文档内容
数论-因数和倍数-倍数-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
倍数 C 1、理解倍数的定义 少考
2、能够准确写出一个数的较小的倍
数。
知识提要
倍数
定义
对于整数 a 和 b，如果 a∣b，我们就称 b 是 a 的倍数。
精选例题
倍数
1. 从 1～999 中选出连续 6 个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有 4 个 0，一共有
种选法．
【答案】 17
【分析】 连续的 6 个自然数中，必有 3 个偶数，这 3 个偶数是 3 个连续偶数，
其中至少有 1 个是 4 的倍数，那么这 3 个偶数的积肯定是 24 的倍数，所以任意的连续 6
个自然数的积都是 24 的倍数．
另外，连续的 6 个自然数中，至少有一个 5 的倍数，至多有两个 5 的倍数：
⑴如果其中只有 1 个 5 的倍数，由于末尾要有 4 个 0，那么这个 5 的倍数应是 54 的倍
数，即是 625 的倍数，又小于 1000，只能是 625，那么这 6 个数可以是 621～626，
622～627，623～628，624～629，共 4 种；
⑵如果其中有 2 个 5 的倍数，那么只能是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数都是 5
的倍数．由于这两个 5 的倍数不可能同时是 25 的倍数，所以其中必有一个是 53=125 的
倍数，可能为 125，250，375，500，625，750，875．对于其中除 625 外的 6 个数，每
个数都可以是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数，所以对这 6 个数，每个数都有 2 种
取法，共有 2×6=12 种取法；而对于 625 来说，与另一个 5 的倍数相乘，将会是 55 的
倍数，要想使末尾恰有 4 个 0，则这连续 6 个自然数的乘积要是 24 的倍数但又不是 25的倍数．检验 620～625 和 625～630 这两组的连续 6 个自然数，后者满足题意，前者
则不合题意．所以有 2 个 5 的倍数的情况下共有 12+1=13 种选法．
根据加法原理，共有 4+13=17 种选法．
小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉 625～630 这一组数，因为在平常做题中面对此
类问题基本上都是 2 比 5 多的情况，所以对于 2 比 5 少的可能性根本不予考虑．
2. 小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是 ．
【答案】 8000
【分析】 200 分解质因数得 200=23×52，所以小于 200 且与 200 互质的数不能
有质因数 2 或者 5．而 200 以内 2 的倍数有 2、4、6、⋯、198，和为
2+4+⋯+198=9900;
200 以内 5 的倍数有 5、10、15、⋯、195，和为
5+10+⋯+195=3900;
既是 2 的倍数又是 5 的倍数有 10、12、⋯、190，和为
10+20+⋯+190=1900;
所以所求数和为
1+2+3+⋯+199-9900-3900+1900=8000.
3. 非零数字 a，b，c 能组成 6 个没有重复数字的三位数，且这 6 个数的和是 5994，则这
6 个数中的任意一个数都 被 9 整除（填”能”或“不能”）．
【答案】 不能．
【分析】 a，b，c 组成的所有三位数都是由 a，b，c 三个数字组成，且 a，b，c
在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为：
(a+b+c)×2×1+(a+b+c)×2×10+(a+b+c)×2×100=5994,
a+b+c=27,
a=b=c=9,
与题意矛盾，故不能．
4. 某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1,2,⋯⋯,30；他们手中的电影票恰好
为某排的 1 号，2 号，⋯⋯，30 号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对 于任意
两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．
那么电影票共有 种不同的发放方式．
【答案】 48
【分析】 1 号学生有 29 人是其倍数，故 1 号学生只能拿 1 号电影票；
2 号学生有 14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；
3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；4 号学生有 6 人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；
5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；
6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；
7 号学生有 3 人是其倍数，故 7 号学生只能拿 7 号电影票；
