文档内容
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至
2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，
考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件 、 互斥，那么 ．
·如果事件 、 相互独立，那么 ．
·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高．
·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，则
A． B． C． D．
2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A．2 B．3 C．5 D．6
3．设 ，则“ ”是“ ”的
第1页 | 共6页A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为
A．5 B．8 C．24 D．29
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分
别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
7．已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标
伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为 ，且
第2页 | 共6页，则
A． B． C． D．
8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则
的取值范围为
A． B． C． D．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 是虚数单位，则 的值为_____________．
10． 的展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为_____________．
第3页 | 共6页13．设 ，则 的最小值为_____________．
14．在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，
且 ，则 _____________．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
16．（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不
影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的
天数恰好多2”，求事件 发生的概率．
17．（本小题满分13分）
如图， 平面 ， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长．
第4页 | 共6页18．（本小题满分13分）
设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的
负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率．
19．（本小题满分14分）
设 是等差数列， 是等比数列．已知 ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 ．
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 ．
20．（本小题满分14分）
设函数 为 的导函数．
（Ⅰ）求 的单调区间；
第5页 | 共6页（Ⅱ）当 时，证明 ；
（Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明
．
第6页 | 共6页
