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绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置
粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
如果事件 与事件 互斥，那么 ．
如果事件 与事件 相互独立，那么 ．
球的表面积公式 ，其中 表示球的半径．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数 的图象大致为（ ）
.
A B.
第1页 | 共6页C. D.
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9组：
，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零
件中，直径落在区间 内的个数为（ ）
A. 10 B. 18 C. 20 D. 36
5.若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7.设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一
条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
第2页 | 共6页8.已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是
A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③
9.已知函数 若函数 恰有4个零点，则 的取值范围
是（ ）
A. B.
C. D.
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给
3分，全部答对的给5分．
10. 是虚数单位，复数 _________．
11.在 的展开式中， 的系数是_________．
12.已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为
_________．
第3页 | 共6页13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落
入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
14.已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
15.如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实
数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
17.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点
分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．
第4页 | 共6页（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原
点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相
切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
19.已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
第5页 | 共6页（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
20.已知函数 ， 为 的导函数．
（Ⅰ）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有
．
第6页 | 共6页
