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1
数量关系精选250 题解析
数量关系基础100 题解析
一、解题方法
1. 【答案】C
【解析】
设派发口罩数量最少的那栋楼最少派发口罩x 盒。要让派发口罩数量最少的楼栋派发口罩最少，
则其他楼栋口罩派发尽量多，且派发口罩最多的楼栋不超过最少的1 倍，即派发口罩最多的楼
栋最多派发口罩2x 盒。由于任意两栋楼派发口罩数量都不相同，则可列表如下：
根据口罩一共有230 盒可列式：2x+2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6+2x-7+2x-8+x=230，化简可得：
19x-36=230，解得x=14。那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发口罩14 盒。
故正确答案为C。
2. 【答案】A
【解析】
根据题干“老年组、中年组的人数之比为5：2，中年组、青年组的人数之比为3：4”，则老
年组、中年组、青年组的人数之比为15：6：8，设老年组、中年组、青年组的人数分别为15a、
6a、8a，根据题干“老年组、中年组、青年组平均每人采摘速度之比为1：2：3”，设老年组、
中年组、青年组平均每人采摘速度分别为b、2b、3b，由题意得，青年组一共采摘8a×3b=80，
解得
。老年组与中年组共采摘的柑橘重量为
斤，
故三组人员一共采摘的柑橘重量为90+80=170 斤。
故正确答案为A。
3. 【答案】C
【解析】
设甲型设备单价为x 万元，乙型设备单价为y 万元。
根据题意可得方程：2x+3y=120+10
①，3x+2y=120-10
②；联立①②解得x=14，y=34。
2
最终购买5 台设备，总费用不超过总预算120 万元，
第一种购买方案：5 台甲设备，14×5=70<120，符合题意；
第二种购买方案：4 台甲设备，1 台乙设备，14×4+34=90<120，符合题意；
第三种购买方案：3 台甲设备，2 台乙设备，14×3+34×2=110<120，符合题意；
第四种购买方案：2 台甲设备，3 台乙设备，14×2+34×3=130>120，不符合题意；
第五种购买方案：1 台甲设备，4 台乙设备，14+34×4=150>120，不符合题意；
第六种购买方案：5 台乙设备，34×5=170>120，不符合题意。
因此，共有3 种购买方案。
故正确答案为C。
4. 【答案】B
【解析】
根据题意可知，（总人数-1）既是5 的倍数，又是11 的倍数，结合选项可排除A、C 两项。两
位演员除自己之外看到红色背贴的比例不同，说明这两位演员一人为红色背贴、一人为非红色
背贴；又因为两次比例的大小关系为
，可知第二位演员是红色背贴，则等量关系为
，
，代入B、D 两项进行验证。
代入B 项，若总人数为56 人，则红色背贴演员数为11 人，且
，等式成立，符合题
意，当选；
代入D 项，若总人数为111 人，则红色背贴演员数为22 人，但
，不符合题
意，排除。
注：考场上剩二代一，B 项符合题意直接当选，可不验证D 项。
故正确答案为B。
5. 【答案】C
【解析】
代入A 项：甲岗位31 人，乙岗位69 人，则月付工资为3000×31+4000×69=369000 元；
代入B 项：甲岗位32 人，乙岗位68 人，则月付工资为3000×32+4000×68=368000 元；
代入C 项：甲岗位33 人，乙岗位67 人，则月付工资为3000×33+4000×67=367000 元；
因为66<2×34，不满于乙岗位工人数不少于甲岗位的2 倍，排除D 项。
综上，月份工资最少的为C 项。
3
故正确答案为C。
6. 【答案】C
【解析】
设甲调动1.5 吨货车x 辆，2 吨货车y 辆，则乙调动1.5 吨货车y 辆，2 吨货车x 辆，根据题意
可列式：
，解得x=6，y=4，则乙运的货物重量=1.5×4+2×6=18
吨。
故正确答案为C。
7. 【答案】D
【解析】
设地球原有资源量为Y，每年新增资源量为x，一亿人每年资源消耗量为1。由牛吃草公式：Y=
（N-x）×T，可得：Y=（100-x）×100……①，Y=（80-x）×300……②，解得x=70，Y=3000。
根据题干“可供人类永久消耗”分析可得：每年资源消耗量=每年新增资源量，即每年消耗量
为70 时，可供人数最多，最多为70÷1=70 亿人。
故正确答案为D。
8. 【答案】C
【解析】
根据题干“至少……保证一定有”，可判定本题为最不利构造问题。要保证一定有3 名学生专
业相同，则每个专业先最少派出2 个人，则A、B、C 三个专业共派出3×2=6 人。此时再多1
人，则必然有一个专业达到3 人，因此所求最少人数为6+1=7 人。
故正确答案为C。
9. 【答案】C
【解析】
根据题意，选取编号为3 的倍数的新生正好构成开幕式方队，方队的人数应为平方数。代入选
项，B、C 两项除以3 的商均为81，即编号为3 的倍数的新生有81 人，81 是平方数，符合题
意；A、D 两项除以3 的商分别为80、82，均不是平方数，排除。
选取编号为m 的倍数的新生，恰好构成闭幕式方队，即新生人数除以m 的商仍为平方数。
3<m<10，且m 为整数，则当m=4 时，代入B、C 两项，除以4 的商分别为60、61，均不为平
方数，不符合题意；当m=5 时，代入B、C 两项，除以5 的商分别是48、49，48 不是平方数，
49 为平方数，故C 项符合题意。
4
故正确答案为C。
10. 【答案】D
【解析】
根据题干“就9 名志愿者的科目类别构成而言”，可知本题需按照科目选人，即只考虑每个科
目的志愿者人数。结合条件“每类至少要选2 名”，则每类先选2 名志愿者，共6 名；还需要
再选3 名志愿者，采用枚举法：
因此，共有9 种选拔方式。
故正确答案为D。
11. 【答案】D
【解析】
根据“甲、丁商品销量相同”，设甲、乙、丙、丁四种商品销量分别为x 件、y 件、z 件、x 件。
根据“这四种商品共40 件”可得，2x+y+z=40……①；根据“共盈利201 元”可得，
15x+9y+4z+x=201……②。令①×8-②可消去x，得4z-y=119。因为四种商品每种至少销售1 件，
可得4z＞119，即
，排除A 、B、C 三项。代入D 项验证，若z=31 ，则
y=4z-119=124-119=5，2x=40-31-5=4，x=2，符合题干所有条件。
故正确答案为D。
12. 【答案】B
【解析】
根据题意，要使排前两名的战士击中的次数尽可能少，则其他战士击中的次数要尽可能多。设
第二名击中x 次，又因任意2 人击中的目标数量均互不相同，可得击中次数如下：
5
根据“5 名战士共击中了88 次目标”，可列式：x+1+x+x-1+x-2+x-3=88，解得x=18.6，则第二
名至少击中19 次目标，第一名为x+1=20 次，可得前两名至少击中了20+19=39 次目标。
故正确答案为B。
13. 【答案】D
【解析】
方法一：设开班时男孩有3x 人，女孩有4x 人，后来有2 个男孩、1 个女孩退出，可得
，
解得x=4，则开班时女孩有16 人。
方法二：开班时男孩、女孩的比例为3：4，则开班时女孩为4 的倍数，排除A、C 两项；后来
女孩退出1 人后为3 的倍数，将B 项代入12-1=11，不满足3 的倍数，排除；D 项16-1=15，满
足3 的倍数，当选。
故正确答案为D。
14. 【答案】C
【解析】
方法一：方程法。假设原来甲、乙粮食重量分别为5x、2x，甲取出2kg 给乙，满足
5�−2
2�+2 =
4
3,解
出x=2，那么甲原有粮食5x=10kg。
方法二：数字特性法。甲乙两袋粮食原来重量之比为5:2，甲的粮食产量为5 的倍数，排除B、
D。代入A，甲=15kg，乙=6kg，将甲袋取出2kg 放入乙袋中后，甲=13kg，乙=8kg，并非4:3，
排除A。故正确答案为C。
15. 【答案】D
【解析】
设外科参与支援呼吸科的护士有x 人，则参与支援呼吸科的医生有（x-4）人。根据题意可列方
程：x=3[（x-4）-2]，解得x=9，则所求=x+（x-4）=2x-4=2×9-4=14 人。
故正确答案为D。
二、和差倍比
1. 【答案】C
6
【解析】
根据题意，设乙本学期已阅读2x 篇，则甲本学期已阅读（x+28）篇，丙本学期已阅读
篇。根据题意可列式：x+28+2x+1.5x+32=159，解得x=22，则乙
本学期已阅读44 篇，丙本学期已阅读65 篇。设乙本学期还要阅读y 篇即可比丙多50%以上，
根据题意可列式：
，解得y>53.5，y 最少为54。
故正确答案为C。
2. 【答案】D
【解析】
设第一种打包方式装满a 箱，第二种打包方式装满b 箱。根据电脑主机和显示器各有n 台，可
得：n=6a+3b=4a+8b，解得a=2.5b，代入可得n=18b。因为a、b 均为箱子的数量，必须为正整
数，故b 取最小值2 时，n 取最小值为36。
故正确答案为D。
3. 【答案】C
【解析】
解法一：A、B、C 三项活动参加的总人次为18+16+15=49，设甲部门为x 人，乙部门为y 人。
根据题意，可得方程3x+2y=49，根据奇偶特性，可得x 为奇数，排除B、D 两项；根据问题“至
多有多少人”，优先代入C 项，解得y=5，符合题意，当选。
解法二：根据问题“至多”，可通过选项从大到小依次代入验证：
代入D 项：甲部门14 人，根据甲部门每人三项活动均参加1 次，即A、B、C 三项活动分别剩
下4、2、1 人次，4+2+1=7 人次，奇数不能让乙部门每人任选2 项不同活动各参加1 次，排除；
代入C 项：甲部门13 人，根据甲部门每人三项活动均参加1 次，即A、B、C 三项活动分别剩
下5、3、2 人次，5+3+2=10 人次，偶数能让乙部门每人任选2 项不同活动各参加1 次，符合
题意，当选。
故正确答案为C。
4. 【答案】C
【解析】
根据题意可知，全部人员紧急疏散到安全疏散点的时间=人员通过出口逃生时间+从出口到达安
全疏散点的时间，从A、B、C 出口到达安全疏散点分别需要1 分钟、3 分钟、2 分钟。设至少
7
需要n 分钟，才可将全部人员疏散，根据三个出口疏散人员数相加为总人数，可列式：150（n-1）
+100（n-3）+80（n-2）=1040，解n=5，即全部人员紧急疏散到安全疏散点至少需要5 分钟。
故正确答案为C。
5. 【答案】B
【解析】
设2024 年甲店面利润为x 万元，则其销售额为10x 万元，乙店面利润为（x+10）万元，丙店
面利润为x+10+10=（x+20）万元，其销售额为15x 万元。根据“甲、乙、丙三个店面2024 年
利润总计为120 万元”，可得x+（x+10）+（x+20）=3x+30=120，解得x=30。又根据“甲、乙、
丙三个店面2024 年销售额总计为1000 万元” ，可得乙店面销售额
=1000-10x-15x=1000-25×30=250 万元，乙店面利润为30+10=40 万元，则乙店面的销售额是利
润的250÷40=6.25 倍。
故正确答案为B。
6. 【答案】D
【解析】
方法一：设幼体培育车间的水体为
，则育苗车间的水体为
，藻类池的水体为
。
根据“幼体培育车间需要的管理人员比育苗车间少12 人”，可列方程：
，解
得x=800。则幼体培育车间的水体为
，育苗车间的水体为
，藻类池的水
体为
。故该公司共配备了
名管理人员。
方法二：根据“幼体培育车间的水体与育苗车间的水体之比为1：4，藻类池的水体是幼体培育
车间水体的50%”可得三车间的水体之比为1：2：8，则总水体为1+2+8=11 的倍数，则由“每
水体需配备1 名管理人员”可得总管理人员数也为11 的倍数，结合选项只有D 选项符
合。
故正确答案为D。
7. 【答案】A
【解析】
方法一：根据题意，甲单位研究人员数占甲单位人数的
，可知甲单位人数为4 的倍数；
乙单位研究人员数占乙单位人数的
，可知乙单位人数为25 的倍数。再根据甲、乙两
单位共有99 人，可知：
8
若乙单位人数=25 人，甲单位人数=99-25=74 人，不是4 的倍数，排除；
若乙单位人数=50 人，甲单位人数=99-50=49 人，不是4 的倍数，排除；
若乙单位人数=75 人，甲单位人数=99-75=24 人，满足题干条件，成立。
再根据甲单位非研究人员数占甲单位人数的
，乙单位非研究人员数占乙单位人数的
，可得甲单位非研究人员有
人，乙单位非研究人员有
人，
所以甲单位的非研究人员比乙单位的非研究人员少3 人。
方法二：根据题意，甲单位研究人员数占甲单位人数的
，乙单位研究人员数占乙单位
人数的
，设甲单位总人数为4x 人，乙单位总人数为25y 人，因甲、乙两单位共有99
