文档内容
数论-因数和倍数-倍数-4 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
倍数 C 1、理解倍数的定义 少考
2、能够准确写出一个数的较小的倍
数。
知识提要
倍数
定义
对于整数 a 和 b，如果 a∣b，我们就称 b 是 a 的倍数。
精选例题
倍数
1. 橘子、苹果、梨共有六箱，这六箱水果的重量分别为 15、16、18、19、20、31 千克，
其中苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱．这箱橘子重 千克．
【答案】 20
【分析】 因题目中提到“苹果的重量是梨的一半，橘子只有一箱”，这表明除去橘子
后，剩下的水果重量恰好等于苹果重量的 3 倍，也就是说重量是 3 的倍数．而事实上，在
15、16、18、19、20、31 这六个数中，只有除去 20 后剩下的五个数之和恰好是 3 的倍
数，所以这箱橘子重 20 千克．
2. 小于 200 且与 200 互质的所有自然数的和是 ．
【答案】 8000
【分析】 200 分解质因数得 200=23×52，所以小于 200 且与 200 互质的数不能
有质因数 2 或者 5．而 200 以内 2 的倍数有 2、4、6、⋯、198，和为
2+4+⋯+198=9900;
200 以内 5 的倍数有 5、10、15、⋯、195，和为5+10+⋯+195=3900;
既是 2 的倍数又是 5 的倍数有 10、12、⋯、190，和为
10+20+⋯+190=1900;
所以所求数和为
1+2+3+⋯+199-9900-3900+1900=8000.
3. 自然数 1，2，⋯，50 中，是 3 的倍数，但不是 2 的倍数的数有 个．
【答案】 8
【分析】 3 的倍数有 50÷3=16⋯2．
16÷2=8(个)．
3、9、15、21、27、33、39、45
4. 某个三位数 ABC 与它的反序数 CBA 相乘，所得乘积的 3 倍是 2010 的倍数，那么
ABC×CBA×3÷2010= ．
【答案】 508
【分析】 ABC、CBA 两数中必一个数是 67 的倍数，也必有一个数是 5 的倍数，
如果不妨设 ABC 是 67 的倍数．
情形一 ABC 是 5 的倍数，则只能等于 335，335×533×3 并不是 2010 的倍数．
情形二：ABC 不是 5 的倍数，则 CBA 是 5 的倍数且 ABC 是 2 的倍数．
故 ABC 是 134 的倍数，且 A=5．所以 ABC=134×4=536．
5. 将 1 从开始到 100 的连续的自然数相乘，得到 1×2×3×4×⋯⋯×99×100．记为
100！（读作 100 的阶乘）．用 3 除 100！，显然，100！ 被 3 整除，得到一个商：再
用 3 除这个商，⋯⋯，这样一直用 3 除下去，直到所得的商不能被 3 整除为止，那么，
在这个过程中用 3 整除了 次．
【答案】 48
【分析】 从 1 到 100 里，3 的倍数有 3、6、9、⋯⋯、99（根据等差数列）共
33 个；
其中 9=3×3，9 的倍数有 9、18、27、⋯⋯、99，共 11 个；
27=3×3×3，27 的倍数有 27、54、81，共有 3 个；
81=3×3×3×3，1 个；
所以，在这个过程中用 3 整除了
33+11+3+1=48(次).
6. 一只小蜜蜂发现了一处蜜源，它立刻回巢招来 10 个同伴，可还是采不完．于是，每只蜜
蜂回去分头各找来 10 只蜜蜂，大家再接着干，还是剩下很多蜜没有采．于是，蜜蜂们又回去叫同伴，每只蜜蜂又叫来 10 个同伴，但仍然采不完．蜜蜂们再回去，每只蜜蜂又叫来 10
个同伴．这一次，终于把这一片蜜源采完了．
你来算一算采这块蜜源的蜜蜂一共有 只．
【答案】 14641
【分析】 每只小蜜蜂每次都叫来 10 只蜜蜂，所以每次新叫来的蜜蜂是原来蜜蜂数
目的 10 倍，即每叫一次，蜜蜂数目变为原来的 11 倍，共叫了 4 次．现在的蜜蜂共有
1×11×11×11×11=14641（只）．
7. 非零数字 a，b，c 能组成 6 个没有重复数字的三位数，且这 6 个数的和是 5994，则这
6 个数中的任意一个数都 被 9 整除（填”能”或“不能”）．
【答案】 不能．
【分析】 a，b，c 组成的所有三位数都是由 a，b，c 三个数字组成，且 a，b，c
在个位、十位、百位都出现两次，所以和应该为：
(a+b+c)×2×1+(a+b+c)×2×10+(a+b+c)×2×100=5994,
a+b+c=27,
a=b=c=9,
与题意矛盾，故不能．
8. 已知 x，y 是大于 0 的自然数，且 x+ y=150，若 x 是 3 的倍数，y 是 5 的倍数，
则 (x,y) 的不同取值有 对．
【答案】 9
【分析】 由题意得，x，y 为 3 和 5 的公倍数才符合要求，公倍数有 15、30、45、
60、75、90、105、120、135，则共有 9 对不同取值．
9. 给定一个除数（不为 0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足
被除数=除数×商+余数
其中，0⩽余数<除数 。这就是带余数的除法。当余数为 0 时，也称除数整除被除数，或
者称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）．
请写出所有不超过 88 并且能够被 6 整除的大于 1 的自然数有 ．
【答案】 6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．【分析】 能被 6 整除的数一定为 6 的倍数，并且要求不超过 88．
所以有 6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．
10. 从 1～999 中选出连续 6 个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有 4 个 0，一共有
种选法．
【答案】 17
【分析】 连续的 6 个自然数中，必有 3 个偶数，这 3 个偶数是 3 个连续偶数，
