文档内容
应用题-经典应用题-方阵问题基本知
识-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
方阵问题基本知识 B 1.明确空心方阵和实心方阵的概念 少考
及区别
2.掌握空心方阵和实心方阵的变化
规律
知识提要
方阵问题基本知识
概述
在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为
方阵问题。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心
的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。
实心方阵的特点
总人（或物）数=每边人（或物）数 × 每边人（或物）数
空心方阵的特点
总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数 - 层数）× 层数 ×4
奇数层：总人数=中间层总数 × 层数
偶数层：总人数=（外层 + 内层）× 层数 ÷2
若最外层每边有 a 人，内部虚方阵每边有 b 人，则空心方阵共有 (a2-b2 ) 人。
变化规律
相邻两边之间相差 2；
相邻两层之间相差 8；
每层人（或物）数=每边人（或物）数 ×4-4 =[每边人（或物）数 -1 ] ×4精选例题
方阵问题基本知识
1. 运动会上，五年级学生排成一个方队（横竖行人数相等），已知最外层为 60 人，这个方
队共有 人．
【答案】 256
【分析】 最外层每边有 60÷4+1=16(人)，共有 16×16=256(人)．
2. 一个实心方阵，最外一层每边 18 人，
（1）那么整个方阵一共 人；
（2）最外面一层有 人；
（3）从外向内数，第 2 层每边有 人，一共有 人；
（4）如果考虑最外面三层，那么这三层共有 人．
【答案】 324；68；16，60；180
【分析】 （1）182=324；
（2）17×4=68 或 18×4-4=68；
（3）18-2=16；15×4=60 或 68-8=60；
（4）60×3=180．
3. 一个长方形队列，如果增加一横行和一竖行，就要增加 13 人．这个长方形队列原来最少
有 人．
【答案】 11
【分析】 增加一横行和一竖行，就要增加 13 人，那么原方阵的长与宽的和为
13-1=12，所以人数最少时，12=1+11，有 1×11=11(人)．
4. 小朋友们排成方阵做广播体操，小明恰好站在方阵的正中心，此时无论是从前往后或者从
后往前数他都排在第 5 个，无论是从左往右或者从右往左数时他都排在第 6 个，则这个方
阵中一共有 位小朋友．
【答案】 99
【分析】 小明前后各有 5-1=4(人)，那么每列就有 4+1+4=9(人)；小明左右
有 6-1=5(人)，那么每行就有 5+1+5=11(人)，这个方阵共有 9×11=99(位) 小朋友．5. 三年级广播体操比赛采用了方阵的形式，每个方阵有 5 行，每行 8 人，3 个这样的方阵
有多少人？
【答案】 120 人
【分析】 5×8×3＝120（人），答：3 个这样的方阵有 120 人．
6. 某班所有学生恰好可以排成一个每边为 8 人的三角阵，请问：这个班共有多少人？
【答案】 36 人．
【分析】 每边为 8 人的三角阵共有：1+2+3+⋯+8=36 人．
7. 176 个棋子摆成一个四层空心方阵，最内层每边有多少棋子？
【答案】 9 个
【分析】 最内层与最外层总数和为 176÷4×2＝88（个），则则最内层有
(88-3×8)÷2=32（个），则每边有 32÷4+1=9（个）．
8. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖 400 块铺成一块正方形墙面，这个墙面最外圈铺的是红
色瓷砖，由外到内的第二圈是绿色瓷砖，第三圈是红色瓷砖，第四圈又是绿色瓷砖……这样依
次铺下去．请问这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
【答案】 红色；40 块．
【分析】 共有 400 块瓷砖，所以整个方阵是一个 20×20 的方阵，共有 10 层，
从外向里依次为红、绿两种颜色相间排列，最里一层为绿色；从外向里，每层红色瓷砖都比它
里面相邻的那层绿色瓷砖多 8 块，所以红色比绿色多 5×8=40 块．
9. 有 225 枚棋子，摆成一个 15×15 的正方形，甲、乙两人从最外一层起，轮流取走每一