人，可列式：4x+25y=99，由奇偶特性，4x 为偶数，99 为奇数，可知25y 为奇数，则y 为奇数：
若y=1，则4x=99-25=74，x 为非整数，排除；
若y=3，则4x=99-75=24，x=6，满足题干条件，成立。
再根据甲单位非研究人员数占甲单位人数的
，可得甲单位非研究人员为6 人；
乙单位非研究人员数占乙单位人数的
，可得乙单位非研究人员有9 人，所
以甲单位的非研究人员比乙单位的非研究人员少3 人。
故正确答案为A。
8. 【答案】C
【解析】
根据题意可知，全部人员紧急疏散到安全疏散点的时间=人员通过出口逃生时间+从出口到达安
全疏散点的时间，从A、B、C 出口到达安全疏散点分别需要1 分钟、3 分钟、2 分钟。设至少
需要n 分钟，才可将全部人员疏散，根据三个出口疏散人员数相加为总人数，可列式：150（n-1）
+100（n-3）+80（n-2）=1040，解n=5，即全部人员紧急疏散到安全疏散点至少需要5 分钟。
故正确答案为C。
9. 【答案】C
【解析】
代入A 项：甲岗位31 人，乙岗位69 人，则月付工资为3000×31+4000×69=369000 元；
代入B 项：甲岗位32 人，乙岗位68 人，则月付工资为3000×32+4000×68=368000 元；
代入C 项：甲岗位33 人，乙岗位67 人，则月付工资为3000×33+4000×67=367000 元；
9
因为66<2×34，不满于乙岗位工人数不少于甲岗位的2 倍，排除D 项。
综上，月份工资最少的为C 项。
故正确答案为C。
10. 【答案】C
【解析】
九位裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，通过四舍五入法精确到一位小数，平均得分9.4
分，可知此时的平均分如果精确到两位小数应为9.35~9.44 分，即剩余的七位裁判总分为
65.45~66.08 分，根据“裁判都打整数分”，则剩下七位裁判打的总分为整数，只能为66 分。
因此，若要精确到两位小数，则该选手的平均分为
分。
故正确答案为C。
11. 【答案】A
【解析】
方法一：根据题意可知，
，
。则玉米、大豆、稻谷
三者的面积之比为21：6：1，故玉米的面积
平方米。
方法二：根据题意可知，
，则玉米的面积应为7 的倍数，只有A 项满足条件。
故正确答案为A。
12. 【答案】A
【解析】
设服务大厅共有n 个窗口，根据题意可列方程为：41+（n-1）×28=29×n，解得n=13。
故正确答案为A。
13. 【答案】B
【解析】
根据“男女比例为11：7”“补招若干女性志愿者后，男女比例变为4：3”可知，男生人数既
是11 的倍数，又是4 的倍数，男生人数为44n。结合“第一次招募了不到100 人”可知，男
生人数是44 人，原来女生人数为44÷11×7=28 人；补招后女生人数变为44÷4×3=33 人。可
知女生最多可能补招人数为33-28=5 人。
故正确答案为B。
14. 【答案】C
10
【解析】
根据题意，设每天定量的自然损耗为x 吨，根据农副产品总量不变可列式：
1.5×50+50x=2×40+40x，解得x=0.5，即每天定量的自然损耗为0.5 吨，故这批农副产品有
1.5×50+0.5×50=100 吨。
故正确答案为C。
15. 【答案】A
【解析】
根据“其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占，和”可知，总
人数是7、2、3 的倍数，又因7、2、3 互质，所以总人数为7×2×3=42 的倍数。由于选择创
业的大学毕业生不到50 人，则总人数为42 人。因此选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒
体运营领域的人数分别为：
人、
人、
人，则选择高科技领域创
业的大学毕业生有42-6-21-14=1 人。
故正确答案为A。
三、工程问题
1. 【答案】A
【解析】
由“甲的效率是乙的1.5 倍”，可赋值甲的效率为3，则乙的效率为2。设丙的效率为a，根据
题意可列式：8×3+6×2+4a=6×（3+2）+5a，解得a=6，即丙的效率为6，这项工程总量为6×
（3+2）+5×6=60，则丙单独完成这项工程需要60÷6=10 天。
故正确答案为A。
2. 【答案】D
【解析】
设原个人服务单次用时需要2x，企业服务单次用时需要5y，则现在个人服务单次用时需要
，企业服务单次用时需要
。根据每个窗口总服务时
间不变，则原服务总时长等于现在的服务总时长，可列方程：
。整理可得：
。则现在每次企业服务的用
时是个人服务用时的倍数为：
。
11
故正确答案为D。
3. 【答案】A
【解析】
根据题意，赋值甲生产线每小时的效率为6，则乙的效率为3，丙的效率为2。某日8：00 甲
生产线开始生产，9：00 时其当日产量=1×6=6，根据“9：00 时甲的当日产量是乙的6 倍”，
可知9：00 时乙的当日产量=6÷6=1，10：00 时乙的当日产量为1+3×1=4。根据“10：00 时
乙的当日产量是丙的4 倍”，可知10：00 时丙的当日产量=4÷4=1，即已用时
小
时=30 分钟，则丙是从9：30 开始生产的。
故正确答案为A。
4. 【答案】B
【解析】
根据题意，所有人工作效率相同，则工作效率
；再根据题意，原来5 人，后
面假设增加x 人，则后来为（5+x）人；原计划10 天完成，先探访了5 天，后面按原计划需要
再做10-5=5 天，最终完成总的工作量，总的工作量为200+300=500 家。列式：5×4×5+（5+x）
×4×5=500，解得x=15。
故正确答案为B。
5. 【答案】B
【解析】
设甲和乙两条生产线的效率分别为1 和x，根据“共同生产一批设备12 天后正好完成一半”，
可得：
。根据“甲的效率提升为原来的2x 倍，乙的效率
提升为原来的y 倍”，则甲生产线的效率变为2x，乙生产线的效率变为xy，根据“又用了6
天正好完成生产任务”，可得：
。联立①②，可得：（1+x）
×12=（2x+xy）×6，化简得：xy=2。
故正确答案为B。
6. 【答案】A
【解析】
12
根据题意可得，张师傅和李师傅的效率关系为：3×张+1×李=8×（张+李）×（
），整
理可得，张：李=3：1，设张师傅的效率为每小时3x 个，李师傅的效率为每小时x 个。根据“张
师傅包粽子比李师傅每小时多14 个”可得，3x-x=14，解得x=7，则一共有8×（3×7+1×7）
=8×28=224 个粽子。
故正确答案为A。
7. 【答案】C
【解析】
工程问题。已知一项工程甲单独干50 个小时完成，乙单独干30 个小时完成，故赋值工作总量
为时间的最小公倍数150，则甲的效率为3，乙的效率为5。设乙工作了X 小时，则甲工作了
（42−X）小时，可列方程：5X+3×(42−X)=150，解方程得X=12。则乙完成的工作量为：5×12=60，
则乙完成了这项工程的
60
150 =
2
5
故正确答案为C。
8. 【答案】D
【解析】
设工艺品、底座、展示柜的单件制作时间分别为x、y、z 天，根据题意可列式：4x+12y=24……
①，4x+6z=24……②。
方法一：①+②×2 可得：12x+12y+12z=72，化简可得：x+y+z=6。则所求=10x+10y+10z=10（x+y+z）
=10×6=60 天。
方法二：因为x、y、z 是时间，不一定是整数，所以本题属于非限定性不定方程组，可以采用
赋零法，赋值x=0，原方程组转化为：12y=24……③，6z=24……④，解得y=2，z=4。则所求
=10x+10y+10z=10×0+10×2+10×4=60 天。
故正确答案为D。
9. 【答案】D
【解析】
根据题意，甲、乙两工厂的工作效率满足：8（甲+乙）+7 乙=12（甲+乙）×90%，整理可得甲、
乙两工厂的工作效率之比为3：2。赋值甲的工作效率为3，乙的工作效率为2，则该订单的工
作总量为12×（3+2）=60，故所求为
天。
故正确答案为D。
10. 【答案】A
13
【解析】
根据题意，赋值乙的工作量为4，则甲的工作量为
，；赋值甲所用的时间为6，
则乙所用的时间为
。根据公式：工作效率
，则所求为
，在A 项范围的区间内。
故正确答案为A。
11. 【答案】C
【解析】
赋值工作总量为150，则甲车间的效率
，乙车间的效率
，设甲车间单独工作
的时间为t 小时，则乙车间单独工作的时间为（42-t）小时，根据题意可列式：3t+5×（42-t）
=150，解得t=30，则乙车间工作时间为42-30=12 小时，乙车间完成零件量=5×12=60，因此乙
车间完成的零件量占这批零件总量的
。
故正确答案为C。
12. 【答案】A
【解析】
方法一：代入A 项，若规定的期限为6 天，则原计划每天整理
份档案，提前一天需每
天整理
份档案，较原计划每天多整理10 份档案，符合全部条件，无需验证其它选项。
方法二：设规定的期限为x 天，根据题意可得
，化简得x（x-1）=30，
解得x=6。
故正确答案为A。
13. 【答案】A
【解析】
根据题意，赋值工程总量为8，甲的效率为
，甲、乙效率和为
，可知乙的效
率为1.5-1=0.5，剩余工程量为8×（1-75%）=2，则乙独自完成还需要
天。
故正确答案为A。
14. 【答案】C
14
【解析】
根据题意，输液5 分钟后剩余的药液为
毫升，则调整后药液的滴速为
滴/分钟，剩余的235 毫升药液还需输液的时间为
分钟，
则输液的总时间为
分钟
分钟，即1 小时14 分钟，上午9 点开始输液，
则输液结束的时间是10 点14 分。
故正确答案为C。
15. 【答案】C
【解析】
已知人工装订的效率是自动装订机效率的，则相同数量材料人工装订所需时间是全自动装订
机的5 倍。设装订300 份材料全自动装订机所需时间为x，人工装订所需时间为5x，人工完成
后多出一个小时做完，故多用时间为5x-x=1 小时，x=0.25 小时。因全自动装订机完成所有材料
装订需要四个小时，则题目所求为
份。
故正确答案为C。
四、利润问题
1. 【答案】D
【解析】
设甲第一季度销售额为a 万元，则乙第一季度销售额为（200-a）万元，甲第二季度销售额为
1.2a 万元，乙第二季度销售额为1.25×（200-a）万元。根据题意可列式：1.2a-1.25×（200-a）
=44，解得a=120，则甲第一季度销售额为120 万元，乙第一季度销售额为200-120=80 万元。
故甲第一季度销售额比乙高120-80=40 万元，根据题干甲第二季度销售额比乙高44 万元，因
此上半年甲的销售额比乙高40+44=84 万元。
故正确答案为D。
2. 【答案】C
【解析】
15
每张CD 转手价格为150 元，则盈利25%的CD 原价为
元；亏损25%的CD 原价为
元。可得小明购买两张CD 原价为120+200=320 元，转手价格为150×2=300 元，
亏损了20 元钱。
故正确答案为C。
3. 【答案】C
【解析】
根据题意，设生产电动车x 辆，燃油车y 辆，根据题意可得到：
……①，且
……②。因题目要求总利润最大，因此需要尽可能多的生产车辆，即x+y 尽量大，
让x+y=3000，则x=3000-y，代入②式可得：
，解得
。题目要求
总利润最大，则要多生产利润较大的车辆，即多生产燃油车，也就是y 取最大值1800，此时
x=3000-1800=1200 辆。则总利润最大为x+2y=1200＋2×1800=4800 万元。
故正确答案为C。
4. 【答案】D
【解析】
设降价x 元后，总利润不变。由题意可知，总利润为（10-5）×5=25 元，根据“总利润不变”
可列式：
，化简可得
，结合选项代入，x=4 时
满足题意。故降价4 元后，总利润不变。
故正确答案为D。
5. 【答案】B
【解析】
方法一：根据题意，由于“每消费600 元立减50 元”，故要想平均每件的购买成本最低，则
应让购买总价刚好为600 的倍数。因为购买商品单价为500 元，因此购买总价也应为500 的倍
数。故购买总价既是600 的倍数又是500 的倍数，则其应为600 和500 最小公倍数（3000）的
倍数。因为购买件数不超过10 件，所以购买总价不超过500×10=5000 元，则当购买总价为
3000 元时，即购买
件商品时，此时平均每件成本最低。
方法二：根据每消费600 元立减50 元，代入选项进行分析：
16
代入A 项：若购买5 件，则总价为500×5=2500 元，
……100，故可享受优惠50×4=200
元，平均每件商品享受优惠
元；
代入B 项：若购买6 件，则总价为500×6=3000 元，
，故可享受优惠50×5=250 元，
平均每件商品享受优惠
元；
代入C 项：若购买8 件，则总价为500×8=4000 元，
……400，故可享受优惠50×6=300
