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2025 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共 12页，150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
M ={x∣2x-1>5},N ={1,2,3} M N =
1. 集合 ，则 I （ ）
A. {1,2,3} B. {2,3} C. {3} D. Æ
2. 已知复数z满足i×z+2=2i，则|z|=（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 8
3. 双曲线x2 -4y2 =4的离心率为（ ）
3 5 5
A. B. C. D. 5
2 2 4
4. 为得到函数y =9x的图象，只需把函数y =3x的图象上的所有点（ ）
1
A. 横坐标变成原来的 倍，纵坐标不变 B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
2
1
C. 纵坐标变成原来的 倍，横坐标不变 D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
3
5. 已知 a 是公差不为0的等差数列，a =-2，若a ,a ,a 成等比数列，则a =（ ）
n 1 3 4 6 10
A. -20 B. -18 C. 16 D. 18
6. 已知a >0,b>0，则（ ）
1 1 1
A. a2 +b2 >2ab B. + ³
a b ab
1 1 2
C. a+b> ab D. + £
a b ab
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知函数 f(x)的定义域为 D，则“函数 f(x)的值域为R ”是“对任意M ÎR，存在 x ÎD，使得
0
f x >M ”的（ ）
0
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
é πù
8. 设函数 f(x)=sin(wx)+cos(wx)(w>0)，若 f(x+π)= f(x)恒成立，且 f(x)在 ê 0, ú 上存在零点，
ë 4û
则w的最小值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
9. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T =klog N （单位：小时），
2
其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024´109个单位时，训练时间增加20
小时；当训练数据量N从1.024´109个单位增加到4.096´109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A. 2 B. 4 C. 20 D. 40
uuur uuur
uuur uuur uuur
10. 已知平面直角坐标系xOy中，|OA|=|OB|= 2 ，| AB|=2，设C(3,4)，则|2CA+ AB|的取值范围是
（ ）
A. [6,14] B. [6,12] C. [8,14] D. [8,12]
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分.
11. 抛物线y2 =2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则 p= ________．
12. 已知(1-2x)4 =a -2a x+4a x2 -8a x3 +16a x4，则a =________；a +a +a +a =________．
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
13. 已知a,bÎ[0,2π]，且sin(a+b)=sin(a-b)，cos(a+b)¹cos(a-b)，写出满足条件的一组a=
________，b=_________．
14. 某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行
多边形，平面 ARF ^平面 ABC，平面 TCD^平面 ABC， AB^ BC，AB∥RS∥EF∥CD，
5
AF∥ST∥BC∥ED，若AB= BC =8,AF =CD=4,AR= RF =TC =TD= ，则该多面体的体积为
2
________．
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学科网（北京）股份有限公司15. 关于定义域为R的函数 f(x)，以下说法正确的有________．
①存在在R上单调递增的函数 f(x)使得 f(x)+ f(2x)=-x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数 f(x)使得 f(x)+ f(2x)=-x恒成立；
③使得 f(x)+ f(-x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个；
④使得 f(x)- f(-x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个．
三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
1
16. 在VABC中，cosA=- ,asinC =4 2 ．
3
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得VABC存在，求BC的高．
10 2
①a=6；②bsinC = ；③VABC面积为10 2 ．
3
17. 四棱锥P-ABCD中， ACD与VABC为等腰直角三角形，ÐADC =90°，ÐBAC =90°，E为BC
V
的中点．
（1）F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG//面PAB；
（2）若PA^面ABCD，PA= AC ，求AB与面PCD所成角的正弦值．
18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答
对，用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
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学科网（北京）股份有限公司（3）若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有85%的概
率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概
率为 p ，乙校学生掌握该知识点的概率为 p ，试比较 p 与 p 的大小（结论不要求证明）
1 2 1 2
x2 y2 2
19. 已知E: + =1的离心率为 ，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，
a2 b2 2
（1）求椭圆方程；
（2）设O为原点，M x ,y x ¹0 为椭圆上一点，直线x x+2y y-4=0与直线y =2，y =-2交
0 0 0 0 0
S |OA|
于A，B．△OAM 与 OBM 的面积为S ,S ，比较 1 与 的大小．
V 1 2 S |OB|
2
ln(1+x)
20. 函数 f(x)的定义域为(-1,+¥), f(0)=0, f¢(x)= ，l 为A(a, f(a))(a ¹0)处的切线．
1+x 1
（1） f¢(x)的最大值；
（2）-10时，直线l 过A且与l 垂直，l ，l 分别于x轴的交点为x与x ，求 1 2 的取值范
2 1 1 2 1 2 x -x
2 1
围．
21. A=1,2,3,4,5,6,7,8,M = x ,y ∣x ÎA,y ÎA ，从M中选出n个有序数对构成一列：
i i i i
x -x =3 x -x =4
x ,y ,¼,x ,y ．相邻两项 x ,y ,x ,y 满足： i+1 i 或 i+1 i ，称为k列．
1 1 n n i i i+1 i+1 y - y =4 y - y =3
i+1 i i+1 i
（1）若k列的第一项为(3,3)，求第二项．
（2）若为k列，且满足i为奇数时，x Î{1,2,7,8}：i为偶数时，x Î{3,4,5,6}；判断：(3,2)与
i i
(4,4)能否同时在中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
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