8 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 2 人是
其倍数，综上，8 号学生只能拿 8 号电影票；
9 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，还不能是 6，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学
生只能拿 9 号电影票；
10 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 2 人是
其倍数，综上，10 号学生只能拿 10 号电影票；
12 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 1 人是
其倍数，综上，12 号学生只能拿 12 号电影票；同时 24 号学生只能拿 24 号电影票；
14 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 7 号学生（7）的倍数，同时有 1 人是
其倍数，综上，14 号学生只能拿 14 号电影票；同时 28 号学生只能拿 28 号电影票；
15 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 1 人是
其倍数，综上，15 号学生只能拿 15 号电影票；同时 30 号学生只能拿 30 号电影票；
之后的数，[2,9]=18，18 必拿 18 号，同时是 9 的倍数的 27 号只能拿 27；20=[4,5]，
20 必拿 20；21=[3,7]，21 必拿 21 号；24=[3,8]，24 必拿 24，同时是 8
的倍数的 16 号只能拿 16；28=[4,7], 28 必拿 28；30=[5,6], 30 必拿 30，同时是 5
的倍数的 25 号只能拿 25 号．目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、
29 号．11、22 互为一组成倍数，13、26 亦互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，
22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26；或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26
号拿 22．17、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 A4=24(种) 拿法．故共
4
有 2×24=48(种) 拿法．
5. 用 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字各一次组成两个三位数 A 和 B．请问：A、B、630
这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？
【答案】 最大公约数最大可能是 21，最小公倍数最小可能是 6930．
【分析】 （1）这三个数的最大公约数也是 630 的约数，630=2×32×5×7．由于
1+2+3+4+5+6=21，所以不可能组成两个都是 9 的倍数的三位数；由于只有 1 个 5，所
以不可能组成两个都是 5 的倍数的三位数，因此该最大公约数至多为 2×3×7=42，可能为
21 或 6 等．
若最大公约数为 3 的倍数，则由同余法知两个三位数的三位除以 3 的余数分别是 0、1、2；
若还为 7 的倍数，尝试可知 231 和 546、315 和 462 等都满足条件；而无法再满足为 2
的倍数，所以最大公约数为 21．（或者枚举出 123∼654 之间所有有符合题意的 42 的倍
数也可以看出没有符合题意的，进一步枚举出 123∼654 之间所有符合题意的 21 的倍数即
可找出符合的情况）．
（2）解法一：枚举最小公倍数为 630、630×2、630×3、…的情况．
若最小公倍数为 630，则 A、B 均为 630 的三位约数，630 的三位约数是 105、126、
210、315、630，没有符合题意的．
若最小公倍数为 630×2，则 A、B 均为 630 的三位约数，630×2 的三位约数是 105、
126、140、180、210、252、315、420、630，没有符合题意的．
……
若最小公倍数为 630×11，则 A、B 均为 630 的三位约数，630×11 的三位约数是 105、
110、126、154、165、198、210、231、315、330、385、462、495、630、693、770、990，其中 315 和 462 符合题意．（当然这组数在（1）中出现时分解质因数过的话，这种
情况就可以直接写出来了．相信绝大多数在（2）中打算按这个方式来做的人都会提前分解一
下 231 和 546、315 和 462，同时一般多问的题目的前面问题的解决对后面问题会有帮
助．）
所以最小公倍数最小可能为 630×11=6930．
解法二：1∼6 这六个数字的分组有 10 种情况，分别为 (123,456)、(124,356)、
(125,346)、(126,345)、(134,256)、(135,246)、(136,245)、(145,236)、(146,236)、
