEF =∠BFE =
120°，你能证明 AB∥EF 吗？
5．已知：如图，AB∥CD，PM 和
N 分别是∠BPE 和∠D E 内的两条射线，
且 ∠BPM =∠D
N。求证：PM∥N。
知识技能
1．已知：如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且 a∥b。
求证：∠1 +∠2 = 180°。
2．已知：如图，∠1 +∠2 = 180°。
求证：∠3 =∠4。
复习题
（第 2 题）
（第 3 题）
（第 1 题）
a
b
c
1
2
（第 4 题）
（第 5 题）
59
第八章
证明
6．小华将 n = 0，1，2 分别代入代数式 n4 - 6n3 + 11n2 - 6n，结果发现这个代数
式的值都是 0。于是他猜想：对于所有的自然数，代数式 n4 -6n3 + 11n2 - 6n
的值都是 0。你认为小华的猜想正确吗？为什么？
7．小丽发现：
2
+
3
是无理数，
3
+
5
是无理数，
5
+
7
是无理数。
于是她猜想：两个无理数的和一定还是无理数。你认为她的猜想正确吗？
为什么？
8．如图，直线 a，b 被直线 c 所截。
（1）如果 a∥b，你能得到哪些角之间的等量关系？
（2）写出能够证明 a∥b 的条件（能写几个就写几个）。
9．如图，直线 CD，EF 被直线 OA，OB 所截。已知∠1 = 120°，∠2 = 60°，
∠3 = 70°，你还能求出哪些角的度数？
问题解决
10．有三个纸箱，一个箱内装有橘子，一个箱内装有苹果，一个箱内混装了一
些橘子和苹果。三个箱子外面分别贴有“橘子”“苹果”“混合水果”的
标签，可是工作人员不慎将所有标签都贴错了。请你只检查一个箱子即
确定各箱子内的水果品种。
11．小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括 A，B，C 三个项目，每
个项目三人都要排出名次，第一名得 3 分，第二名得 2 分，第三名得 1
分，不存在并列情况。经过比赛，三人的部分得分如下表。已知小亮在
（第 8 题） （第 9 题）
60
数 学
七年级 下册
两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，请你判断此次比赛谁
是冠军。
参赛者
比赛项目
总分
A
B
C
小明
2
小亮
3
小颖
1
12．如图，MN，EF 分别表示两面互相平行的镜面。一束光线 AB 照射到镜面
MN 上，反射光线为 BC，此时，∠1 =∠2；光线 BC 经镜面 EF 反射后的
反射光线为 CD，此时 ∠3 =∠4。试判断 AB 与 CD 的位置关系，你是如何
思考的？
联系拓广
13．比较平行线的判定定理与性质定理，它们有什么特殊的关系？试着找几组
具有这种关系的其他命题，并判断它们的真假。
（第 12 题）
商场抽奖促销，你中奖的概率是多少？如果天气预报说明
天下雨的概率是70%，那么你明天出行时要不要带雨伞？生活
中到处都有随机现象，概率论就是研究随机现象数量规律的数
学分支，掌握概率知识可以帮助我们更好地作出决策。
本章将以小学阶段对随机现象发生可能性的认识为基础，
进一步认识随机事件，通过试验感受随机事件发生频率的稳定
性，理解概率的意义，并用定量的方法描述随机事件发生的概
率。你将经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等活
动过程，体会事件发生的随机性，理解和表达生活中随机现象
发生的规律，发展数据观念、应用意识等。
第九章
概率初步
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
如何理解一个随机事件发生的概率是 2
1 ？
既然随机事件的结果是不确定的，那么研究它发生的
概率到底能告诉我们什么？
62
数 学
七年级 下册
某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的
转盘（本章规定：转盘指针停在分界线上，则重新转
动），并将转盘等分成20个扇形，分别涂上不同的颜色
（如图 9-1）。活动规则：
1．顾客每购买 100 元商品，就能获得一次转动转盘
的机会。
2．自由转动转盘，转盘要转 1 圈以上才算有效。
3．当转盘停止时，如果指针正好落在红色、黄色、绿色区域，就可以分
别获得面额 100 元、50 元、20 元的购物券。
张阿姨购物消费 110 元，获得一次转动转盘的机会。
（1）她一定能获得购物券吗？
（2）她能获得面额 10 元的购物券吗？
（3）她获得的购物券一定不超过 100 元吗？
在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定会发生，这样的事件称为
必然事件。例如，在上述活动中，“张阿姨获得的购物券不超过 100 元”就是
一个必然事件。
在一定条件下进行可重复试验时，有些事件一定不会发生，这样的事件称
为不可能事件。例如，在上述活动中，“张阿姨获得面额 10 元的购物券”就是
一个不可能事件。
在一定条件下进行可重复试验时，有些事件可能发生也可能不发生，这样
的事件称为随机事件。例如，在上述活动中，“张阿姨能获得购物券”就是一
个随机事件。
尝试·交流
举出生活中的几个必然事件、不可能事件和随机事件，并与同伴进行交流。
图 9-1
可能性大小
1
63
第九章
概率初步
尝试·思考
利用质地均匀的骰子和同伴做游戏，规则如下：
（1）两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可
以连续地掷几次骰子。
（2）当一人掷出的点数和不超过 10 时，如果决定停止掷，那么此人的得
分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过
10
时，必须停止掷，并
且得分为 0。
（3）比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜。
多做几次上面的游戏，并将最终结果填入下表：
游戏次序
游戏者
第 1 次点数
第 2 次点数
第 3 次点数
…
得分
第一次
甲
…
乙
…
第二次
甲
…
乙
…
第三次
甲
…
乙
…
…
…
…
…
…
…
…
在做游戏的过程中，如何决定是继续掷骰子还是停止掷骰子？
思考·交流
在做游戏的过程中，如果前面掷出的点数和已经是 5，你是决定继续掷
还是决定停止掷？如果掷出的点数和已经是 9 呢？
掷出的点数和已经是 5，根据游戏规则，再掷一
次，如果掷出的点数不是 6，那么我的得分就会增加，
而掷出的点数不是 6 的可能性要比是 6 的可能性大，所
以我决定继续掷。
小明
64
数 学
七年级 下册
掷出的点数和已经是
9，再掷一次，如果掷出的点数
不是
1，那么我的得分就会变成
0，而掷出的点数是
1
的
可能性要比不是
1
的可能性小，所以我决定停止掷。
你认为小明和小颖的说法有道理吗？与同伴进行交流。
一般地，随机事件发生的可能性是有大有小的。
随堂练习
1．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事
件？为什么？
（1）买一张福利彩票，中奖。
（2）在 10 个同类产品中，有 9 个合格品，1 个次品。从中一次性任意
抽出 2 个进行检验，抽到的都是次品。
（3）将花生油滴入水中，油会浮在水面上。
2．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“A”与这张牌是“黑桃”
的可能性哪个大？
3．生活中有许多随机事件，它们发生的可能性有大有小，你能举出几个
例子吗？请试一试。
知识技能
1．一个袋 1 中装有 8 个红球、2 个白球，每个球除颜色外都相同。任意摸出一
个球，摸到哪种颜色球的可能性大？说说你的理由。
知识技能
习题 9.1.1
小颖
1 本章题目中的盒子、袋子等均是不透明的。
65
第九章
概率初步
2．右图是一个可以自由转动的转盘。转动转盘，当转盘停止
时，指针落在哪个区域的可能性大？请说明你的理由。
3．下图表示各袋中球的情况，每个球除颜色外都相同。 任意摸出一个球，请
你按照摸到红球的可能性由大到小进行排列。
（第 2 题）
（第 3 题）
问题解决
4．右图是一个可以自由转动的转盘，利用这个转盘与同伴
做下面的游戏：
（1）自由转动转盘，每人分别将转出的数填入四个方格
中的任意一个
；
（2）继续转动转盘，每人再将转出的数填入剩下的任意
一个方格中；
（3）转动四次转盘后，每人得到一个“四位数”；
（4）比较两人得到的“四位数”，谁的大谁就获胜。
多做几次上面的游戏。在做游戏的过程中，你的策略是什么？你积累了怎
样的获胜经验？
（第 4 题）
66
数 学
七年级 下册
尝试·思考
（1）两人一组做 20 次抛瓶盖的试验，并将数据记录在下表中：
试验总次数
盖口向上的次数
盖口向下的次数
试验总次数
盖口向上的次数
盖口向上的频率（
）
试验总次数
盖口向下的次数
盖口向下的频率（
）
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表：
试验总次数 n
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
盖口向上的次数 m
盖口向上的频率
n
m
抛一个瓶盖，落地后会出现两种情况（如图 9-2）：
图 9-2
让我们用试
验来验证吧。
在 n 次重复试验中，
事件 A 发生了 m 次，
则比值
n
m 称为事件
A 发生的频率。
盖口向上
盖口向下
你认为盖口向上和盖口向下的可能性一样大吗？
频率的稳定性
2
67
第九章
概率初步
（4）观察图 9-3 的折线统计图，盖口向上的频率的变化有什么规律？
在试验次数很大时，盖口向上的频率都会在一个常数附近摆动，即盖口向
上的频率具有稳定性。
（3）根据表格，完成图 9-3 的折线统计图：
随堂练习
1. （1）在刚才的抛瓶盖试验中，累计全班同学的试验结果，并将试验数
据汇总填入下表：
试验总次数 n
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
盖口向下的次数 m
盖口向下的频率
n
m
（2）根据上表，请你画出盖口向下的频率的折线统计图。由此，你发
现盖口向下的频率的变化有什么规律？
图 9-3
盖口向上的频率
68
数 学
七年级 下册
知识技能
1．对某批产品的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
随机抽取的产品数 n
10
20
50
100
200
500
1 000
合格的产品数 m
9
19
47
93
187
467
935
合格率
n
m
（1）请完成上表；
（2）根据上表，画出产品合格率变化的折线统计图；
（3）观察上面的折线统计图，产品合格率的变化有什么规律？
问题解决
2．某班 40 名学生每 10 人一组，每人做 10 次抛瓶盖的试验，得到下面的试验
结果：
第一组学生的学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
盖口向上的次数
6
8
6
6
4
8
7
5
9
7
第二组学生的学号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
盖口向上的次数
7
6
8
6
7
10
7
7
6
5
第三组学生的学号
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
盖口向上的次数
7
8
8
4
8
6
9
5
7
4
第四组学生的学号
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
盖口向上的次数
9
6
6
8
5
8
6
6
8
7
（1）学号为 1 的学生在 10 次试验中，盖口向上的次数是多少？盖口向上的
频率是多少？
习题 9.2.1
69
第九章
概率初步
（2）请在这 40 名学生中找两名学生，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率相
同。如果让这两名学生再分别做 10 次试验，他们抛出的瓶盖盖口向上
的频率还一定相同吗？
（3）累计全班学生的试验结果，完成下面的统计表：
试验总次数 n
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
盖口向上的次数 m
盖口向上的频率
n
m
（4）根据上表，画出盖口向上的频率的折线统计图。由此，你发现盖口向
上的频率的变化有什么规律？
3．在抛瓶盖试验中，盖口向上和盖口向下的可能性是否一样大？怎样才能验
证自己结论的正确性？
4．在本节的抛瓶盖试验中，如果我们换一种其他规格的瓶盖来做试验，盖
口向上的频率是否仍具有稳定性？如果盖口向上的频率在某个常数附近摆
动，那么这个常数与本节最开始的试验中的常数是否相同？先想一想，然
后设计试验验证你的想法。
70
数 学
七年级 下册
掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况（如图 9-4）：
你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？
（1）两人一组做 20 次掷硬币的试验，并将数据记录在下表中：
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝上的频率
正面朝下的次数
正面朝下的频率
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表：
试验总次数
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
正面朝上的次数
正面朝上的频率
正面朝下的次数
正面朝下的频率
（3）根据表格，完成图 9-5 的折线统计图：
图 9-5
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
图 9-4
71
第九章
概率初步
（4）观察图 9-5 的折线统计图，你发现了什么规律？
（5）下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据：
试验者
试验总次数 n
正面朝上的次数 m
正面朝上的频率
n
m
布丰
4 040
2 048
0.506 9
德·摩根
4 092
2 048
0.500 5
费勒
10 000
4 979
0.497 9
皮尔逊
12 000
6 019
0.501 6
皮尔逊
24 000
12 012
0.500 5
维尼
30 000
14 994
0.499 8
罗曼诺夫斯基
80 640
39 699
0.492 3
表中的数据支持你发现的规律吗？
在一次试验中，一个随机事件是否发生是无法预测的，是随机的，但在大
量重复试验中，一个随机事件发生的频率又呈现出一定的规律性。无论是掷
质地均匀的硬币还是抛瓶盖，在试验次数很大时，正面朝上（盖口向上）的
频率都会在一个常数附近摆动。
一般地，在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常
数附近摆动，这个性质称为频率的稳定性。频率反映了该事件发生的频繁程
度，频率越大，该事件发生越频繁，这就意味着该事件发生的可能性也越
大，因而，我们就用这个常数来表示该事件发生的可能性的大小。
我们把刻画一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率
（probability）。我们常用大写字母 A，B，C 等表示事件，用 P（A）表示事件
A 发生的概率。例如，在掷质地均匀的硬币的试验中，事件“正面朝上”的频
率会在
2
1 附近摆动，所以，P（正面朝上）=
2
1 。
一般地，在大量重复的试验中，我们可以用随机事件 A 发生的频率来估计
随机事件 A 发生的概率。
72
数 学
七年级 下册
尝试·思考
随机事件 A 发生的概率 P（A）的取值范围是什么？必然事件发生的概率是
多少？不可能事件发生的概率又是多少？
必然事件发生的概率为 1，不可能事件发生的概率为 0，随机事件 A
发生的概率 P（A）是 0 与 1 之间的一个常数。
思考·交流
（1）小明做了 4 次抛瓶盖的试验，其中有 3 次盖口向上，由此，他估计盖
口向上的概率为
4
3 ，你同意他的想法吗？与同伴进行交流。
（2）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为
2
1，那么，掷 10 次硬币，
一定会有 5 次正面朝上吗？如何理解正面朝上的概率为
2
1？与同伴进行交流。
回顾·反思
回顾你做过的抛瓶盖和掷硬币试验，你对随机事件发生的频率与概率的关
系有怎样的理解？
随堂练习
1．小颖做了 5 次掷质地均匀的硬币的试验，其中有 3 次正面朝上，2 次正
面朝下，她认为正面朝上的概率为 3
5，正面朝下的概率为 2
5。你同意
她的观点吗？你认为她再多做一些试验，结果还是这样吗？为什么？
2．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 1
2，那么，掷 100 次硬
币，你能保证恰好 50 次正面朝上吗？与同伴进行交流。
73
第九章
概率初步
3．某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击总次数 n
10
20
50
100
200
500
1 000
击中靶心的次数 m
9
16
41
88
168
429
861
击中靶心的频率
n
m
（1）请完成上表；
（2）根据上表，画出该运动员击中靶心的频率的折线统计图；
（3）请估计该运动员射击一次便击中靶心的概率。
知识技能
1．进行某种麦粒在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数 n
100
200
500
1 000
2 000
5 000
发芽的麦粒数 m
94
191
473
954
1 906
4 748
发芽的频率 m
n
（1）请完成上表；
（2）请画出麦粒发芽频率的折线统计图；
（3）任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率。
2．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
随机抽取的乒乓球数 n
10
20
50
100
200
500
1 000
优等品数 m
7
16
43
81
164
414
825
优等品率
n
m
（1）请完成上表。
（2）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？
（3）如果重新再抽取 1 000 个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数
据，两表的结果会一样吗？为什么？
知识技能
习题 9.2.2
74
数 学
七年级 下册
前面我们用随机事件发生的频率来估计该随机事件发生的概率，但得到的
往往只是概率的估计值。那么，还有没有其他求概率的方法呢？
思考·交流
1．一个袋中装有 5 个球，分别标有
1，2，3，4，5 这五个号码，这些球
除号码外都相同，混合均匀后任意摸出一个球。
（1）会出现哪些可能的结果？
（2）每种结果出现的可能性相同吗？猜一猜它们的概率分别是多少。
2．掷硬币和摸球的游戏有什么共同的特点？与同伴进行交流。
设一个试验的所有可能的结果有
n 种，每次试验有且只有其中的一种
结果出现。如果每种结果出现的可能
性相同，那么我们就称这个试验的结
果是等可能的。
等可能事件的概率
3
你还能举出一些结果是
等可能的试验吗？你是如何
判断试验结果是等可能的？
3．下列说法正确吗？请说明理由。
（1）在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到
的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的；
（2）在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得
到概率的精确值。
问题解决
4．查阅相关资料，了解概率论的发展历史和成就，并在班级内分享。
75
第九章
概率初步
例1 下列试验各有几种可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？
（1）掷一枚质地均匀的骰子；
（2）买一张体育彩票，考察其是否中奖。
解：（1）掷一枚质地均匀的骰子，共有 6 种可能的结果：掷出 1 点、掷
出 2 点、掷出 3 点、掷出 4 点、掷出 5 点、掷出 6 点。因为骰子是质地均匀的，
所以每种结果出现的可能性相同。
（2）买一张体育彩票，考察其是否中奖，共有 2 种可能的结果：中奖、不
中奖。一般情况下，这两种结果出现的可能性不相同。