层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了多少没枚棋子？
【答案】 31
【分析】 甲取走的是 56,40,24,8，乙取走的是 48,32,16,1，甲比乙多取 31 枚．
10. 某学校三年级同学 180 人，排成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？
【答案】 18【分析】 中间层总数为 180÷3＝60（人），则每边有 60÷4+1=16（人），所以
最外层每边有 16+2=18（人）．
11. 同学们参加了广播操比赛，排成每行 9 人，每列 9 人的实心方阵，问方阵中共有多少学
生？
【答案】 81
【分析】 可以根据
“实心方阵总人数=每边人数×每边人数”
得到 9 行 9 列的实心方阵人数为：
9×9=81(人)
12. 一批同学站成一个 10×10 的方阵，请问：最外一层共有多少人？从外向里的第 3 层有
多少人？
【答案】 36 人；20 人．
【分析】 最外层每边 10 人，共有 10×4-4=36 人．从外向里的第 3 层有：
36-8×2=20 人．
13. 三年级学生排成一个实心方阵进行体操表演，最外一层的人数为 32 人，问这个方阵最外
层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？
【答案】 每边 9 人，共 81 人．
【分析】 每边有
32÷4+1=9(人)
共
92=81(人)
14. 一个实心体操方阵，最外层有 32 人．这个体操方阵有多少人？
【答案】 81
【分析】 最外层每边人数：(32＋4)÷4＝36÷4＝9（人）；9×9＝81（人）；
答：这个体操方阵有 81 人．
15. 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心方阵花坛，最外面的一层每边摆了 12 盆
花，一共 3 层，一共用去多少盆花？【答案】 108
【分析】 方法一：最外层共有
12×4-4=44(盆)
第二层共有
44-8=36(盆)
第三层共有
36-8=28(盆)
所以共有
44+36+28=108(盆)
方法二：第二层每边有
12-2=10(盆)
第二层共有
10×4-4=36(盆)
所以共有
36×3=108(盆)
16. 一个实心方阵，最外面一层共有 56 人，那么这个方阵一共有多少人？
【答案】 225．
【分析】 最外层每边有：56÷4+1=15 人，所以共有 15×15=225 人．
17. 一个 13×13 的方阵中，最外一层一共有多少人？从里向外的第 3 层有多少人？
【答案】 48 人；16 人．
【分析】 最外层共有：13×4-4=48 人；最里边一层只有 1 人，里边第二层有 8
人．所以从里向外第 3 层有 16 人．
18. 士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为 80 人，问方阵外层每边有多少人？这个
方阵共有多少士兵？
【答案】 21；441 人
【分析】 80÷4＋1＝21（人）；21×21＝441（人）
答：方阵外层每边有 21 人，这个方阵共有 441 士兵．
19. 小明用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又用 28 枚棋子摆成了另外一个单层
的空心方阵，摆完后他发现两个方阵正好可以拼在一起，组成一个新的三层空心方阵，那么他
原来用了多少枚棋子？
【答案】 32 或 80【分析】 如果单层空心方阵放在双层空心方阵的里面，那么原有棋子
(28＋8)＋(28＋8＋8)＝80 枚；如果单层空心方阵放在双层空心方阵的外面，那么原有
棋子 (28-8)＋(28-8-8)＝32 枚；所以原来用了 80 枚棋子或 32 枚棋子．
20. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有 10 人，共有多少层？1∼3 层一共有多少
人？
【答案】 5；36
【分析】 10÷2＝5（层），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有 5 层，
1∼3 层一共有 36 人．
21. 某学校三年级同学 180 人，排成个三层空心方阵，这个方阵最外层每边多少人？
【答案】 18
【分析】 中间层总数为
180÷3=60(人)
则每边有
60÷4+1=16(人)