元，平均每件商品享受优惠
元；
代入D 项：若购买9 件，则总价为500×9=4500 元，
……300，故可享受优惠50×7=350
元，平均每件商品享受优惠
元。
综上，当购买6 件时，平均每件商品享受优惠最大，此时平均每件的购买成本最低。
故正确答案为B。
6. 【答案】B
【解析】
方法一：设今年1 月商品的成本为x 元/吨。根据题意，可列表如下：
由表可知：3 月的利润最高，11 月的利润最低。
方法二：根据选项，最高利润只需比较3 月与4 月，根据题意，3 月与4 月的定价相同，而4
月的成本更高，故4 月的利润更低，排除C、D 两项；同理，最低利润只需比较10 月与11 月，
10 月与11 月的定价相同，而11 月的成本更高，故11 月的利润更低，排除A 项。
故正确答案为B。
7. 【答案】A
【解析】
17
赋值甲、乙两种商品的单价均为10 元，则第二天乙打八折的价格为10×0.8=8 元。设乙第一
天的销量为x 件，则甲第一天的销量为1.5x 件，甲第二天的销量为（1400-1.5x）件，乙第二天
的销量为1400-1.5x+500=（1900-1.5x）件。根据“甲、乙两种商品两天的总销售额相等”，可
列式：1400×10=10x+8×（1900-1.5x），解得x=600。因此乙第一天销售600 件。
故正确答案为A。
8. 【答案】C
【解析】
设乙产品库存为x 件，则甲产品库存为（100+x）件。根据题意可得，100+x+60%x=1260，解得
x=725，故甲、乙两种产品的库存分别为825 件、725 件，原有总库存为825+725=1550 件。
故正确答案为C。
9. 【答案】D
【解析】
设市场价为x 元，根据题意可列式：（1-20%）x=4000，解得x=5000。故实际支付比市场价优
惠5000-4000=1000 元。
故正确答案为D。
10. 【答案】B
【解析】
设打折前月卡和年卡的会员费用分别为x 和y ，根据题意可列：12x-y=88 … … ①，
……②，联立①②两式，解得x=32，y=296。打折后充值18 个月的会员
可以采取1 张年卡+6 张月卡花费最少，总费用=296×0.7+32×6×0.8=207.2+153.6=360.8 元，
在B 项范围内。
故正确答案为B。
11. 【答案】C
【解析】
本题问“至少”可考虑从小到大依次代入：
D 项：每次降价的百分率是5%，则第一次降价后售价为：40×（1-5%）=38 元，第二次降价后
售价为：38×（1-5%）=36.1 元，根据公式：利润率
，可得：利润率
，此时利润率大于20%，不满足题意，排除；
18
C 项：每次降价的百分率是10%，则第一次降价后售价为：40×（1-10%）=36 元，第二次降价
后售价为：36×（1-10%）=32.4 元，可得：利润率
，此时利润率刚好为20%，
满足题意，当选。无需继续验证其他选项。
故正确答案为C。
12. 【答案】B
【解析】
根据题意可知，原油A 提炼出1 吨苯乙烯的成本为
万元，原油B 提炼出1 吨苯乙烯的
成本为
万元，因此购买原油B 提炼苯乙烯的费用更低；每吨A、B 原油产生的废气
量分别为0.4 吨、0.3 吨，原油B 产生废气量更少，综合考虑应尽可能多购买原油B。提炼1.9
吨的苯乙烯，优先购买原油B：
……0.5（注：默认每类原油都购买整数吨），即最多购
买2 吨原油B，提炼剩下的0.5 吨的苯乙烯还需要购买1 吨原油A，此时共产生废气量为
2×0.3+0.4=1 吨，符合题干要求，则最低费用为2×0.4+0.3=1.1 万元。
故正确答案为B。
13. 【答案】A
【解析】
设每箱苹果的定价为x 元，根据题干“分3 次购买这种苹果2 箱、3 箱和5 箱，共花费770 元”，
可列式：
，解得x=88。若是一次性购买2+3+5=10 箱苹果，
，则需花费10×88×0.9×0.9=712.8 元，可比分3 次购买节省770-712.8=57.2 元。
故正确答案为A。
14. 【答案】B
【解析】
经济利润问题。假设A 贷款X 万，则B 贷款（6000-X）万。根据题干已知A、B 年利率以及一
年总利息，可列方程：8%X+9%(6000−X)=500，解得X=4000，可得A 贷款4000 万，B 贷款2000
万，则AB 两项贷款相差2000 万。
故正确答案为B。
15. 【答案】D
【解析】
19
设该球衣原价为x 元，原来的销售数量为y 件。根据题意可知，打9 折出售后，销售数量增加
50 件，销售收入减少200 元，可列式为：
，整理得（0.1y-45）x=200。
由于x、y 均为正数，若使等式成立，则需0.1y-45＞0，解得y＞450，即原来的销售数量至少
有451 件。
故正确答案为D。
五、行程问题
1. 【答案】D
【解析】
根据题意，甲乙二人均是从一楼沿扶梯上二楼，故路程相等，即总级数相等，扶梯的总级数=
人行走的级数+扶梯运行的级数。设甲的速度为2v，乙的速度为v，扶梯的速度为
，即
，整理可得：
，解得
，故扶梯的总
级数
。
故正确答案为D。
2. 【答案】C
【解析】
根据题意，赋值小赵出发时每小时的速度为2，则小张出发时每小时的速度为1。两人同时从
甲、乙两地出发，1 小时后相遇，根据相遇公式：
，可得
。
小赵从乙地到甲地全程用时为
小时，则小张从甲地到乙地全程用时为1.5+1=2.5 小时。
小张从相遇后到达乙地用时为2.5-1=1.5 小时，小张从相遇后到达乙地距离等于小赵1 小时行
进距离=2×1=2，则小张从相遇后到达乙地的平均速度为
。根据公式：均匀加速运动的
平均速度
，可列式
，解得小张达到乙地时的速度为
，则小张到
达时的速度是小赵到达时速度的
倍。
故正确答案为C。
3. 【答案】C
【解析】
20
设甲全程的平均速度为
，甲乙同向同时沿直线出发，10 秒后甲追上乙，根据直线追及公式：
S=速度差×时间，可得
，解得
米/秒，即甲全程的平均速度为25 米/
秒。已知甲是从速度为0 起步做匀加速运动，根据公式：匀加速运动的平均速度
，
可得
，解得
，即甲在追上乙时的速度为50 米/秒。
故正确答案为C。
4. 【答案】C
【解析】
根据题干可知，乙最快速度>甲最快速度，若要取得最好成绩，则让乙尽量用超过甲的速度多
跑，即甲乙交接时乙的速度=甲的最高速度=8m/s。根据加速度公式：
，则乙从速度
0 到8m/s 用了
。根据匀加速直线运动的位移公式为：
，则乙从速度
0 到8m/s 一共跑了
米，这4s 内，甲跑了8×4=32 米。则甲追乙的距离=32-16=16
米，即乙需要在距离甲16 米时起跑。
故正确答案为C。
5. 【答案】C
【解析】
已知9 千米/小时
米/秒，根据s=vt，小张40 秒后距离A 点2.5×40=100 米，则
AB 长度为100+35=135 米。根据题干“AB 长度是AD 的1.5 倍”，可得
米。
小张慢跑1 分钟的距离为2.5×60=150 米，根据跑前距离B 点还有35 米，BC 长度为90 米，
150-35-90=25 米，可得1 分钟后小张到达CD 边上E 点且与C 点距离为25 米，如下图所示，与
A 、D 两点构成直角三角形，其中AD=90 米，DE=135-25=110 米，根据勾股定理可得
，则
，因此
米，则此时小张距离A 点的直线距离在140~145 米之间。
21
故正确答案为C。
6. 【答案】D
【解析】
方法一：赋值上坡速度为60km/h，下坡速度为100km/h，赋值去程从甲地到乙地时间为1h，
则去程全程时间为2h 。根据公式：S=VT ，可知
，
，返程全程的时间
，所以
，
在D 项范围内。
方法二：根据比例行程，若S 相同，则V 与T 成反比，可知甲地到乙地：
；
乙地到丙地：
。根据题意，去程从甲地到乙地的时间为去程全程的一半，
则设去程从甲地到乙地的时间为15x，全程时间为30x，返程从丙地到乙地的时间为9x，从乙
地到甲地的时间为25x，全程时间为34x，故
，在D 项范围内。
故正确答案为D。
7. 【答案】B
【解析】
设小李骑行外圆（乐道）的半径为R、妈妈步行内圆（福道）的半径为r，如下图所示：
22
由题意可得：
千米/小时。设小李骑行一周的路程为
，妈妈步行一周的路
程为
，小李骑行与妈妈步行一周的时间之比为1：4，即
，化简可得
，
因两人的路程分别为内外两圆的周长，所以
，根据题意，A、B 两点间距离
为50 米，即R-r=50 米，可得r=100 米。故湖面面积（内圆面积）
万平方
米。
故正确答案为B。
8. 【答案】B
【解析】
根据题意，从山脚到凉亭上山需要1 个小时，从凉亭到山脚下山需要半小时，上、下山需要的
时间之比为1：0.5=2：1，而路程一定，速度与时间成反比，可得上、下山的速度之比为1：2。
设上山的速度为v，则下山的速度为2v。可列式为：（v+500）×2=2v×1.5，解得v=1000 米/
小时，则登顶的路程为2×1000×1.5=3000 米。
故正确答案为B。
9. 【答案】D
【解析】
根据题意，设甲的速度为9v，则乙的速度为7v。甲、乙初始路程差为CD+DA=300+300=600 米，
若甲、乙两人第一次处于同一条边，即两人路程差
米。根据追及公式：
，当
甲与乙相差300 米时，可列式：300=（9v-7v）×t，解得vt=150，则此时甲所走路程=9v×t=1350
米（走完一圈300×4=1200 米多150 米），甲在CD 中点；此时乙所走路程=7v×t=1050 米（还
差150 米走完一圈），乙在DA 中点。因
，故当甲到达D 点时，乙未到达A 点，此时
甲、乙两人均在DA 边，且为第一次处于同一条边。
故正确答案为D。
23
10. 【答案】B
【解析】
方法一：赋值甲每分钟的速度为3，乙每分钟的速度为2。根据甲9：40 到达c 地，则
；乙全程不休息，在10：40 到达c 地，则
，因此ab 的路程
。设甲、乙两人从9 ：00 开始出发t 分钟后相遇，则
，解得t=70，因此甲、乙相遇的时间为9：00+70 分钟=10：10。
方法二：赋值甲每分钟的速度为3，乙每分钟的速度为2。根据乙9：00 出发，在10：40 到达
c 地，可得乙从b 地到c 地的路程为2×100=200。当甲9：50 离开c 地继续向b 地前进时，乙
已走的路程为2×50=100，此时甲、乙继续相向而行所需的相遇时间
分钟，则甲、乙相遇时间为9：50+20 分钟=10：10。
故正确答案为B。
六、排列组合与概率
1. 【答案】B
【解析】
根据题意，只需将4 个名额分给三个科室即可，可用枚举法列表如下：
共有10 种分配方式。
故正确答案为B。
2. 【答案】C
【解析】
24
老李花了40 元购买门票，依次游览了不同景点，分情况讨论：
分类一，游览2 个门票为20 元的景点：从3 个门票为20 元的景点中选出2 个，考虑顺序，有
种情况；
分类二，游览2 个门票为10 元的景点和1 个门票为20 元的景点：先从3 个门票为20 元的景
点中选择1 个，有3 种情况；再将2 个10 元门票的景点全部选出，有1 种情况；最后将选出
的3 个景点进行排序，有
种情况。分步用乘法，共有3×6=18 种情况。
分类用加法，所求总情况数=6+18=24 种。
故正确答案为C。
3. 【答案】D
【解析】
根据题目要求，分类讨论如下：
（1）A 区4 人，则B 区、C 区各1 人：有
种情况；
（2）A 区3 人，则B 区2 人、C 区1 人或B 区1 人、C 区2 人：有
种情况；
（3）A 区2 人，则：
①B 区3 人、C 区1 人或B 区1 人、C 区3 人：有
种情况；
②B 区、C 区各2 人：有
种情况。
综上，共有30+120+120+90=360 种不同的安排方法。
故正确答案为D。
4. 【答案】B
【解析】
选取3 种蔬果得分总和不低于13 分，则分数组合有（5、5、4）、（5、5、3）、（5、4、4）
三类情况，分类讨论情况数：
①选取两个5 分、一个4 分，有
种情况；
②选取两个5 分、一个3 分，有
种情况；
③选取一个5 分、两个4 分，有
种情况。
则得分总和不低于13 分的组合共有4+3+12=19 种。
故正确答案为B。
5. 【答案】B
25
【解析】
根据题干“往后每一局都由上一局轮空的人对上一局的胜者”，可推出上一局轮空的人下一局
必定参赛，不存在一个人连续轮空两局。已知小张打了3 局可推出小张轮空6-3=3 局，且第一
局小张对小王，故小张轮空的3 局一定是第2、4、6 局，即这3 局都是小王对小李。而小张参
与的分别是第1、3、5 局。根据题干“第3 局的参赛人组合与第一局不同”且第1 局为小张对
小王可推出第3 局情况确定为小张对小李。所以，只有第5 局的参赛人员不确定。
则可能出现的比赛情况如下：
情况一：
情况二：