尝试·思考
在上面“思考·交流”中，你认为“摸出的球的号码不超过 3”这个事件
的概率是多少？你是怎么想的？
从袋子中任意摸出一个球，所有可能的结果有 5 种：摸出的球的号码分别是
1，2，3，4，5。因为这些球除号码外都相同，所以每种结果出现的可能性相同。
“摸出的球的号码不超过 3”这个事件包含其中的 3 种结果：摸出的球的
号码分别是 1，2，3。所以
P（摸出的球的号码不超过 3）=
5
3。
一般地，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件
A
包含其中的
m
种结
果，那么事件
A
发生的概率为 P（A）= n
m。
例2 任意掷一枚质地均匀的骰子。
（1）掷出的点数大于 4 的概率是多少？
（2）掷出的点数是偶数的概率是多少？
解：任意掷一枚质地均匀的骰子，有 6 种等可能的结果：掷出的点数分别
是 1，2，3，4，5，6。因为骰子是均匀的，所以每种结果出现的可能性相同。
76
数 学
七年级 下册
（1）掷出的点数大于 4的结果有 2 种：掷出的点数分别是 5，6。所以
P（掷出的点数大于 4）=
6
2 =
3
1。
（2）掷出的点数是偶数的结果有 3 种：掷出的点数分别是 2，4，6。所以
P（掷出的点数是偶数）=
6
3 =
2
1 。
你还能求哪
些事件的概率？
随堂练习
1．一副扑克牌，任意抽取其中的一张，抽到大王的概率是多少？抽
到 3 的概率是多少？抽到方块的概率是多少？请你解释一下，打牌的
时候，你抽到大王的机会比抽到 3 的机会小。
2．一道单项选择题有 A，B，C，D 四个备选答案，当你不会做的时
候，从中随机地选一个答案，你答对的概率为多少？
知识技能
1．将 A，B，C，D，E 这五个字母分别写在 5 张相同的纸条上，并将这些纸
条放在一个盒子中。混合均匀后从中任意抽取一张，会出现哪些可能的结
果？它们是等可能的吗？
2．任意掷一枚质地均匀的骰子。
（1）掷出的点数小于 4 的概率是多少？
（2）掷出的点数是奇数的概率是多少？
（3）掷出的点数是 7 的概率是多少？
（4）掷出的点数小于 7 的概率是多少？
习题 9.3.1
77
第九章
概率初步
3．有 7 张相同的纸条，分别标有数字 1，1，2，2，3，4，5，从中随机地抽出
一张。求：
（1）抽出标有数字 3 的纸条的概率；
（2）抽出标有数字 1 的纸条的概率；
（3）抽出标有数字为奇数的纸条的概率。
问题解决
4．小明所在的班有 40 名同学，从中选出一名同学为家长会做准备工作。请你
设计一种方案，使每一名同学被选中的概率都相同。
尝试·交流
（1）一个袋中装有 2 个红球和 3 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸
出一个球，摸到红球的概率是多少？
红球有 2 个，而白球有 3 个，将每一个球都编上号码，1
号球（红色）、2 号球（红色）、3 号球（白色）、4 号球（白
色）、5 号球（白色），摸出每一个球的可能性相同，共有 5 种
等可能的结果。摸到红球可能出现的结果为摸出 1 号球或 2 号
球，共有 2 种等可能的结果。所以，P（摸到红球）=
5
2 。
摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到
白球的可能性相同，也就是，P（摸到红球）=
2
1 。
小颖
小明
你认为小明和小颖谁说的有道理？
78
数 学
七年级 下册
（2）小明和小颖一起做游戏。在一个装有 2 个红球和 3 个白球（每个球除
颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获
胜。这个游戏对双方公平吗？在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公
平的？与同伴进行交流。
尝试·思考
利用一个口袋和 4 个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏。
（1）使得摸到红球的概率是
2
1 ，摸到白球的概率也是
2
1 ；
（2）使得摸到红球的概率是
2
1 ，摸到白球和黄球的概率都是
4
1 。
思考·交流
你能选取 8 个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？
你能选取 7 个除颜色外完全相同的球分别设计满足上述条件的游戏吗？
你是怎样设计的？与同伴进行交流。
随堂练习
1．某班有 22 名男生和 18 名女生，将每名学生的姓名写在完全相同的纸
条上，放在盒子中混合均匀，从中任意抽取一张纸条，抽取到男生的
概率是多少？
2．一个袋中装有 22 个红球和 18 个绿球，这些球除颜色外都相同，从
中任意摸出一个球，摸到红球的概率是多少？这个问题与第 1 题有
什么关系？
知识技能
1．一个袋中装有 3 个红球和 5 个白球，每个球除颜色外都相同。从中任意摸
出一个球，摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不等，能否通过改变
袋中红球或白球的数量，使摸到红球和摸到白球的概率相等？
知识技能
习题 9.3.2
79
第九章
概率初步
2．一个袋中装有 5 个红球、4 个白球和 3 个黄球，每个球除颜色外都相同。从
中任意摸出一个球，则
P（摸到红球）=
；
P（摸到白球）=
；
P（摸到黄球）=
。
3．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为 6 的概率是
6
1 。能否通过改变
骰子每个面上的点数，使掷出的点数为 6 的概率是
3
1 ？
4．请举出一些随机事件，它们发生的概率都是 3
4 。
5．用 10 个除颜色外完全相同的球设计摸球游戏。
（1）使得摸到红球的概率是 1
2 ，摸到白球的概率也是 1
2 ；
（2）使得摸到红球的概率是 1
5 ，摸到白球和黄球的概率都是 2
5 。
6．小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做抽牌游戏：小明从中任意抽取
一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁抽到的牌面大谁
就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，
，K，A，且牌面的大小与花色无关）。然后两人把抽到的牌都放回，重
新开始游戏。
（1）现小明已经抽到的牌面为 4，然后小颖抽牌，那么小明获胜的概率是
多少？小颖获胜的概率又是多少？
（2）若小明已经抽到的牌面为 2，情况又如何？若小明已经抽到的牌面为
A 呢？
80
数 学
七年级 下册
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动
的转盘，并将转盘等分成 20 个扇形，分别涂上不同的
颜色（如图 9-6）。商场规定：顾客购物消费每满 100
元，就能获得一次转动转盘的机会。自由转动转盘，转
盘要转一圈以上才算有效。如果转盘停止后，指针正好
落在红色、黄色、绿色区域，顾客就可以分别获得面额
100 元、50 元、20 元的购物券。
（1）自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形区域的结果共有
多少种？这些结果是等可能的吗？
（2）某顾客购物消费 120 元，获得一次转动转盘的机会。他获得面额 100
元、50 元、20 元购物券的概率分别是多少？他能获得购物券的概率是多少？
观察·思考
如果商场换成如图 9-7 所示的转盘，而其他规则不
变，那么自由转动转盘一次，获得各类购物券的概率会如
何变化？
尝试·思考
图 9-8 是一个可以自由转动的转盘。自由转动转盘，
当转盘停止时，指针落在红色区域和白色区域的概率分别
是多少？
图 9-6
图 9-7
先把白色区域等分成 2 份（如图 9-9），
这样转盘被等分成 3 个扇形区域，其中 1 个
是红色，2 个是白色，所以 P（落在红色区
域）=
3
1 ，P（落在白色区域）=
3
2 。
小颖
你认为小颖的做法有道理吗？说说你的理由。
图 9-8
120°
图 9-9
120°
81
第九章
概率初步
思考·交流
（1）自由转动如图 9-10 所示的转盘，当转盘停止时，
指针落在红色区域和白色区域的概率分别是多少？你有什么
求解方法？与同伴进行交流。
（2）分别自由转动如图 9-11 所示的甲、乙两个转盘，
当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是否相等？
（3）分别自由转动如图 9-12 所示的丙、丁两个转盘，当转盘停止时，指
针落在红色区域的概率是否相等？
图 9-11
图 9-12
丙 丁
随堂练习
1．（1）如图所示，转盘被等分成 16 个相同的扇形。
请在适当的地方涂上颜色，使得自由转动这
个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的
概率为
8
3 。
（2）你还能举出一些随机事件，它发生的概率也
是
8
3 吗？请试一试。
（第 1 题）
图 9-10
110°
82
数 学
七年级 下册
知识技能
1．如图是三个可以自由转动的转盘，自由转动转盘，分别计算转盘停止后，
指针落在红色区域的概率。
2．（1）你能设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指
针
落在红色区域的概率为
9
4 ，落在白色区域的概率为
3
1 ，落在黄色区域
的概率为
9
2 吗？
※（2）你能设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针
落在红色区域的概率为
8
3 ，落在白色区域的概率为
8
3 ，落在黄色区域
的概率为
8
3 吗？
习题 9.3.3
（第 1 题）
2．请设计一个转盘：自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在红
色区域的概率为
8
3 ，落在白色区域的概率为
8
3 ，落在黄色区域的概率
为
4
1 。
（2）
（3）
（1）
白
白
蓝
60°
135°
135°
78°
115°
167°
83
第九章
概率初步
问题解决
3．如图所示，转盘被等分成 12 个相同的扇形。
（1）请在每个扇形中涂上适当的颜色，使得自由
转动这个转盘，当它停止转动时，指针落在
红色区域的概率为
3
1 ；
（2）对于（1），你还有其他的涂色方案吗？你是
怎样设计这些涂色方案的？
图 9-13 是书房地板的示意图。图中每一块方砖除颜色
外完全相同，一个小球在书房中自由地滚动，并随机地停留
在某块方砖上。
（1）小球停留在不同方砖上的结果共有多少种？这些结
果是等可能的吗？
（2）小球停留在黑砖上的概率是多少？
（3）一个袋中装有 9 个黑球和 16 个白球，每个球除颜色外都相同，从中
任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？它同（2）有什么联系和区别？
例3 某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯 40 s、绿灯 60 s、黄灯3 s。
小明的爸爸随机地由南往北开车经过该路口，问：
（1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？
（2）他遇到红灯的概率是多少？
解：（1）小明的爸爸随机地经过该路口，他每一时刻经过的可能性都相
同，因为该路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯 40 s、绿灯 60 s、黄灯 3 s。
绿灯时间比红灯时间长，所以他遇到绿灯的概率大。
（2）他遇到红灯的概率为
P（他遇到红灯）=
40
40 + 60 + 3
= 40
103 。
（第 3 题）
图 9-13
84
数 学
七年级 下册
随堂练习
1．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动（每一
块方砖除颜色外完全相同），并随机地停留在某
块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是
多少?
知识技能
1．下图是一个寻宝游戏的藏宝图，图中每个方块除了图案外都相同，宝藏被随
机地藏在某一个方块内，那么宝藏被藏在各种图案下的概率分别是多少？
（第 1 题）
习题 9.3.4
问题解决
2．（1）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动（每一块方砖除颜色外完全
相同），并随机地停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的
概率是多少？
（2）请你设计几种地砖图案，使小球在上面自由滚动时停留在黑色区域的
概率是
3
1。
（第 1 题）
（第 2 题）
85
第九章
概率初步
回顾与思考
1．举例说明什么是随机事件。
2．随机事件发生的概率与频率有什么区别和联系？
3．游戏对双方公平是什么意思？请设计一些对双方都公平的游戏。
4．举例说明如何求随机事件的概率。在什么条件下适合用公式
P（A）=
n
m 来求随机事件的概率？
5．举例说明研究随机事件发生概率的意义。
6．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行
交流。
知识技能
1．下列事件中，哪些是随机事件？哪些是不可能事件？哪些是必然事件？请
说明理由。
（1）车辆随机经过一个路口，遇到红灯；
（2）两条线段可以组成一个三角形；
（3）400 人中至少有两人的生日在同一天；
（4）掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数。
2．五个可以自由转动的转盘如图所示。转动转盘，当转盘停止时，它们的指
针落在黄色区域的概率各不相同，请按概率由大到小的顺序进行排列。
复习题
①
②
③
④
⑤
（第 2 题）
86
数 学
七年级 下册
（1）P（抽到数字 9）=
；
（2）P（抽到两位数）=
；
（3）P（抽到的数大于 6）=
，P（抽到的数小于 6）=
；
（4）P（抽到奇数）=
，P（抽到偶数）=
。
5．一个被等分成 4 个扇形的转盘如图所示，小颖认为转盘上共有 3 种不同的
颜色，所以自由转动这个转盘，指针停在红色、黄色或蓝色区域的概率都
是
3
1 。你认为呢？
（1）当室外温度低于 -10 ℃ 时，将一碗清水放在室
外，半小时后水会结冰；
（2）随意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和
为 1；
（3）自由转动如图所示的转盘（转盘被等分成 6 个扇
形），指针落在红色区域。
4．如图，有 9 张卡片，分别写有 1～9 这九个数字。将它们背面朝上混合均匀
后，任意抽出一张。
3．请将下列事件发生的概率标在图中：
（第 3 题）
（第 4 题）
［第 3（3）题］
（第 5 题）
87
第九章
概率初步
6．两个相同的正方形如图所示摆放，假设可以随意在图中取点，那么这个点
取在阴影部分的概率是多少？请你重新设计图案，使得这个点取在阴影部
分的概率为
7
3。
（第 6 题）
7．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成 10 份，分别标有 1，2，3，4，
5，6，7，8，9，10 这 10 个数字。自由转动转盘，当转盘停止后，指针指
向的数字即为转出的数字。
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相
符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜。猜数的方法从下面三种中
选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是 3 的倍数”或“不是 3 的倍数”；
（3）猜“是大于 6 的数”或“不是大于 6 的数”。
如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？
8．小明掷一枚质地均匀的硬币。他掷了 5 次，其中有 2 次正面朝上、3 次正面朝
下。他认为再掷一次，一定正面朝上。你同意他的观点吗？与同伴进行交流。
9．从分别写有数字 1～10 的 10 张相同卡片中，随机抽出一张卡片。
（1）求卡片上的数字是 3 的倍数的概率与不是 3 的倍数的概率；
（2）求卡片上的数字是质数的概率与不是质数的概率；
（3）由（1）（2），你有什么发现？
（第 7 题）
88
数 学
七年级 下册
问题解决
10．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成 2 份。
自由转动转盘，按指针所指区域的指示行动。
（1）转动若干次，最后是在出发点前的可能性大还是在
出发点后的可能性大？试一试。
（2）连续转动 20 次，看看情况如何。
11．（1）如图（甲），有一批宝藏被随意埋在长方形区域内（图中每个方格完全
相同）。
假如你去寻找宝藏，你会选择哪个区域？为什么？在这个区域一定
能找到宝藏吗？宝藏埋在哪两个区域的可能性相同？
（2）如果埋宝藏的区域如图（乙）所示（图中每个三角形完全相同），
（1）的结果又会怎样？
（第 10 题）
12．请你设计一个游戏，并说明在你的设计中游戏者获胜的概率是多少。
13．通过本章的学习，请你写一篇小短文，谈谈你对随机事件和概率的认识。
联系拓广
14．现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选 12 个球设计摸球游戏。
（1）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；
（2）使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；
（3）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率。
15．连续掷两枚质地均匀的硬币，共有几种可能的结果？每种结果出现的可能
性相同吗？先想一想，再做一做这个试验，看看结果如何。
※16．你能编写计算机程序，模拟课堂上掷硬币的试验吗？试一试。
（第 11 题）
（甲）
（乙）
对于跷跷板、拔河比赛、手机流量、汽车限速和打折购物
方案的选择等生活场景，你也许并不陌生，但你是否想过它们
与某种“不等关系”有关？其实，与相等关系相比，不等关系
更为普遍。
本章将结合具体问题了解不等式的意义，探索不等式的基
本性质，研究一元一次不等式（组）的解法，运用一元一次不
等式解决一些简单的实际问题，体会一元一次不等式与一次函
数、一元一次方程之间的内在联系。在这个过程中，你将进一
步发展运算能力、几何直观、模型观念等。
第十章
不等式与不等式组
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
为什么要研究现实生活中的不等关系？如何建立一个
一元一次不等式？
研究不等关系的思路与之前的哪些学习经历类似？
你有哪些感悟？在数学学习中，你还能举出这样的
例子吗？
90
数 学
七年级 下册
如图 10-1，用两根长度均为 l cm 的绳子分别围成一个正方形和一个圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于1 25 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关
系式？
（2）如果要使圆的面积不小于 100 cm2，那么绳长 l 应满足怎样的关系式？
（3）当 l = 8 时，正方形和圆的面积哪个大？l = 12 呢？改变 l 的取值再试
一试，由此你能得到什么猜想？
尝试·思考
（1）乘坐动车组列车时，旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外
部尺寸的长、宽、高之和不得超过 130 cm。设行李外部尺寸的长、宽、高分
别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李外部尺寸的长、宽、高满足的关系式。
（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常
规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部位。某树栽种时的树围为 6 cm，在一
定生长期内每年增加约 1 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 10 cm，请你列
出 x 满足的关系式。
