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2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）
数学
本试卷共 10页，19小题，满分 150分.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
A= x∣-5< x3 <5 ,B={-3,-1,0,2,3}
A B=
1 已知集合 ，则 I （ ）
.
A {-1,0} B. {2,3} C. {-3,-1,0} D. {-1,0,2}
.
z
2. 若 =1+i，则z =（ ）
z-1
A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i
3. 已知向量a r =(0,1),b r =(2,x)，若b r ^(b r -4a r )，则x=（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 已知cos(a+b)=m,tanatanb=2，则cos(a-b)=（ ）
m m
A. -3m B. - C. D. 3m
3 3
5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为（ ）
A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π
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学科网（北京）股份有限公司ì-x2 -2ax-a,x<0
6. 已知函数为 f(x)=í ，在R上单调递增，则a取值的范围是（ ）
îex +ln(x+1),x³0
A. (-¥,0] B. [-1,0] C. [-1,1] D. [0,+¥)
æ pö
7. 当xÎ [0,2p]时，曲线y =sin x与y =2sin ç 3x- ÷的交点个数为（ ）
è 6 ø
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知函数为 f(x)的定义域为R， f(x)> f(x-1)+ f(x-2)，且当x<3时 f(x)= x，则下列结论中一
定正确的是（ ）
A. f(10)>100 B. f(20)>1000
C. f(10)<1000 D. f(20)<10000
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0
分.
9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本
均值x =2.1，样本方差s2 =0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N
1.8,0.12
，假设推动
出口后的亩收入Y 服从正态分布 N
x,s2
，则（ ）（若随机变量 Z 服从正态分布 N
u,s2
，
P(Z 2)>0.2 B. P(X >2)<0.5
C. P(Y >2)>0.5 D. P(Y >2)<0.8
10. 设函数 f(x)=(x-1)2(x-4)，则（ ）
A. x=3是 f(x)的极小值点 B. 当0< x<1时， f(x)< f
x2
C. 当1< x<2时，-4< f(2x-1)<0 D. 当-1< x<0时， f(2-x)> f(x)
11. 造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐
标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则（ ）
第2页/共4页
学科网（北京）股份有限公司A. a=-2 B. 点(2 2,0)在C上
4
C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点 x ,y 在C上时，y £
0 0 0 x +2
0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
x2 y2
12. 设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F ，过F 作平行于y轴的直线交C于A，B
a2 b2 1 2 2
两点，若|FA|=13,| AB|=10，则C的离心率为___________．
1
13. 若曲线y =ex +x在点 0,1 处的切线也是曲线y =ln(x+1)+a的切线，则a =__________.
14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡
片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选
一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的
卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记 V ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC = 2cosB，a2 +b2 -c2 = 2ab
（1）求B；
（2）若 ABC的面积为3+ 3，求c．
V
æ 3ö x2 y2
16. 已知A(0,3)和P ç 3, ÷为椭圆C: + =1(a>b>0)上两点.
è 2ø a2 b2
（1）求C的离心率;
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且 ABP的面积为9，求l的方程．
V
17 如图，四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，PA= AC =2，BC =1,AB= 3．
.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若AD^ PB，证明：AD//平面PBC ；
42
（2）若AD^ DC，且二面角A-CP-D的正弦值为 ，求AD．
7
x
18. 已知函数 f(x)=ln +ax+b(x-1)3
2-x
（1）若b=0，且 f¢(x)³0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y= f(x)是中心对称图形；
（3）若 f(x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围．
19. 设m为正整数，数列a ,a ,...,a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a 和a i< j 后剩余
1 2 4m+2 i j
的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分
1 2 4m+2
数列．
（1）写出所有的 i, j ，1£i< j £6，使数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分数列；
1 2 6
（2）当m³3时，证明：数列a ,a ,...,a 是 2,13-可分数列；
1 2 4m+2
（3）从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和 ji< j ，记数列a ,a ,...,a 是 i, j-可分数列的概率
1 2 4m+2
1
为P ，证明：P > ．
m m 8
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