其中至少有 1 个是 4 的倍数，那么这 3 个偶数的积肯定是 24 的倍数，所以任意的连续 6
个自然数的积都是 24 的倍数．
另外，连续的 6 个自然数中，至少有一个 5 的倍数，至多有两个 5 的倍数：
⑴如果其中只有 1 个 5 的倍数，由于末尾要有 4 个 0，那么这个 5 的倍数应是 54 的倍
数，即是 625 的倍数，又小于 1000，只能是 625，那么这 6 个数可以是 621～626，
622～627，623～628，624～629，共 4 种；
⑵如果其中有 2 个 5 的倍数，那么只能是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数都是 5
的倍数．由于这两个 5 的倍数不可能同时是 25 的倍数，所以其中必有一个是 53=125 的
倍数，可能为 125，250，375，500，625，750，875．对于其中除 625 外的 6 个数，每
个数都可以是这连续 6 个自然数中的最大数和最小数，所以对这 6 个数，每个数都有 2 种
取法，共有 2×6=12 种取法；而对于 625 来说，与另一个 5 的倍数相乘，将会是 55 的
倍数，要想使末尾恰有 4 个 0，则这连续 6 个自然数的乘积要是 24 的倍数但又不是 25
的倍数．检验 620～625 和 625～630 这两组的连续 6 个自然数，后者满足题意，前者
则不合题意．所以有 2 个 5 的倍数的情况下共有 12+1=13 种选法．
根据加法原理，共有 4+13=17 种选法．
小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉 625～630 这一组数，因为在平常做题中面对此
类问题基本上都是 2 比 5 多的情况，所以对于 2 比 5 少的可能性根本不予考虑．
11. 在所有是 20 的倍数的自然数中，不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是
．
【答案】 32340
【分析】 是 20 的倍数也是 14 的倍数，则这些数是 [14,20]=140 的倍数．最小
的是 0，最大的是 2940，有 (2940-0)÷140+1=22 个．所以这些数的和是
(0+2940)×22÷2=32340.
12. 已知和数 1+2+3+⋯+n 的个位数为 6，十位数为 0，百位数不为 0．则 n 最小是
．
【答案】 28【分析】 详解：由题意得：4+5+6+⋯+n（n>3）的末两位是 00，因而是 100
(4+n)(n-3)
的倍数．即 是 100 的倍数，所以 (4+n)(n-3) 是 200 的倍数．又因为
2
4+n、n-3 两数互质，因而两个数中必有一个数是 8 的倍数，也必有一个数是 25 的倍数．
{8∣(4+n) {8∣(n-3) {8∣(4+n) {8∣(n-3)
于是有四种情形： ， ， ， ．每种情形对应
25∣(n-3) 25∣(4+n) 25∣(4+n) 25∣(n-3)
的最小 n 的值分别是 28、171、196、203．所以所求的最小值是 28．
13. 将 1 至 8 填入方格中，使得数列 □□,9,□□,□□,□□ 从第三个项开始，每一项都等
于前面两项的和，那么这个数列的所有项之和是 ．
【答案】 198
【分析】 第三个数比第一个数多 9，第四个数比第三个数多 9；
若第一个数除以 9 余 a，则第三个数和第四个数也余 a，第五个数则余 2a，五个数总和除
以 9 余 4a；而由于
1+2+3++9=45
是 9 的倍数，易知 a=0，即这五个数都是 9 的倍数；若设第一个数为 18，则这五个数分
别为 18，9，27，36，63；6 出现两次不符合要求；若设第一个数为 27，则这五个数分别
为 27，9，36，45，81；符合要求．
所有项之和为
27+9+36+45+81=198
14. 有 8 只盒子，每只盒内放有同一种笔．8 只盒子所装笔的支数分别为 17 支、23 支、
33 支、36 支、38 支、42 支、49 支、51 支．在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的 2
倍，铅笔支数是钢笔支数的 3 倍，只有一只盒里放的是水彩笔．这盒水彩笔共有
支．
【答案】 49
【分析】 铅笔数是钢笔数的 3 倍，圆珠笔数是钢笔数的 2 倍，因此这三种笔支数
的和是钢笔数的 3+2+1=6(倍)．17+23+33+36+38+42+49+51=289，除以 6 余 1，
所以水彩笔的支数除以 6 余 1，在上述 8 盒的支数中，只有 49 除以 6 余 1，因此水彩
笔共有 49 支．
15. 某班共有 30 名学生去看电影，他们的学号依次为 1,2,⋯⋯,30；他们手中的电影票恰
好为某排的 1 号，2 号，⋯⋯，30 号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对 于任
意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．
那么电影票共有 种不同的发放方式．
【答案】 48【分析】 1 号学生有 29 人是其倍数，故 1 号学生只能拿 1 号电影票；
2 号学生有 14 人是其倍数，故 2 号学生只能拿 2 号电影票；
3 号学生有 9 人是其倍数，故 3 号学生只能拿 3 号电影票；
4 号学生有 6 人是其倍数，故 4 号学生只能拿 4 号电影票；
5 号学生有 5 人是其倍数，故 5 号学生只能拿 5 号电影票；
6 号学生有 4 人是其倍数，故 6 号学生只能拿 6 号电影票；
7 号学生有 3 人是其倍数，故 7 号学生只能拿 7 号电影票；
8 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 2 人是
其倍数，综上，8 号学生只能拿 8 号电影票；
9 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，还不能是 6，同时有 2 人是其倍数，综上，9 号学
生只能拿 9 号电影票；