1 “不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“≤”表示。例如，x 不大于 10 可以表示为 x≤ 10
（读作“x 小于或等于10”）。类似地，“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“≥”表示（读作
“大于或等于”）。
不等关系
1
图 10-1
91
第十章
不等式与不等式组
观察·交流
由上述问题分别得到如下关系式：
π·（2π
l
）
2
＞（
4
l ）
2
，a + b + c≤130，6 + x＞10，
观察这几个关系式，它们有什么共同特点？与同伴进行交流。
一般地，用符号“＜”（或“≤”）、“＞”（或“≥”）连接的式子叫作
不等式（inequality）。像 a+2 ≠ a－2 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也
是不等式。
生活中存在许多不等关系，请你举几个用不等式表示的例子，并与同伴进
行交流。
例1 用适当的符号表示下列关系：
（1）a 是正数；
（2）x 的 2 倍与 3 的和小于 4；
（3）x 的一半与 6 的和大于 x 的 4 倍；
（4）x 的 3 倍不大于 x 与 3 的差。
解：（1）a＞0；（2）2x + 3＜4；（3） 1
2 x + 6＞4x；（4）3x≤x - 3。
随堂练习
1．用适当的符号表示下列关系：
（1）a 是非负数；
（2）直角三角形斜边 c 比它的两直角边 a，b 都长；
（3）x 与 17 的和比 x 的 5 倍小；
（4）两数的平方和不小于这两数积的 2 倍。
2．根据下列信息，写出有关不等式：
截至 2021 年，我国自主研制的首台作业型全海深自主遥控潜水器“海
斗一号”打破了多项无人潜水器的世界纪录，包括最大下潜深度达到
10 907 m，海底连续作业时间超过 8 h，近海底航行距离超过 14 km。
92
数 学
七年级 下册
知识技能
1．用适当的符号表示下列关系：
（1）x 的 3 倍与 8 的和比 x 的 5 倍大；
（2）x2 是非负数；
（3）地球上海洋面积大于陆地面积；
（4）老师的年龄比你年龄的 2 倍还大；
（5）铅球的质量比篮球的质量大；
（6）中国人民解放军海军福建舰的满载排水量比山东舰的满载排水量大。
2．请给下列不等式赋予不同的实际背景：
（1）x + y≤5；
（2）2x + 1≥3。
问题解决
3．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素 C 含量及购
买这两种原料的价格如下表所示：
原料
甲
乙
维生素 C 含量 /（单位 / 千克）
600
100
原料价格 /（元 / 千克）
8
4
（1）现配制这种饮料 10 kg，要求至少含有 4 200 单位的维生素 C，试写出
所需甲种原料的质量 x（单位：kg）应满足的不等式。
（2）如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过 72 元，那么你能写出 x
（单位：kg）应满足的另一个不等式吗？试一试。
习题 10.1.1
93
第十章
不等式与不等式组
联系拓广
4．在通过桥洞时，我们往往会看到如图（1）所示的标志，这是限制车高的
标志。你知道通过该桥洞的车高 x（单位：m）的范围吗？在通过桥面时，
我们往往会看到如图（2）所示的标志，这是限制车重的标志。你知道通
过该桥面的车重 y（单位：t）的范围吗？
（第 4 题）
在上一节课由树围估算树龄的问题中，我们得到不等式：6 + x＞10。你能
找到满足这个不等式的 x 的一些值吗？
尝试·思考
（1）x = 3，4，5，5.5 能使不等式 6 + x＞10 成立吗？
（2）你能找出多少个使不等式 6 + x ＞10 成立的 x 值？你是怎样找的？
在一个含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫作不等
式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（solution set）。
例如，5 是不等式 6 + x＞10 的一个解，4.2，5.5，6，7，8，…也是这个不等
式的解，不等式 6 + x＞10 的解集是 x＞4；不等式 x - 1≤2 的解集是 x≤3；不
等式 x2＞0 的解集是所有非零实数。
求不等式解集的过程叫作解不等式。
（1）
（2）
94
数 学
七年级 下册
思考·交流
你能在数轴上表示不等式 6 + x＞10 的解集吗？不等式 x - 1≤2 的解集又该
如何表示呢？与同伴进行交流。
不等式 6 + x＞10 的解集 x＞4 可以用数轴上表示 4 的点右边的部分来表示
（如图 10-2），在数轴上表示 4 的点的位置上画空心圆圈，表示 4 不在这个解
集内。
图 10-2
图 10-3
不等式 x - 1≤2 的解集 x≤3 可以用数轴上表示 3 的点及其左边的部分来
表示（如图 10-3），在数轴上表示 3 的点的位置上画实心圆点，表示 3 在这
个解集内。
随堂练习
1．判断正误：
（1）不等式 x＞3
2 的解有无数个；
（ ）
（2）x = 4 是不等式 x + 5＞10 的解。
（ ）
2．将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＞4；
（2）x＜-1；
（3）x≥- 2；
（4）x≤6。
95
第十章
不等式与不等式组
知识技能
1．在0，-4，3，-3，5
1 ，-5，4，-10 中，
是方程 x + 4 = 0 的解；
是不等式 x + 4≥0 的解；
是不等式 x + 4＜0的解。
2．将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x≤0；
（2）x＞- 2.5；
（3）x＜3
2；
（4）x≥ 4。
3．（1）不等式 x＜3
10 有多少个解？请找出几个。
（2）不等式 x＜3
10 有多少个正整数解？请一一写出来。
问题解决
4．某弹簧测力计的测量范围是 0～50 N。小明未注意弹簧测力计的测量范
围，用弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现弹簧没有恢复原状。
你知道这个物体所受的重力在什么范围吗？
知识技能
习题 10.1.2
依据等式的基本性质可以对方程进行变形，进而求解方程。类似地，为了
对不等式进行变形，就需要研究不等式的基本性质。
我们不难理解以下结论：
（1）如果 a＞b，那么 b＜a。
（2）如果 a＜b，b＜c，那么 a＜c。
除此之外，你认为不等式还有哪些性质呢？
不等式的基本性质
2
96
数 学
七年级 下册
不等式的基本性质 1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号
的方向不变。
不等式的基本性质 2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等
号的方向
。
不等式的基本性质 3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等
号的方向
。
思考·交流
（1）如果在不等式的两边都加或都减同一个数，那么不等式还成立吗？
请你举几例说明。
（2）如果在不等式的两边都乘同一个不等于 0 的数，那么不等式还成立
吗？请你举几例说明，并与同伴进行交流。
不等式的基本性质用字母可以表示为：
如果 a＞b，那么 a±c
b±c；
如果 a＞b，c＞0，那么 ac
bc，a÷c
b÷c；
如果 a＞b，c＜0，那么 ac
bc，a÷c
b÷c。
在前面的学习中，我们猜想，无论绳长 l 取何值，圆的面积总大于正方形
的面积，即
4π
l 2
＞16
l 2
。
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？
97
第十章
不等式与不等式组
例1 根据不等式的基本性质解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
（1）x - 5＞-1；
（2）-2x≥3。
解：（1）根据不等式的基本性质 1，两边都加 5，得
x＞-1 + 5，
即
x＞4。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图 10-4 所示。
（2）根据不等式的基本性质 3，两边都除以 -2，得
x≤-
2
3。
图 10-4
这个不等式的解集在数轴上的表示如图 10-5 所示。
图 10-5
回顾·反思
不等式的基本性质与等式的基本性质有什么区别和联系？
随堂练习
1．已知 x＞y，下列不等式一定成立吗？
（1）x - 6＜y - 6；
（2）3x＜3y；
（3）- 2x＜- 2y；
（4）2x + 1＞2y + 1。
2．解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
（1）x - 1＞2；
（2）- x＜6
5 ；
（3）2
1 x≤3。
98
数 学
七年级 下册
知识技能
1．已知 a＜b，用“＜”或“＞”填空：
（1）a - 3
b - 3；
（2）6 a
6 b；
（3）-a
-b；
（4）a - b
0。
2．解下列不等式，并将解集表示在数轴上：
（1）x + 3＜-1；
（2）3 x≥27；
（3）-
3
x＞5；
（4）5 x＜4 x - 6。
问题解决
3．（1）比较 a 与 a + 2 的大小；
（2）比较 2 与 2 + a 的大小；
※（3）比较 a 与 2 a 的大小。
联系拓广
4．利用不等式的基本性质证明：一个数加一个正数，所得的结果比原来的
数大。
知识技能
习题 10.2.1
一元一次不等式
3
观察下列不等式：
x + 6＞10，x - 1≤2x，3x＞27，
它们有什么共同特点？与同伴进行交流。
这些不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次
数都是 1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式（linear inequality with one
unknown）。
99
第十章
不等式与不等式组
解方程的移项变
形对于解不等式同样
适用。
图 10-6
尝试·交流
（1）在前面几节课的学习内容中，你能找出哪些一元一次不等式？试举两例。
（2）还记得如何解一元一次方程吗？你认为该怎样解不等式 3 - x ＜ 2x + 6
呢？与同伴进行交流。
例1 解不等式 3 - x＜2x + 6，并把它的解集表示在数轴上。
解：两边都加 -2x，得
3 - x - 2x＜2x + 6 - 2x。
合并同类项，得
3 - 3x＜6。
两边都加 -3，得
3 - 3x - 3＜6 - 3。
合并同类项，得
-3x＜3。
两边都除以 -3，得
x＞-1。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图 10-6 所示。
例2 解不等式
2
x - 2 ≥
3
7-x ，并把它的解集表示在数轴上。
解：去分母，得
3（x - 2）≥2（7 - x）。
去括号，得
3x - 6≥14 - 2x。
移项、合并同类项，得
5x≥20。
100
数 学
七年级 下册
图 10-7
两边都除以 5，得
x≥4。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图 10-7 所示。
随堂练习
1．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5 x＜200；
（2）-
2
x + 1 ＜3；
（3）x - 4≥2（x + 2）；
（4）
2
x - 1 ＜
3
4x - 5 。
2．求不等式 4（x + 1）≤24 的正整数解。
知识技能
1．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）- x + 1＞7x - 3；
（2）
3
1 - 2x ≥
6
4 - 3x；
（3）5
x+ 1＜x；
（4）7
x + 3 ＞x - 5；
（5）2
x + 2≤3
x - 1；
（6）6（x - 1）≥3 + 4x。
习题 10.3.1
思考·交流
你认为解一元一次不等式有哪些需要注意的事项？与同伴进行交流。
101
第十章
不等式与不等式组
2．三个连续正偶数的和小于 19，这样的正偶数组共有多少组？把它们都写出来。
问题解决
3．下面是小明解不等式
2
x +5 - 1 ＜
2
3x+2 的过程：
去分母，得 x + 5-1＜3x+2。
移项、合并同类项，得 -2x＜-2。
两边都除以 -2，得 x＜1。
他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里。
尝试·思考
某种商品进价为 200 元，标价 300 元销售，商场规定可以打折销售，但利
润率不能低于 5%。请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以打几折？
例3 某班举行环保知识竞赛，规则如下：
每位选手有基础分 20 分，需回答 20 道题，每答对一道题得 4 分，每答错
或不答一道题扣 1 分。在这次竞赛中，小明被评为优秀（85 分或 85 分以上），
小明至少答对了几道题？
解：设小明答对了 x 道题，则他答错和不答的共有（20 - x）道题。根据
题意，得
20 + 4x - 1×（20 - x）≥85。
解这个不等式，得
x≥17。
所以，小明至少答对了 17 道题。
102
数 学
七年级 下册
例4 一辆客车从甲地开往乙地，出发 10 min 后，一辆轿车也从甲地开往
乙地，轿车的速度是 120 km/h，轿车出发 30 min 内就超过了客车，则客车的速
度小于多少？
解：设客车的速度是 x km/h。根据题意，得
10 + 30
60
·x ＜120×30
60 。
解这个不等式，得
x＜90。
所以，客车的速度小于
90 km/h。
回顾·反思
对比一元一次不等式与一元一次方程的学习过程，你有哪些感悟？积累了
哪些经验？
随堂练习
1．某种商品的进价为 400 元，销售时标价为 500 元，商店准备打折销
售，但要保持利润率不低于 10％，则最多可以打几折？
2．小明准备用 50 元购买面包和牛奶，已知一个面包 4 元，一盒牛
奶 5 元，他买了 5 盒牛奶，他最多还能买多少个面包？
知识技能
1．解下列不等式：
（1）x - 5
2 + 1＞x - 3；
（2） - x
5 + x
15
≤
- 1；
（3）1
3 x - 2＜1 - 1
5 x；
（4）x -（3x - 1）≤ x + 2。
习题 10.3.2
103
第十章
不等式与不等式组
问题解决
2．学校准备用 2 000 元购买名著和词典作为文艺节奖品，其中名著每套 65
元，词典每本 40 元。现已购买名著 20 套，最多还能买多少本词典？
3．某校学生会组织七年级和八年级共 60 名学生参加一项社会调查，七年级学
生平均每人调查 15 个对象，八年级学生平均每人调查 20 个对象。为了保
证所调查的对象总数不少于 1 000 个，至少需要多少名八年级学生参加该
项社会调查？
4．某广告公司规定：设计一份广告 200 元，每印一份 0.4 元。客户老王在该广
告公司设计了一份广告，并印了若干份，平均每份的成本不高于 0.5 元。
老王至少印了多少份？
联系拓广
5．编制一道能用一元一次不等式解决的实际问题，并加以解决。
函数 y = 2x - 5 的图象如图 10-8 所示，观察图象
回答下列问题：
（1）x 取什么值时，2x - 5 = 0？
（2）x 取哪些值时，2x - 5＞0？
（3）x 取哪些值时，2x - 5＜0？
（4）x 取哪些值时，2x - 5＞1？
你是怎样思考的？与同伴进行交流。
一元一次不等式与一次函数
4
图 10-8
104
数 学
七年级 下册
图 10-9
尝试·思考
如果 y = -2x - 5，那么当 x 取哪些值时，y＜0？当 x 取哪些值时，y＜1 ？
你是怎样求解的？
操作·思考
函数 y1
= 2x - 5 和 y2 = x - 2 的图象如图 10-9 所
示，观察图象回答下列问题：
（1）x 取什么值时，y1
= y2？
（2）x 取哪些值时，y1＞y2？
（3）x 取哪些值时，y1＜y2？
从图象上看， y1
= y2
时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就
是方程 2x - 5 = x - 2
的解；一次函数
y1
= 2x
- 5
的图象在
y2
= x
- 2
的图象上方的
部分对应点的横坐标就是不等式
2x
- 5
＞
x
- 2
的解；一次函数 y1
= 2x
- 5
的图象
在
y2
= x
- 2
的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式
2x
- 5
＜ x
- 2
的解。
尝试·交流
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑
3 m，哥哥每秒跑 4 m。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列
问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过 20 m？谁先跑过 100 m？
你是怎样求解的？与同伴进行交流。
-2 -1 O 1 2 3 4 5 x
y
y1 = 2x - 5
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
y2 = x - 2
105
第十章
不等式与不等式组
随堂练习
1．已知 y1
= - x + 3，y2
= 3x - 4，当 x 取哪些值时，y1＞y2？当x 取哪些值
时，y1＜ y2？与同伴进行交流。
知识技能
1．已知 y1
= -x
- 2，y2
= 2x
+ 1，当
x
取哪些值时，y1
＜
y2？你是怎样做的？
问题解决
2．如图，l1
反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l2
反映了该产品的
销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开
始赢利。该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能赢利？
知识技能
习题 10.4.1
3．甲、乙两辆摩托车从相距 20 km 的 A，B 两地相向而行，图中 l1，l2
分别表示
甲、乙两辆摩托车离 A 地的距离 s（单位：km）与行驶时间 t（单位：h）之
间的函数关系。
（1）哪辆摩托车的速度较快？
（2）何时甲摩托车到 B 地的距离大于乙摩托车到 B 地的距离？
4．小明和姐姐在同一学校上学，从家到学校的距离是 1 km，他们走路的速度
为 4 km/h，跑步的速度为 10 km/h。请你根据以上信息，设计一个可以用一
元一次不等式解决的问题，并给出解决方案。
（第 2 题）
（第 3 题）
106
数 学
七年级 下册
尝试·思考
某学校为打造“书香校园”，准备用 2 000 元购买一批图书。甲书店的付
款方式为：花 20 元办一张会员卡，所购图书总价可打八折。乙书店的付款方
式为：花 200 元办一张会员卡，所购图书总价可打七折。你认为学校选哪个书
店购书更合算？
例1 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计
为 10～25 人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人 200 元。
经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去
一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社
支付的旅游费用较少？
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需的费用
为 y1
元，选择乙旅行社时，所需的费用为 y2
元。根据题意，得
y1
= 200×0.75 x，即 y1 = 150 x；
y2
= 200×0.8（x - 1），即 y2
= 160x - 160。
由 y1
= y2，得 150x = 160x - 160，解得 x = 16；
由 y1＞y2，得 150x＞160x - 160，解得 x＜16；
由 y1＜y2，得 150x＜160x - 160，解得 x＞16。
因为参加旅游的人数为 10～25 人，所以，当 x = 16 时，甲、乙两家旅行社
的收费相同；当 17≤x≤25 时，选择甲旅行社费用较少；当 10≤x≤15 时，选
择乙旅行社费用较少。
在本节问题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖
关系，而一元一次不等式或一元一次方程则描述了问题中这两个变量满足某些
特定条件时的状态。因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式或一元
一次方程的问题，也可以利用一元一次不等式或一元一次方程研究一次函数的
相关问题。
回顾·反思
回顾一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的学习过程，你对这三者
之间的联系有什么感悟？请举例说明。
107
第十章
不等式与不等式组
随堂练习
1．某单位要制作一批宣传材料。甲公司提出：每份材料收费 20 元，另
收 3 000 元设计费；乙公司提出：每份材料收费 30 元，不收设计费。
（1）什么情况下选择甲公司比较合算？
（2）什么情况下选择乙公司比较合算？
（3）什么情况下两公司的收费相同？
问题解决
1．某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均
为 6 000 元，并且多买都有一定的优惠。各商场的优惠条件如下表所示：
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原报价收费，其余每台优惠 25%
乙商场
每台优惠 20%
（1）该公司到哪个商场购买电脑更合算？
（2）该公司准备购买 7 台电脑，到乙商场购买合算吗？
2．甲、乙两个育种场为响应国家政策，鼓励农民多种粮，种好粮，计划优惠
出售一批小麦良种。甲育种场的优惠方式为：若购买小麦良种累计不超过
500 元，则按原价收费；若超过 500 元，则超出 500 元的部分按原价的 80%
收费。乙育种场的优惠方式为：若购买小麦良种累计不超过 300 元，则按原
价收费；若超过 300 元，则超出 300 元的部分按原价的 85% 收费。假设甲、
乙两家育种场小麦良种的单价相同，你认为购买哪家的小麦良种更合算？
联系拓广
3．某公司 40 名员工集体到一景点参观，景点门票价格为 30 元/人。该景点规定
满 40 人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，
女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠。请你帮助他们选择购票方案。
问题解决
习题 10.4.2
108
数 学
七年级 下册
某学校举办春季运动会，七年级一班承担制作彩旗的任务，计划用 4 天的
课余时间制作彩旗。如果每天比原计划多制作 5 面，那么所制作彩旗总量将超
过 124 面；如果每天比原计划少制作 6 面，那么所制作彩旗总量将不足 96 面。
（1）这个问题含有哪些不等关系？
（2）若设七年级一班原计划每天制作 x 面彩旗，你能列出哪些不等式？
根据题意，可以得到不等式 4（x + 5）＞124，4（x - 6）＜96，其中 x 所代
表的对象相同，因此 x 必须同时满足这两个不等式。把它们合在一起，就组成
一个一元一次不等式组
4（x + 5）＞124，
4（x - 6）＜96。
一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一
个一元一次不等式组（system of linear inequalities with one unknown）。
尝试·交流
你能尝试找出符合上面的一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴进行
交流。
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个一元一次
不等式组的解集。求不等式组解集的过程，叫作解不等式组。
例1 解不等式组：
2x - 1＞
-x，
①
1
2 x ＜3。
②
一元一次不等式组
5
109
第十章
不等式与不等式组
解：解不 等式 ①，得
x＞1
3 。
解不等式 ②，得
x＜6。
在同一条数轴上表示不等式 ① ② 的解集，如图 10-10 所示。
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
1
3
图 10-10
因此，原不等式组的解集为
1
3 ＜x＜6。
随堂练习
1．解下列不等式组：
（1）
2x＞1，
x - 3＜0；
（2）
x - 2＞- 1，
3x + 1＜8。
知识技能
1．解下列不等式组：
（1）
x
- 5＜1，
2x＞3；
（2）
2x
- 5＞0，
3
- x
＞- 1；
（3）
3x
- 1＞5，
2x＜6；
（4）
1
2 x
＞
1
3 x，
4x
- 3
≤
1；
（5）
- 2x
≥0，
3x
+ 5≥0；
（6）
x + 1
2 ＜1；
7x - 8＜9x。
习题 10.5.1
110
数 学
七年级 下册
2．不等式 3x
- 7
＜
x
的解集、不等式
2 - 5x
＜
2x
的解集与不等式组
3x
- 7
＜
x，
2
- 5x
＜
2x
的解集之间有什么关系？
※3．如果方程组 x + y = 2，
x - y
= a
的解 x，y 都是正数，那么你能求出 a 的取值范围吗？
试一试。
问题解决
4．一台装载机每小时可装载石料 50 t。一堆石料的质量为 1 800 t 到 2 200 t ，
那么这台装载机大约要用多长时间才能将这堆石料装完？
例2 解不等式组：
3x
- 2＜
x
+ 1，
①
x
+ 5＞4x
+ 1。
②
解：解不等式
①，得
x
＜
3
2 。
解不等式
②，得
x
＜
4
3 。
在同一条数轴上表示不等式
①
②
的解集，如图
10-11
所示。
-3 -2 -1 0 1 2 3
3
2
4
3
图 10-11
因此，原不等式组的解集为
x ＜
4
3 。
111
第十章
不等式与不等式组
0 1 2 3 4 5 6
5
2
图 10-12
例3 解不等式组：
5x
- 2
＞3（x
+ 1），
①
1
2 x
- 1≥
7 - 3
2 x。
②
解：解不等式 ①，得
x ＞
5
2 。
解不等式 ②，得
x ≥ 4。
在同一条数轴上表示不等式 ① ② 的解集，如图 10-12
所示。
因此，原不等式组的解集为
x ≥ 4。
随堂练习
1．根据下列图形，分别在图后的横线上写出相应不等式组的解集。
（1）
- 2 - 1 0 1 2
［第 1（1）题］
解集是 _______ ；
（2）
- 2 - 1 0 1 2
［第 1（2）题］
解集是 _______ 。
2．解下列不等式组：
（1）
x
+ 3＜5，
3x
- 1＜8；
（2）
x
2
+ 1＜2（x
- 1），
x
3
＞
x
+ 2
5 。
112
数 学
七年级 下册
知识技能
1．解下列不等式组：
（1）
x
- 1
＞
2x，
x
2
+ 3
＜
- 2；
（2）
2x
+ 5
≤ 3（x
+ 2），
x -1
2
＞
x
3；
（3）
0.2x
＞
0.3x
+ 1，
0.5x
- 1 ＜ 0.2；
（4）
x
- 1
2
≥
1
4，
x
3
+ x
2
≥
- 1。
问题解决
2．三个数 3，1 - a，1 - 2a 在数轴上从左到右依次排列，你能确定 a 的取值范
围吗？试一试。
3．小明、小华、小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组。
小明：它的所有解为非负数。
小华：其中一个不等式的解集为 x ≤
8。
小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向。
请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组。
4．已知两根木条的长分别为 3 dm，7 dm，现再选一根木条，用这三根木条围
成一个三角形木架，请写出所选木条的长度应满足的不等式组，并写出它
的解集。
联系拓广
※5．已知不等式组
2x
- a
＜
1，
x
- 2b
＞
3
的解集为
-
1
＜
x
＜
1，则（a
+
1）（b
-
1）的值等于多少？
习题 10.5.2
113
第十章
不等式与不等式组
尝试·思考
是否存在实数 x，使得 x + 3＜5且 2x
- 1＞11？你能得到什么结论？
解不等式组
x
+ 3＜5，
①
2x
- 1＞11。
②
解不等式
①，得
x＜2。
解不等式
②，得
x＞6。
在同一条数轴上表示不等式 ① ② 的解集，如图 10-13
所示。
不等式 ① ② 的解集没有公共部分，这时我们说原不等式组无解。
例4 求不等式 2≤3x - 1
4
＜5 的整数解。
解：原不等式可化为不等式组
3x - 1
4
≥
2，
①
3x - 1
4
＜
5。
②
解不等式 ①，得
x ≥ 3。
解不等式 ②，得
x ＜ 7。
因此，不等式组的解集为
3 ≤
x ＜
7。
因此，原不等式的整数解为 3，4，5，6。
0 1 2 3 4 5 6
图 10-13
114
数 学
七年级 下册
随堂练习
1．如果不等式组
x ＞ a，
x ＜ b
无解，那么 a，b 的大小关系是 _______ 。
2．解下列不等式组：
（1）
x
- 3
＜
- 6，
- 3x
＜
6；
（2）
x + 4
2
＞
2，
x + 2
2
＜
x
+ 3
3 。
3．求不等式 - 2 ≤ 2 - 3x
2
＜ 5 的整数解。
知识技能
1．填表：
不等式组
x
- 2＜0，
x
+ 1＞0
x
- 2＜0，
x
+ 1＜0
x
- 2＞0，
x
+ 1＞0
x
- 2＞0，
x
+ 1＜0
解集
2．解下列不等式组：
（1）
3（x
- 1）- 1
≤
x，
2（4.5
- x）≤
3
- x；
（2）
5x
- 2
＜
3（x
+ 1），
1
2 x
- 1
≥
7
- 3
2 x。
3．解下列不等式：
（1）- 1
＜
3
2 x
- 13
＜
2；
（2）1
2
≤
1 - 0.6x
- 3
≤
2
3 。
联系拓广
4．一个三角形三边的长度为三个连续的自然数，若周长大于 24 cm 而小
于 30 cm，求这个三角形最长边的长。
※5．如果一元一次不等式组
2x
- 3
≥
x，
x
≤
m
无解，求
m
的取值范围。
习题 10.5.3
115
第十章
不等式与不等式组
回顾与思考
1．不等式有哪些基本性质？它与等式的基本性质有什么异同？
2．解一元一次不等式与解一元一次方程有什么异同？
3．举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集。
4．回顾本章学习过程，你是怎样利用一元一次不等式解决实际问题
的？与同伴进行交流。
5．举例说明不等式、函数、方程之间的联系。
6．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
知识技能
1．在不等式 ax + b ＞ 0 中，a，b 是常数，且 a ≠ 0。当
时，不等式
的解集是 x ＞ -
a
b；当
时，不等式的解集是 x ＜ -
a
b。
2．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）2x + 3＜- 1；
（2）- 2x + 1＜x + 4；
（3）2（-3 + x）- 3（x + 2）＜0；
（4）2
x ≥1+
3
x - 1；
（5）
3
2x + 1 ≤-
2
x + 5；
（6）x +
2
x +
3
x ＞11；
（7）
7
7x + 5 - 2 ＞2（x + 1）；
（8）
4
1 + 2x -
10
1 - 3x ＞ -
5
1。
3．根据下列条件分别列不等式（组）：
（1）x + 1 是负数；
（2）x 的 2 倍与 - 3 的差小于零；
（3）a 的 5 倍与 3 的差不小于 10，且不大于 20。
复习题
116
数 学
七年级 下册
4．解下列不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）-5＜2x + 1＜6；
（2）-2 ＜ 1 -
5
1 x ＜
5
3；
（3）
8x + 5＞9x + 6，
2x - 1＜7；
（4）
2x + 3≤5，
3x - 2≥4。
5．已知函数 y = 3x + 5。
（1）当 x 取哪些值时，y＞0？
（2）当 x 取什么值时，y = 0？
（3）当 x 取哪些值时，y ＜0？
6．求不等式 5（x - 2）≤28 + 2 x 的正整数解。
7．解下列不等式组：
（1）
3
2x - 1 -
2
5x + 1 ≤1，
5x - 1＜3（x + 1）；
（2）
2x - 7＜3（x - 1），
3
4 x + 3≥1-
3
2 x。
8．判断正误：
（1）由 2a＞3，得 a＞2
3 ；
（ ）
（2）由 2 - a＜0，得 2＜a；
（ ）
（3）由 a＜b，得 2a＜2b；
（ ）
（4）由 a＞b，得 a + m＞b + m；
（ ）
（5）由 a＞b，得 -3a＞-3b；
（ ）
（6）由 -
2
1 ＞- 1，得-
2
a＞- a。
（ ）
9．a，b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：
（第 9 题）
用“＜”或“＞”填空：
（1）a
b；
（2）| a |
| b |； （3）a + b
0；
（4）a - b
0； （5）a + b
a - b； （6）ab
a。
117
第十章
不等式与不等式组
※10．如果不等式组 x + 8＜4x - 1，
x ＞ m
的解集是 x ＞ 3，那么 m 的取值范围是
（ ）。
（A）m≥3 （B）m≤3 （C）m = 3 （D）m＜3
问题解决
11．暑假期间，两位老师计划带领若干名学生参加社会实践活动，他们联系了
报价均为每人 500 元的甲、乙两家旅行社。经协商，甲旅行社的优惠条件
是：两位老师全额收费，学生都按七折收费。乙旅行社的优惠条件是：
老师、学生都按八折收费。假设这两位老师带领 x 名学生参加社会实践活
动，他们应该选择哪家旅行社？
12．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 5%，假设不
计超市其他费用。
（1）如果超市在进价的基础上提高 5% 作为售价，那么请你通过计算说明
超市是否亏本；
（2）如果超市至少要获得 20% 的利润，那么这批水果的售价最低应提高
百分之几？（结果精确到 0.1%）
13．已知关于 x 的方程 3 x + a = x - 7 的根是正数，求实数 a 的取值范围。
14．某工厂要生产 A，B 两种零件共 150 个，A，B 两种零件的生产成本分别为
1 500 元/个和 3 000 元/个。现要求 B 种零件个数不少于 A 种零件个数的 2
倍，那么生产 A 种零件多少个时，可使生产成本最少？
15．用若干辆载质量为 8 t 的汽车运送一批货物，若每辆汽车只装 4 t，则剩下
20 t 货物；若每辆汽车装满 8 t，则最后一辆汽车不满也不空。有多少辆汽
车运送这批货物？
16．通过本章的学习，你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间
的关系有什么感悟？请以此为主题借助实例写一篇小短文。
118
数 学
七年级 下册
联系拓广
17. （1）用“＜”“＞”或“=”填空：
52 + 32
2×5×3；
32 + 32
2×3×3；
（-3）2 + 22
2×（-3）×2；
（-4）2 +（-4）2
2×（-4）×（-4）。
（2）观察（1）中各式，你发现它们有什么规律吗？你能用一个含有字母
a，b 的式子表示上述规律吗？再换几个数试一试。
※（3）运用你所学的知识说明你在（2）中发现的规律的正确性。
18．如图，一次函数 y1
= x + b 与一次函数 y2
= kx + 4 的
图象交于点 P，已知一次函数 y1
= x + b 的图象经
过点（0，2），一次函数 y2
= kx + 4 的图象经过点
（4，0）。求交点 P 的坐标。
19．你知道不等号的由来吗？请查阅资料，写一篇小短文
介绍你了解到的信息。
y
P
O
x
y2
= kx + 4
y1
= x + b
（第 18 题）
我们曾经探索过三角形的一些性质，如三角形三个内角的
和等于180°、等腰三角形“三线合一”的性质等。你还记得这
些结论的探索过程吗？你能根据已有的基本事实和定理证明这
些结论吗？
本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明：三角形
内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三角形的性质定理和判
定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研
究直角三角形全等的特殊判定方法。在这一过程中，你将深化对
几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论据、合乎
逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。
第十一章
三角形的证明及其应用
在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题：
一个几何命题被提出来的过程对证明它有什么帮助？
在证明一个几何命题时，如何获得证明思路？
120
数 学
七年级 下册
在“证明”一章中，我们给出了
8
条基本事实，并从其中的几条基本事实
出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、
定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
尝试·思考
我们知道，三角形三个内角的和等于
180°。你还记得这个结论的探索过
程吗？
（1）如图
11-1，当时，我们是把
∠A
撕下后移到
∠1
的位置，推出
b
与
a
平行，通过以
C
为顶点的三个角的和是
180°探索出这个结论的。如果不撕下
∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？
（2）你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴
进行交流。
已知：如图
11-2，△ABC
是任意一个三角形。
求证：∠A
+∠B
+∠C
= 180°。
证明：如图
11-3，延长
BC
到
D，过点
C
作射线
CE，使CE∥BA，则
∠1
=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2
=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵ 点
B，C，D
在同一条直线上，
三角形内角和定理
1
图
11-2
图
11-1
121
第十一章
三角形的证明及其应用
∴ ∠1
+∠2
+∠ACB
= 180°（平角的定义）。
∴ ∠A
+∠B
+∠ACB
= 180°（等量代换）。
这里的
CD，CE
称为辅助线。辅助线
通常画成虚线。
图
11-3
思考·交流
（1）如图
11-4，在证明三角形内角和定理时，小明的
想法是把三个内角“凑”到点
A
处，过点
A
作直线
P ，
使
P
∥BC，他的想法可行吗？如果可行，你能写出证
明过程吗？与同伴进行交流。
（2）对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法
吗？与同伴进行交流。
例1 如图
11-5，在
△ABC
中，∠B
= 38°，∠C
= 62°，AD
是△ABC
的角平分
线，求∠ADB
的度数。
解：在
△ABC
中，
∠B
+∠C
+∠BAC
= 180°（三角形内角和定
理）。
∵ ∠B
= 38°，∠C
= 62°（已知），
∴ ∠BAC
= 180°- 38°- 62°= 80°（等式的性质）。
∵ AD
平分
∠BAC（已知），
∴ ∠BAD
= 1
2∠BAC
= 1
2×80° = 40°（角平分线的定义）。
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°。
图
11-4
图
11-5
122
数 学
七年级 下册
在△ADB
中，
∠B
+ ∠BAD
+ ∠ADB
= 180°（三角形内角和定理）。
∵ ∠B
= 38°（已知），∠BAD
= 40°（已求），
∴ ∠ADB
= 180°- 38°- 40°= 102°（等式的性质）。
随堂练习
1．证明：直角三角形的两锐角互余。
2．已知：如图，在△A B C 中，∠A
=
60°，
∠C = 70°，点
D，E 分别在边
AB 和
AC 上，
且
DE∥BC。
求证：∠ADE = 50°。
（第 2 题）
A
D
E
C
B
知识技能
1．根据下列条件，求∠A，∠B
和∠C
的度数。
（第
1
题）
（1）
（2）
（3）
∠B
=∠C，
∠A=∠B
- 30°
∠B = 2∠C - 6°，
∠A =∠B +∠C
∠A∶∠B∶∠C = 4∶3∶2
