2025年高考数学试卷（天津）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2025·高考数学真题

2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷 回忆版） 数学 本试卷分第 1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时 120分钟.第 1 卷 1至 3页第Ⅱ卷 4至 6页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘 贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！ 第 I卷（选择题） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共 9小题，每小题 5分，共 45分. 参考公式： A,B P(AÈB)= P(A)+P(B) ·如果事件 互斥，那么 A,B P(AB)= P(A) P(B) ·如果事件 相互独立，那么 1 V = Sh ·棱柱的体积公式 3 ，其中 S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． 1 V = Sh ·圆锥的体积公式 3 ，其中 S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 U =1,2,3,4,5,A=1,3,B=2,3,5 ð AÈB= 1. 已知集合 ，则 U （ ） A. 1,2,3,4 B. 2,3,4 C. 2,4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由A=1,3,B=2,3,5 ，则AÈB=1,2,3,5 ， 集合U =1,2,3,4,5 ， 故ð U A U B=4 第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司故选：D. 2. 设xÎR ，则“x=0”是“sin2x=0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由x=0Þsin2x=sin0=0，则“x=0”是“sin2x=0”的充分条件； 又当x = π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0Þ/ x=0， 故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件， 综上可知，“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数y = f x 的图象如下，则 f x 的解析式可能为（ ） x x |x| |x| A. f(x)= B. f(x)= C. f(x)= D. f(x)= 1-|x| |x|-1 1-x2 x2 -1 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由xÎ0,1 时函数值正负情况可得解. x x 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数 f x= 和函数 f x= 为奇函数，故排除选项AB； 1- x x -1 x x 又当xÎ0,1 时1-x2 >0,x2 -1<0，此时 f x= >0, f x= <0， 1-x2 x2 -1 由图可知当xÎ0,1 时， f x<0，故C不符合，D符合. 故选：D 第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司4. 若m为直线，a,b为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m//a,nÌa，则m//n B. 若m^a,m^b，则a^b C. 若m//a,m^b，则a^b D. 若mÌa,a^b，则m^b 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若m//a,nÌa，则m,n可平行或异面，故A错误； 对于B，若m^a,m^b，则a//b，故B错误； 对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面， 现m//a,m^b，故a ^b，故C正确； 对于D，mÌa,a^b，则m与b可平行或相交或mÌb，故D错误； 故选：C. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 若X ~ N  m,s2 ，则P(X £m-s)= P(X ³m+s) B. 若X : N  1,22 ，Y : N  2,22 ，则P(X <1)< P(Y <2) C. r 越接近1，相关性越强 D r 越接近0，相关性越弱 . 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，PX £m-s= PX ³m+s ，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，PX <1= PY <2=0.5，B说法错误； 对于C和D，相关系数 r 越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 6. S =-n2 +8n，则数列  a  的前12项和为（ ） n n 第3页/共21页 学科网（北京）股份有限公司A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设结合a =S -S 求出数列 a  的通项公式，再结合数列 a  各项正负情况即可求解. n n n-1 n n 【详解】因为S =-n2 +8n， n 所以当n=1时，a =S =-12 +8´1=7， 1 1 当n³ 2时，a =S -S =  -n2 +8n  -é-n-12 +8n-1ù =-2n+9， n n n-1 ë û 经检验，a =7满足上式， 1 所以a =-2n+9  nÎN* ，令a =-2n+9³0Þn£4，a =-2n+9£0Þn³5， n n n   设数列 a 的前n项和为T ， n n 则数列  a  的前4项和为T =S =-42 +8´4=16 n 4 4   数列 a 的前12项和为 n T = a + a + + a =a +a +a +a -a -a - -a 2n 1 2 L 12 1 2 3 4 5 6 L 12 =2S -S =2´16-  -122 +8´12  =80. 