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2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
（考试时间 120分钟，满分 150分）
一、填空题（本大题共 12题，第 1~6题每题 4分，第 7~12题每题 5分，共 54分.考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果）
1. 已知全集 U ={x∣2£ x£5,xÎR} ，集合 A={x∣2£ x<4,xÎR} ，则A= _________．
x-1
<0
x-3
2. 不等式 的解集为_________．
3. 己知等差数列
a
n
的首项 a 1 =-3 ，公差 d =2 ，则该数列的前6项和为_________．
(2x-1)5 x3
4. 在二项式 的展开式中， 的系数为_________．
é π πù
- ,
ê ú
y =cosx ë 2 4û
5. 函数 在 上的值域为_________．
æ 5 6 7 ö
ç ÷
è0.2 0.3 0.5ø E[X]=
6. 已知随机变量X的分布为 ，则期望 _________．
ABCD- ABC D BD=4 2,DB =9
7. 如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 ，则该正四棱柱的体积为_________．
1 1
a,b>0,a+ =1 b+
8. 设 b ，则 a 的最小值为_________．
9. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数
有_________种．
z2 =(z)2,|z|£1 |z-2-3i|
10. 已知复数z满足 ，则 的最小值是_________．
的
11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米 垂直于水
平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其
中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的
底角
q= _________．（结果用角度制表示，精确到0．01°）
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学科网（北京）股份有限公司ì1, x>0
ï
f(x)=í0, x=0
ï î -1, x<0 a r、b r 、c r f(a r ×b r )+ f(b r ×c r )+ f(c r ×a r )=0
12. 已知 ， 是平面内三个不同的单位向量．若 ，
r r r
|a+b +c|
则 可的取值范围是_______．
二、选择题（本大题共 4题，第 13、14题每题 4分，第 15、16题每题 5分，共 18分.每题有
且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
1 1
P(A)= P(B)=
13. 己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为 2，事件B发生的概率为 2 ，则事件AÇB
P(AÇB)
发生的概率 为（ ）
1 1 1
A. B. C. D. 0
8 4 2
14. 设a >0,sÎR．下列各项中，能推出as >a的一项是（ ）
A. a>1，且s >0 B. a>1，且s<0
C. 0<a<1，且s >0 D. 0<a<1，且s<0
15. 已知A(0,1),B(1,2)，C在G:x2 - y2 =1(x³1,y³0)上，则VABC 的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值
16. 已知数列 a 、 b 、 c 的通项公式分别为a =10n-9，b =2n、，c =la +(1-l)b .若对任意的
n n n n n n n n
lÎ0,1 ，a 、b 、c 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（ ）
n n n
A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 无数个
三、解答题（本大题共 5 题，第 17-19 题每题 14 分，第 20-21 题每题 18 分，共 78 分.解答下
列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17. 2024年东京奥运会，中国获得了男子4´100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4´100米混合
泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
20678
. 207.46 207.95 209.34 209.35
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学科网（北京）股份有限公司21068
. 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
ˆ
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y =-0.311x+b，年份x的平均数为2006，预测2028年冠
军队的成绩（精确到0.01秒）．
18. 如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2．
π
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积；
3
π
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ，CD∥AB．设点M在线
3
段OC上，证明：直线QM∥平面PBD．
19. 已知 f(x)= x2 -(m+2)x+mlnx,mÎR．
（1）若 f(1)=0，求不等式 f(x)£ x2 -1的解集；
（2）若函数y = f(x)满足在(0,+¥)上存在极大值，求m的取值范围；
x2 y2
20. 已知椭圆G: + =1(a > 5)，M(0,m)(m>0)，A是G的右顶点．
a2 5
（1）若G的焦点(2,0)，求离心率e；
uuur uuur
（2）若a=4，且G上存在一点P，满足PA=2MP，求m；
（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与G交于C、D两点，ÐCMD为钝角，求a的取值范围．
21. 已知函数y = f(x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合M ={x∣f(x+a)= f(x)}．
a
π
（1）若 f(x)=sinx，判断 是否是M 中的元素，请说明理由；
3 π
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学科网（北京）股份有限公司ìï x+2, x<0
（2）若 f x=í ,M ¹Æ，求a的取值范围；
a
ïî x, x³0
（3）若y = f(x)是偶函数，当xÎ(0,1]时， f(x)=1-x，且对任意aÎ(0,2)，均有M Í M ．写出
a 2
y = f(x)，xÎ(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数y = f(x)-c在[-3,3]上至多有9个零点．
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