10 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 2 人是
其倍数，综上，10 号学生只能拿 10 号电影票；
12 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 4 号学生（4）的倍数，同时有 1 人是
其倍数，综上，12 号学生只能拿 12 号电影票；同时 24 号学生只能拿 24 号电影票；
14 号学生必须是 2 号学生（2）的倍数，也必须是 7 号学生（7）的倍数，同时有 1 人是
其倍数，综上，14 号学生只能拿 14 号电影票；同时 28 号学生只能拿 28 号电影票；
15 号学生必须是 3 号学生（3）的倍数，也必须是 5 号学生（5）的倍数，同时有 1 人是
其倍数，综上，15 号学生只能拿 15 号电影票；同时 30 号学生只能拿 30 号电影票；
之后的数，[2,9]=18，18 必拿 18 号，同时是 9 的倍数的 27 号只能拿 27；20=[4,5]，
20 必拿 20；21=[3,7]，21 必拿 21 号；24=[3,8]，24 必拿 24，同时是 8
的倍数的 16 号只能拿 16；28=[4,7], 28 必拿 28；30=[5,6], 30 必拿 30，同时是 5
的倍数的 25 号只能拿 25 号．目前还没有确定的数有：11、22、13、26、17、19、23、
29 号．11、22 互为一组成倍数，13、26 亦互为一组成倍数，有两种拿法：11 号拿 11，
22 号拿 22，13 号拿 13，26 号拿 26；或 11 号拿 13，22 号拿 26，13 号拿 11，26
号拿 22．17、19、23、29 是大质数，没有限制，可随意拿，有 A4=24(种) 拿法．故共
4
有 2×24=48(种) 拿法．
16. 123456789×111⋯11 的各位数字之和为_______．
¿
【答案】 18126
【分析】 123456789 是 9 的倍数，且
123456789<111⋯11
，所以各位数字之和
¿
为
2014×9=18126
17. 互为反序的两个自然数的积是 92565，求这两个互为反序的自然数．（例如 102 和 201；
35 和 53；11 和 11，⋯ 称为互为反序的数，但 120 和 21 不是互为反序的数）．
【答案】 165、561
【分析】 92565=3×3×5×11×11×17．互为反序的两个自然数中，若其中之一为
3 的倍数（或 11 的倍数），另一个也必为 3 的倍数（或 11 的倍数）．又因乘积是五位数，所以这两个数是三位数，我们有 92565=(3×5×11)×(3×17×11)=165×561，于是，这
两个数为 165 和 561．
18. 在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．“
花相似人不同”代表的六位数是多少？
年年×岁岁=花相似岁岁÷年年=人÷不同
【答案】 968510
【分析】 第一个算式可以变为“年×岁×121=花相似”．所以 花相似 是 121
的倍数．121 的倍数中，三位数有 121、242、363、484、616、737、858、979，共 8
个．花相似 中没有重复数字，所以只可能是 605、726、847、968 之一．依次验证几种
情况，发现：当 花相似 是 968，那么“年×岁”为 8，只能分别是 1、8 或 2、4．其
中 1、8 这种情况与“似”等于 8 矛盾，2、4 这种情况满足要求．由第二个算式可以看出，
“岁”小于“年”，因此“岁”为 2，“年”为 4．第二个算式为 22÷44=人÷不同，已
经用过的数字有 2、4、6、8、9，所以“人”、“不”、“同”只能在 0、1、3、5、7 中
取，只能分别是 5 和 10．综上所述，“花相似人不同”所代表的六位数是 968510．
19. 在下面的乘法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．那么“
好棒”所代表的两位数是多少？
数好×学好=棒棒棒
【答案】 79
【分析】 棒棒棒 是 37 的倍数，说明等号左边一定有 37 的倍数，可能是 37 或
74．经验证算式只能是 27×37=999．
20. 三个连续自然数依次是 13、11、7 的倍数，那么这三个连续自然数之和 最小为多少？
【答案】 627
【分析】 详解：一个数满足：是 13 的倍数，且加 1 后是 11 的倍数，那么这个数
最小是 65，下一个是 65+143=208，而 209、210 分别是 11、7 的倍数，所以最小是
208+209+210=627．
21. 4 个连续的自然数，从小到大依次是 11 的倍数、7 的倍数、5 的倍数、3 的倍数，求这
4 个自然数的和的最小值．
【答案】 1458【分析】 方法一：设这 4 个连续的自然数为 a、a+1、a+2、a+3．
根据题意，a+3 是 3 的倍数，所以，a 也是 3 的倍数，而 a 是 11 的倍数，则 a 是 33
的倍数．
又因为第三个数 a+2 是 5 的倍数，个位为 0 或者 5，则第一个数 a 的个位应该为 3 或
者 8．
又 a 是 33 的倍数，
a 最小为
33×1=33,
后面的数为 34、35、36，而 34 不是 7 的倍数，排除．
a 可以为
33×6=168,
后面的数为 169、170、171，而 169 不是 7 的倍数，排除．
a 可以为
33×11=363,
后面的数为 364、365、366，验证，符合．
所以，这 4 个自然数的和的最小值是
363+364+365+366=1458.
方法二：设这 4 个自然数分别为 11a、11a+1、11a+2、11a+3．
11a+1 是 7 的倍数，那么 11a÷7 余 6，则 a÷7 余 5．
11a+2 是 5 的倍数，那么 11a÷5 余 3，则 a÷5 余 3．
11a+3 是 3 的倍数，那么 11a÷3 无余数，则 a÷3 无余数．
符合条件的 a 最小为
5×7-2=33.
则
11a=11×33=363.
这 4 个自然数为 363、364、365、366．
所以和的最小值
363+364+365+366=1458.