4 12 故选：C 7. 函数 f(x)=0.3x - x 的零点所在区间是（ ） A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2) 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：y =0.3x在R 上单调递减，y = x 在 0,+¥ 单调递增， 所以 f x=0.3x - x在定义域上单调递减， 显然 f 0=1>0, f 0.3=0.30.3-0.30.5 >0, f 0.5=0.30.5 -0.50.5 <0， 所以根据零点存在性定理可知 f x 的零点位于 0.3,0.5 . 故选：B 第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司é 5π π ù π 8. f(x)=sin(wx+j)(w>0,-π0,b>0)的左、右焦点分别为 F,F ，以右焦点 F 为焦点的抛物线 a2 b2 1 2 2 y2 =2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若 PF + PF =3 FF ，则双曲线的离心率e=（ ） 1 2 1 2 2 +1 5+1 A. 2 B. 5 C. D. 2 2 【答案】A 【解析】 ìPF =3c+a ï 1 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出í ，根据勾股定理从而确定P的坐标， ïî PF 2 =3c-a = PA 利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. æ p ö 【详解】根据题意可设F ç ,0 ÷，双曲线的半焦距为c，Px ,y  ，则 p=2c， 2 è 2 ø 0 0 过F 作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF 为抛物线的准线， 1 1 则 PA = PF ， 2 ìPF - PF =2a ìPF =3c+a ï ï 1 2 1 由双曲线的定义及已知条件可知í ，则í ， ïî PF 1 + PF 2 =6c ïî PF 2 =3c-a = PA 由勾股定理可知 AF 2 = y2 = PF 2 - PA 2 =12ac， 1 0 1 x2 y2 9a2 12ac 易知y2 =4cx ,\x =3a，即 0 - 0 = - =1， 0 0 0 a2 b2 a2 c2 -a2 整理得2c2 -3ac-2a2 =0=2c+ac-2a ，∴c=2a，即离心率为2. 故选： 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项： 第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共 11 小题，共 105分． 二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 5分，共 30分． 3+i 10. 已知i是虚数单位，则 = ________． i 【答案】 10 【解析】 3+i 【分析】先由复数除法运算化简 ，再由复数模长公式即可计算求解. i 3+i 3+i 【详解】先由题得 =-i3+i=1-3i，所以 = 12 +-32 = 10. i i 故答案为： 10 11. 在x-16 的展开式中，x3项的系数为________． 【答案】-20 【解析】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】x-16 展开式的通项公式为T =Crx6-r ×-1r ， r+1 6 当r =3时，T =C3x3×-13 =-20x3， 4 6 即x-16 展开式中x3的系数为-20. 故答案为：-20 12. l :x- y+6=0，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与(x+1)2 +(y-3)2 =r2交于 C、D 两点， 1 | AB|=3|CD|，则r =_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出|AB|=6 2，再计算出圆心到直线的距离d ，根据弦长公式 |CD|=2 r2 -d2 列等式求解即可. 【详解】因为直线l :x- y+6=0与x轴交于A-6,0 ，与y轴交于B0,6 ，所以 1 第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司| AB|= 62 +62 =6 2，所以 CD =2 2 ， |-1-3+6| 圆(x+1)2 +y-32 =r2的半径为r ，圆心(-1,3)到直线l :x- y+6=0的距离为d = = 2， 1 2  2 故 CD =2 r2 -d2 =2 r2 - 2 =2 2，解得r =2； 故答案为：2. 