(156,234)，每一种分组中的两个三位数又各自有六种可能性，分别枚举这些情况，即可找到
想要的答案．由于我们已经知道 315 和 462 这组可以让最小公倍数小到 630×11，所以枚
举其他组的时候只要看能不能使得最小公倍数更小即可．
对于 (123,456)，由于 123 这边的数字较小，所以考虑 123 的变化．123 含 41；
132=22×3×11，最小公倍数最小也是 630×22；213 含 71；231=3×7×11，可能使得
最小公倍数是 630×11；312 含 13；321 含 107．由于没有 1 个可以使得最小公倍数比
630×11 更小，所以 (123,456) 这种情况排除．
同理，分别验证其他情况，发现最小公倍数最小只能达到 630×11．
6. 有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能
被第三个数整除．请问：满足上述条件的 3 个自然数之和最小是多少？
【答案】 31
【分析】 先证明这 3 个数每个都至少含有 2 种质因数．
证法一：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，那么 B 不可能只有质因
数 p，否则 B 和 A 必定是倍数关系，同理，C 也不可能只有质因数 p．
根据 C∣AB，假设 C 有除 p 以外其他质因数 q，可以得到 q∣B，同理，C 所有除了 p
以外的质因数都是 B 的质因数；再根椐 B∣CA，同理得，B 所有除了 p 以外的质因数也
是 C 的质因数，那么 B、C 必定是倍数关系，与题意矛盾．所以这 3 个数中不可能出现只
含 1 种质因数的数，即每个都至少含有 2 种质因数．
证法二：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，设 A=pa．因为
A∣BC，所以乘积 BC 中一定含有质因数 p；但 A 不能整除 B，也不能整除 C，说明 B、
C 中都含有 p，且次数都低于 a；又 B 不能整除 A，C 也不能整除 A，所以 B、C 中
都含打除了 p 以外的质因数，设 B=▫ ×pb ，C=▫ ×pb ，其中 ▫ 表示 B 分解质因数后不
b c b
包含 p 的部分，▫ 同理．
c
因为 B∣AC，所以 ▫ ∣▫ ；同理，因为 C∣AB，所以 ▫ ∣▫ ，说明 ▫ =▫ ，那么 B 和 C
b c c b c b
是倍数关系，与题意矛盾．所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至
少含行 2 种质因数．
若这三个数里一共恰有 2 种质因数，最小为 2 和 3，最小符合题意的情况是 22×32、
2×33、23×3，和为 36+54+24=114；
若这三个数里一共恰有 3 种质因数，最小为 2、3、5，最小符合题意的情况是 2×3、2×5、
3×5，和为 6+10+15=31；
若这三个数里一共恰有 4 种质因数，最小为 2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3 个不
同的各含两种质因数的数最小是 2×3、2×5、2×7，和为 30，但这组不符合题意，很明显
如果要符合题意，和肯定大于 31；
若这三个数里一共恰有 5 种质因数，最小为 2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3
个不同的各含两种质因数的数最小是 2×7、2×11、3×5，和为 51，大于 31；很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于 31；
综上，满足上述条件的 3 个自然数之和最小是 31．
7. 4 个连续的自然数，从小到大依次是 11 的倍数、7 的倍数、5 的倍数、3 的倍数，求这
4 个自然数的和的最小值．
【答案】 1458
【分析】 方法一：设这 4 个连续的自然数为 a、a+1、a+2、a+3．
根据题意，a+3 是 3 的倍数，所以，a 也是 3 的倍数，而 a 是 11 的倍数，则 a 是 33
的倍数．
又因为第三个数 a+2 是 5 的倍数，个位为 0 或者 5，则第一个数 a 的个位应该为 3 或
者 8．
又 a 是 33 的倍数，
a 最小为
33×1=33,
后面的数为 34、35、36，而 34 不是 7 的倍数，排除．
a 可以为
33×6=168,
后面的数为 169、170、171，而 169 不是 7 的倍数，排除．
a 可以为
33×11=363,
后面的数为 364、365、366，验证，符合．
所以，这 4 个自然数的和的最小值是
363+364+365+366=1458.
方法二：设这 4 个自然数分别为 11a、11a+1、11a+2、11a+3．
11a+1 是 7 的倍数，那么 11a÷7 余 6，则 a÷7 余 5．
11a+2 是 5 的倍数，那么 11a÷5 余 3，则 a÷5 余 3．
11a+3 是 3 的倍数，那么 11a÷3 无余数，则 a÷3 无余数．
符合条件的 a 最小为
5×7-2=33.
则
11a=11×33=363.
这 4 个自然数为 363、364、365、366．
所以和的最小值
363+364+365+366=1458.
8. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被
120 整除．这个正整数最小是多少？
【答案】 117【分析】 先将 120 分解质因数 120=23×3×5，设这个数为 A，依题意得后来的
两个数分別是 A+75 和 A+48，这两个数相差 (A+75)-(A+48)=27．
因为 27 是 3 的倍数，所以 A+75 和 A+48 除以 3 的余数相同；因为
(A+75)(A+48) 是 120 的倍数，所以 A+75 和 A+48 都是 3 的倍数．
因为 27 不是 5 的倍数，所以 A+75 和 A+48 中只有 1 个是 5 的倍数；因为 27 和 8
互质，所以 A+75 和 A+48 中只有 1 个是 8 的倍数；又因为 A+75 和 A+48 都不是
120 的倍数，所以不可能有一个数既是 5 的倍数也是 8 的倍数，说明 A+75 和 A+48
中一个是 5 的倍数，另一个是 8 的倍数．
综上，A+75 和 A+48 中一个是 15 的倍数，另一个是 24 的倍数．
若 A+75 是 15 的倍数．A+48 是 24 的倍数，则很明显 A 既是 15 的倍数又是 24 的
倍数，最小是 120；
{A÷24⋯21,
若 A+75 是 24 的倍数，A+48 是 15 的倍数，则 所以 A 最小是 117．
A÷15⋯12,
所以这个正整数最小是 117．
9. 由数字 a、b、c 各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位数的和是 2075，那么
a+b+c 是多少？
【答案】 10
【分析】 这六个数分别为 abc、acb、bac、bca、cab、cba，这六个数的和是
222(a+b+c)，所以 2075 加上另外那个三位数后应该是 222 的倍数，可能的 222 的倍数
有 222×10=2220、222×11=2442、222×12=2664、222×13=2886，对应的另外那个
三位数是 145、367、589、811．因为 1+4+5=10，符合；3+6+7≠11，排除；
5+8+9≠12，排除；8+1+1≠13，排除．所以 a+b+c 是 10．
10. 一个整数乘以 13 后，乘积的最后三位数是 123．这样的整数中最小的是多少？
【答案】 471
【分析】 设
A=⋯cba,
B=⋯123,
有
⋯cba×13=⋯123
方法一：⋯123 一定是 13 的倍数，而 13 的倍数满足其后三位与前面隔开，差是 13 的倍
数．
123÷13=9⋯⋯6，那么 6123 一定是 13 的倍数，且为满足条件的最小自然数．
那么题中所求的最小整数为
6123÷13=471
方法二：有 A 的个位 a 只能是 1，不然其与 13 的乘积的个位不是 3显然有 A 的个位 1 与 13 相乘过程中进有 1，则 A 的十位 b 乘以 13 得到的数的个位
为 2-1=1，显然只有当 b=7 时才能满足．
此时 A 的十位 7 与 13 相乘过程中进有 9，则 A 的百位 c 乘以 13 得到的数的个位为
(1+10)-9=2，显然只有 c=4
于是 ⋯417 而乘以 13 后得到的积其最后三位数是 123
而这样的数中最小的是 471
11. （1）“速算×巧算=好好好”在上面的乘法算式中，不同的字母表示不同的数字，相
同的字母表示相同的数字．那么“速+巧+算+好”之和等于多少？
（2）下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的
数字．已知 BAD 不是 3 的倍数，GOOD 不是 8 的倍数，那么 ABGD 代表的四位数是
多少？
B A D
D¿G¿O¿O¿D¿
+ ¿B ¿
【答案】 （1）21；（2）3810
【分析】 （1）好好好=好×111=好×3×37，100 以内 37 的倍数只有 37 和
74，所以“速算”或“巧算”中必有 1 个是 37 或 74，判断出“算”是 7 或 4．若
算=7，则 好=9，999÷37=27，所以，
速+巧+算+好=3+2+7+9=21.
若 杯=4，则 好=6，666÷74=9，不是两位数，不符合题意．
速+巧+算+好=3+2+7+9=21.
（2）首先可以确定 D 的值一定是 0，G 的值一定是 1，所以
GOO=BA+BA,
可见 GOO 为偶数，只能是 122、144、166、188，由于 BAD 不是 3 的倍数，GOOD
不是 8 的倍数，所以 GOO 不是 3 的倍数，也不是 4 的倍数，可以排除 144 和 188，
再检验 122 和 166 可知只有 166 符合，此时 BAD 为 830，所以 ABGD 的值为 3810．
12. 一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 6 个数字
重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数？
【答案】 71
【分析】 设这个六位数为 abcdef，则有 (a+c+e)、(b+d+f ) 的差为 0 或 11
的倍数．且 a、b、c、d、e、f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数．
先考虑 a、c、e 偶数位内，b、d、f 奇数位内的组内交换，有 A3×A3=36(种) 顺序；
3 3
再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 A3×A3=36(种) 顺序．
3 3
所以，用均不为 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可以排出 36+36=72(个) 能被 11 整除的
数（包含原来的 abcdef）．所以最少还能排出 72-1=71(个) 能被 11 整除的六位数．