22. 某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树
一样多，共种了 1073 棵，那么平均每人种了棵树？
【答案】 29
【分析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073 写
成两个数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，1073=29×37，注意到人数是减去 1
是 3 倍数，所以人数是 37 均每人种了 29 棵．
23. 用 3、4、5、6 各一个组成一个四位数，使其是 56 的倍数．
【答案】 4536
【分析】 3、4、5、6 组成的四位数肯定是 9 的倍数，56×9=504，四位数的前两
位后两位 5:4，枚举可得 4536．24. 一个整数乘以 13 后，乘积的最后三位数是 123．这样的整数中最小的是多少？
【答案】 471
【分析】 设
A=⋯cba,
B=⋯123,
有
⋯cba×13=⋯123
方法一：⋯123 一定是 13 的倍数，而 13 的倍数满足其后三位与前面隔开，差是 13 的倍
数．
123÷13=9⋯⋯6，那么 6123 一定是 13 的倍数，且为满足条件的最小自然数．
那么题中所求的最小整数为
6123÷13=471
方法二：有 A 的个位 a 只能是 1，不然其与 13 的乘积的个位不是 3
显然有 A 的个位 1 与 13 相乘过程中进有 1，则 A 的十位 b 乘以 13 得到的数的个位
为 2-1=1，显然只有当 b=7 时才能满足．
此时 A 的十位 7 与 13 相乘过程中进有 9，则 A 的百位 c 乘以 13 得到的数的个位为
(1+10)-9=2，显然只有 c=4
于是 ⋯417 而乘以 13 后得到的积其最后三位数是 123
而这样的数中最小的是 471
25. 用 7、8、9、0 各组成一个四位数，使其是 169 的倍数．
【答案】 7098
【分析】 7、8、9、0 组成的四位数肯定是 3 的倍数，169×3=507，四位数前两
位后两位 5:7，枚举可得 7098．
26. （1）“速算×巧算=好好好”在上面的乘法算式中，不同的字母表示不同的数字，相
同的字母表示相同的数字．那么“速+巧+算+好”之和等于多少？
（2）下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的
数字．已知 BAD 不是 3 的倍数，GOOD 不是 8 的倍数，那么 ABGD 代表的四位数是
多少？
B A D
D¿G¿O¿O¿D¿
+ ¿B ¿
【答案】 （1）21；（2）3810【分析】 （1）好好好=好×111=好×3×37，100 以内 37 的倍数只有 37 和
74，所以“速算”或“巧算”中必有 1 个是 37 或 74，判断出“算”是 7 或 4．若
算=7，则 好=9，999÷37=27，所以，
速+巧+算+好=3+2+7+9=21.
若 杯=4，则 好=6，666÷74=9，不是两位数，不符合题意．
速+巧+算+好=3+2+7+9=21.
（2）首先可以确定 D 的值一定是 0，G 的值一定是 1，所以
GOO=BA+BA,
可见 GOO 为偶数，只能是 122、144、166、188，由于 BAD 不是 3 的倍数，GOOD
不是 8 的倍数，所以 GOO 不是 3 的倍数，也不是 4 的倍数，可以排除 144 和 188，
再检验 122 和 166 可知只有 166 符合，此时 BAD 为 830，所以 ABGD 的值为 3810．
27. 一个自然数，它与 99 的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小自然数．
【答案】 2312
【分析】 积是 99 的倍数，所以积的数字和是 9 的倍数，且注意到积的数字和是偶
数，奇位和是偶数，偶位和也是偶数，那么积的数字和最小是 36，奇位和与偶位和都是 18．
为使乘积小，乘积的位数应该尽可能少，所以要尽可能多的用 8，18=2+8+8，所以乘积最
小是 228888，那么乘数的最小值为 228888÷99=2312．
28. 一个正整数，它分别加上 75 和 48 以后都不是 120 的倍数，但这两个和的乘积却能被
120 整除．这个正整数最小是多少？
【答案】 117
【分析】 先将 120 分解质因数 120=23×3×5，设这个数为 A，依题意得后来的
两个数分別是 A+75 和 A+48，这两个数相差 (A+75)-(A+48)=27．
因为 27 是 3 的倍数，所以 A+75 和 A+48 除以 3 的余数相同；因为
(A+75)(A+48) 是 120 的倍数，所以 A+75 和 A+48 都是 3 的倍数．
因为 27 不是 5 的倍数，所以 A+75 和 A+48 中只有 1 个是 5 的倍数；因为 27 和 8
互质，所以 A+75 和 A+48 中只有 1 个是 8 的倍数；又因为 A+75 和 A+48 都不是
120 的倍数，所以不可能有一个数既是 5 的倍数也是 8 的倍数，说明 A+75 和 A+48
中一个是 5 的倍数，另一个是 8 的倍数．
综上，A+75 和 A+48 中一个是 15 的倍数，另一个是 24 的倍数．
若 A+75 是 15 的倍数．A+48 是 24 的倍数，则很明显 A 既是 15 的倍数又是 24 的
倍数，最小是 120；
{A÷24⋯21,
若 A+75 是 24 的倍数，A+48 是 15 的倍数，则 所以 A 最小是 117．
A÷15⋯12,
所以这个正整数最小是 117．29. 有些数既能表示成 5 个连续自然数的和，又能表示成 6 个连续自然数的和，还能表示成
7 个连续自然数的和．例如：105 就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；
105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18．请问：在 1 至 1000
中一共有多少个满足上述要求的数？
【答案】 5