13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈， 则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6 圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周， 记合格周数为X，则期望E(x)=_______ 【答案】 ①. 0.6 ②. 3.2 【解析】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件B，设第二次跑5圈为事件C， 则PA= PBP  C|B  +P  B  P  C|B  =0.5´0.6+0.5´0.6=0.6； 若至少跑11圈为运动量达标为事件D，PD= PA+P  B  P  C|B  =0.6+0.5´0.4=0.8， 所以X ~B4,0.8 ，EX=4´0.8=3.2； 故答案为：0.6；3.2 14. VABC中，D为AB边中点，C uu E ur = 1 C uu D ur , u A u B ur =a r , u A u C ur =b r ，则 u A u E ur =______（用ar，b r 表示），若| u A u E ur |=5， 3 uuur uuur AE^CB，则AE×CD=_______ 1 r 2r 【答案】 ①. a+ b； ②. -15 6 3 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司uuur 1uuur uuur uuur 1uuur uuur uuur 1uuur 2uuur 因为CE = CD，所以AE-AC = AD-AC ，所以AE= AD+ AC． 3 3 3 3 uuur 1uuur 2uuur 1 r 2r 因为D为线段AB的中点，所以AE = AB+ AC = a+ b； 6 3 6 3 又因为 u A u E ur =5,AE ^CB，所以 u A u E ur2 = æ1 a r + 2 b rö 2 = 1 a r2 + 2 a r ×b r + 4 b r 2 =25， ç ÷ è6 3 ø 36 9 9 u A u E ur ×C uu B ur = æ ç 1 a r + 2 b rö ÷ ×  a r -b r = 1 a r2 + 1 a r ×b r - 2 b r 2 =0，所以a r2 +3a r ×b r = 4b r2 è6 3 ø 6 2 3 所以a r2 +4a r ×b r =180， 所以 u A u E ur ×C uu D ur = æ ç 1 a r + 2 b rö ÷ × æ ç -b r + 1 a r ö ÷ = 1 a r2 + 1 a r ×b r - 2 b r 2 = 1  a r2 +2a r ×b r -8b r 2  è6 3 ø è 2 ø 12 6 3 12 = 1  a r2 +2a r ×b r -2a r2 -6a r ×b r 2  = 1  -a r2 -4a r ×b r 2  =-15． 12 12 1 r 2r 故答案为： a+ b；-15. 6 3 15. 若a,bÎR，对"xÎ[-2,2]，均有(2a+b)x2 +bx-a-1£0恒成立，则2a+b的最小值为_______ 【答案】-4 【解析】 1 【分析】先设t =2a+b，根据不等式的形式，为了消a可以取x=- ，得到t ³-4，验证t =-4时，a,b 2 是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设t =2a+b，原题转化为求t的最小值， 原不等式可化为对任意的-2£ x£2，tx2 +t-2ax-a-1£0， 1 1 1 不妨代入x=- ，得 t- t-2a-a-1£0，得t ³-4， 2 4 2 当t =-4时，原不等式可化为-4x2 +-4-2ax-a-1£0， 2 é æ1 öù 1 即- 2x+ a+1 + a2 £0， ê ç ÷ú ë è2 øû 4 第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司1 观察可知，当a =0时，-2x+12 £0对-2£ x£2一定成立，当且仅当x=- 取等号， 2 此时，a=0,b=-4，说明t =-4时，a,b均可取到，满足题意， 故t =2a+b的最小值为-4. 故答案为：-4 三、解答题：本大题共 5小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在VABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c．已知asinB= 3bcosA，c-2b=1，a= 7． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求sin(A+2B)的值． π 【答案】（1） 3 （2）3 4 3 （3） 7 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得b，进而求得c； （3）利用正弦定理先求B，再由二倍角公式分别求sin2B,cos2B，由两角和的正弦可得. 【小问1详解】 a b 已知asinB= 3bcosA，由正弦定理 = ， sinA sinB 得asinB=bsin A= 3bcosA，显然cosA¹0， 得tanA= 3，由0< A<π， π 故A= ； 3 【小问2详解】 1 由（1）知cosA= ，且c=2b+1，a= 7， 2 由余弦定理a2 =b2 +c2 -2bccosA， 1 则7=b2 +(2b+1)2 -2´ b(2b+1)=3b2 +3b+1， 2 第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司解得b=1（b=-2舍去）， 故c=3； 【小问3详解】 a b 3 由正弦定理 = ，且b=1,a= 7,sinA= ， sinA sinB 2 bsin A 21 得sinB= = ，且a>b，则B为锐角， a 14 5 5 3 故cosB= 7，故sin2B=2sinBcosB= ， 14 14 2 æ 21ö 11 且cos2B=1-2sin2 B=1-2´ç ÷ = ； ç ÷ 14 14 è ø 3 11 1 5 3 4 3 故sin(A+2B)=sinAcos2B+cosAsin2B= ´ + ´ = . 2 14 2 14 7 17. 正方体ABCD- ABC D 的棱长为4，E、F分别为AD,C B 中点，CG =3GC ． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （1）求证：GF ^平面FBE； （2）求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值； （3）求三棱锥D-FBE的体积． 【答案】（1）证明见解析 4 （2） 5 32 （3） 3 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明FG ^ BF，再结合正方体的性质得出EF ^平面BCC B ， 1 1 利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 第11页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】 法一、在正方形BCC B 中， 1 1 CG 1 FB 由条件易知tanÐC FG = 1 = = 1 =tanÐBBF，所以ÐC FG =ÐBBF， 1 C F 2 BB 1 1 1 1 1 π 则ÐBFB+ÐBBF = =ÐC FG+ÐBFB， 1 1 2 1 1 π 故ÐBFG =π-ÐC FG+ÐBFB= ，即FG ^ BF， 1 1 2 在正方体中，易知DC ^平面BCC B ，且EF //DC ， 1 1 1 1 1 1 所以EF ^平面BCC B ， 1 1 又FGÌ平面BCC B ，∴EF ^ FG， 1 1 ∵EF I BF = F,EF、BF Ì平面BEF，∴GF ^平面BEF； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则B4,4,0,E2,0,4,F2,4,4,G0,4,3 ， uuur uuur uuur 所以EF =0,4,0,EB=2,4,-4,FG =-2,0,-1， ur 设m=a,b,c是平面BEF的一个法向量， ur uuur ì ïm×EF =4b=0 ur 则í ，令a=2，则b=0,c =1，所以m=2,0,1， ur uuur ïîm×EB=2a+4b-4c=0 uuur uuur 易知FG =-m r，则FG也是平面BEF 的一个法向量，∴GF ^平面BEF； 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， uuur uuur 所以EG =-2,4,-1,BG =-4,0,3， uuur 由（1）知FG是平面BEF的一个法向量， r uuur ì ïn×EG =-2x+4y-z =0 r 设平面BEG的一个法向量为n=x,y,z，所以í ， r uuur ïîn×BG =-4x+3z =0 r 令x=6，则z =8,y =5，即n=6,5,8， 设平面BEF与平面BEG的夹角为a， 第12页/共21页 学科网（北京）股份有限公司uuur r FG×n uuur r 20 4 则cosa= cos FG,n = = = ； uuur r FG × n 5´ 125 5 【小问3详解】 由（1）知EF ^平面BCC B ，FBÌ平面BCC B ，∴EF ^ FB， 1 1 1 1 1 1 易知S = EF×BF = ´4´ 42 +22 =4 5， VBEF 2 2 uuur uuur DE×FG uuur 8 又DE =2,0,4，则D到平面BEF的距离为d = uuur = ， FG 5 1 1 8 32 由棱锥的体积公式知：V = d´S = ´ ´4 5 = . D-BEF 3 VBEF 3 5 3 x2 y2 1 18. 已知椭圆 + =1a >b>0的左焦点为F，右顶点为A，P为x=a上一点，且直线PF 的斜率为 ， a2 b2 3 3 1 PFA的面积为 ，离心率为 . V 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分ÐAFB. x2 y2 【答案】（1） + =1 4 3 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到a=2c，再由直线PF 的斜率得到m=c，从而利用三角形 的面积公式得到关于c的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得k，进而得到直线PB的方程与点B的坐标，法一：利用向 量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四： 第13页/共21页 学科网（北京）股份有限公司利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【小问1详解】 x2 y2 依题意，设椭圆 + =1(a >b>0)的半焦距为c， a2 b2 c 1 则左焦点F(-c,0)，右顶点A(a,0)，离心率e= = ，即a=2c， a 2 因为P为x=a上一点，设P(a,m)， 1 m-0 1 m 1 又直线PF 的斜率为 ，则 = ，即 = ， 3 a-(-c) 3 a+c 3 m 1 所以 = ，解得m=c，则P(a,c)，即P(2c,c)， 2c+c 3 3 因为 PFA的面积为 ，| AF |=a-(-c)=a+c=3c，高为|m|=c， V 2 1 1 3 所以S = AF m = ´3c´c= ，解得c=1， VPFA 2 2 2 则a =2c=2，b2 =a2 -c2 =3， x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 4 3 . 