以上两种情况中，第6 局比赛，小王对小李的胜负各有两种可能性（分别是小王胜或小李胜），
根据题意不同的胜负关系对应不同组合，故最终各局比赛可能的不同组合一共有2×2=4 种。
故正确答案为B。
6. 【答案】B
【解析】
任意2 个分公司分配名额数不同，甲、乙分配的名额都不是最少，且丙比丁多1 个，则丁为最
少，丙为倒数第二；甲不能是最多，则乙为最多，甲为第二。对最少数量分类讨论如下：①丁
为1 时，丙为2，剩余12 个分配名额供甲、乙分配，则甲、乙分配方案可为（3、9），（4、
26
8），（5、7）三种，均满足题意；②丁为2 时，丙为3，剩余10 个分配名额供甲、乙分配，
则甲、乙分配方案可为（4、6）一种，满足题意。其余均不满足题意，故共有4 种不同的分配
方式。
故正确答案为B。
7. 【答案】A
【解析】
题目要求每个区至少选择1 家，则每个区的选择数量只能是（3，1，1）和（2，2，1）的组合。
具体每个区选几家，需要分情况讨论。
如果按照（3，1，1）的组合选择，可选：①A 区3 家，B 区1 家，C 区1 家，有
种情况；②A 区1 家，B 区3 家，C 区1 家，有
种情况。相加共有60+10=70 种情况。
如果按照（2，2，1）的组合选择，可选：①A 区2 家，B 区2 家，C 区1 家，有
种情况；②A 区1 家，B 区2 家，C 区2 家，有
种
情况；③A 区2 家，B 区1 家，C 区2 家，有
种情况。相加共有
60+15+30=105 种情况。
综合以上，共有70+105=175 种情况，在A 项范围内。
故正确答案为A。
8. 【答案】B
【解析】
设甲部门女性员工为x 人，则甲部门男性员工有（x+2）人；乙部门女性员工有（6-x）人；乙
部门男性员工有（6-x）-3=（3-x）人；甲、乙两个部门共有男性员工（x+2）+（3-x）=5 人。
根据公式：概率
，分析如下：
甲、乙两个部门共有5+6=11 名员工，从中随机选出4 人，总情况数
种。
要求选出的4 名员工恰好为2 名男员工和2 名女员工：从5 名男员工中随机选出2 名，有
种
情况；从6 名女员工中随机选出2 名，有
种情况。则满足要求的情况数为
种。
综上，所求概率
。
故正确答案为B。
27
9. 【答案】D
【解析】
设小李答对每道题的概率为p，小王答对每道题的概率为1.5p，则小李连续答对2 道题的概率
为
，小王连续答对2 道题的概率为
。
根据题干“小王连续答对2 题的概率比小李高0.2”，则
，解得p=0.4。
小王答对每道题的概率为1.5×0.4=0.6，前2 题全对的概率为0.6×0.6=0.36；小李答对每道题
的概率为0.4，前2 题全错的概率为（1-0.4）×（1-0.4）=0.36，因此小王前2 题全对且小李前
2 题全错的概率为0.36×0.36=0.1296，在D 项范围内。
故正确答案为D。
10. 【答案】B
【解析】
根据题意，目标被射中则比赛结束，则乙结束比赛表示甲未射中，乙射中，概率为（1-0.3）
×0.5=0.7×0.5……①；丙结束比赛表示甲未射中、乙也未射中，丙射中，概率为：（1-0.3）
× （1-0.5 ）×0.8=0.7×0.5×0.8 … … ②；则乙结束比赛的概率是丙结束比赛概率的
倍。
故正确答案为B。
11. 【答案】D
【解析】
方法一：由题意分类讨论可得：
则3 人中至少有1 人签约该企业的概率为：
。
方法二：本题也可反向思考，即计算3 人均未签约的概率，均未签约的概率
，则3 人中至少有1 人签约该企业的概率
。
故正确答案为D。
28
12. 【答案】A
【解析】
方法一：若小王和小李恰好被分在某队，这队人选总情况数为
种，则小王小李刚好分
在这一队的概率为
。由于一共有4 队，所以小王和小李可以在4 队中任意一队，故小王和小
李恰好被分在同一队的概率是
。
方法二：若小王分到任意一队，则从其余7 个人中抽1 个人与小王同队，正好抽到小李的概率
为。
故正确答案为A。
13. 【答案】A
【解析】
根据公式：概率
，分析如下：从7 名学生中随机抽出3 名做值日，不需要考
虑顺序，则总的情况数为
种情况；这3 名学生的学号恰好为三个相邻自然数的情况为：
01-03，02-04，03-05，04-06，05-07，共5 种情况。综上，所求概率
。
故正确答案为A。
14. 【答案】C
【解析】
根据题意，已知小王想要抽奖3 次恰好中奖300 元，分类如下：
（1）中3 次二等奖（100 元）：每次中二等奖概率相同，均为20%，则连续中3 次的概率为
20%×20%×20%=0.8%；
（2）中1 次一等奖（200 元）以及1 次二等奖（100 元），1 次未中奖：每次抽中一等奖和二
等奖的概率分别为10%和20%，则每次未中奖的概率为1-10%-20%=70%。因需要考虑3 次抽奖
的结果具体是在哪次发生，故列式为：
。
综上所述，总概率为0.8%+8.4%=9.2%。
故正确答案为C。
15. 【答案】A
【解析】
29
根据概率问题公式，概率
。总情况数为45 名老人随机选两人，共有
种情况。满足要求的情况数为在80 岁以上（含80 岁）的11+5=16 人中随机选两人，共有
种情况。则所求概率
。
故正确答案为A。
七、几何问题与其他题型
1. 【答案】C
【解析】
连接AD，设长方形长BC、AD 为4x 米，则宽AB、DC 为3x 米，则根据勾股定理可得长方形对
角线BD
米；根据
为等腰直角三角形，三边比例关系为
，
可得
米；则
=
40000；解得x=50 米，那么AB=CD=150 米，AD=BC=200 米，BD=250 米。
由题意可得F、G 分别为AE、DE 中点，故
米；过E 点做AD 垂线相交于H 点，
过G 点做AD、BC 垂线分别相交于I、J 点，则EH=HD=100 米，GI 为
的中位线，故
米；那么在直角
中，CJ=DI=50 米，JG=IJ+GI=150+50=200 米，根
据勾股定理可得：
米，同理可得：
米；则所求距离
米。
故正确答案为C。
2. 【答案】D
【解析】
30
如图所示，连接EG，过F 向DC 作垂线，垂足为H，与EG 交于点M，根据题意可知
，E、F、G 分别为所在边的中点，则梯形ABCD 为等腰梯形，EG 为等腰梯形ABCD
的中位线，FH 为等腰梯形ABCD 的高，FM 为
的高，
，
，
由图可知
，设AF 长度为a，FH 长度
为2h，则AB=2a、CD=4a、FM=h，根据梯形面积公式：
，可得
；根据三角形面积公式：
，可得
，则
，即
亩，因此
亩。
故正确答案为D。
3. 【答案】A
【解析】
根据题干，观光园如图所示：
【解析】
几何问题。根据题意整个长方形观光园面积=50×40=2000 平方米。其中水平直线型的小路面
积=50×2=100 平方米，两条斜线型小路经过拼接可组合成一条底为1，高为38 的平行四边形
31
小路，面积=1×38=38 平方米。修完小路后观光园剩下部分的面积=2000－100－38=1862 平方
米。
故正确答案为A。
4. 【答案】B
【解析】
如图所示：过公路作A 点的对称点为
，交公路于点M；过B 点作公路的垂线，垂点为N；过
的垂线，垂点为
；过A 点作BN 的垂线，垂点为D，则四边形ADNM 和
为矩形。
连接
，交MN 于点O，根据两点之间线段最短，可知将物资集散中心修建在O 点时，到
两村的直线路程之和最小。
已知AM=3 公里，BN=7 公里，则BD=BN-DN=BN-AM=7-3=4 公里。在直角
中，已知AB=8.5
公里，根据勾股定理可得
公里，则
公
里。在直角
中，
公里，根据勾股定理可得
公里。
货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心所走最短路程
公里，则所需时间约为
。
故正确答案为B。
5. 【答案】B
【解析】
作E 点关于AD 和AB 的垂线，分别交于F 点和G 点，易得AG=FE，如下图所示：
32
方法1：根据BE=6cm、AE=8cm、AB=10cm，可得
为以E 为直角顶点的直角三角形。由
于
且有公共顶角
，故
，即
，代入数据
可得
，解得AG=FE=6.4cm，
。
方法2：观察图像可得，
、AG＜AE=8cm，故5cm＜FE＜8cm，代入
中可得
，仅B 项满足。
故正确答案为B。
6. 【答案】B
【解析】
根据几何等比例放缩性质，在立体几何中，体积比等于相似比的立方。因圆锥形容器倒置底部
朝上，且“水的高度恰好为容器高度的一半”，则
，即相似比为1：2，则
。因容器内现装有1 瓶容量的水，则装满容器需要8 瓶水，需要再倒
入水的瓶数为8-1=7 瓶。
故正确答案为B。
7. 【答案】A
【解析】
由图可知，平台的外表面是由三层平台的上表面和侧面组成的。三层平台的上表面相当于直径
为100 米的大圆面积，侧面则由三个圆柱体侧面积组成。由于大圆直径为100 米，则半径为
50
米，三层平台的上表面面积
；上层侧面积
平方米；中层侧面积
平方米；下层
侧面积
平方米。故共需要维护2500π+340π+400π+500π
=3740π平方米。
33
故正确答案为A。
8. 【答案】B
【解析】
如上图所示，结合题意可知AE+ED=20 米，且四个梯形为全等梯形，则OE=ED=OF，AE=FH，由
此可得AB=FH+OE=AE+ED=20 米，BH=AE+OF=AE+ED=20 米，BC=2×BH=40 米。梯形ABCD 的面
积为
平方米。该实验田玉米总产量为
110+115+125+130=480 千克，则该实验田玉米的平均产量为
千克/平方米。
故正确答案为B。
9. 【答案】C
【解析】
本题属于平面几何求最短路径问题，以AC 为对称轴作E 点的对称点
（如下图），与AC 交
于点G，连接
与AC 交于点F，再连接EF、
，则两条线路长度之和最小为
。因为
为等腰直角三角形，可得
，则
，可得
，已知E 为AB 中点，则
，
，即
公里。
故正确答案为C。
10. 【答案】A
【解析】
34
连接BE，如下图所示。根据题意BCEF 为矩形，则
且BC=EF=400 米，
，那
么
与
为同底等高的三角形，即
，那么
平方米，即12 万平方米。
故正确答案为A。
11. 【答案】A
【解析】
设今年爸爸与妈妈年龄之和为x 岁，孩子年龄为y 岁，则
，解得y=10，所
以今年爸爸与妈妈年龄之和为80 岁。
方法一：根据结论“当两数和为定值时，两数越接近其乘积越大”，又已知“一家三口年龄各
不相同”，故爸爸为41 岁，妈妈为39 岁时，其年龄在各种组合中乘积最大。
方法二：今年爸爸与妈妈年龄之和为80 岁。
代入A 项，妈妈今年39 岁，爸爸今年41 岁，其年龄乘积为1599；
代入B 项，妈妈今年40 岁，爸爸今年也为40 岁，与题干条件矛盾，排除；
代入C 项，妈妈今年50 岁，爸爸今年30 岁，其年龄乘积为1500＜1599，排除；
代入D 项，妈妈今年51 岁，爸爸今年29 岁，其年龄乘积为1479＜1599，排除。
故正确答案为A。
12. 【答案】C
【解析】
设需要浓度为40%的盐水x 克，需要盐（120-x）克。根据混合前后溶质质量不变，结合题意可
列式：
，解得x=100，即需要浓度为40%的盐水100 克。
故正确答案为C。
13. 【答案】D
【解析】
35
根据题意，如果在有彩色珠子的每个杯中均取出一颗珠子，则原来各杯中珠子数量均少1。并
且此时各杯中珠子数量仍与原先一致，故杯中珠子成等差数列排布且公差为1，每项减1 后，
数量都与前一项对应。由于有空杯，则
，末项
，根据等差数列前n 项和公式
，可得
，解得n=10。
故正确答案为D。
14. 【答案】C
【解析】
容斥问题。甲乙丙至少一项的有65×80%=52，三者都不为13 人，没有甲认证和有乙认证一样
多，则同时满足甲和乙的等于仅有丙认证加上三者都不共16 人，由于三者都满足为6 人，则
只满足甲乙两者为10 人。
故正确答案为C。
15. 【答案】C
【解析】
设该研发小组有x 人，则参与了A 项目的有
人，参与了B 项目的有
人；设两个项目都不参与的有y 人，则两个项目都参与的有（y+2）人。根
据两集合容斥原理公式：
，可列式：0.6x+0.45x-（y+2）=x-y，
解得x=40，即该研发小组有40 人。
故正确答案为C。
36
数量关系进阶100 题解析
一、解题方法
1. 【答案】D
【解析】
设参与研学的教师有x 人，则参与研学的大学生有（110-x）人；设乘坐索道的有y 人，则未乘
坐索道的有（110-y）人。根据题意，大学生半票后为
元/人，则门票费共
元；索道费共70y 元。根据“若支付的门票和索道费共11750 元”，可列方程
45×（110-x）+70y=11750，整理得14y-9x=1360。优先考虑代入选项进行验证，代入x=6，解
得y=101，符合题意；代入x=10，解得