习题 11.1.1
2．证明：有两个角互余的三角形是直角三角形。
123
第十一章
三角形的证明及其应用
3．已知：如图，在
Rt△ABC
中，∠ACB = 90°，CD⊥ AB，垂足为
D。
求证：∠A =∠DCB。
A
C
D
B
（第 3 题）
A
D
C
B
（第 4 题）
4．已知：如图，四边形
ABCD
是任意一个四边形。
求证：∠A +∠B +∠C +∠D = 360°。
本题实际上证明了结论：四边形的内角和等于
360°。
问题解决
5．如图，AD，AE
分别是△ABC
的角平分线和高。
（1）已知∠B
= 40°，∠C
= 60°，求∠DAE
的度
数。你还能求出哪些角的度数？
（2）∠DAE
与∠B，∠C
有怎样的关系？为什么？
联系拓广
6．在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到 BC 边上
的一点 P 处［如图（1）］？如果把三个角“凑”到三角形内的一点 P 处呢
［如图（2）］？如果“凑”到三角形外的一点 P 处呢［如图（3）］？你还
能想出其他证法吗？试一试。
（1）
（2）
（3）
A
R
B
P
C
B
M
T
C
R
N
A
S
P
B
C
R
A
N
S
M
T
P
（第 6 题）
（第
5
题）
124
数 学
七年级 下册
△ABC
内角的一条边与另一条边的反向延长线
组成的角，称为
△ABC
的外角。如图
11-6，∠1
是
△ABC
的一个外角。试在图中画出
△ABC
的其他
外角。
思考·交流
观察图
11-6，∠1
与其他角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行
交流。
由三角形内角和定理，可以得到
推论
1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论
2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
由此可得
我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新结论。像这样，由一个基本
事实或定理直接推出的真命题，叫作这个基本事实或定理的推论（corollary）。
推论可以当作定理使用。
例2 已知：如图
11-7，在
△ABC 中，∠B =∠C，AD
平分外角∠EAC。
求证：AD∥BC。
分析：只要具备什么条件，就能说明
AD∥BC？
证明：∵ ∠EAC 为
△ABC
的一个外角，
∴ ∠EAC =∠B +∠C（三角形的一个外角
等于和它不相邻的两个内角的和）。
∵ ∠B =∠C（已知），
∴ ∠C = 1
2∠EAC（等式的基本性质）。
E
D
A
B
C
图
11-7
图
11-6
125
第十一章
三角形的证明及其应用
∵ AD 平分∠EAC（已知），
∴ ∠DAC = 1
2∠EAC（角平分线的定义）。
∴ ∠DAC =∠C（等量代换）。
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）。
尝试·思考
对于例
2，你还有其他证明方法吗？请自己试一试。
例3 已知：如图
11-8，∠BAF，∠CBD，
∠ACE 是△ABC 的三个外角。
求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°。
证明：∵ ∠BAF
是△ABC
的一个外角
（已知），
∴ ∠BAF =∠2 +∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和）。
同理：∠CBD =∠1 +∠3，∠ACE =∠1 +∠2。
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 2（∠1 +∠2 +∠3）（等式的基本性质）。
∵ ∠1 +∠2 +∠3 = 180°（三角形内角和定理），
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 2×180°= 360°（等量代换）。
F
A
B
D
C
E
1
2
3
图
11-8
随堂练习
1．如图，在△ABC 中，∠A = 45°，外角∠ACD
= 100°。求∠B
和∠ACB 的
度数。
A
B
C
D
（第
1
题）
A
C
E
D
B
（第
2
题）
2．如图，填空：
（1）∠ADE
=∠B
+∠
；∠ADB
=∠C +∠
= ∠AED +∠
。
126
数 学
七年级 下册
（2）用“＜”或“＞”填空：
∠AEC
∠ADE；∠AEC
∠B。
知识技能
1．如图，在△ABC
中，∠A = 2∠B，外角∠ACD = 150°，求∠B
的度数。
A
B
E
C
D
（第
2
题）
2．如图，在△ABC
中，∠B = 40°，AE
是∠BAC 的平分线，外角∠ACD = 110°。
求∠AEC
的度数。
问题解决
3．如图，已知点
D，E
分别在
A C，A B
上，如果
∠B =∠C，那么除对顶角外，图中还有哪些角分
别相等？证明你的结论。
（第
3
题）
A
E
D
C
B
已知：如图
11-9，五角星形的顶角分别是∠A，
∠B，∠C，∠D，∠E。
求证：∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°。
证明：∵ ∠AFG 是△FCE 的一个外角（外角
的定义），
∴ ∠AFG =∠C +∠E（三角形的一个外角等于
和它不相邻的两个内角的和）。
B
F
A
G
E
D
C
图
11-9
知识技能
习题 11.1.2
A
D
C
B
（第
1
题）
127
第十一章
三角形的证明及其应用
同理：∠AGF =∠B +∠D。
∵ 在△AFG 中，∠A +∠AFG +∠AGF = 180°（三角形内角和定理），
∴ ∠A +∠C +∠E +∠B +∠D = 180°（等量代换）。
由此可知，五角星形五个顶角的和等于
180°。
思考·交流
在证明五角星形五个顶角的和等于
180° 时，小明想通过连接
CD，把五个
角“凑”到△ACD
内。他的想法可行吗？与同伴进行交流。
例4 已知：如图
11-10，在
△ABC
中，∠1
是它的一个外角，E
为边
AC
上
的一点，延长
BC
到点
D，连接
DE。
求证：∠1
＞∠2。
证明：∵ ∠1
是 △ABC
的一个外角（已知），
∴ ∠1＞∠3（三角形的一个外角大于任何一个
和它不相邻的内角）。
∵ ∠3
是△CDE
的一个外角（外角的定义），
∴ ∠3
＞∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。
∴ ∠1
＞∠2。
随堂练习
1．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角，过点
D 作
直线，分别交
AC 和
AB 于点
E，H。下列哪个
结论一定不正确？
（1）∠B ＞∠ACD；
（2）∠B +∠ACB = 180°-∠A；
（3）∠B +∠ACB ＜180°；
（4）∠HEC ＞∠B。
2．已知：如图，AB∥CD，点
E 在
AC 上。
求证：∠A =∠CED +∠D。
A
H
E
B
C
D
（第
1
题）
D
C
F
A
B
E
2
5
3
1
4
图
11-10
A
B
D
E
C
（第
2
题）
128
数 学
七年级 下册
2．如图，在△ABC
中，BF 平分∠ABC，CF
平分∠ACB，∠A = 65°，求∠F
的
度数。
联系拓广
3．如图（1），点
D
在∠BAC
内部。
求证：（1）∠BDC ＞∠A；
（2）∠BDC =∠B +∠C +∠A。
知识技能
1．已知：如图，D
是△ABC
的边
BC
上的一点，∠DAC =∠B。
求证：∠ADC =∠BAC。
※如图（2），如果点
D
在∠BAC
内部，且在线段
BC
的另一侧，又会有怎样
的结论？
（第
3
题）
（1）
（2）
B
D
C
A
习题 11.1.3
A
B
D
C
（第
1
题）
（第
2
题）
129
第十一章
三角形的证明及其应用
我们曾经探索过两个三角形全等的条件，你还记得有关全等三角形的
基本事实有哪些吗？
基本事实：
的两个三角形全等。（SAS）
基本事实：
的两个三角形全等。（ASA）
基本事实：
的两个三角形全等。（SSS）
由上面的基本事实，可以证明许多几何结论。
尝试·思考
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形
全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经证明过的定理证明它吗？
已知：如图
11-11，在△ABC 和△A′B′C′中，∠B =∠B′，∠C =∠C′，
AB = A′B′。
求证：△ABC ≌ △A′B′C′。
证明：∵ ∠A +∠B +∠C = 180°，
∠A′+∠B′+∠C′= 180°，
∴ ∠A = 180°-∠B -∠C，
∠A′= 180°-∠B′-∠C′。
∵ ∠B =∠B′，∠C =∠C′，
∴ ∠A =∠A′。
在△ABC 和△A′B′C′中，
∵ ∠A =∠A′，AB = A′B′，∠B =∠B′，
∴ △ABC ≌△A′B′C′（ASA）。
图
11-11
全等三角形
2
130
数 学
七年级 下册
由此可以得到下面的定理：
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
例1 已知：如图
11-12，线段
AB
和
CD
相交于点
O，线
段
OA = OD，OC = OB。
求证：AC = BD，∠A =∠D。
证明：在△OAC
和△ODB
中，
∵ OA = OD，
∠AOC =∠DOB，
OC = OB，
∴ △OAC ≌△ODB（SAS）。
∴ AC = BD，∠A =∠D（全等三角形的对应边相等，对应角相等）。
图
11-12
B
C
A
D
O
随堂练习
1．已知：如图，M
是线段
AB
的中点，∠C =∠D，∠1 =∠2。
求证：△AMC ≌△BMD。
2．已知：如图，AB
与
CD
相交于点
O，△AOC ≌△DOB。
求证：△ABD ≌△DCA。
3．如图，已知
AB = 3，AB∥CD，∠B =∠D，求
CD
的长。
（第
1
题）
（第
2
题）
B
C
A
D
O
A
D
C
B
（第
3
题）
1
2
A
M
B
C
D
131
第十一章
三角形的证明及其应用
例2 已知：如图
11-13，点
B
在∠EAF
的内部，C，D
两点分别在∠EAF
的
两边上，且∠1
=∠2，∠3
=∠4。
求证：AC
= AD。
证明：∵ ∠3 是△ABC
的一个外角，
∠4 是△ABD
的一个外角，
∴ ∠3 =∠1 +∠5，∠4 =∠2 +∠6。
∴ ∠5 =∠3 -∠1，∠6 =∠4 -∠2。
∵ ∠3 =∠4，∠1 =∠2，
∴ ∠5 =∠6。
知识技能
1．已知：如图，∠ACB
=∠DBC，AC
=
DB。
求证：∠A
=∠D，AB
=
DC。
2．已知：如图，在四边形
ABCD
中，
AC
平分∠BAD，AB
=
AD。
求证：AC
平分∠BCD。
（2）已知：如图，AE 和
CD
相交于点
O，∠ADO =∠CEO = 90°。要证明
△AOD
≌
△COE，只需再增添一个条件：
=
，
或
=
，或
=
。
3
5
6
4
2
1
图
11-13
问题解决
3．（1）已知：如图，AB
=
DE，AC
=
DF。要证明△ABC
≌
△DEF，只需再
增添一个条件：
=
，或
=
；
A
B
C
D
E
F
［第 3（1）题］
［第 3（2）题］
习题 11.2.1
（第
1
题）
B
C
A
O
D
（第
2
题）
A
B
C
D
C
A
B
C
D
E
O
132
数 学
七年级 下册
在△ABC 和△ABD 中，
∵ ∠5 =∠6，AB = AB，∠1 =∠2，
∴ △ABC
≌△ABD（ASA）。
∴ AC
= AD（全等三角形的对应边相等）。
例3 已知：如图
11-14，AB
= CD，AB∥CD，CE
= AF。
求证：∠E
=∠F。
证明：∵ CE
= AF，
∴ AC
+ CE = AC + AF，
即 AE = CF。
∵ AB∥CD，
∴ ∠BAE
=∠DCF。
在
△ABE
和
△CDF
中，
∵ AE
= CF，∠BAE
=∠DCF，AB
= CD，
∴ △ABE
≌△CDF（SAS）。
∴ ∠E
=∠F（全等三角形的对应角相等）。
随堂练习
1．已知：如图，AB = AD，AF = AG，BF = DG。
求证：∠BAG =∠DAF。
2．已知：如图，在△ABC 中，点
D，E，F 分别在边
BC，AC，AB 上，
BF = DE，DE∥AB，DF∥AC。
求证：D 为
BC 的中点。
（第 1 题）
（第 2 题）
图
11-14
你还有其他
证明方法吗？
133
第十一章
三角形的证明及其应用
知识技能
1．已知：如图，点
E，F
在线段
BC
上，BF
= CE，∠AEB
= ∠DFC，∠B
=∠C。
求证：△ABE ≌△DCF。
2．已知：如图，AB = AC，∠D =∠E，∠1 =∠2。
求证：△ABD ≌△ACE。
3．已知：如图，AB = AD，BC = DC。
求证：∠B =∠D。
（第 1 题）
1
2
（第 2 题）
B
A
D
C
（第 3 题）
例4 已知：如图
11-15，△ABC ≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC
和
△A′B′C′的高。
求证：AD = A′D′。
证明：∵ △ABC ≌△A′B′C′，
∴ AB = A′B′（全等三角形的对应边相等），
图 11-15
习题 11.2.2
134
数 学
七年级 下册
∠B =∠B′（全等三角形的对应角相等）。
∵ AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，
∴ ∠ADB =∠A′D′B′= 90°。
∴ △ABD ≌△A′B′D′
（AAS）。
∴ AD = A′D′
（全等三角形的对应边相等）。
思考·交流
（1）如果两个全等三角形对应边上的高在三角形的外部，你还能得到上
面的结论吗？
（2）如果两个全等三角形对应边上的高就是该三角形的一条边呢？
（3）通过例
4
和上面的两个问题，你能得到什么结论？与同伴进行交流。
例5 已知：如图
11-16，AB
= CD，BE
= DF，∠B
=∠D，点
B，D，E，
F
在同一条直线上。
求证：（1）AE
= CF；
（2）AE∥CF；
（3）∠AFE =∠CEF。
证明：（1）在
△ABE
和△CDF
中，
∵ AB
=
CD，∠B
=∠D，BE
=
DF，
∴ △ABE
≌△CDF（SAS）。
∴ AE = CF（全等三角形的对应边相等）。
（2）∵ △ABE ≌△CDF，
∴ ∠AEB =∠CFD（全等三角形的对应角相等）。
∵ 点
B，D，E，F
在同一条直线上，
∴ AE∥CF。
（3）在△AEF 和△CFE 中，
∵ AE = CF，∠AEF =∠CFE，EF = FE，
∴ △AEF ≌△CFE（SAS）。
∴ ∠AFE =∠CEF（全等三角形的对应角相等）。
要证明两条线段（或两
个角）相等，可以通过证明
这两条线段（或两个角）所
在的两个三角形全等。
图
11-16
135
第十一章
三角形的证明及其应用
随堂练习
知识技能
1．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′
中，AD，A′D′
分别是△ABC 和△A′B′C′
的中线，AB = A′B′，BC = B′C′，AD = A′D′。
求证：（1）∠B =∠B′；（2）△ABC ≌△A′B′C′。
1．已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC 和
△A′B′C′的角平分线。
求证：AD
=
A′D′。
（第 1 题）
2．已知：如图，AB =
AC，点
D，E
分别在边
AC，AB上，
AD
=
AE，BD
和
CE
相交于点
F。
求证：（1）∠B =∠C；
（2）△BEF ≌△CDF；
（3）BF = CF。
（第 2 题）
知识技能
习题 11.2.3
（第 1 题）
（第
2
题）
2．已知：如图，AB∥CD，AD
和
BC
相交于点
O，EF
过点
O，分别与边
AB，
CD
相交于点 F，E，AB = CD。
求证：（1）OC = OB；（2）OE = OF。
136
数 学
七年级 下册
还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？请你利用已有的基本事实和定
理证明这些结论，并与同伴进行交流。
已知：如图
11-17，在
△ABC
中，AB
= AC。
求证：∠B
=∠C。
分析：有哪些结论可以证明两个角相等？如图
11-18，还记得利用折纸的
方法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？
证明：如图
11-19，取
BC
的中点
D，连接
AD。
∵ AB
= AC，BD
= CD，AD
= AD，
∴ △ABD
≌
△ACD（SSS）。
∴ ∠B
=∠C（全等三角形的对应角相等）。
定理 等腰三角形的两底角相等。
这一定理可以简述为：等边对等角。
等腰三角形
3
还有其他证
法吗？
图 11-18
图 11-17
图
11-19
137
第十一章
三角形的证明及其应用
思考·交流
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段
AD
还有哪些特征？为什
么？与同伴进行交流。
尝试·思考
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，
有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形。如
何证明这一结论呢？
如图
11-20，在△ABC
中，∠B
=∠C，要想证明
AB
=
AC，只要能构造两个全等的三角形，使
AB
与
AC
成为对应边就可以了。
请你写出证明过程。
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
这一定理可以简述为：等角对等边。
回顾·反思
回忆你以前探索等腰三角形性质的方法以及上述证明其性质的过程，你积
累了哪些研究图形性质的经验？
随堂练习
1．利用作等腰三角形顶角平分线的方法，证明等腰三角形的两底角
相等。
定理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
图
11-20
138
数 学
七年级 下册
2．根据等腰三角形性质定理填空：
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC。
（1）∵ AB = AC，AD⊥BC，
∴ ∠
=∠
，
=
；
（2）∵ AB = AC，AD 是底边上的中线，
∴
⊥
，∠
=∠
；
（3）∵ AB = AC，AD
是顶角的平分线，
∴
⊥
，
=
。
C
A
B
D
（第 2 题）
知识技能
1．如图，在△ABD 中，C 是边 BD 上的一点，且 AC⊥BD，
AC = BC = CD。
（1）求证：△ABD
是等腰三角形；
（2）求∠BAD 的度数。
2．如图，AC
和
BD
相交于点
O，且
AB∥DC，OA = OB。
求证：OC
=
OD。
问题解决
3．在△ABC 中，AB
= AC，AD⊥BC，垂足为 D。
（1）如图（1），E是线段
AD
上一点，连接
B E，C E。请找出图中所有相等的线
段、相等的角，并说明理由。
（2）如图（2），如果点
E
在线段
DA
的延长
线上，连接
BE，CE。找出图中所有相
等的线段、相等的角，并说明理由。
（3）从上述条件出发，你还可以提出哪些问题？
D
C
O
A
B
（第 2 题）
知识技能
习题 11.3.1
（第 1 题）
A
B
C
D
（第 3 题）
A
E
B
D
C
A
E
B
D
C
（1）
（2）
139
第十一章
三角形的证明及其应用
尝试·思考
在等腰三角形中作出两底角的平分线，这两个底角的平分线相等吗？你能
证明你的结论吗？
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等。
已知：如图
11-21，在△ABC
中，AB = AC，BD，CE
是
△ABC
的角平分线。
求证：BD = CE。
证明：∵ AB = AC，
∴ ∠ABC =∠ACB（等边对等角）。
∵ BD，CE
是△ABC 的角平分线，
∴ ∠DBC = 1
2∠ABC，∠ECB = 1
2∠ACB，
∴ ∠DBC =∠ECB。
在△BDC 和△CEB 中，
∵ ∠ACB =∠ABC，BC = CB，∠DBC =∠ECB，
∴ △BDC ≌△CEB（ASA）。
∴ BD = CE（全等三角形的对应边相等）。
4．如图，一艘轮船从
A
处出发，以
18 kn 1 的速度向正
北方向航行，经过
1.5 h 到达
B
处。分别从
A，B