所以最外层每边有
16+2=18(人)
22. 用 64 枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？
【答案】 44
【分析】 方阵相邻两层棋子数差为 8，又知两层棋子数和为 64，由和差问题，外层
有
(64+8)÷2=36(枚)
如果再增加一层，需要增加
36+8=44(枚)
23. 一个实心体操方阵，最外层有 72 人．这个体操方阵有多少人？
【答案】 361
【分析】 最外层每边人数：(72＋4)÷4＝76÷4＝19（人）；19×19＝361
（人）；
答：这个体操方阵有 361 人．
24. 若干学生排成一个实心方阵，倒数第二层每边比第二层多 10 人，共有多少层？【答案】 8
【分析】 (10÷2)+1＋2＝8（层），所以共有 8 层．
25. 一个实心方阵，最外面一层共有 36 人，如果要让这个方阵增加一行一列，需要增加多少
人？
【答案】 21 人．
【分析】 最外层 36 人，每边 36÷4+1=10 人，增加一行一列需要
11×11-10×10=21 人．
26. 有一个 6 层的空心方阵，最外层每边 25 人，问要多少学生才能排出这个空心方阵？
【答案】 456 人
【分析】 (25-6)×6×4＝19×24＝456（个），
答：要 456 个学生才能排出这个空心方阵．
27. 一个实心方阵，最外面一层共有 44 人，请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）如果让这个方阵减少一行一列，一共需要减少多少人？
【答案】 （1）144；（2）23．
【分析】 （1）“最外一层共有 44 人”，说明最外层每边有：44÷4+1=12 人，
所以，这个方阵是一个 12×12 的方阵，共有 12×12=144 人．
（2）减少一行一列，也就是变成一个 11×11 的方阵，需要减少 144-11×11=23 人．
28. 如图所示，小刚在用棋子摆好的实心方阵上又填了 17 枚棋子，使它的横竖各增加一排，
成了大一点的实心方阵，求原来的实心方阵有多少枚棋子？【答案】 64
【分析】 填上 17 枚棋子，正好可以增加一排一列，此时每条边有
(17-1)÷2+1=9(枚)
那么原来的方阵每条边有
91-1=8(枚)
原来实心方阵的总棋子数：
8×8=64(枚)
29. 共有 200 人排成一个 5 层空心方阵，这个方针最外面一层每边多少人？如果要在最外面
增加一行一列，那么需要增加多少人？
【答案】 15；31．
【分析】 中间层共有：200÷5=40 人，所以最外层共有：40+8×2=56 人，每边
有 56÷4+1=15 人；增加一行一列需要：16×16-15×15=31 人．
30. 共有 240 人排成一个 5 层空心方阵，这个方阵最里面一层每边多少人？如果要在内部加
一层，变成 6 层空心方阵，还需要增加多少人？
【答案】 32；24．
【分析】 5 层中间一层共有：240÷5=48 人，所以最内一层共有：48-8×2=32
人，每边 32÷4+1=9 人，内部增加一层需要 32-8=24 人．
31. 学而思运动会上，五年级的女生们准备出一个团体操的节目．现在的人数刚好排成一个方
阵（每一行人数和每一列人数相等）．后来又加入了 23 个女生，恰好还可以组成一个方阵．
那么你能算出加入 23 人之前，方阵共有多少人吗？
【答案】 121 人
【分析】 依题意，前后两次的学生总人数都是完全平方数．不妨设前者人数是 B2，
后者人数是 A2. 那么根据平方差式，A2-B2=(A+B)(A-B)=23．因为 (A+B) 和
(A-B) 是同奇偶的，所以 23 也应该拆成 2 个同奇偶性的数的乘积．因此
{A+B=23 {A=12
(A+B)(A-B)=23×1⇒ ⇒
A-B=1 B=11
则加入 23 人之前，方阵有 11×11=121 人．
32. 若干名同学站成一个 15×15 的方阵，请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少
层？从里向外的第七层有多少人？【答案】 56；8；48．
【分析】 最外层每边 15 人，但角落上的 4 个人每人都同时位于两条边上，所以最
外层共有：15×4-4=56 人；每人往里一层，每边人数会减少 2 个，最里层的每边应该有：
15-2×7=1 人，共有 7+1=8 层；从里向外第 7 层每边有：1+2×(7-1)=13 人，所以
这一层共有：13×4-4=48 人．