，为非整数，不符合题意，排除；代入x=20，
解得y=110，符合题意。综上，参与研学的教师有6 人或20 人。
故正确答案为D。
备注：此题表述不太严谨，可以选择乘坐索道也可以选择不乘坐索道，若更改表述为“若乘坐
索道另付70 元/人”，会更加严谨。
2. 【答案】C
【解析】
设每束8 枝有a 束，每束9 枝有b 束，根据玫瑰花总枝数相同可列式：8a+3=9b+5，整理可得：
8a=9b+2。根据奇偶特性可知，8a 和2 均为偶数，则9b 为偶数，即b 为偶数。根据要求数量
最多的一束玫瑰花最少，那么玫瑰花总枝数要最少，即b 取值要尽量小，分情况讨论：
若b=2，则a=2.5，不是整数，不符合题意；
若b=4，则a=4.75，不是整数，不符合题意；
若b=6，则a=7，符合题意，则此时玫瑰花总枝数最少为8×7+3=59 枝。要使数量最多的一束
玫瑰花枝数最少，则另外两束玫瑰花枝数要尽可能多，设数量最多的一束玫瑰花最少有x 枝，
又因3 束玫瑰花枝数各不相同，可得玫瑰花枝数如下：
根据玫瑰花总共有59 枝，可列式：x+x-1+x-2=59，解得
，问最少，向上取整21 枝。
故正确答案为C。
37
3. 【答案】B
【解析】
设已完成升级的规模以上企业有x 家，则未完成升级的规模以上企业有（1+0.6）x=1.6x 家。根
据题意可得：x+1.6x=2080，解得x=800。
故正确答案为B。
4. 【答案】C
【解析】
由题意可知，基础地质实验结束时，海洋科学实验完成了40-8=32 次，地球物理实验完成了
40-16=24 次，则在相同时间内海洋科学、地球物理两个实验室完成的实验次数之比为32：24=4：
3。当海洋科学实验结束时，地球物理实验已完成
次，尚需进行40-30=10 次。
故正确答案为C。
5. 【答案】B
【解析】
根据题意，设原三位数百位、十位、个位的数字分别为、、，则可得方程组：
；
；
。解得
，
，
，则原三位数百位、十位、个
位的数字之和
。
故正确答案为B。
6. 【答案】B
【解析】
根据题意，该公司今年自主研发生产的A 、B 、C 三种型号氢燃料电池的产量和为
42.4×10000×10%=42400 块。已知C 型号的产量比A、B 两种型号的产量之和还多400 块，则
A、B 两种型号的产量之和为
块，A 型号氢燃料电池的产量是B 型号的2 倍，
则B 型号氢燃料电池的产量为
块。
故正确答案为B。
7. 【答案】C
【解析】
38
设派发口罩数量最少的那栋楼最少派发口罩x 盒。要让派发口罩数量最少的楼栋派发口罩最少，
则其他楼栋口罩派发尽量多，且派发口罩最多的楼栋不超过最少的1 倍，即派发口罩最多的楼
栋最多派发口罩2x 盒。由于任意两栋楼派发口罩数量都不相同，则可列表如下：
根据口罩一共有230 盒可列式：2x+2x-1+2x-2+2x-3+2x-4+2x-5+2x-6+2x-7+2x-8+x=230，化简可得：
19x-36=230，解得x=14。那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发口罩14 盒。
故正确答案为C。
8. 【答案】B
【解析】
设大银杯容量为x，小银杯容量为y，赋值1 斛酒的量为1；根据题意可列方程：5x+y=3……①，
5y+x=2……②，联立①②解得
，
。则1 斛酒可倒满的小银杯数量
，
故至多可以倒满小银杯的数量为3 个。
故正确答案为B。
9. 【答案】C
【解析】
设甲型设备单价为x 万元，乙型设备单价为y 万元。根据题意可得方程：2x+3y=120+10……①，
3x+2y=120-10……②；联立①②解得x=14，y=34。最终购买5 台设备，总费用不超过总预算120
万元。
第一种购买方案：5 台甲设备，14×5=70<120，符合题意；
第二种购买方案：4 台甲设备，1 台乙设备，14×4+34=90<120，符合题意；
第三种购买方案：3 台甲设备，2 台乙设备，14×3+34×2=110<120，符合题意；
第四种购买方案：2 台甲设备，3 台乙设备，14×2+34×3=130>120，不符合题意；
第五种购买方案：1 台甲设备，4 台乙设备，14+34×4=150>120，不符合题意；
第六种购买方案：5 台乙设备，34×5=170>120，不符合题意。
因此，共有3 种购买方案。
故正确答案为C。
10. 【答案】B
39
【解析】
方程法。设甲配置的电脑的价格为x，乙配置的电脑的价格为y，丙配置的电脑的价格为z，已
知x+y+z=2.3 为1 式，2x+y-z=2.2 为2 式，不定方程组求表达式的值用赋值法，令x=0，分别解
得y=2.25，z=0.05，代入x+3y+7z=7.1。
故正确答案为B。
11. 【答案】A
【解析】
设每辆大车的载货量为x，每辆小车的载货量为y，则第一趟的运输量为10x，第二趟的运输量
为10x+15y。根据题意可列式：
，整理可得：x=3y，即每辆大车的
载货量是小车的3 倍。
故正确答案为A。
12. 【答案】D
【解析】
设3 月节电量为6x 万度，则1 月节电量为
万度，2 月节电量为
万度，根据“2
月节电量比1 月少4 万度” 可得：4x=5x-4 ，解得x=4 。故今年一季度企业节电量
=5x+4x+6x=15x=15×4=60 万度。
故正确答案为D。
13. 【答案】B
【解析】
根据题干“答完每道题时当前的得分都不低于1 分”可知，第一题和第二题均答对，第三题分
情况讨论：
①第三题答对，此时有3 分，第四题和第五题不论是答对还是答错，均能保证答完每道题时当
前的得分都不低于1 分，故第四题和第五题答题情况均为2 种，分步用乘法，有2×2=4 种情
况；
②第三题答错，此时还剩1 分，所以第四题必须答对，第四题答对后有2 分，则第五题不论答
对还是答错均满足题干条件，有2 种情况。
分类用加法，即共有4+2=6 种情况。
故正确答案为B。
14. 【答案】D
40
【解析】
根据“2024 年甲、乙、丙三人的年龄之和与2034 年甲的年龄相同”可得：甲+乙+丙=甲+
（2034-2024），化简为：丙=10-乙……①，根据“乙的年龄小于甲但大于丙”，则乙>5。年龄
问题优先考虑代入排除法，问最小，按照从小到大依次代入。
代入D 项，当甲=9 时，根据“甲、乙的年龄之差大于乙、丙的年龄之差”可得：9-乙>乙-丙……
②，将①代入②，解得：
，又因乙>5，则乙=6，丙=10-6=4，满足题干所有条件，无需
验证其他选项。
故正确答案为D。
15. 【答案】D
【解析】
根据题意，该门店每周的营业额为1×5+2×2=9 万元，
周……2 天，即该月1-16 日的
总营业额包含2 个整周加2 天的营业额，这2 天的营业额为22-9×2=4 万元，则多出的这2 天
只能是星期六和星期日，即该月1-16 日包含3 个星期六和3 个星期日，连续的14 天（3 日至
16 日）包含星期一至星期日各2 个，则该月1 日只能是星期六，该月8 日也是星期六。
故正确答案为D。
二、和差倍比
1. 【答案】C
【解析】
方法一：调动后，甲、丙、丁三个部门的员工数分别为
名、63 名、210-63-63=84
名。则调动前，甲、丙、丁三个部门的员工数分别为63 名、63-20=43 名、63-10=53 名，原乙
部门有210-63-43-53=51 名员工。
方法二：调动后，甲、丁两个部门的员工数分别为
名、
名。
则调动前，甲、丁两个部门的员工数分别为63 名、63-10=53 名，可知乙部门并入丁部门的员
工数为84-53=31 名，原乙部门有20+31=51 名员工。
故正确答案为C。
2. 【答案】C
【解析】
41
设蜀国进攻兵力为x 名士兵，则魏国为3x 名士兵，吴国为2x 名士兵。根据题意，可列表如下：
若要使得蜀、吴两国的进攻总兵力高于魏国的防守兵力，则x+2x>50000-3x，整理可得6x>50000，
解得
，排除A、B 两项；且蜀、吴两国防守总兵力也高于魏国的进攻兵力，
则
，整理可得
，解得
，排除D 项。
故正确答案为C。
3. 【答案】A
【解析】
设甲品种的有效样本为x 份，则乙品种的有效样本为（36-x）份，根据乙品种采集样本30 份可
列乙品种的无效样本为30-（36-x）=（x-6）份，故甲品种的有效样本比乙品种的无效样本多x-
（x-6）=6 份。
故正确答案为A。
4. 【答案】B
【解析】
根据题意，
，即2 分球命中次数是5 的倍数；
，即3
分球命中次数是4 的倍数。设2 分球命中次数为5x 个，3 分球命中次数为4y 个，罚球命中次
数为z 个，可列式：
，由于x、y、z 均为正整数，故x、y 均只能取1，
此时z=3，罚球命中率
，在B 项范围内。
故正确答案为B。
5. 【答案】C
【解析】
根据题意，设每天定量的自然损耗为x 吨，根据农副产品总量不变可列式：
1.5×50+50x=2×40+40x，解得x=0.5，即每天定量的自然损耗为0.5 吨，故这批农副产品有
1.5×50+0.5×50=100 吨。
故正确答案为C。
6. 【答案】A
42
【解析】
根据“其中选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占，和”可知，总
人数是7、2、3 的倍数，又因7、2、3 互质，所以总人数为7×2×3=42 的倍数。由于选择创
业的大学毕业生不到50 人，则总人数为42 人。因此选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒
体运营领域的人数分别为：
人、
人、
人，则选择高科技领域
创业的大学毕业生有42-6-21-14=1 人。
故正确答案为A。
7. 【答案】A
【解析】
根据题意，第二次定制的乙变为第一次的，假设第二次定制的甲也变为第一次的，则第二
次总定制数量为
个，第二次总金额为
元。此时比实际第二次定制
少了70-12.5＝57.5 个甲，总金额少了57.5×15＝862.5 元，所以实际第二次定制花费
287.5+862.5=1150 元。
故正确答案为A。
8. 【答案】B
【解析】
和差倍比问题。根据甲的人数比乙多26%，可知甲：乙= 126：100 = 63：50。设甲为63x，乙
为50x，根据“现丙调3 人去乙后，两个团队人数相同”，丙−3 = 50x + 3，可知丙为50x+ 6，
则甲+ 乙+ 丙= 163x + 6，根据总共300 多人，可知x= 2，则总共有163 × 2 + 6 = 332 人。
则此时甲=126 人，丙= 50 × 2 + 6 −3 = 103 人。设调入n 个人去丙，可列103 + n＞2（126 −
n），解得：n＞
149
3 ，则至少50 人。
故正确答案为B。
9. 【答案】C
【解析】
设该企业申请的A 贷款为x 万元，则申请的B 贷款为（6000－x）万元。
根据“每年共需付利息500 万元”，可列式8%×x+9%×（6000-x）=500，解得x=4000，即该
企业申请的A 贷款为4000 万元，B 贷款为6000-4000=2000 万元，两种贷款相差4000-2000=2000
万元。
43
故正确答案为C。
10. 【答案】A
【解析】
赋值全部选票为30 张，则需得到
张选票才可当选。统计到
张选票时，此
候选人已得到
张选票，若当选还需得到18-15=3 张选票。剩下选票数为30-20=10
张，若能当选还要得到剩下选票中的
。
故正确答案为A。
11. 【答案】B
【解析】
设原来甲、乙两袋杂粮的重量分别为5x 公斤和2x 公斤，根据题意可列式：
，解得
x=2。则甲袋杂粮原来重量为5x=5×2=10 公斤。
故正确答案为B。
12. 【答案】D
【解析】
设计划收割水稻30x 公顷，则第一天收割了
公顷，第二天收割了
公顷。根据题意，可列等式：9x+14x+50=30x+15，解得x=5，计划收割水
稻30×5=150 公顷。
故正确答案为D。
13. 【答案】A
【解析】
根据题意可知，该居民楼居住总人数应既是12 的整数倍又是16 的整数倍，即是48（12 和16
的最小公倍数）的整数倍；又根据总人数介于90 和110 之间，即总人数为96 人。则30 岁以
下居民有
人，50 岁及以上居民有
人，故30 岁以下居民比50 岁及以
上居民多38-8=30 人。
故正确答案为A。
14. 【答案】A
44
【解析】
设其中5 个部门的员工人数分别为2x、3x、4x、5x、6x，另外1 个部门的员工人数为a，则有
2x+3x+4x+5x+6x+a=192，整理可得20x+a=192。合并前人数最少的部门员工人数为2x 或a，因
人数为整数，则20x 的尾数为0，a 的尾数为2-0=2，观察选项尾数均不满足，则可判断合并前