【分析】 一个数能表示成 5 个连续然数的和，则这个数应为 5 的倍数．能表示成
6 个连续自然数的和，则这个数应为 3 的倍数，并且商不能为偶数，即这个数不能为 6 的
倍数．能表示成 7 个连续自然数的和，则这个数应为 7 的倍数．所以满足条件的数有 105、
315、525、735、945，共 5 个．
30. 在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“
数学”所代表的两位数是多少？
数数×科学=学数学
【答案】 16
【分析】 数数 是 11 的倍数，所以 学数学 也是 11 的倍数．三位数中满足
学数学 这种形式，又是 11 的倍数的数有 121、242、363、484、616、737、858、979．
依次验证几种情况，发现：当 学数学 为 616，那么“学”为 6，“数”为 1，“
数数×科学=学数学”变为“11×科6=616”，可知“科”为 5，符合题意．其他情况
逐一检验，没有符合题目要求的答案，所以“数学”代表的两位数是 16．
31. 小明将 100 枚棋子分成 3 堆，已知第一堆比第二堆的 2 倍还多，第二堆比第三堆的 2
倍也要多，那么第三堆最多有多少枚棋子？
【答案】 13 枚．
【分析】 设第三堆的棋子数为“1”份，第二堆的棋子数为“2”份多一些，第一堆
的棋子数为“4”份多一些，总和为“7”份多一些，为使第三堆尽量多，即找与 100 最接近
且是 7 的倍数的数，为 98，但是 98 不行，只能找再小一点的 91，因此第三堆最多有
91÷7=13 枚．
32. 由数字 a、b、c 各一个可以组成六个不同的三位数，其中五个三位数的和是 2075，那么
a+b+c 是多少？
【答案】 10【分析】 这六个数分别为 abc、acb、bac、bca、cab、cba，这六个数的和是
222(a+b+c)，所以 2075 加上另外那个三位数后应该是 222 的倍数，可能的 222 的倍数
有 222×10=2220、222×11=2442、222×12=2664、222×13=2886，对应的另外那个
三位数是 145、367、589、811．因为 1+4+5=10，符合；3+6+7≠11，排除；
5+8+9≠12，排除；8+1+1≠13，排除．所以 a+b+c 是 10．
33. 恰好能同时被 4、5、6 整除的三位数有多少个？
【答案】 15．
【分析】 4,5,6 的最小公倍数是 60，三位数中 60 的倍数有 999÷60-1≈15 个．
1 1 1 1 1
34. 有 9 个分数的和为 1，它们的分子都是 1．其中的 5 个是 ， ， ， ， ，另外
3 7 9 11 33
4 个数的分母个位数字都是 5．请写出这 4 个分数．
1 1 1 1
【答案】 ， ， ，
5 15 45 385
【分析】
(1 1 1 1 1 )
1- + + + + 2×101 1010
3 7 9 11 33 ¿=¿ .¿
3×3×7×11 3×3×5×7×11
¿
需要将 1010 拆成 4 个数的和，这 4 个数都不是 5 的倍数，而且都是 3×3×7×11 的约
数．因此，它们可能是 3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693．
经试验得
693+231+77+9=1010.
1 1 1 1
所以，其余的 4 个分数是： ， ， ， ．
5 15 45 385
35. 任意一些末两位是 25 的数相乘，它们的乘积末两位数仍是 25，我们称 25 是“变不掉
的两位数尾巴”．显然 000 是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾
巴”．
【答案】 376，625，000，001
【分析】 设变不掉的三位数尾巴为 x，则有 x-x2 是 1000 的倍数，即
x(x-1)=23×53×n（n 为整数），等式左边是一个奇数乘以一个偶数，因此等式右边其中
一个是 125 的奇数倍数，另一个是 8 的倍数，且是连续的自然数，因此这两个数分别为
375、376 或 625、624，即“变不掉的三位数尾巴”只能是 376，625，还有 000，001．36. 用 1 到 6 这 6 个数码可以组成 720 个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数．
【答案】 3
【分析】 数字和是 3 的倍数，123465-123456=9，存在不是 9 的倍数，所以最
大公因数为 3．
37. 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数
字和都仍为质数。满足条件的两位数为 ．
【答案】 67
【分析】 ① 分析：3 的倍数数字和为 3 倍数且为质数一定为 3；
② 枚举验证：3 倍数：30、102、120、201、210；原数可能是：10、34、40、67、70
（可排除 10 和 40）；该数的 5 倍：170、335、350（可排除 170 和 350）；
所以满足条件的两位数为 67．
38. 若干个连续自然数 1，2，3⋯ 的乘积的末尾有 13 个 0，这些自然数中最大是？
【答案】 59
【分析】 每个因数 5，与偶数的乘积，会在末尾增加 1 个 0，连续自然数，偶数足
够多，只需要考虑因数 5 的个数．末尾有 13 个 0，那么就要有 13 个因数 5，每 5 个连
续自然数，至少含有一个因数 5，13×5=65，即 1～65 中 5 的倍数有 65÷5=13 个，
25 的倍数有 25 和 50 这 2 个，一共有 13+2=15 个因数 5，所以要去掉 65 和 60，那
么最大的一个自然数就是 59．
39. 求最小的正整数 n，使得 2006+7n 是完全平方数．
【答案】 29
【分析】 452=2025，2025-2006=19 不是 7 的倍数．
462=2116，2116-2006=110 不是 7 的倍数．
472=2209，2209-2006=203 是 7 的倍数，商为 29．
因此满足条件的最小的正整数 n 为 29．