处望
灯塔
C，测得∠NAC = 42°，∠NBC = 84°。求从
B
处
到灯塔
C
的距离。
图 11-21
（第 4 题）
42°
84°
北
构造全等三角
形是证明线段相等
的一种常用方法。
1 kn
是速度单位“节”的符号，一般只用于航行。1
节=1
海里/时=1.852
千米/时。
140
数 学
七年级 下册
思考·交流
等腰三角形两条腰上的中线相等吗？两条腰上的高呢？请证明你的结论，
并与同伴进行交流。
例2 已知：如图
11-22，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，AB
=
AC，AD
=
AE。
求证：BD = CE。
分析：在等腰三角形中，要证明线段相等，可以利用“等腰三角形顶角的
平分线、 底边上的中线及底边上的高重合”这一性质。
证明：作
AF⊥BC，垂足为
F，则
AF⊥DE。
∵ AB = AC，
∴ BF = CF（等腰三角形底边上的中线及底边上
的高重合）。
同理：∵ AD = AE，
∴ DF = EF 。
∴ BF - DF = CF - EF，
即 BD = CE。
图 11-22
随堂练习
1．已知：如图，D
是△ABC
内的一点，BD
平分∠ABC，CD
平分∠ACB，
且 BD = CD。
求证：AB = AC。
2．已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD∥BC，且∠1 =∠2。
求证：AB = AC。
1
2
（第 1 题）
（第 2 题）
141
第十一章
三角形的证明及其应用
知识技能
1．求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等。
2．已知：如图，AB = AC，DB = DC，AD
的延长线交
BC
于点
E。
求证：BE = CE。
3．已知：如图，AB = AC，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，∠ABD =∠ACE。
求证：（1）OB = OC；（2）BE = CD。
（第 2 题）
（第 3 题）
知识技能
习题 11.3.2
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条
件时是等边三角形？请证明你的结论，并与同伴进行交流。
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个角等于 60°
的等腰三角形是等边三角形。
尝试·思考
（1）用两个完全相同的含
30°角的三角板，你能拼成怎样的三角形？能拼
成一个等边三角形吗？
（2）在上述拼接过程中，你得出了什么结论？请证明你的结论。
142
数 学
七年级 下册
如图
11-23，两个完全相同的含
30°角的三角板，可
以拼成一个等边三角形。由此可以发现：30°角的对边等
于三角板斜边的一半。
已知：如图 11-24（1），在△ABC 中，∠ACB = 90°，
∠A = 30°。
求证：BC = 1
2
AB。
证明：如图
11-24（2），延长
BC
到点 D，使 CD = BC，连接 AD。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACD = 90°。
∵ AC = AC，∠ACB =∠ACD，BC = DC，
∴ △ABC ≌△ADC（SAS）。
∴ AB = AD（全等三角形的对应边相等），
∠BAC =∠DAC = 30°（全等三角形的对应角相等）。
∴ ∠BAD = 60°。
∴ △ABD 是等边三角形（有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形）。
∴ BC = 1
2
BD = 1
2
AB。
图
11-24
（1）
（2）
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边
等于斜边的一半。
图
11-23
143
第十一章
三角形的证明及其应用
例3 求证：如果等腰三角形的底角为
15°，那么腰上的高是腰长的一半。
已知：如图
11-25，在△ABC
中，AB
= AC，∠B
= 15°，CD
是腰
AB
上的高。
求证：CD
= 1
2
AB。
随堂练习
1．直角三角形的一个角等于
30°，斜边长为
4，用
四个这样的直角三角形拼成如图所示的正方形，
求正方形
EFGH 的边长。
2．证明：等边三角形的三个角都相等，并且每
个角都等于
60°。
（第 1 题）
A
D
C
B
E
H
G
F
证明：在
△ABC
中，
∵ AB
= AC，∠B
= 15°，
∴ ∠ACB
=∠B
= 15°（等边对等角）。
∵ ∠DAC
是△ABC
的一个外角，
∴ ∠DAC
=∠B
+∠ACB
= 15°+ 15°= 30°。
∵ CD
是腰
AB
上的高，
∴ ∠ADC
= 90°。
∴ CD
= 1
2
AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于
30°，那么它所对的
直角边等于斜边的一半）。
∴ CD
= 1
2
AB。
图
11-25
144
数 学
七年级 下册
知识技能
1．已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E。
求证：△ADE 是等边三角形。
（第 1 题）
问题解决
2．一个直角三角形屋架如图所示，其中 BC⊥AC，∠A = 30°，AB = 10 m，
CB1⊥AB，B1C1⊥AC，垂足分别为
B1，C1，那么
BC
的长是多少？B1C1
呢？
A
C1
C
B
B1
（第 2 题）
知识技能
习题 11.3.3
联系拓广
3．（1）如图，
△ABC
是等边三角形，过它的三个顶点
分别作对边的平行线，得到一个新的△DEF，
△DEF
是等边三角形吗？你还能找到其他的等
边三角形吗？点
A，B，C
分别是
EF，ED，FD
的中点吗？请证明你的结论。
（2）如果△DEF
是等边三角形，点
A，B，C
分别是
EF，ED，FD
的中点，那么△ABC
是等边三角
形吗？请证明你的结论。
（第
3
题）
145
第十一章
三角形的证明及其应用
例4 已知：如图
11-26，AB
= DC，BD
= CA，
BD
与
CA
相交于点
E。
求证：
△AED
是等腰三角形。
证明：∵ AB
= DC，BD
= CA，AD
= DA，
∴ △ABD
≌
△DCA（SSS）。
∴ ∠ADB
=∠DAC（全等三角形的对应角相等）。
∴ AE
= DE（等角对等边）。
∴ △AED
是等腰三角形。
尝试·思考
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也
不相等。你认为小明这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
小明是这样想的：
如图
11-27，在△ABC
中，已知
∠B≠∠C，此时
AB
与
AC
要么相等，要
么不相等。
假设
AB
= AC，那么根据定理“等
边对等角”可得∠C
= ∠B，这与已知条
件∠B
≠
∠C
相矛盾，因此
AB
≠
AC。
小明
你能理解他的推理过程吗？
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、
基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成
立。这种证明方法称为反证法（reduction to absurdity）。
反证法是一种重要的数学证明方法。在解决某些问题时，它常常会有出人
意料的作用。
图
11-26
图11-27
146
数 学
七年级 下册
思考·交流
a1，a2，a3，a4，a5 都是正数，且 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1，那么这五个数中
至少有一个大于或等于 1
5。
如何证明这一结论呢？
假设这五个数中没有一个大于或等于
1
5，即都小于
1
5，那么你能推出什么
结果？这一结果与已知条件是否矛盾？与同伴进行交流。
随堂练习
1．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交
AC 于
点
D，过点
D 作
BC 的平行线，交
AB 于点
E。
请判断△BDE 的形状，并说明理由。
2．一个三角形中最多有几个钝角？为什么？
A
D
C
B
E
（第 1 题）
阅读·思考
反证法
反证法是一种独特的证明方法，它的独特之处是否定命题的结论，并将
这个否定的结论作为证明的条件，结合命题原有的条件一起推出矛盾，从而使
命题获证。与运用其他方法证明一样，运用反证法证明时，推理的过程必须有
理有据。
反证法在日常生活和数学证明中应用非常广泛。例如，在本册《证明》
中曾经用反证法证明了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，在七年级
上册阅读材料“无理数的发现”中曾经用它说明边长为
1
的正方形的对角线长
（即2）不是有理数。
我们再看一个用反证法证明的例子。
证明：一个三角形中至多有一个直角。
已知：△ABC。
147
第十一章
三角形的证明及其应用
E
A
F
B
P
C
（第 1 题）
知识技能
1．已知：如图，在△ABC
中，AB
= AC，点
E 在
CA
的延长线
上，EP⊥BC，垂足为 P，EP 交 AB 于点 F。
求证：△AEF
是等腰三角形。
求证：∠A，∠B，∠C 中至多有一个直角。
证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个或三个直角，不妨设∠A =∠B = 90°，
则∠A +∠B +∠C = 90°+ 90°+∠C＞180°。
这与三角形内角和定理矛盾。故∠A =∠B = 90°不成立。
所以一个三角形中至多有一个直角。
试一试，你能用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”吗？
知识技能
习题 11.3.4
a
α
β
（1）
（2）
（第 2 题）
问题解决
2．（1）如图（1），已知∠α
和线段 a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一
个内角等于∠α，腰长等于 a；
（2）在（1）中，如果把∠α
变成图（2）中的∠β，其他条件不变呢？
联系拓广
※3．仿照小明的想法，用反证法证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，
那么这两条边所对的角也不相等。
148
数 学
七年级 下册
我们曾经利用割补图形的方法得到了勾股定理。实际上，利用基本事实和
已有定理，我们能够证明勾股定理。（有关证明过程参见本节“阅读·欣赏”）
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
尝试·思考
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的
办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论。你能用基本事实和已有定理证
明这一结论吗？
已知：如图 11-28（1），在 △ABC 中，AB2 + AC 2 = BC 2。
求证： △ABC 是直角三角形。
分析：要证明△ABC 是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里
的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？借助边的关系，你能构造一个直
角三角形，使它与△ABC 全等吗？
证明：如图 11-28（2），作 Rt△A′B′C′，使
∠A′ = 90°，A′B′ = AB，A′C′ = AC，
则 A′B′2 + A′C′2 = B′C′2（勾股定理）。
∵ AB2 + AC2 = BC2，
直角三角形
4
图 11-28
（1）
（2）
149
第十一章
三角形的证明及其应用
∴ BC2 = B′C′2。
∴ BC = B′C′。
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∵ AB = A′B′，AC = A′C′，BC = B′C′，
∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SSS）。
∴ ∠A = ∠A′ = 90°（全等三角形的对应角相等）。
因此， △ABC 是直角三角形。
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是直角三角形。
思考·交流
（1）观察上面两个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？与同伴
进行交流。
（2）观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
如果 a = b，那么 a2 = b2；
如果 a2 = b2，那么 a = b。
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流。
150
数 学
七年级 下册
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么这两个命题称为互逆命题。如果把其中一个命题称为原命题，那么另
一个命题就称为它的逆命题。
尝试·思考
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题
吗？它们都是真命题吗？
原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命
题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个
定理的逆定理。例如，本节课学习的第二个定理即为勾股定理的逆定理；
“两直线平行，内错角相等”是“内错角相等，两直线平行”的逆定理。
你还能举出一些例子吗？
随堂练习
1．在△ABC 中，已知∠A =∠B = 45°，BC = 3，求 AB 的长。
2．说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0。
3．已知：在△ABC 中，∠ACB = 90°，D 为边 AC 上的任意一点。
求证：BD2 + AC2 = CD2 + AB2。
151
第十一章
三角形的证明及其应用
阅读·欣赏
勾股定理的证明
利用教科书给出的基本事实和已有定理，我们可以证明勾股定理。
如图 11-29（1），在 △ABC 中，∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c。
如图 11-29（2），分别以 Rt△ABC 的三边为边作正方形 AHIB，ACDE，
CBFG。连接 EB，CH。过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N。
∵ EA = CA，∠EAB = ∠CAH = 90°+ ∠CAB， AB = AH，
∴ △EAB ≌ △CAH （SAS）。
又∵ S
正方形ACDE
= 2S△EAB，S 长方形AHNM
= 2S△CAH，
∴ b2 = S 长方形AHNM。
同理，a2 = S 长方形MNIB。
∴ c2 = a2 + b2。
以上是欧几里得在《原本》中证明勾股定理的大致过程。
勾股定理是数学史上非常重要的定理之一。两千多年来，人们对它进行了
大量的研究，给出了多达数百种的证明方法。如果你有兴趣，可查阅有关资
料，了解勾股定理的其他证明方法。
图 11-29
（2）
（1）
152
数 学
七年级 下册
知识技能
1．已知：在△ABC 中，AB = 13 cm，BC = 10 cm，BC 边上的中
线 AD = 12 cm。
求证：AB = AC。
2．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且
∠BAE = 25°，∠CDE
= 65°，AE
= 2，DE
= 3，求
AD
的长。
联系拓广
※3．命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角
边所对的锐角等于 30°”是真命题吗？如果是，请你证明它。
※4．如图（1），ABCD 是一张正方形纸片，E，F 分别为 AB，CD 的中点，沿过
点 D 的折痕将 A 角翻折，使得点 A 落在 EF 上的点 A′处［如图（2）］，折痕
交 AE 于点 G，那么∠ADG 等于多少度？你能证明你的结论吗？（提示：利
用第 3 题的结论。）
（第 2 题）
A
B
E
C
D
（第 4 题）
（1）
（2）
习题 11.4.1
153
第十一章
三角形的证明及其应用
a
c
图 11-30
（1）作直线 CN，过点 C 作直线 CN 的垂线 CM。
（2）在射线 CM 上截取 CB = a 。
（3）以点 B 为圆心，以线段 c 的长为半径作弧，
交射线 CN 于点 A 。
（4）连接 AB，得到 Rt△ABC。
把你作的三角形与小明作的三角形进行比较，它们一定全等吗？
M
C
N
M
B
A
C
N
M
B
C
N
M
B
A
C
N
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？如果其中
一组等边的对角都是直角呢？请你画一画，并与同伴进行交流。
尝试·交流
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？
（1）画出满足条件的直角三角形的草图。
（2）对照草图分析画直角三角形顶点的顺序。先画一画，再用尺规试一
试，并与同伴进行交流。
梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边，用
尺规作这个三角形”的方法和步骤。
如图 11-30，已知线段 a，c（a＜c），用尺规作 Rt△ABC，使∠C = 90°，
AB = c，BC = a。
小明的作法如下：
154
数 学
七年级 下册
可以发现：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。请你尝试
证明这一结论。
已知：如图 11-31，在 △ABC 与 △A′B′C′中，∠C =∠C′= 90°，AB = A′B′，
AC = A′C′。
求证：△ABC ≌△A′B′C′。
证明：在 △ABC 中，
∵ ∠C = 90°，
∴ AC2 + BC2 = AB2（勾股定理）。
∴ BC2 = AB2 - AC2。
同理，B′C′2 = A′B′2 - A′C′2。
∵ AB = A′B′，AC = A′C′，
∴ BC = B′C′。
在△ABC 和△A′B′C′中，
∵ AB = A′B′，AC = A′C′，BC = B′C′，
∴ △ABC ≌△A′B′C′（SSS）。
A
C
B
A'
C'
B'
图 11-31
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。
例1 如图 11-32，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度 AC 与右边梯
子水平方向的长度 DF 相等，两个梯子的倾斜角∠CBA 和∠EFD 的大小有什么关
系？请说明理由。
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
图 11-32
155
第十一章
三角形的证明及其应用
随堂练习
1．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角
形全等。
2．已知：如图，D 是△ABC 的边 BC 的中点，DE ⊥ AC，DF ⊥ AB，垂足
分别为 E，F，且 DE = DF。
求证：△ABC 是等腰三角形。
（第 2 题）
A
B
O
C
（第 3 题）
3．如图，两根长度均为 12 m 的绳子，一端系在旗杆上的 A 点，另一端
拉直后分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩到旗杆底部的距离相
等吗？请说明你的理由。
解：∠CBA + ∠EFD = 90°。理由如下：
根据题意，可知
∠BAC = ∠EDF = 90°，
BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△BAC ≌ Rt△EDF（HL）。
∴ ∠CBA = ∠DEF（全等三角形的对应角相等）。
∵ ∠DEF + ∠EFD = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴ ∠CBA + ∠EFD = 90°。