人数最少的部门为2x 人，根据所求应为2 的倍数，可排除B、D 两项。由于求人数最少，则从
小到大代入。代入A 项，2x=16，解得x=8，即其中5 个部门的员工人数分别为16、24、32、
40、48，则a=192-20x=32。设合并后3 个部门的员工人数分别为3y、4y、5y，则有3y+4y+5y=192，
解得y=16，即合并后3 个部门的员工人数分别为48、64、80，因16+32=48，24+40=64，48+32=80，
满足题干所有条件，当选。
故正确答案为A。
15. 【答案】C
【解析】
方法一：由于被录取的有280 人，其中男女人数比是3：4，可知被录取的男女人数分别为：
人、280-120=160 人。设来应聘的男性人数为18x 人、女性人数为17x 人，根
据未被录取的男女人数比是6：5，可知
，解得x=30。则同来应聘的共有
人。
方法二：来应聘的男女人数比是18：17，可知来应聘的总人数是18+17=35 的倍数，选项720
不是35 的倍数，排除B 项。根据未被录取的男女人数比是6：5，可知未被录取人数是6+5=11
的倍数。而应聘总人数-录取人数=未被录取人数，代入剩余选项：A 项，630-280=350，不是11
倍数，排除；D 项、1400-280=1120，不是11 倍数，排除。C 项，1050-280=770，是11 倍数，
当选。
故正确答案为C。
三、工程问题
1. 【答案】B
【解析】
工程问题。对甲、乙工作效率分别赋值为3 和2，根据题意，求得A 订单的总量为24，B 订
单总量为16，则甲完成B 订单的用时比乙完成A 订单的用时少（
24
2 −
16
3 ）=
20
3 h，即6 小时40
分钟。
45
故正确答案为B。
2. 【答案】C
【解析】
12：00 至16：00，3 台收割机均工作4 小时，共收割
亩小麦，则12：00 之前3
台收割机收割50-24=26 亩小麦。设12：00 之前乙收割机工作了x 小时，收割面积为2x 亩，根
据题意可列等式：
，解得x=4，即乙收割机在12：00 之前工
作了4 小时，则乙是在8：00 开始工作的。
故正确答案为C。
3. 【答案】C
【解析】
要使所需时间最少，则让两个车间分别生产相对效率更高的模块。甲车间相对于乙车间生产A
模块的效率为
，生产B 模块的相对效率为
，比较发现，甲车间生产A 模块的相对
效率更高，故先由甲车间生产A 模块，乙车间生产B 模块。甲车间生产A 模块需要
天，此时乙车间已生产B 模块2×20=40 个，还剩40×2-40=40 个B 模块由两车间共同生产，
需要
天，故至少需要20+8=28 天。
故正确答案为C。
4. 【答案】D
【解析】
根据题意可知：工作总量=30（甲+乙）=2×[5×（甲+乙）+15 乙]，整理可得：20 甲
=10 乙，即甲：乙=1：2。赋值甲、乙的效率分别为1、2，则工作总量=30×（1+2）=90。
根据题干“该工程比原计划提前2 天完成”可知，实际完成该项工程需要30-2=28 天，当丙工
程队加入时，时间已经过了5+15=20 天，即完成工程的后一半中乙、丙工程队的工作时间为
28-20=8 天，根据“3 天后甲工程队返回”可知，甲工程队的工作时间为28-20-3=5 天。
综上可列式：
，整理可得：
8×（2+丙）+5×1=45，解得：丙=3，则丙工程队的效率是甲工程队的
倍。
故正确答案为D。
5. 【答案】D
46
【解析】
赋值升级之前甲、乙、丙三家工厂每天的效率分别为3、4、5，则生产任务总量=12×（3+4+5）
=144 。升级后三家工厂每天的效率之和为
，则升级后丙每天的效率为
，故丙的效率提升了
。
故正确答案为D。
6. 【答案】B
【解析】
用M、N 分别表示两架无人机的工作效率，根据题意可得：
，化简得
M：N=2：1。赋值M 无人机的工作效率为2，N 无人机的工作效率为1，则喷洒整片农田的工
作量为2×2+5×1=9，仅由M 无人机喷洒农药，那么喷洒完整片农田需要9÷2=4.5 小时。
故正确答案为B。
7. 【答案】D
【解析】
工程问题中给具体值，方程法解题。设A 订单甲、乙产量分别为
个、
个，B 订单乙、丙产
量分别为
个、个，根据题意可得：
，解得
，则A 订单共生产
个零件；
，解得
，则B 订单共生产
个零件。
个
个，即A 订单的零件个数比B 订单多100 个以上。
故正确答案为D。
8. 【答案】A
【解析】
方法一：赋值该项任务的工作总量为1，设甲的效率为x，乙的效率为y，且x>y，根据“甲、
乙分别单独完成的天数之和是合作完成天数的4.5 倍”，可列式：
，化简
为：
，解得：x=2y 或2x=y（排除）。根据“甲、乙先合作12 天，乙再单
独工作12 天，恰好完成”，可列式：12（x+y）+12y=12x+24y=1，将x=2y 代入可得：12x+12x=1，
解得
，则甲单独完成这项任务需要
天。
47
方法二：根据“甲、乙先合作12 天，乙再单独工作12 天，恰好完成”，又“甲的效率比乙高”，
可知甲单独完成这项任务一定是小于12+12+12=36 天的，排除C、D 两项。剩余两项代入一项
验证即可：
代入A 项，甲单独完成这项任务需要24 天，根据“甲、乙先合作12 天，乙再单独工作12 天，
恰好完成”，可得：（甲+乙）×12+12 乙=24 甲，解得：甲=2 乙，赋值乙的效率为1，则甲的
效率为2，该项任务的工作总量为24×2=48，乙单独完成的天数为
天，甲、乙合作完
成的天数为
天，24+48=16×4.5，符合“甲、乙分别单独完成的天数之和是合作完成
天数的4.5 倍”，当选。
故正确答案为A。
9. 【答案】C
【解析】
根据题意，甲先用机器生产，乙先手工生产，刚开始生产阶段甲的效率（即图中的斜率）大于
乙，排除A、B 两项。手工生产与机器生产的效率之比为2：6=1：3。甲先用机器生产任务总
量的一半，剩余任务量换手工生产，任务量相同，时间与效率成反比，则甲后一半任务量用时
是前一半任务量的3 倍，排除D 项。
故正确答案为C。
10. 【答案】D
【解析】
设检修前甲每天生产x 件产品，则乙每天生产（x+5）件产品。根据题意，则可列式：
，解得x=45。乙生产450 件产品需用时
天，此时甲生产45×9=405
件产品。检修后乙每天生产45+5-10=40 件产品，设开始检修后又生产y 天结束生产任务，根
据题干“此时两条生产线产量相同”，可列式：405+45y=450+40y，解得y=9。故开始检修后，
乙生产线共生产了40×9=360 件产品。
故正确答案为D。
11. 【答案】B
【解析】
48
赋值工作总量为60（12 和20 的最小公倍数），则甲播种机工作效率为
，乙播种机工
作效率为
，根据题干“计划同时使用两台播种机完成播种任务”，则原计划完成播种
任务共需
小时。两台播种机3 小时共播种（5+3）×3=24，乙播种机维修的2 小时中
甲播种机播种了5×2=10，剩余60-24-10=26 个工作量由甲播种机和修好后的乙播种机共同完
成，根据题干“修好后的效率降低了20%”，则此时乙播种机的效率为3×（1-20%）=2.4，剩
余工作量还需要
小时，则实际完成播种任务所用时间为
小
时，故所求为
小时
小时，在B 项范围内。
故正确答案为B。
12. 【答案】B
【解析】
工程问题。已知甲乙完成这项工作的25%需要六天，则甲乙两人完成全部工作量需要24 天，
由于甲乙已经完成工作量的25%，则剩余工作量为总工作量的75%，乙丙完成剩余工作量的
2
3，
则完成全部工作量的50%需要15 天，则完成全部工作量需要30 天。乙独自完成全部工作量
的25%需要11 天。则乙完成全部工作量需要44 天。故赋值工作总量为时间的最小公倍数
1320。则乙效率为30，又已知乙在和别人合作时效率增加10%。则以效率为33 ；则可求
得甲效率为
1320
24 −33 =22 。丙的效率为
1320
30 −33 =11 。则三人共同合作需要
1320
（33+22+11）= 20 天。
故正确答案为B。
13. 【答案】B
【解析】
工程问题。根据题意可列等式：5 �甲+ �乙+ 5�甲= 4 �甲+ �乙+ 9�乙，解得�甲：�乙= 4 ：
3，则设甲、乙两工程队每小时的效率分别为4 、3，工作总量= 5 × (4+ 3)+ 5 × 4 = 55 。若全
程由甲完成需要工费
55
4 × 1000 = 13750 元，若全程由乙完成需要工费
55
3 × 600 = 11000 元，13750
−11000 = 2750 元，即高不到3000 元。故正确答案为B。
14. 【答案】C
【解析】
49
工程问题。根据题干，已知乙=4 甲=2 丙，丁=1.5 丙，问甲、丁之间的关系。根据上述可得丙
=2 甲，故丁=1.5 丙=3 甲。
故正确答案为C。
15. 【答案】A
【解析】
根据题意可知，小张、小王和小李每小时完结任务的单数分别为
单、
单和
单，3 人一天最多可完结259 单，则一天工作时间为
小时。已知机器
人每小时可处理
单，处理工单中的80%可正常完结，剩余20%仍需人工重新办理，若
机器人剩余工单由人工重新办理，那么在相同时间内，人工少做的单数与其相同，故无需考虑
机器人处理失败的单数，由此可得当天小王、小李和机器人最多可完结30×7×80%+7×（12+15）
=7×（24+27）=357 单。
故正确答案为A。
四、利润问题
1. 【答案】B
【解析】
根据题意可知，每月固定投资为
元，所以每月总成本为
5000+25000+5000+8000+8000+1000=52000 元。设每天（一个月以30 天计算）要至少卖出x 杯
咖啡才能够达成期望，根据公式：盈利=售价-成本，则可列式：
，
解得x=160。
故正确答案为B。
2. 【答案】A
【解析】
根据题意可知，该农场共有种植面积100 亩，即a+b=100，则b=100-a。设总成本为Y，则
。
方法一：
，令
，解得a=2，此时Y 取最小值，
即总成本最少。
50
方法二：求解
，可将选项依次代入验证。
代入A 项：a=2，则
万元；
代入B 项：a=12，则
万元；
代入C 项：a=22，则
万元；
代入D 项：a=32，则
万元。
比较可知，当a=2 时，Y 值（总成本）最少。
故正确答案为A。
3. 【答案】C
【解析】
根据题意可知，小张实际支付400 元有两种情况，按原价购买或打8 折，要想节省更多的钱，
则分开支付时优惠力度小，即按原价购买，原价为400 元。实际支付630 元也有两种情况，打
7折或打6 折，同理，分开支付时打7 折，则原价为
元。所有商品的原价为400+900=1300
元＞988 元，一次性购买可以打6 折，需要支付1300×0.6=780 元，比分两次购买最多可节省
400+630-780=250 元。
故正确答案为C。
4. 【答案】A
【解析】
经济利润问题。已知甲的销售量是乙的2 倍，设乙的销售量为x，甲为2x，丙为y，根据
“某日销售三种农产品共240 包”可得x + 2x + y = 240，根据“总销售额为6000 元”可得30
× 2x + 24 × x + 20 × y = 6000，联立两个方程解得y = 90。
故正确答案为A。
5. 【答案】D
【解析】
经济利润问题。假设去年上半年的支出为x，那么去年下半年的支出为（960 - x）；今年上半
年的支出为0.8x，今年下半年的支出为0.85 × （960 - x）；根据盈余=收入-支出，可得1200
- [0.8x + 0.85 × （960 - x）] = 1200 - 960 + 172；解得x = 560。那么今年上半年的支出为0.8x =
51
0.8 × 560 = 448，今年下半年的支出为0.85 × （960 - x）= 0.85 × （960 - 560）= 340。因
此今年上半年支出比下半年多448 - 340 = 108 万元。
故正确答案为D。
6. 【答案】A
【解析】
经济利润问题。设这批服装单件成本为x 元，根据题意可列方程：1.5x×300+1.3x×（500-300）
×
1
2+0.7x×100-500x=15000，解得x=100，即这批服装单件成本为100 元。
故正确答案为A。
7. 【答案】C
【解析】
设乘坐该客轮每位乘客可以免费携带行李公斤，甲乘客行李重公斤，乙乘客行李重公斤。
根据题意可知，由其中一人携带全部行李时，超重部分比两人单独携带多
公斤，费用多20-10-2=8 元，则超出重量每公斤价格为
元，此时
可得：
……①、
……②，联立①②，解得：
、
。根
据题意可知：
，即
，解得：
。
故正确答案为C。
8. 【答案】D
【解析】
设甲商品的单价为x 元，则乙商品的单价为（25-x）元。由于小王下单购买了2 件甲商品和4
件乙商品，共优惠16 元，可列等式：
，解得x=20，