40. 有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是 3 的倍数或 4 的倍数，其中标有 3 的倍数
2 3
的卡片占 ，标有 4 的倍数的卡片占 ，标有 12 的倍数的卡片有 15 张．那么，这些卡
3 4
片一共有多少张？
【答案】 36【分析】 设这些卡片的总数为“1”，而标有 12 的倍数的卡片既属于 3 的倍数又
属于 4 的倍数．所以有
“2” “3”
+ -15=“1”,
3 4
解得“1”对应 36 张．
即这些卡片一共有 36 张．
41. 3 个质数的乘积等于它们的和的 5 倍，求这 3 个质数．
【答案】 2、5、7
【分析】 其中必有 5，设另外两个数为 a,b 则 ab=a+b+5，经试验只有
2×7=2+7+5．
42. 有一个三位数等于它的各位数字和的 42 倍，这个三位数是？
【答案】 756
【分析】 这个三位数的百位，十位，个位上的数字分别为 A、B、C，先根据这个三
位数等于它的各位数字和的 42 倍，100A+10B+C=42(A+B+C)，由 42 是 3 的倍数，
可知这个三位数 (100A+10B+C) 是 3 的倍数，根据能被 3 整除的数：各个数位上的数
字和能被 3 整除，得出 (A+B+C) 是 3 的倍数，则 42(A+B+C) 是 9 的倍数，所以
这个三位数 (100A+10B+C) 是 9 的倍数，再根据能被 9 整除的数：各个数位上的数字
和能被 9 整除，得出 (A+B+C) 是 9 的倍数，则方程右边是 27 的倍数，所以这个三位
数 (100A+10B+C) 是 27 的倍数，又 100A+10B+C=3×2×7(A+B+C)，则这个
三位数 (100A+10B+C) 是 27×7×2=378 的倍数，而三位数中是 378 的倍数的数只有
2 个，经过检验，即可得 756．
43. 巧克力每盒 9 块，软糖每盒 11 块．要把这两种糖分发给一些小朋友，每样糖每人一块．
由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖发的盒数就一样多．现在又来了一位小朋
友，巧克力还要增加一盒．问最后共有小朋友多少人？
【答案】 46
【分析】 没有加小朋友时，软糖全部发完，所以原来小朋友的人数是 11 的倍数；
又来了一个小朋友时，巧克力全部发完，所以原来小朋友人数加 1 是 9 的倍数．
而 44 是满足此条件的最小数，且满足原来软糖比巧克力少一盒的条件．
因此，原来小朋友有 44 人，最后有 46 人．
44. 小高往一个水池里扔石子．第一次扔 1 颗石子，第二次扔 2 颗石子，第三次扔 3 颗石
子，第四次扔 4 颗石子……他准备扔到水池的石子总数是 106 的倍数．请问：小高最少需
要扔多少次？【答案】 52 次．
【分析】 小高扔的石子数为 n×(n+1)÷2，而 106=2×53，因此 n 或 n+1 其中
有一个应是 53 或 53 的倍数，当 n=52 时，满足石子数是 106 的倍数．因此小高至少需
要扔 52 次．
45. 用 0 至 9 这十个数字各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使这
四个数两两互质．已知组成的四位数是 1860，那么其他的三个数是多少？
【答案】 7；43；529
【分析】 1860=22×3×5×31，一位数只能是 7，另外两个数的末位只能是 3 和
9．剩下的数字之和除以 3 余 2，只能拆成两个数除以 3 余 1 的组合，所以 4 和 2、5
是分成两组，49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是 7 的倍数，所以三位数只能
是 529．
46. 数数×科学=学数学
在上面的算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“数学”所代表
的两位数是多少？
【答案】 16
【分析】 “学数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与 11 的倍数．
学数学=学×101+数×10 是“数”的倍数，而 101 是质数，所以“学”一定是“数”
的倍数．
又“学数学”是 11 的倍数，因而：“学+学-数” 为 11 的倍数．
因为“学”是“数”的倍数，从上式推出“数”是 11 的约数，所以 “数”=1，
“学”=(11+1)÷2=6．
“数学”所代表的两位数是 16．
47. 甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到 20 粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖
就是乙的糖粒数的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的 3 倍．那
么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？
【答案】 24
2 3
【分析】 甲给乙一定数量糖后，甲占总数的 ，乙给甲一定数量后，甲占总数的 ．
3 4
3 2 1
则前后变化 - = ．又由于前后变化为 2 倍的“同样数量的糖”，所以每次变化
4 3 12
1 1
÷2= ，所以糖的总数能被 24 整除．由于每袋糖不超过 20 粒，则糖的总数不超过
12 24
40 粒，又是 24 的倍数，则只能是 24．n
48. 一个正整数 n，它是 75 的倍数，并且有 75 个因数，求 的最小值．
75
【答案】 432
【分析】 把 75 分解质因数 75=3×52，所以 n 必含有质因数 3、5，且质因数 5
的个数至少为 2．根据约数个数公式
75=3×5×5=(2+1)×(4+1)×(4+1),
即知，n 含有 3 个不同质因数，次数分别为 2、4、4 次．所以 n 可表达为：
n=x2×y4×z4，要使 n 最小，显然 x=5，y=3、z=2，即
n=52×34×24=25×81×16=32400,
n
=50×33×24=33×24=432.