【小问2详解】 由（1）可知P(2,1)，F(-1,0)，A(2,0)， 易知直线PB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，则1=2k+m，即m=1-2k， ìy =kx+m ï 联立íx2 y2 ，消去y得，(3+4k2)x2 +8kmx+4m2 -12=0， + =1 ï î 4 3 因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ=8k×m2 -4(3+4k2)×(4m2 -12)=0， 1 即4k2 -m2 +3=0，则4k2 -1-2k2 +3=0，解得k =- ，则m = 2， 2 第14页/共21页 学科网（北京）股份有限公司1 所以直线PB的方程为y = - x + 2， 2 ì 1 y =- x+2 ìx=1 ï ï 2 ï 3 联立í ，解得í 3，则B(1, )， x2 y2 y = 2 ï ï + =1 î 2 ïî 4 3 以下分别用四种方法证明结论： uuur æ 3ö uuur uuur 法一：则FB= ç 2, ÷ ,FP=3,1,FA=3,0 ， è 2ø 3 uuur uuur 2´3+ ´1 FB×FP 3 10 2 cosÐBFP= = = 所以 uuur uuur ， FB × FP æ3ö 2 10 22 + × 32 +12 ç ÷ è2ø uuur uuur FA×FP 3´3+1´0 3 10 cosÐPFA= = = uuur uuur ， FA × FP 3 32 +12 10 π 则cosÐBFP=cosÐPFA，又ÐBFP,ÐPFAÎ(0, )， 2 所以ÐBFP=ÐPFA，即PF 平分ÐAFB. 3 -0 1-0 1 法二：所以 2 3 ，k = = ，k =0， k = = PF 2-(-1) 3 AF FB 1-(-1) 4 3 1 1 - -0 4 3 1 3 1 由两直线夹角公式，得tanÐBFP= = ，tanÐPFA= = ， 1 3 3 1+0 3 1+ ´ 3 4 π 则tanÐBFP=tanÐPFA，又ÐBFP,ÐPFAÎ(0, )， 2 所以ÐBFP=ÐPFA，即PF 平分ÐAFB. 1 3 法三：则tanÐPFA=k = ，tanÐBFP=k = ， PF 3 FB 4 1 2´ 2tanÐPFA 3 3 tan2ÐPFA= = = =tanÐBFP 故 ， 1-tan2ÐPFA æ1ö 2 4 1- ç ÷ è3ø π 又ÐBFP,ÐPFAÎ(0, )， 2 所以ÐBFP=ÐPFA，即PF 平分ÐAFB. 第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司3 -0 法四：则 2 3 ， k = = FB 1-(-1) 4 3 所以直线FB的方程为y = x+1，即3x-4y+3=0， 4 3´2-4´1+3 d = =1 则点P到直线FB的距离为 ， 32 +-42 又点P到直线FA的距离也为1， 所以PF 平分ÐAFB. 19. 已知数列 a  是等差数列， b  是等比数列，a =b =2,a =b +1,a =b ． n n 1 1 2 2 3 3 （1）求 a  ， b  的通项公式； n n （2）"nÎN*，IÎ0,1 ，有 T =pab + p a b +...+ p a b + p a b | p , p ,..., p , p ÎI ， n 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n 1 2 n-1 n （i）求证：对任意实数tÎT ，均有t 0，a b =3n+22n+1， n n n n n n n n+1 n+1 当 p a b =3n-12n >0时， n n n 设S = pab + p a b +...+ p a b + p a b =2´2+5´22 +...+3n-42n-1+3n-12n， n 1 1 1 2 2 2 n-1 n-1 n-1 n n n 所以2S =2´22 +5´23 +...+3n-42n +3n-12n+1， n 所以-S =4+3´ 22 +23 +...+2n-3n-12n+1 n 22 1-2n-1 =4+3´ -3n-12n+1 =-8+4-3n2n+1， 1-2 所以S =8+3n-42n+1，为T 中的最大元素， n n 此时a b -S =3n+22n+1-é ë8+3n-42n+1ù û =6×2n+1-8>0恒成立， n+1 n+1 n 所以对"tÎT ，均有t 0， 2lnx 则 f¢(x)=1- ，则 f¢(1)=1，且 f(1)=1， x 则切点(1,1)，且切线的斜率为1， 故函数 f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y = x； 【小问2详解】 （i）令 f(x)=ax-(lnx)2 =0，x >0， (lnx)2 得a= ， x lnx2 设g(x)= ,x>0， x 2lnx ×x-lnx2 则 x lnx(2-lnx) ， g¢(x)= = x2 x2 4 由g¢(x)=0解得x=1或e2，其中g(1)=0，g(e2)= ； e2 当0< x<1时，g¢(x)<0，g(x)在(0,1)上单调递减； 第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司当1< x0，g(x)在(1,e2)上单调递增； 当x>e2时，g¢(x)<0，g(x)在(e2,+¥)上单调递减； 且当x0时，g(x)+¥； 当x+¥时，g(x)0； 如图作出函数g(x)的图象， 要使函数 f(x)有3个零点， 则方程a=g(x)在(0,+¥)内有3个根，即直线y =a与函数g(x)的图象有3个交点. 4 结合图象可知，0 t t ， lnt -lnt 2 3 3 2 4e 则t t <4，故要证(lnx -lnx )×lnx < ， 2 3 2 1 3 e-1 4e 4e 即证t t -tt < ，只需证4-tt £ ， 2 3 1 3 e-1 1 3 e-1 4 即证-tt £ ，又因为t <0,t2 =aet 1 2 ，则 j¢(t)= 2 = 2 ， e2 et t e2 当20，则j(t)在(2,4)上单调递增； 当t >4时，j¢(t)<0，则j(t)在 4,+¥ 上单调递减； 16 16 故j(t) =j(4)= ，即j(t)£ . max e2 e2 而由4e2 -16e+16=4(e-2)2 >0， 16 4 可知 < 成立，故命题得证. e2 e-1 第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司