即甲商品的单价是20 元。
故正确答案为D。
9. 【答案】D
【解析】
方法一：根据题意，两次加油的油价可以相等也可以不相等，且没有给出具体的油价，因此可
对两次的油价赋值。若两次加油价格不相等：赋值第一次加油的平均价格为10 元/升，第二次
加油的平均价格为5 元/升。根据平均价格
，若采用第一种方式加油，可知
52
，若采用第二种方式加油，可知
，
则x<y；若两次加油价格相等：赋值两次加油的平均价格均为10 元/升。根据平均价格
，
若采用第一种方式加油，可知
，若采用第二种方式加油，可知
，则x=y；综上可知，
。
方法二：设第一次加油的平均价格为a 元/升，第二次加油的平均价格为b 元/升。根据平均价
格
，若采用第一种方式加油，可知
，若采用第二种方式加油，可知
。则
，由于
，且2（a+b）>0，可知
，即
。
故正确答案为D。
10. 【答案】C
【解析】
根据题意，购买3 种商品在甲、乙两店的花费如下表：
比较可得，购买其中两种商品各一件，最少花费45+49.5=94.5 元，在C 项范围内。
故正确答案为C。
备注：同一家店，85 元商品的花费一定高于75 元商品，实际计算时算出75 元商品在甲、乙
两店的花费均大于45 元，即可确定花费最少的情况，无须再计算85 元商品进行比较。
五、行程问题
1. 【答案】C
【解析】
53
追及问题。由题可知，小张行驶全程150 公里用时为2 小时30 分，根据公式：速度
=
路程
时间=
150
2.5=60 公里/小时，小张行驶135公里时小李追上他，可知小张行驶135公里用时=
135
60 =
9
4
小时，小李比小张晚出发1 小时，所以小李行驶135 公里用时为
9
4 -1=
5
4小时。
法一：小李的速度=路程÷时间=135÷
5
4=108 千米/小时
法二：路程一定时，速度与时间成反比，所以小李的时间比小张的时间=小张的速度比小李的
速度，即
1.25
2.25 =
60
�，可得小李的速度V=
2.25×60
1.25
=108 千米/小时。
故正确答案为C
2. 【答案】B
【解析】
若要铺设电缆总长度最短，则铺设的线路应尽量少且每条线路的长度应尽量短。六栋办公楼，
最少需要5 条线路即可联通。最短路径优先，选择AB、AC、CF、BE、AD，此时六栋楼均被连
通且铺设电缆的总长度最短，故所求为（4+5+6+7+7）×10=290 米。
故正确答案为B。
3. 【答案】D
【解析】
设起始位置与第一个标记点之间、任意两个标记点之间的距离均为x，此人以v 的速度匀速攀
岩，根据题意可得：2x<30v<3x……①，4x<70v<5x……②。
方法一：化简①式，可得
，化简②式，可得
，联立①②两式，可得
。匀速攀爬了120 秒，则有
，即在第八个和第九个标记点之间。
方法二：将①式×4，可得8x<120v<12x，则该攀岩者一定超过了第八个标记点，观察选项，只
有D 项满足。
故正确答案为D。
备注：本题对于在起点处是否放置标记点的理解有歧义，但是如果起点放置标记点，则根据题
意可得：x<30v<2x……①，3x<70v<4x……②。分析可得
，即120 秒后该攀
岩者会在第六个和第八个标记点之间，无法确定答案。
4. 【答案】B
【解析】
54
根据题意可知，该货车第一次到达C 地的时间为8：30，则从A 地到C 地需行驶8：30-8：00=30
分钟；第二次到达C 地的时间为9：15，则从C 地到B 地再返回至C 地需行驶9：15-8：30=45
分钟，继续行驶返回至A 地还需从C 地驶到A 地，故回到A 地的时间为9：15+30 分钟=9：45。
回到A 地后，速度变为n+0.5n=1.5n，根据路程不变，速度与时间成反比，速度前后之比为2：
3，则时间前后之比为3：2。则该货车9：45 从A 地再次出发，第三次到达C 地需用时
分钟；继续行驶，到达B 地后再返回C 地需用时
分钟，故其第四次到达C 地的时
间是9：45+20 分钟+30 分钟=10：35。
故正确答案为B。
5. 【答案】A
【解析】
设小李开车匀加速行驶10 分钟后的速度为v 千米/小时，则匀速行驶20 分钟时的速度为v 千
米/小时。根据公式：匀加速运动的平均速度
，可得小李开车前10 分钟匀加速行驶的
平均速度为
千米/小时。根据“两次匀加速行驶总距离与匀速行驶距离相等”，可得
，解得v=54，即匀速行驶的速度是54 千米/小时。
故正确答案为A。
6. 【答案】C
【解析】
小朗从一号门跑到两人迎面相遇的位置用时6 分钟，小峰从两人迎面相遇的位置跑到一号门用
时5 分钟，根据“路程相同，速度与时间成反比”，则
，设小朗速度为5v，小峰
速度为6v。小朗跑到三号门时，小峰距离三号门还有180 米，且小峰又经过6 分钟追上小朗，
根据追及公式
，可列式：180=（6v-5v）×6，解得v=30 米/分钟，则小朗速度为
5v=5×30=150 米/分钟=9 千米/小时。
故正确答案为C。
55
7. 【答案】C
【解析】
根据题干“父亲跑到终点时，儿子距离终点还有40 米”可得，父亲跑完100 米时，儿子跑了
60 米。根据“时间相同，路程与速度成正比”可得：
；由于两人保持匀速，
故在后续的40 米相遇过程中，
，则儿子距离终点的距离即为此过程中父亲所走
的距离，
米。
故正确答案为C。
8. 【答案】C
【解析】
设张某出发时的速度为v，8：00 从A 地出发，8：30 到达C 点，则AC 间的路程共用时30 分
钟。根据公式：路程=速度×时间，则AC 距离为30v。8：30 到达C 点后，加速30%继续行驶，
并于9：00 第二次到达C 点。则可知张某在BC 间往返共用时30 分钟，即单程用时15 分钟，
速度变为1.3v，则BC 距离为
。故AC 距离是BC 距离的
倍。
故正确答案为C。
9. 【答案】A
【解析】
行程问题。
方法一：原计划相遇时，时间相同，路程和速度成正比，即相遇时
，设原计
划需要t 小时相遇，由于相遇地点不变，需要提前1 个小时交货，说明路程比不变，可列方
程
80× �−1
45�
=
4
3，解得t = 4 ，则全程= (60 + 45) × 4 = 420 千米。
方法二：原计划相遇时，时间相同，路程和速度成正比，即相遇时
�甲
�=
�甲
�=
60
45 =
4
3全程= �甲+�乙
= 4 + 3 = 7 的倍数，只有A 项满足。
故正确答案为A。
10. 【答案】B
【解析】
56
行程问题。设环形跑道一圈为x 米，若逆向而行，相当于相遇，根据相遇公式�相遇= 速度之
和× 相遇时间，可得：x =
�甲+ �乙× 3……①; 若同向而行，相当于追及，根据追及公
式S 追= 速度之差× 追及时间可得：x =
�乙−�甲
× 12……②。解方程①× 4 - ②可得
X÷�甲= 8，即甲跑一圈需要8 分钟。
故正确答案为B。
11. 【答案】A
【解析】
行程问题。假设乙的速度为x，甲的速度为1.2x；可列方程2x+ 3 × （x+ 30）=5 × 1.2x；解
得x = 90。那么AB 两地相距为6x = 6 × 90 = 540 千米。
故正确答案为A。
12. 【答案】C
【解析】
赋值计划行驶速度为100 米/分钟，则全程为2×60×100=12000 米。根据题意可得，出发后头
30 分钟的行驶路程为30×100=3000 米，此后50 分钟的行驶路程也为3000 米，则剩余路程为
12000-3000-3000=6000 米。中间50 分钟路程的行驶速度为3000÷50=60 米/分钟，即后40 分
钟匀加速行驶的初始速度为60 米/分钟。后40 分钟路程的平均速度为6000÷40=150 米/分钟，
根据公式：平均速度
，可得
米/分钟。根据匀加速运动公式：
，可得加速度
，则1 小时50 分钟时的行驶速度为
60+4.5×30=195 米/分钟，最后10 分钟的平均速度为
米/分钟，题干所求倍
数为
，在C 项范围内。
故正确答案为C。
备注：中间50 分钟路程默认为匀速运动，否则此题无解。
13. 【答案】C
【解析】
题干中只给出时间，没有具体的速度和路程，考虑用赋值法解题，赋值甲、乙两人骑车的速度
均为1，则乙开车的速度为5。根据“乙原速返回A 地”，可知乙返回A 地需要1 小时，此时
甲骑行了1+1=2 小时=120 分钟。设从A 地前往B 地乙开车的时间为t 分钟，则甲骑行的时间为
57
（120+t+12）分钟，根据公式：路程=速度×时间，可得1×（120+t+12）=5×t，解得t=33，
则甲全程用时=骑行时间+休息时间=（120+33+12）+20=185 分钟。
故正确答案为C。
14. 【答案】C
【解析】
题干中只给出时间，没有具体的速度和路程，考虑用赋值法解题，赋值甲、乙两人骑车的速度
均为1，则乙开车的速度为5。根据“乙原速返回A 地”，可知乙返回A 地需要1 小时，此时
甲骑行了1+1=2 小时=120 分钟。设从A 地前往B 地乙开车的时间为t 分钟，则甲骑行的时间为
（120+t+12）分钟，根据公式：路程=速度×时间，可得1×（120+t+12）=5×t，解得t=33，
则甲全程用时=骑行时间+休息时间=（120+33+12）+20=185 分钟。
故正确答案为C。
15. 【答案】C
【解析】
设小王上山的速度为
，小李上山的速度为
。当时间相同时，速度比=路程比，则
，赋值
，
，则小王下山的速度为8×1.5=12，小李下山的速度为
6×1.5=9。设总路程为24S，当小王到达山顶时，小李距离山顶
。根据相遇
公式：
，可知：6S=（6+12）×10，解得S=30，则总路程=24×30=720。则小王往
返一次的时间为
分钟；小李往返一次的时间为
分钟。故小李比小王晚200-150=50 分钟到达山脚A 点。
故正确答案为C。
六、排列组合与概率
1. 【答案】A
【解析】
要求每个团队中正好有2 人能提供软件支持、2 人能提供硬件支持，对分队情况进行分类讨论：
（1）2 个团队分别有3 人：一队有1 人能同时提供软、硬件支持，1 人只能提供软件支持，1
人只能提供硬件支持，有
种情况；另一队选人情况与之相同，同时提供软、硬件
58
支持的只剩一人不用选，只能提供硬件支持的也只剩一人不用选，只需从剩余的只能提供软件
支持的2 人中选1 人，有
种情况。故此时共有12×2=24 种情况；
（2）2 个团队分别有2 人、4 人：2 人队有2 人能同时提供软、硬件支持，有
种情况；4
人队有2 人只能提供软件支持，2 人只能提供硬件支持，有
种情况；且分为甲、乙两
个客户，需要考虑哪个客户是2 人队，则此时共有
种情况。
最后分类用加法，共有24+6=30 种情况。
故正确答案为A。
2. 【答案】A
【解析】
根据题意，符合要求的情况列表如下：
综上，共有3 种不同的分配方式。
故正确答案为A。
3. 【答案】C
【解析】
根据题意，先从5 名男性志愿者中选择2 名去田径比赛，有
种情况；再从剩余3 名男
性志愿者中选择1 名，4 名女性志愿者中选择1 名去篮球比赛，有
种情况；最后
从剩余3 名女性志愿者中选择2 名去跳水比赛，有
种情况，则有10×12×3=360 种不
同的抽调方式。
故正确答案为C。
4. 【答案】A
59
【解析】
根据题意，要求两首歌曲分别作为开头曲和结尾曲，有
种情况；要求舞蹈与杂技相邻演
出，故可先将舞蹈和杂技捆绑起来，由于演出有先后顺序，有
种情况；要求小品和魔术
不能相邻演出，可用插空法，先将舞蹈和杂技作为整体安排到两首歌曲中间，再将小品和魔术
插入中间的2 个空中，有
种情况。分步用乘法，则共有2×2×2=8 种节目演出的排列顺
序。
故正确答案为A。
5. 【答案】C
【解析】
先从七个不同卡通头像贴中任选一个放在风车的中间圆点处，情况数为
种；剩下六个不
同卡通头像贴在外圈六个圆点位置进行环形排列，根据n 个元素环形排列的情况数为
，
则情况数为
种。分步用乘法，故所求情况数共7×120=840 种。
故正确答案为C。
6. 【答案】D
【解析】
先从8 架歼击机中选出3 架、3 架预警直升机中选出2 架、2 架反潜直升机中选出1 架，共有
种方法；再根据要求安排起飞顺序，3 架歼击机必须相邻起飞可用捆绑法、2 架
预警直升机不能相邻起飞可用插空法，即先将3 架歼击机捆绑后与1 架反潜直升机进行排列有
种方法，再将2 架预警直升机插空有
种方法。故满足要求的不同的起飞方式有
种。
故正确答案为D。
7. 【答案】C
【解析】
方法一：在报名人员中随机抽取2 人，总的情况数有�10
2 =45 种。2 人报名相同位置有两种情况：
①2 人都报名击球手，情况数为
=21 种；
②2 人都报名投球手，情况数为
种，但其中抽取的2 人均是既报名击球手又报名投球
手的情况重复出现1 次，故满足条件的情况数为21+10-1=30 种。
根据公式：概率=