75
49. 有一串数：1，1，2，3，5，8，⋯，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串
数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数？
【答案】 401
【分析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5
的余数．
所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，
2，4，1，0，1，1，2，3，0，⋯，可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个
循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数．由于 2009÷5=401⋯4，所以前 2009 个数
中，有 401 个是 5 的倍数．
50. 张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组，已知老师和学生共种树 312 棵，
老师与学生每人种的树一样多，并且不超过 10 棵，问：一共有多少学生？每人种了几棵树？
【答案】 51，6
【分析】 因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过 10
所以通过枚举法来解（注意人数是减去 1 后是 3 的倍数）：
1×312，312-1=311 不是 3 的倍数；
2×156，156-1=155 不是 3 的倍数；
3×104，104-1=103 不是 3 的倍数；
4×78，78-1=77 不是 3 的倍数；
6×52，52-1=51 是 3 的倍数；
8×39，39-1=38 不是 3 的倍数；
共有 51 个学生，每个人种了 6 棵树．51. 100 以内 12 的倍数有哪些？100 以内 18 的倍数有哪些？公共的倍数有哪些？最小的是
多少？
【答案】 36
【分析】 12 的倍数 12，24，36，48，60，72，84，96．
18 的倍数 18，36，54，72，90．
公共的倍数有 36，72．最小的是 36．
52. 有 3 个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能
被第三个数整除．请问：满足上述条件的 3 个自然数之和最小是多少？
【答案】 31
【分析】 先证明这 3 个数每个都至少含有 2 种质因数．
证法一：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，那么 B 不可能只有质因
数 p，否则 B 和 A 必定是倍数关系，同理，C 也不可能只有质因数 p．
根据 C∣AB，假设 C 有除 p 以外其他质因数 q，可以得到 q∣B，同理，C 所有除了 p
以外的质因数都是 B 的质因数；再根椐 B∣CA，同理得，B 所有除了 p 以外的质因数也
是 C 的质因数，那么 B、C 必定是倍数关系，与题意矛盾．所以这 3 个数中不可能出现只
含 1 种质因数的数，即每个都至少含有 2 种质因数．
证法二：假设这三个数为 A、B、C，其中 A 只有一种质因数 p，设 A=pa．因为
A∣BC，所以乘积 BC 中一定含有质因数 p；但 A 不能整除 B，也不能整除 C，说明 B、
C 中都含有 p，且次数都低于 a；又 B 不能整除 A，C 也不能整除 A，所以 B、C 中
都含打除了 p 以外的质因数，设 B=▫ ×pb ，C=▫ ×pb ，其中 ▫ 表示 B 分解质因数后不
b c b
包含 p 的部分，▫ 同理．
c
因为 B∣AC，所以 ▫ ∣▫ ；同理，因为 C∣AB，所以 ▫ ∣▫ ，说明 ▫ =▫ ，那么 B 和 C
b c c b c b
是倍数关系，与题意矛盾．所以这 3 个数中不可能出现只含 1 种质因数的数，即每个都至
少含行 2 种质因数．
若这三个数里一共恰有 2 种质因数，最小为 2 和 3，最小符合题意的情况是 22×32、
2×33、23×3，和为 36+54+24=114；
若这三个数里一共恰有 3 种质因数，最小为 2、3、5，最小符合题意的情况是 2×3、2×5、
3×5，和为 6+10+15=31；
若这三个数里一共恰有 4 种质因数，最小为 2、3、5、7，在不考虑题意的情况下，3 个不
同的各含两种质因数的数最小是 2×3、2×5、2×7，和为 30，但这组不符合题意，很明显
如果要符合题意，和肯定大于 31；
若这三个数里一共恰有 5 种质因数，最小为 2、3、5、7、11，在不考虑题意的情况下，3
个不同的各含两种质因数的数最小是 2×7、2×11、3×5，和为 51，大于 31；
很明显，当含有的质因数种类再增多时，三个数的和肯定都大于 31；
综上，满足上述条件的 3 个自然数之和最小是 31．
53. 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有多少个？
【答案】 228[2008]
【分析】 1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有 =133 个，3
15
[2008] [2008]
和 7 的倍数有 =95 个，5 和 7 的倍数有 =57(个)，3、5 和 7 的倍数
21 35
[2008]
有 =19 个，所以，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的共有
105
133-19+95-19+57-19=228 个．
54. 有一根长为 180 厘米的绳子，从一端开始每隔 3 厘米作一记号，每隔 4 厘米也作一记
号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段？
【答案】 90
【分析】 只需先计算剪了多少刀，再加上 1 即为剪成的段数．
从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．
[180] [180]
有 1～180，3 的倍数有 =60 个，4 的倍数有 =45 个，而既是 3
3 4
[180]
的倍数，又是 4 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以这样的数有 =15 个．
12
注意到 180 厘米处的无法标上记号，所以剪了
(60-1)+(45-1)-(15-1)=89,
所以绳子被剪成
89+1=90(段).
55. 某车间原有工人不少于 63 人，在 1 月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都
新调人 1 人进车间工作．现知该车间 1 月份每人每天生产一件产品．共生产 1994 件．试
问：1 月几日开始调进工人？共调进了多少工人？
【答案】 4
【分析】 1 月份共有 31 天，所以这个车间的原有工人至少生产出了
63×31=1953(件)
或增加 31 的倍数，但因不超过 1994 件，所以工厂的原有工人生产了 1953 或 1984 件．
所以，后来调进的工人生产了
1994-1953=41(件)
或
1994-1984=10(件)
易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天
数 n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数．
有
41=1×41所以奇约数只有 1 和 41，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式
41=20+21
所以调入的次数 n=2，第一次调入的人数 x=20，共调进人数
x+n-1=20+2-1=21(人)
10=2×5
所以奇约数只有 1 和 5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式
10=1+2+3+4
所以调入的次数 n=4，第一次调入的人数 x=1，共调进人数
x+n-1=1+4-1=4(人)
所以为：调人 2 天，1 月 30 日开始调入，共调进 21 人；调入 4 天，1 月 28 日开始调
入，共调进 4 人．
56. 在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券．按奖券标签号发放奖
品的规则如下：① 标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔；② 标签号为 3 的倍数，奖 3 支铅
笔；③ 标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖；④ 其他标签号均奖 1 支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支？
【答案】 232
[100] [100]
【分析】 1～ 100，2 的倍数有 = 50，3 的倍数有 =33 个，因为既
2 3
[100]
是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有 =16 个．
6
于是，既不是 2 的倍数，又不是 3 的倍数的数在 1～100 中有
100-50-33+16=33.
所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：
50×2+33×3+33×1=232(支).
