文档文本内容
2025 年高考第二次模拟考试
高三数学（上海卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
考生注意:
1.本场考试时间 120 分钟,试卷共4页，满分 150分，答题纸共2页;
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名:将核对后的条形码贴在指定位置;
3.所有作答必须涂或写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位,在试卷上作答-律不得分;
4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合 ，则 .
2．已知复数z满足： （ 为虚数单位），则 .
3．在 中， ，则 外接圆的半径为 ．
4．已知 ，则 的最小值为 ．
5．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 .
6．若圆 与圆 相切，则实数 的取值集合是 .
7． 的展开式中，含 项的系数为
8．已知函数 的两个极值点为 、 ，且 ，则实数 的最小值是
.
9．某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ．
10．如图， 三个开关控制着 号四盏灯，其中开关 控制着 号灯，开关 控制着 号
灯，开关 控制着1，2，4号灯．开始时，四盏灯都亮着．现先后按动 这三个开关中的两个不同的
开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为 ．11．如图，两条足够长且互相垂直的轨道 相交于点 ，一根长度为 的直杆 的两端点 分别在
上滑动（ 两点不与 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点 满足
，则 面积的取值范围是 .
12．如图，探测机器人从 点出发，准备探测道路 和 所围的三角危险区域.已知机器人在道路 和
上探测速度可达每分钟2米， ，在 内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机
器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟
内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为 .
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若 成等差数列，则当 时， 的预测值约为（结果精确到0．01）（ ）
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 5 m 9 n 13 16
A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02
15．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，有下列结论：
①函数 在 上单调递增；
②函数 的图象与直线 有且仅有2个不同的交点；
③若关于 的方程 恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数 在 上的最大值为 ，则数列 的前 项和为
其中正确的有（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
16．如图，点 分别是正四面体 棱 上的点，设 ，直线 与直线 所成的角为
，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（ ）
①当 时， 随着 的增大而减小；
②当 时， 随着 的增大而增大
A．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是假命题
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性，并证明．
(2)若 对所有 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
18．如图，圆锥 的高为 是底面圆 的直径， 为圆锥的母线，四边形 是底面圆 的
内接等腰梯形，且 ，点 在母线 上，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．19．（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：
个）若规定显著性水平 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；
未患病者 患病者 合计
未服用
29 16 45
中草药甲
服用
46 9 55
中草药甲
合计 75 25 100
（2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个
球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差.
附： ， .
α 0.100 0.050 0.010 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.82820．设椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过点 的直线 交椭圆
于点 、 （不与左右顶点重合），连结 、 ，已知 周长为8.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率为1，求 的面积；
（3）设 ，且 ，求直线 的方程.
21．已知各项均不为0的数列 满足 （ 是正整数）， ，定义函数
， 是自然对数的底数.(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)记函数 ，其中 .
（i）证明：对任意 ， ；
（ii）数列 满足 ，设 为数列 的前 项和.数列 的极限的严格定义为：若存在一个常数
，使得对任意给定的正实数 （不论它多么小），总存在正整数m满足：当 时，恒有 成
立，则称 为数列 的极限.试根据以上定义求出数列 的极限 .