156
数 学
七年级 下册
知识技能
1．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）两边分别相等的两个直角三角形全等；
（2）一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等。
2．已知：如图，AB
= CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足
分别为
E，F，DE
= BF。
求证：（1）AE = CF；（2）AB∥CD。
（第 2 题）
（第 3 题）
3．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠ACB =∠A′C′B′= 90°，CD⊥AB，
C′D′⊥A′B′，垂足分别为 D，D′，并且 CD = C′D′，AC = A′C′。
求证：（1）∠A =∠A′；（2）AB = A′B′。
习题 11.4.2
问题解决
4．用三角板可以画角平分线：如图所示，
在已知∠AOB 的两边上分别取点 M，N，
使 OM = ON，再过点 M 画 OA 的垂线，过
点 N 画 OB 的垂线，两垂线交于点 P，那么
射线 OP 就是∠AOB 的平分线。请你证明这
一结论。
（第 4 题）
157
第十一章
三角形的证明及其应用
我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等。请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。
已知：如图 11-33，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的
任意一点。
求证：PA = PB。
分析：要想证明 PA = PB，只需证明
△PCA ≌△PCB。
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB = 90°。
在△PCA和△PCB中，
∵AC = BC，∠PCA =∠PCB，PC = PC，
∴△PCA ≌△PCB（SAS）。
∴PA = PB（全等三角形的对应边相等）。
图 11-33
如果点 P 与点 C 重
合，那么结论显然成立。
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
尝试·思考
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的
正确性。
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线
5
158
数 学
七年级 下册
例1 已知：如图 11-34，在△ABC 中，AB = AC，O 是
△ABC 内一点，且OB = OC。
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC。
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端
点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上。
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确
定一条直线）。
操作·交流
（1）用尺规作出线段 AB（图 11-35）的垂直平
分线。
（2）你能用本节课所学的定理说明其中的道理吗？与同伴进行交流。
还有其他证
法吗？
A
B
图 11-35
随堂练习
1．如图，已知 AB 是线段 CD 的垂直平分线，E 是 AB 上的一点。如
果 EC = 7 cm，那么 ED =
cm；如果∠ECD = 60°，那么
∠EDC =
°。
2．已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线，C，D 是 MN 上的两点，且不在
AB 上。
求证：（1）△ABC，△ABD 是等腰三角形；
（2）∠CAD
=∠CBD。
（第 1 题）
图 11-34
159
第十一章
三角形的证明及其应用
知识技能
1．如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，
AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，连
接 AF，求∠AFC 的度数。
问题解决
2．在以线段 AB 为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么
共同特征？
3．如图，A，B 表示两个仓库，要在 A，B 一侧的河岸边建造一个码头，使它
到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？
B
F
C
A
E
（第 1 题）
（第 3 题）
（第 4 题）
4．如图，在△ABC 中，已知 AC = 27，BC = 23，AB 的垂直平分线交 AB 于
点 D，交 AC 于点 E，求△BCE 的周长。
联系拓广
5．已知直线 l 和 l 上一点 P，利用尺规作直线 l 的垂线，使它经过点 P。
习题 11.5.1
160
数 学
七年级 下册
已知：如图 11-36，在△ABC 中，边 AB，BC 的
垂直平分线相交于点 P。
求证：点 P 在边 A C 的垂直平分线上，
且 PA = PB = PC。
分析：已知两条垂直平分线的交点，可以得到
哪些相等的线段？要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线
上，需要什么条件?
证明：∵ 点 P 在边 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）。
同理，PB = PC。
∴ PA = PB = PC。
∴ 点 P 在边 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点在这
条线段的垂直平分线上）。
尝试·思考
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角
形吗？如果能，能画几个？所画出的三角形都全等吗？
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的
等腰三角形吗？能作几个？
要想证明三条直线相交于一
点，只要能证明其中两条直线的
交点在另一条直线上即可。
图 11-36
例2 求证： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个
顶点的距离相等。
161
第十一章
三角形的证明及其应用
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。
已知：线段a，h，如图 11-37（1）。
求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h。
作法：
（1）作线段 BC，使 BC = a，如图 11-37（2）。
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D。
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h。
（4）连接 AB，AC。
△ABC 就是所要作的等腰三角形。
思考·交流
还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线
的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，
还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。
梳理上述作图过程，请你总结出“过直线外一点，用尺规作已知直线的垂
线”的方法和步骤。
如图 11-38，已知直线 l 和 l 外一点 P，
用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P。
具体作法如下：
作法
图形
（1）任取一点 ，使点
与点 P 在直线 l 两旁。
（2）以点 P 为圆心，以 P
的长为半径画弧，
交直线 l 于点 A 和点 B。
（3）分别以点 A，B 为圆心，以大于1
2
AB 的长
为半径画弧，两弧交于点 C。
（4）作直线 PC。
直线 PC 就是所要作的垂线。
图 11-38
图 11-37
（1）
a
h
（2）
l
C
D
B
A
162
数 学
七年级 下册
随堂练习
1．如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC＞90°，AB 的垂直平分线交 BC 于
点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 F。请找出图中相等的线段，并求
△AEF 的周长。
A
B
E
F
C
（第 1 题）
2．为筹办一场大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心。在选
址过程中，有人建议该体育中心所在位置到该市的三个城镇中心（图
中以 P，，R 表示）的距离应相等。
（1）根据上述建议，试在图（1）中画出体育中心 G 的位置；
（2）如果这三个城镇中心的位置如图（2）所示，∠RP
是一个钝
角，那么根据上述建议，体育中心 G 应建在什么位置？
（3）你对上述建议有何评论？你对选址有什么建议？
（1）
（2）
（第 2 题）
P
P
R
R
163
第十一章
三角形的证明及其应用
知识技能
1．已知线段 a，求作以 a 为底、以 1
2 a 为高的等腰三角形。
这个等腰三角形有什么特征？
2．已知：如图，在△ABC 中，AB = BC，∠B = 120°，AB 的垂直平分线交 AC 于
点 D。
求证：AD = 1
2
DC。
（第 2 题）
（第 3 题）
3．已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线
交 AB 于点 F，交 BC 的延长线于点 E，连接 AE，DF。
求证：（1）∠EAD =∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC =∠B。
4．如图，在△ABC 中，AB = AC，AB ＞ BC，完成下列尺规作图：
（1）作 AC 边上的高 BD；
（2）作△ACE，使△ACE ≌ △ABD，且点 E 在 AB 边上。
（第 1 题）
习题 11.5.2
（第 4 题）
164
数 学
七年级 下册
问题解决
5．如图，某市三个城镇中心 A，B，C 恰好分别位于一个等边三角形的三个顶
点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇中心 A 为出发点设计了
三种连接方案：
（1）AB + BC；
（2）AD + BC（D 为 BC 的中点）；
（3）OA + OB + OC（O 为△ABC 三边的垂直平分线的交点）。
要使铺设的光缆长度最短，应选哪种方案？
我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等。请你尝试证明这一结论，并与同伴进行交流。
已知：如图 11-39，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E。
求证：PD = PE。
证明：∵ OC 是∠AOB 的平分线，
∴ ∠1 =∠2。
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
图 11-39
1
2
C
A
D
P
B
E
O
角平分线
6
（第 5 题）
（1）
（2）
（3）
165
第十一章
三角形的证明及其应用
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
尝试·思考
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请你证明自己结论的
正确性。
已知：如图 11-40，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
为 D，E，且PD = PE。
求证：OP 平分∠AOB。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠ODP = ∠OEP = 90°。
在 Rt△DOP 和 Rt△EOP 中，
∵ PD = PE，OP = OP，
∴ Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）。
∴ ∠1 = ∠2（全等三角形的对应角相等）。
∴ OP 平分∠AOB。
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°。
在△PDO 和△PEO 中，
∵ ∠PDO =∠PEO，
∠1 =∠2，
OP = OP，
∴ △PDO ≌△PEO（AAS）。
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）。
图 11-40
166
数 学
七年级 下册
图 11-41
A
E
F
C
D
B
例1 如图 11-41，在△ABC 中，∠BAC = 60°，点 D 在
BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，
F，且 DE = DF，求 DE 的长。
解：∵ DE⊥ AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，
且 DE = DF，
∴ 点 D 在∠BAC 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的
点在这个角的平分线上），
即 AD 平分∠BAC。
∵ ∠BAC = 60°，
∴ ∠BAD = 30°。
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = 1
2
AD = 1
2 ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那
么它所对的直角边等于斜边的一半）。
随堂练习
1．如图，AD，AE 分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，它们有什
么位置关系？
2．如图，一目标在 A 区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处
500 m，请你在图中标出它的位置（比例尺为 1∶20 000）。
（第 1 题）
（第 2 题）
167
第十一章
三角形的证明及其应用
知识技能
1．画一个等腰直角三角形，在它的斜边上求作一点，使它到两条直角边的
距离相等（不写画法）。这一点到直角边的距离与直角边长有什么关系？
这一点到三个顶点的距离之间有什么关系？证明你
的结论。
2．已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，
BD = CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F。
求证：EB = FC。
问题解决
3．如图，在△A B C 中，点D 在B C 上，D E⊥A B，
DF⊥AC，垂足分别为 E，F，连接 AD，EF。当 AD
与 EF 满足什么条件时，AD 是△ABC 的角平分线？
为什么？
联系拓广
4．如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，作 AB 的垂直平分线，交 AB 于
点 D，交 AC 于点 E，连接BE，则 BE 平分∠ABC。请证明这一结论。你有
几种证明方法？
习题 11.6.1
（第 2 题）
A
E
B
C
F
D
5．如图，用尺规在∠AOB 内部作一点 P，使 PC = PD，并且点 P 到∠AOB 两
边的距离相等。
（第 3 题）
A
C
D
B
E
F
（第 4 题）
（第 5 题）
168
数 学
七年级 下册
例2 求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距
离相等。
已知：如图 11-42，△ABC 的角平分线 BM，CN 相
交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分
别为 D，E，F。
求证：点 P 在∠A 的平分线上，且 PD = PE = PF。
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
且 PD⊥AB， PE⊥BC ，垂足分别为 D，E，
∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，PE = PF。
∴PD = PE = PF。
又∵PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上）。
例3 如图 11-43，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平
分线，DE⊥AB，垂足为 E。
（1）已知 CD = 2，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD。
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，
∠C = 90°，DE⊥AB，垂足为 E，
∴DE = CD = 2（角平分线上的点到这个角的两边
的距离相等）。
∵AC = BC，
∴∠B =∠BAC（等边对等角）。
∵∠C = 90°，
∴∠B = 1
2 ×（180°- 90°）= 45°。
∴∠BDE = 90°- 45°= 45°。
图 11-42
图 11-43
169
第十一章
三角形的证明及其应用
∴BE = DE（等角对等边）。
在等腰直角三角形 BDE 中，∠BED = 90°，
BD =
BE 2 + DE 2 = （2）2+（2）2 = 2（勾股定理），
∴AC = BC = CD + BD =
2 + 2 。
（2）证明：在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，
∵CD = DE，AD = AD，
∴Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）。
∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）。
∵BE = DE = CD，
∴AB = AE + BE = AC + CD。
随堂练习
1．已知：如图，在△ABC 中，∠C
= 90°，∠B
= 30°，AD
是△ABC 的
角平分线。
求证：BD
= 2CD。
A
（第 1 题）
C
D
B
B
（第 2 题）
A
C
D
N
M
E
F
2．已知： 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，AD，CE 分别是
∠BAC，∠BCA 的平分线，AD 与 CE 相交于点 F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂
足分别为 M，N。
求证：FE = FD。
170
数 学
七年级 下册
知识技能
1．已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F。
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上。
（第 1 题）
（第 2 题）
2．已知：如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分
别为 C，D。
求证：（1）OC = OD；
（2）OP 是线段 CD 的垂直平分线。
问题解决
3．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库。
（1）如果要求油库到两条公路 AB，AC 的距离相等，那么该如何选择油库
的位置？请说明理由。
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么请简述修建方案，并
用尺规在图中确定油库的位置。
习题 11.6.2
（第 3 题）
171
第十一章
三角形的证明及其应用
问题 已知：如图 11-44，在△ABC 中，AB = AC，点 D，
E 分别在边 AC，AB 上，且 AD = AE。