满足条件的情况数
总情况数
，则所求概率为
。
60
方法二：在报名人员中随机抽取2 人，总的情况数有�10
2 =45 种。要求抽取的2 人报名相同位置，
则反面情况为抽取的2 人报名不同位置，只能为其中一人只报名击球手，另一人只报名投球手，
情况数为
种。根据公式：概率=
满足条件的情况数
总情况数
，则所求概率=1-反面情况概率
。
故正确答案为C。
8. 【答案】B
【解析】
根据公式：概率
，分析如下：
根据题意，3 人面试每人在6 道面试题中随机抽取2 道题作答，每人的选择有
种情况，则
总的情况数有
种情况；
满足条件的情况数为有且仅有1 道题没有被任何人抽到，则被抽取的5 道题目情况数为
种
情况，先第一个人在5 道面试题中抽取2 题，有
种情况；再第二个人在余下3 道面试题中
抽取2 题，有
种情况；最后第三个人抽取余下1 道面试题，并且要在已经被抽走的4 道面
试题中再抽取1 题，有
种情况，则满足条件的情况数共有
种情况。
综上，所求概率
，在B 项范围内。
故正确答案为B。
9. 【答案】D
【解析】
根据公式：概率
，分析如下：
甲、乙两门课程均需要占用相邻的2 天，可用捆绑法，先将每门课程所占用的2 天分别捆绑，
再将这2 个捆绑体和其它3 天进行排序。因每“天”均相同，不用排序，而两门课程不同，需
要排序，则总情况数
种情况；
根据题意，不用学习的3 天均不相邻，可用插空法，优先安排学习两门课程的时间，因两门课
程不同，对两门课程进行排序有
种情况，再将剩余3 天插入两门课程安排好之后形成的
61
3 个空隙，因每“天”均相同不用再排序，有
种情况，故满足要求的情况数=2×1=2 种
情况。
综上，所求概率
。
故正确答案为D。
10. 【答案】C
【解析】
设在队伍中小明距离该商店门口x 米，妈妈距离该商店门口y 米，根据题干可列式：
，
即
或
，如下图所示：
则只有在阴影部分区域小明能听到他妈妈的呼喊，即所求概率为阴影部分面积所占比例。由上
图可知正方形面积=100×100，阴影部分面积
，故阴影部分面
积所占比例
，即小明听到他妈妈呼喊的概率为
。
故正确答案为C。
11. 【答案】C
【解析】
设每个等腰直角三角形的直角边长度为1，可得每个等腰直角三角形的斜边长度为
，则每
个等腰直角三角形的面积
，正方形瓷砖的总面积为
。根据公式：概率
，则所求
，与C 项最接近。
故正确答案为C。
12. 【答案】C
62
【解析】
方法一：设初始小李抓到玩偶x 次，根据“目前抓到玩偶的频率是
”，可知初始抓了16x
次。根据“接下来小李又抓了两次，运气特别好都抓到了，这时小李抓到玩偶的频率提升到了
”，可列等式：
，解得x=3。则小李一共抓了16x+2=16×3+2=50 次。
方法二：设初始小李抓了x 次，根据“接下来小李又抓了两次，运气特别好都抓到了”，可知
小李后两次抓到玩偶的频率为1。根据线段法口诀“距离（频率之差）与量（抓的次数）成反
比”可得，
，解得x=48，则小李一共抓了48+2=50 次。
故正确答案为C。
13. 【答案】B
【解析】
根据题意，每篇征文被采用的情况为：①初审两位编辑均通过，概率为：0.4×0.4=0.16；②初
审两位编辑仅有一位通过，且主编复审通过，概率为：
，分
类用加法，故每篇征文被采用的概率为0.16+0.096=0.256。
故正确答案为B。
14. 【答案】B
【解析】
根据公式：概率
，分析如下：
根据题意，每周从8 人中随机抽取一人担任周管理员，同一人不连续两周担任管理员，则前两
周先从8 人中选2 人，有
种情况，第三周的管理员不能和第二周相同，有7 种情况，则总
情况数有
种情况；
满足条件的情况为开学前三周的管理员都来自同一宿舍，先从两间宿舍中选一间，有2 种情况；
再从同一宿舍的4 人中选2 人，即前两周有
种情况，第三周的管理员不能和第二周相同，
有3 种情况，则共有
种情况。
综上，所求概率
，在B 项范围内。
63
故正确答案为B。
15. 【答案】D
【解析】
按照购买商品的种类，根据题意可列表枚举如下：
综上可知，消费不超过1600 元的组合共有20 种，其中一次购买1000 元及以上的组合有14 种。
则题干所求概率
。
故正确答案为D。
七、几何问题与其他题型
1.
【答案】A
64
【解析】
方法一：如下图所示，连接AE，根据“ABEF 为直角梯形”，可知
，
和
均以AG 为底、EB 为高，即两个三角形同底等高，则
。由于ABCD 为矩形且AD、
AB 长度分别为240 米、100 米，则所求涉密区域面积
平方米=1.2 万平方米。
方法二：设AG、BE 的长度分别为x 米、y 米，则BG 的长度为（100-x）米。根据“ABCD 为矩
形，ABEF 为直角梯形”，则
，
，因此
，
则有
，即
，整理可得
，故所求涉密区域面积
=
1
2×240×100=12000
平方米=1.2 万平方米。
故正确答案为A。
2. 【答案】C
【解析】
设该长方体零件的三条不同长度的棱长从长到短依次为a、b、c，则最大面的面积为ab、次大
面的面积为ac、最小面的面积为bc，根据题意则有
，根据①可
得a=3c，代入②可得
。
故正确答案为C。
3. 【答案】D
【解析】
65
根据题意，该容器由圆柱体和倒立圆锥体组成，注入水后先注满圆锥体，再注满圆柱体。根据
几何等比例放缩性质，在立体几何中，体积比等于相似比的立方，根据题意可知，
，则相似比为1：2，故
，
因为注入水的流速相同，则
，故注满圆锥体需要用时8 分钟；水
注满圆锥体后，再注满圆柱体需要用时1+30-8=23 分钟，因圆锥体和圆柱体的底面半径相等，
则二者的底面积相等，设圆锥体和圆柱体的底面积为S，圆柱体的高为
厘米，根据公式：
，
，可得
，解
得
厘米，则整个容器的高度为12+11.5=23.5 厘米。
故正确答案为D。
4. 【答案】C
【解析】
由题目已知B、C 的种植面积比为14：9，赋值B 面积为14，C 面积为9，结合B、C 的
种植面积之和比A 的种植面积大
2
21，可得B+ C =
23
21A，计算可得A 等于21。A 和B 有共同
边，C 和D 有共同边，B 和D 有共同边，A 和C 有共同边，面积成比例，
�
�=
�
�，
14
21 =
�
9，
解方程可得D 等于6 。D 是A 的计算可得
�
�=
6
21 =
2
7。
故正确答案为C。
5. 【答案】C
【解析】
如图所示，使半球形保护罩既能罩住长方体又表面积最小，则长方体顶点A、B、C、D 均与球
面相切，O 为底面中点，连接OA 即为球体的半径。连接
，则
是长方形
对角
线
的一半，且
，
，则根据勾股定理，
66
，
。因为三角形
为直角三角
形，且
，则根据勾股定理，
。
根据公式：球体表面积
，可得该保护罩的表面积为
。
故正确答案为C。
备注：①本题所求保护罩的表面积不包含底面。因为通常所说的“罩子”是没有底面的，即使
罩子有底面，往往底面材质和罩子材质也不一样，会更厚一些，和题目中厚度忽略不计矛盾，
故本题答案不能为A。
②由于本题的长方体是文物，因此不能随意调整摆放的情况，即不能以40cm 为高算最值，故
本题答案不能为B。
6. 【答案】C
【解析】
根据题意可作图如下，令小王身高为BC、平顶建筑为DE、尖顶建筑为FH，过点C 作垂线交
ED 于M 点，过点E 作垂线交FH 于N 点。平顶建筑（DE）、尖顶建筑（FH）、小王（BC）在
同一水平面上，即
，则
。因此，
，则
……
①。根据下图可知，EN=DF=200 米，ME=DE-DM=DE-BC=23.7-1.7=22 米，NG=FH-FN-GH=FH-DE-GH=
133.7-23.7-22=88 米，代入①式可得：
，解得CM=50 米，即BD=50 米，故小王所站
位置和平顶建筑物的直线距离为50 米。
故正确答案为C。
7. 【答案】B
【解析】
67
如图所示，由C 点向AB 作垂线交AB 于D 点，由B 点向AC 作垂线交AC 于E 点，则CD 为AB
边上的高，BE 为AC 边上的高。设AC 为2x 公里，则BC 为
公里，因
是以AC 为底
边的等腰三角形，则
公里，
公里。在直角三角形
BEC 中，根据勾股定理，可得：
公里。根据三角形
面积公式
，则
，可得：
，解得
，则
公里。
故正确答案为B。
8. 【答案】A
【解析】
如图所示，过上棱两个端点M、N 分别向底面做垂直截面，交底面ABCD 于点E、F、G、H，则
该帐篷屋顶可拆分为左、右两个四棱锥（M-AEFD 和N-BCHG）和中间一个三棱柱（EFM-GHN）。
根据公式：
；
，则
立方米；
立方米。则该帐篷屋顶的体积
立方
米。
故正确答案为A。
9. 【答案】C
68
【解析】
由图可知，
与
等高，则对应面积比等于底之比，即
；
同理可知，
与
等高，则
，
平方千米，
平方千米。B 点到CD 的距离即为
以CD 为底的
对应高，根据三角形的面积公式
，即
，解得所求高=8 千米。
故正确答案为C。
10. 【答案】B
【解析】
根据题意，赋值AB=2，AD=AC=4。ABCD 为直角梯形，则
。在直角
中，AC=2AB，则
，则
，
。在
中，AD=AC，
，则该三角形为等边三角形。如下图所示，连接OD 与圆相交于点G，
根据题意“已知D 点到圆上任一点最短距离为AB 长度的一半”，则
。E、F 为
切点，
，
，OE=OF ，OD 为公共边，则
与
全等，
，则DO=2OE，即1+r=2r，则圆的半径r=1，圆的面积
。因此特色
生态园与特色花坛的面积比值
，在B 项范围内。
故正确答案为B。
11. 【答案】D
【解析】
69
根据题意，设参观两种展览的员工有x 人，参观三种展览的员工有y 人。根据三集合容斥原理
非标准型公式：A+B+C-满足两项-2×满足三项=总数-都不，可列式：21+22+19-x-2y=45-5，整理
得：x+2y=22……①；根据“至少参观两种的有12 人”，可得：x+y=12……②，①式减②式可
得：y=10，故这三种展览都参观的有10 人。
故正确答案为D。
12. 【答案】B
【解析】
赋值丙地到甲地、丙地到乙地、丁地到甲地、丁地到乙地的运价分别为7 元、4 元、6 元和
5 元。设丙地运往甲地a 吨物资（0 ≤a ≤80），则丙地运往乙地（100 −a）吨物资；丁地
运往甲地（80 −a）吨物资，丁地运往乙地[60 −（80 −a）] = （a −20）吨物资，需满足20 ≤
a ≤80，以保证各运输量非负。总运输成本= 7a + 4 × （100 −a（+ 6 × （80 −a）+ 5 ×
（a −20）= 2a + 780。要使总运输成本最小，则a = 20，此时总运输成本= 2 × 20 + 780 = 820；
要使总运输成本最大，则a = 80，此时总运输成本= 2 × 80 + 780 = 940。综上，总运输成本
可能的最高值比最低值高
940−820
820
≈14.6%。
故正确答案为B。
13. 【答案】C
【解析】
容斥问题。甲乙丙至少一项的有65×80%=52，三者都不为13 人，没有甲认证和有乙认证一样
多，则同时满足甲和乙的等于仅有丙认证加上三者都不共16 人，由于三者都满足为6 人，则
只满足甲乙两者为10 人。
故正确答案为C。
14. 【答案】A
【解析】
设甲、乙两瓶酒精溶液最初的质量均为m 克，浓度均为n。根据题意可知：在甲瓶中加入20
克水后，继续在甲瓶中加入30 克纯酒精，溶液又恢复到最初浓度。结合公式：浓度
，
可列式：
，解得n=60%；根据“在甲瓶中加入20 克水、乙瓶中加入50 克浓
度为30%的酒精溶液后，浓度仍然相等”，可列式：
。
70
方法一：根据公式：
，可将方程化简为：
，解得m=100。
方法二：方程正面求解比较复杂，可将选项代入验证，代入A 项：
，等式成立，符合题意，当选。
故正确答案为A。
15. 【答案】A
【解析】
小张每隔4 天去医院做一次理疗，即每5 天做一次理疗。如果7 月2 日去做理疗，则7 月做理
疗的日期分别为2 日、7 日、12 日、17 日、22 日、27 日；如果7 月3 日去做理疗，则7 月做
理疗的日期分别为3 日、8 日、13 日、18 日、23 日、28 日，代入选项：
A 项：7 月31 日是星期四，则7 月日历如下表所示：
即7 月2 日为星期三，7 日为星期一，12 日为星期六，17 日为星期四，22 日为星期二，27 日
为星期日，满足“如果他7 月2 日去，则7 月的理疗有1 次在星期六、1 次在星期日，其余都
在工作日”的条件；7 月3 日为星期四，8 日为星期二，13 日为星期日，18 日为星期五，23
日为星期三，28 日为星期一，满足“如果他7 月3 日去，则7 月的理疗只有1 次在星期日，
其余都在工作日”的条件。满足所有条件，当选。其他选项无需验证。
故正确答案为A。