57. 4 个质数的乘积等于它们的和的 11 倍，求这 4 个质数．
【答案】 2、2、5、11
【分析】 其中必有 11，设另外三个数为 a,b,c 则 abc=a+b+c+11，经分析必有
2 个偶数，所以为 2、2、5．
58. 50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按 1，2，3，⋯，49，50 依次报
数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转．问：现
在面向老师的同学还有多少名？【答案】 38
【分析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：
第一类是标号既不是 4 的倍数，又不是 6 的倍数；第二类是标号既是 4 的倍数又
是 6 的倍数．
1～50 之间，4 的倍数有
[50]
=12,
4
6 的倍数有
[50]
=8,
6
即是 4 的倍数又是 6 的倍数的数一定是 12 的倍数，所以有
[50]
=4.
12
于是，第一类同学有
50-12-8+4=34(人),
第二类同学有 4 人，所以现在共有 34+4=38 名同学面向老师．
59. 一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 6 个数字
重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数？
【答案】 71
【分析】 设这个六位数为 abcdef，则有 (a+c+e)、(b+d+f ) 的差为 0 或 11
的倍数．且 a、b、c、d、e、f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数．
先考虑 a、c、e 偶数位内，b、d、f 奇数位内的组内交换，有 A3×A3=36(种) 顺序；
3 3
再考虑形如 badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 A3×A3=36(种) 顺序．
3 3
所以，用均不为 0 的 a、b、c、d、e、f 最少可以排出 36+36=72(个) 能被 11 整除的
数（包含原来的 abcdef）．
所以最少还能排出 72-1=71(个) 能被 11 整除的六位数．
60. 在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有多少个？
【答案】 686
[1000]
【分析】 1～1000 之间，5 的倍数有 =200 个，7 的倍数有
5
[1000]
=142 个，因为既是 5 的倍数，又是 7 的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的
7
[1000]
数有 =28 个．
35
所以既不能被 5 除尽，又不能被 7 除尽的数有
1000-200-142+-28=686(个).61. 用 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字各一次组成两个三位数 A 和 B．请问：A、B、
630 这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？
【答案】 最大公约数最大可能是 21，最小公倍数最小可能是 6930．
【分析】 （1）这三个数的最大公约数也是 630 的约数，630=2×32×5×7．由于
1+2+3+4+5+6=21，所以不可能组成两个都是 9 的倍数的三位数；由于只有 1 个 5，所
以不可能组成两个都是 5 的倍数的三位数，因此该最大公约数至多为 2×3×7=42，可能为
21 或 6 等．
若最大公约数为 3 的倍数，则由同余法知两个三位数的三位除以 3 的余数分别是 0、1、2；
若还为 7 的倍数，尝试可知 231 和 546、315 和 462 等都满足条件；而无法再满足为 2
的倍数，所以最大公约数为 21．（或者枚举出 123∼654 之间所有有符合题意的 42 的倍
数也可以看出没有符合题意的，进一步枚举出 123∼654 之间所有符合题意的 21 的倍数即
可找出符合的情况）．
（2）解法一：枚举最小公倍数为 630、630×2、630×3、…的情况．
若最小公倍数为 630，则 A、B 均为 630 的三位约数，630 的三位约数是 105、126、
210、315、630，没有符合题意的．
若最小公倍数为 630×2，则 A、B 均为 630 的三位约数，630×2 的三位约数是 105、
126、140、180、210、252、315、420、630，没有符合题意的．
……
若最小公倍数为 630×11，则 A、B 均为 630 的三位约数，630×11 的三位约数是 105、
110、126、154、165、198、210、231、315、330、385、462、495、630、693、770、
990，其中 315 和 462 符合题意．（当然这组数在（1）中出现时分解质因数过的话，这种
情况就可以直接写出来了．相信绝大多数在（2）中打算按这个方式来做的人都会提前分解一
下 231 和 546、315 和 462，同时一般多问的题目的前面问题的解决对后面问题会有帮
助．）
所以最小公倍数最小可能为 630×11=6930．
解法二：1∼6 这六个数字的分组有 10 种情况，分别为 (123,456)、(124,356)、
(125,346)、(126,345)、(134,256)、(135,246)、(136,245)、(145,236)、(146,236)、
(156,234)，每一种分组中的两个三位数又各自有六种可能性，分别枚举这些情况，即可找到
想要的答案．由于我们已经知道 315 和 462 这组可以让最小公倍数小到 630×11，所以枚
举其他组的时候只要看能不能使得最小公倍数更小即可．
对于 (123,456)，由于 123 这边的数字较小，所以考虑 123 的变化．123 含 41；
132=22×3×11，最小公倍数最小也是 630×22；213 含 71；231=3×7×11，可能使得
最小公倍数是 630×11；312 含 13；321 含 107．由于没有 1 个可以使得最小公倍数比
630×11 更小，所以 (123,456) 这种情况排除．
同理，分别验证其他情况，发现最小公倍数最小只能达到 630×11．
62. 有一个长长的纸条，里面有 37 个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从 1 到 37，
既不重复，也不遗漏．但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第 1 个数能被第 2 个数整
除，第 1 个数与第 2 个数之和能被第 3 个数整除；第 1、2、3 个数之和能被第 4 个数
整除，⋯ 这个规律一直要保持下去，直到前面 36 个数的和能被最后一个数整除为止．37 ¿ ¿⋯ ?
如果第一个方格内已填入 37，那么最后一个方格中填几？
【答案】 19
【分析】 因为题目要求前面 36 个数的和能被最后一个数整除，而
1+2+⋯+36+37=1×19×37.
假设最后一个数填 n，那么，前面 36 个数的和等于：1×19×37-n，所以，为了让前面
36 个数的和 1×19×37-n 能被最后一个数整除，就要求 1×19×37 中含有 n，这样，最
后一格可填 1 或 19 或 37．
但第一个数已经填了 37，而且第一个数能被第二个数整除，这样，第二个数只能填 1．
所以，最后一个方格中的可填的数是只能是 19．