求证：BD = CE。
理解问题
已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中，你发现了哪些相等
关系？
拟订计划
（1）证明两条线段相等有哪些常用的方法？
（2）以 BD 为边的三角形有哪些？以 CE 为边的三角形呢？其中哪些三角
形有可能全等？
（3）找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪
些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？
（4）整理你的思路，并与同伴进行交流。
实施计划
按照下述思路写出证明过程，并说明每一步的理由。
（1）通过△ABD ≌ △ACE，证明 BD = CE。
（2）通过△CBD ≌ △BCE，证明 BD = CE。
回顾反思
（1）比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。
（2）根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。
问题解决策略：反思
★
图 11-44
172
数 学
七年级 下册
（3）适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？
（4）你认为还可以研究哪些问题？与同伴进行交流。
解决问题之后，还可以继续进行思考与尝试：① 条件不变，尝试寻找更多
可能成立的结论；② 适当改变条件（如将条件改成更一般的条件、更特殊的条
件或者类似的条件），探究结论是否仍然成立；③ 研究是否可以将一些条件和
结论互换。
1．（1）证明：全等三角形对应边上的中线相等。
（2）参考上述命题提出几个新的命题，并说明它们与原命题的联系与区别。
2．（1）将 0～9 这 10 个数字填写到图中 10 个圆圈内，使得
相邻两数差的绝对值的和最大；
（2）参考上述问题提出几个新的问题，并说明它们与原
来问题的联系与区别。
（第 2 题）
（）
等
角
中线相等
习题
173
第十一章
三角形的证明及其应用
回顾与思考
1．说说三角形的内角和定理的证明思路。三角形的内角与外角有什么
关系？由此得出了哪些推论？
2．等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？直角三角形呢？它们各自
有哪些判定条件？
3．叙述两个直角三角形全等的判定条件，并证明本章中学过的一个判
定条件。
4．分别说说线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理，你是
怎样发现和证明它们的？
5．请你说出一对互逆命题，并判定它们是真命题还是假命题。
6．你认为本章哪些定理的证明方法比较独特？举例说明如何用反证法
证明，并与同伴进行交流。
7．在本章中你学习了哪些尺规作图？尺规作图的一般思路是什么？
8．举例说明你是怎样发现并证明本章一些定理的，总结你在这方面
的经验，并与同伴分享。
9．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
知识技能
1．如图，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DE∥BC，∠DBE = 30°，∠EBC =
25°，求∠BDE 的度数。
复习题
（第 1 题）
174
数 学
七年级 下册
4．已知：如图，在△ABD 中，AC⊥BD，垂足为 C，BE 与 AC 相交于点 F，
AC = BC，CD = CF。
求证：（1）∠DBF
=∠CAD；（2）BE⊥AD。
5．如图，已知
AB
= AC，AD
= AE，BD
= CE。
（1）由题设可推出图中哪两个角相等？试给出证明。
（2）如果 AD 把∠BAC 平分，那么 AC 与 DE 的位置关系怎样？证明你的结论。
6．已知：如图，在一个风筝 ABCD 中，AB = AD，BC = DC，分别在 AB，
AD 的中点 E，F 处拉两根彩线 EC，FC。
求证：EC = FC。
2．已知：如图，点 D，E 分别在 AB 和 AC 上，DE∥BC，F 是AD 上一点，FE
的延长线交 BC 的延长线于点 G。求证：∠EGH ＞∠ADE。
3．已知：如图，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE = CF。
求证：AC = DF。
（第 5 题）
（第 6 题）
7．已知：如图，BD，CE 是△ABC 的高，且 BD = CE。
求证：△ABC 是等腰三角形。
（第 7 题）
（第 2 题）
（第 3 题）
（第 4 题）
175
第十一章
三角形的证明及其应用
8．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC。
（1）如果∠ABD =∠ACE，那么 BD = CE 吗？
（2）如果 AD = AE，那么 BD = CE 吗？
9．在△ABC 中，已知∠A，∠B，∠C 的度数之比
是 1∶2∶3，AB =
3，求 AC 的长。
10．已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为 N，M，OM = ON，AN 与
BM 相交于点 P。
求证：PM = PN。
（第 8 题）
A
D
C
B
E
11．如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC = a，AD 是△ABC 的高，
求 AD 的长。
12．任意作一个钝角，求作它的角平分线。
13．已知线段 a，用尺规作底边等于 a、高等于 2a 的等腰三角形。
问题解决
14．已知：如图，△ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 上的
点，且 AD = BE = CF。
求证：△DEF 为等边三角形。
（第 10 题）
（第 11 题）
（第 14 题）
A
E
D
B
C
（第 15 题）
15．如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠A
= 30°，AB 的垂直平分线分别交 AB，
AC 于点 D，E。
求证：AE
= 2CE。
176
数 学
七年级 下册
16．已知：如图，在 △ABC 中，BC＞ AC。
求证：∠BAC ＞∠B。
证明： 由BC＞AC， 可在 BC 边上截取 CD =
AC，连接AD。
……
请你完成证明过程。
17．求证：等腰三角形的底角必为锐角。
联系拓广
18．（1）如图（1），在△ABC 中，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB，试确定
∠A 和∠D的数量关系；
（2）如图（2），在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分外角∠ACM，试
确定∠A 和∠E 的数量关系；
（3）如图（3），在△ABC 中，BF 平分外角∠CBP，CF 平分外角∠BC ，
试确定∠A和∠F 的数量关系。
※19．如图，在△ABC 中，BE 和 BF 三等分∠ABC，
CE 和CF 三等分∠ACB，∠A = 75°。求∠BEC
和∠BFC 的度数。
（第 18 题）
（第 16 题）
（1）
（2）
（3）
（第 19 题）
177
第十一章
三角形的证明及其应用
20．已知：如图，在△ABC 中，过点 B 作∠BAC 的平分线的垂线，垂足为 D，
DE∥AC，交 AB 于点 E。
求证：AE = BE。
21．已知：如图，AB = AE，BC = ED，∠B =∠E。
求证：∠C =∠D。
22．如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E。已
知△BCE 的周长为 8，AC - BC = 2，求 AB 与 BC 的长。
23．用尺规作出一个 45°的角。
24．求作等腰直角三角形，使其斜边等于已知线段。（保留作图痕迹，不必写
作法）
25．已知：如图，BE ⊥ AC，CF ⊥ AB，垂足分别为 E，
F 。BE 与 CF 相交于点 D，且 BD = CD。
求证：AD 平分∠BAC。
（第 20 题）
（第 21 题）
（第 22 题）
（第 25 题）
178
数 学
七年级 下册
生活中的“一次模型”
随着计算机技术的迅速发展，数学在各个领域发挥着越来越重要的作用，
已经成为当代高新技术的重要组成部分。在各项研究中，人们需要把错综复杂
的实际问题简化，抽象为合理的数学问题，建立数学模型，利用数学的理论和
方法去分析和解决。
我们已经学习了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的相关知识，
它们之间有什么联系？小组合作展开调查，利用得到的数据构造一个可以综合
运用这些知识解决的问题，并尝试解决它。
设计方案
1．生活中哪些实际问题可以用一元一次不等式、一元一次方程和一次函
数的知识来解决？
2．你们准备就哪一个具体实际问题展开研究？
3．针对将要展开的研究，你们计划分哪几个环节完成任务？
4．在项目进行过程中，可能会遇到什么困难？你打算如何解决？
实施方案
1．根据小组研究的问题和所得到的数据，运用一元一次方程、一元一次
不等式或一次函数尝试解决这些问题。
2．以小组为单位，撰写体现研究过程的课题研究报告。
综合
与实践
179
综合与实践
评估反思
你们经历了怎样的研究过程？所用到的数学知识和方法有哪些？你还希望
进一步研究什么问题？
成果展示
在全班汇报你们小组的研究成果，分享你在本次研究中的感受和体会。
七巧板
同学们，七巧板是我国古代民间发明的一种智力游戏工具，被誉为“东方
魔板”。你了解七巧板的构成吗？你能用七巧板拼出你喜欢的几何图形吗？
感悟与理解
请你准备一张正方形纸片， 按照图 1 所示的方式折叠，然后打开，你会
得到图 2 所示的图形。
图 1
图 2
180
数 学
七年级 下册
1．请在图 3 的实线中，分别找出三对具有平行关系和垂直关系的线段。
2．请在图 3 的实线中，找出三对相等的线段。
3．标出图 4 所示的 7 块板中各角的度数。
4．如图 4，①～⑦七个图形的面积有怎样的数量关系？
设计与交流
1．从一副七巧板的 7 块板中任选 2 块，你能拼出多少种大小不同的三角
形？如果选 3 块呢？
2．若拼一个梯形，至少要用几块板？你是怎么拼的？多选几块板呢？
3．如果将 7 块板都用上，你能拼出三角形、长方形、平行四边形、六边
形吗？
4．你还能拼出其他的多边形吗？
与同伴交流拼图过程及其合理性。
反思与拓展
1．在前面的拼图过程中，你积累了哪些活动经验？
2．你能拼出一个不同于前面所拼的轴对称图形吗？你是怎么拼的？
3．挪动图 4 中的某些板，拼出一个轴对称图形，你是怎么做的？
4．关于七巧板还有很多有趣的内容，请查阅相关资料，小组合作完成一
篇关于七巧板的小论文。
图 3
图 4
按照图 3 所示的方式画线，然后沿实线分割，你可以得到一副七巧板（如
图 4 ）。
181
总复习题
知识技能
1．解下列方程组：
（1）
6x
- 3y
= - 3，
5x
- 9y
= - 35；
（3）
2x
- y
= - 4，
4x
- 5y
= - 23；
（5）
4x
- y
= 30，
x
- 2y
= - 10；
（7）
x
3
- y
4
= 1，
3x
- 4y
= 2；
※（9）
x
+ y
+ z
= 4，
2x
- y
+ z
= 3，
3x
- 2y
- 3z
= - 5；
※（10）
2x
- 3y
+ 4z
= 11，
3x
+ y
- 2z
= 3，
z
= x
+ y。
（2）
2x
- 5y
= - 3，
5x
- 2y
= - 18；
（4）
3m
- 2n
= 7，
3m
- n
= 5；
（6）
0.3x
- y
= 1，
0.2x
- 0.5y
= 19；
（8）
4x
- 15y
+ 17
= 20，
6x
- 25y
- 23
= - 16；
总复习题
● 整理本学期学过的知识和方法，你能用一张图把它们表示出来吗？
与同伴进行交流。
● 在自己经历过的解决问题活动中，选择一个最具有挑战性的问题，
写出解决它的过程，包括遇到的困难、克服困难的方法与过程，以
及所获得的体会，并解释选择这个问题的原因。
● 通过本学期的数学学习，你有哪些收获？有哪些需要改进的地方？
2．我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象。光
线从水射入空气中，同样也会发生折射现象。如图，
已知∠1
=∠4，∠2
=∠3。求证：直线 c∥d。
1
2
3
（第 2 题）
4
182
数 学
七年级 下册
3．已知：如图，直线 AB∥CD，并且被直线 EF 所截，
EF 分别交 AB 和 CD 于点 P 和 ，射线 PR 和
S 分别平
分∠BPF 和∠D
F。
求证：∠BPR =∠D
S。
4．已知：如图，直线 AB∥CD，∠AEP =∠CF 。
求证：∠EPM =∠F M。
5．如图，已知 AB = A1B，A1C = A1A2，A2D = A2A3，A3E = A3A4，∠B = 20°，求
∠A4
的度数。
6．在△ABC 中，已知∠A，∠B，∠C 的度数之比是1∶2∶3，AB 边上的中线
长为 4，求 AB 的长。
7．已知：如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为 D，E，BD 与 CE 相交于
点 O，AO 平分∠BAC。
求证：OB = OC。
（第 3 题）
8．如图，DE 是△ABC 的边 AB 的垂直平分线，分别交 AB 和 BC 于点 D，E，
AE 平分∠BAC。已知∠B = 30°，求∠C 的度数。
9．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）3x
- 2x＜5；
（2）x
- 6＞2x；
（第 4 题）
（第 5 题）
1
2
3
4
（第 7 题）
（第 8 题）
183
总复习题
（1）
1
+ 2x＞3 + x，
5x
≤
4x
- 1；
（3）
3（x
- 1）＜4x
- 2，
- x
5
＞ x + 1
2 ；
（5）
1
2（x + 3）＜2，
x
+ 2
2
＞ x
+ 3
3
；
（2）2
- x
≤
- 1，
3＜x
- 1；
（4）
1
2
+ 2x
3
≤
- x
2
+ 5
3，
3（x
- 1）＜x
- 5；
（6）
x
- 3（x
- 2）≥4，
1
+ 2x
3
＞x
- 1 。
（3）x
2＞x
3；
（4）2x - 7＞5 - 2x；
（5）1
- 3x
2
＞1 - 2x；
（6）x - 1
2（4x
- 1）≤2；
（7） x
- 1
2 + 1≥x
4；
（8）0.01x
- 1≤0.02x。
10．解下列不等式组：
11．在同一平面直角坐标系内画出一次函数 y = - 3
2 x
+ 3 和 y = 3
2 x 的图象。
直线 y = - 3
2 x + 3与直线 y = 3
2 x 的交点是 。你能据此求出方程组
y = - 3
2 x + 3，
y = 3
2
x
的解吗？试一试。
12．已知：如图，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠E = 90°。
求证：AB∥CD。
2
1
3
4
（第 12 题）
13．已知：如图，GE∥AD，∠BFE =∠G。
求证：AD 平分∠BAC。
（第 13 题）
184
数 学
七年级 下册
A
B
（第 16 题）
（第 17 题）
14．设计一个转盘，使得自由转动这个转盘，指针停在红色区域的概率为 2
5。
15．请你制作一个质地均匀的正方体骰子，使得任意掷一次骰子，掷出“6”的
概率是 1
3。
16．如图，A，B 是平面上的两定点，在平面上找一点 C，使△ABC 为等腰直
角三角形，且 C 为直角顶点，这样的点C 有几个？
17．已知：如图，等边三角形 DEF 的顶点分别在等边三角形ABC 的边上。
求证：AD = BE = CF。
问题解决
18．某校有两种类型的学生宿舍 30 间，大宿舍每间可住 8 人，小宿舍每间可
住 5 人。该校 198 个住宿生恰好住满这 30 间宿舍。大小宿舍各有多少间？
19．甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元。因市场变化，甲商品降价 10％，
乙商品提价 40％，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高
了 20％。甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
20．10 年前，小明妈妈的年龄是小明的 6 倍；10 年后，小明妈妈的年龄是小明
的 2 倍。小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？
21．三个连续自然数的和小于 15，这样的自然数组共有多少？把它们分别写
出来。
22．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出了赴某地旅游的团体优
惠办法。
甲旅行社的优惠办法是：买 4 张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社
的优惠办法是：一律按原价的 3
4
优惠。已知这两家旅行社的原价均为每
人 100 元，那么随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
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总复习题
23．某地为促进淡水养殖业的发展，决定对淡水鱼的养殖提供政府补贴，以使
淡水鱼的价格控制在 16 ~ 24 元/千克之间。据市场调查，如果淡水鱼的市场
价格为 a 元/千克，政府补贴为 t 元/千克，那么要使每日市场的淡水鱼供
应量与需求量正好相等，t 与 a 应满足关系式 100（a + t - 19）= 200 - 3a。
为使市场价格不高于 20 元/千克，政府补贴至少应为多少？
24．某校组织师生春游，若单独租用 45 座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租
用 60 座客车，则可以少租 1 辆，且余 30 个空座位。
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中 60 座客车比 45 座客车多
租 1辆，这样要比单独租用一种车辆节省租金。已知 45 座客车的租
金为每辆 250 元，60 座客车的租金为每辆 300 元，请你帮助计算本
次春游所需车辆的租金。
联系拓广
25．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，∠A ＝ 90°，∠ACB 的平分线 CD 交 AB 于
点 E，∠BDC ＝ 90°。
求证：CE ＝ 2BD。
※26．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题。今天人们已经知道，仅
用圆规和直尺是不可能作出的。在探索中，有人曾利用过如图所示的图
形，其中，ABCD 是长方形，F 是 DA 延长线上一点，G 是 CF 上一点，并且
∠ACG =∠AGC，∠GAF =∠GFA。你能证明∠ECB = 1
3∠ACB 吗？试试看。
（第 25 题）
D
A
F
G
E
B
C
（第 26 题）
《义务教育教科书（五·四学制）·数学》（六至九年级）是在马复主
编的北师大版六·三学制《义务教育教科书·数学》（七至九年级）的基础
上改编而成的，供五·四学制地区师生使用。
本套教科书以教育部《义务教育数学课程标准（2022 年版）》为依据，
吸取了五·四学制地区多年来在教学实践中探索、积累的丰富经验，凝聚了
教育专家、学科专家、教材编写人员、教研人员及一线教师的集体智慧，集
中反映了基础教育课程改革的最新成果。教科书的修订，得到了五·四学制
地区教育行政部门、教研部门，特别是北京师范大学出版社的大力帮助和
支持。参加本册教科书编写的还有黄玉秀。衷心感谢所有关心和支持本套教
科书编写、审读、试教、出版、发行的单位、同仁和社会各界朋友！
教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联
系，得到了他们的大力支持，对此我们表示诚挚的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本套教科书过程中提出宝
贵的意见和建议。我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力
使教科书日趋完善。
联系电话：0531-82092610；电子邮箱：jiaocai@sjs.com.cn。
《数学》教材编写组
后记
