文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷 回忆版）
数学
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第1
卷1至3页第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回.在天津考生获取更多学习资料祝各位考生考试顺利！
第I卷（选择题）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件 互斥，那么
·如果事件 相互独立，那么
·棱柱的体积公式 ，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·圆锥的体积公式 ，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
4. 若m为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
.
C 若 ，则 D. 若 ，则
的
5. 下列说法中错误 是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ，则
C. 越接近1，相关性越强
.
D 越接近0，相关性越弱
6. ，则数列 的前 项和为（ ）
A. 112 B. 48 C. 80 D. 64
7. 函数 的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
8. ，在 上单调递增，且 为它的一条对称轴，
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司是它的一个对称中心，当 时， 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D. 0
9. 双曲线 的左、右焦点分别为 ，以右焦点 为焦点的抛物线
与双曲线交于第一象限的点 P，若 ，则双曲线的离心率 （
）
.
A 2 B. 5 C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
10. 已知i是虚数单位，则 ________．
11. 在 的展开式中， 项的系数为________．
12. ，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与 交于 C、D 两点，
，则 _________．
13. 小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则
第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈
的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记
合格周数为X，则期望 _______
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学科网（北京）股份有限公司14. 中，D 为AB边中点， ，则 ______（用 ， 表示），
若 ， ，则 _______
15. 若 ，对 ，均有 恒成立，则 的最小值为_______
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 在 中，角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求 的值．
17. 正方体 的棱长为4， 分别为 中点， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 的体积．
18. 已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，且直线 的斜率为
， 的面积为 ，离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知数列 是等差数列， 是等比数列， ．
（1）求 ， 的通项公式；
（2） ， ，有 ，
（i）求证：对任意实数 ，均有 ;
（ii）求 所有元素之和．
20. 已知函数
（1） 时，求 在点 处的切线方程；
（2） 有3个零点， 且 .
（i）求a的取值范围；
（ii）证明 ．
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