能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

测量中的几个有关术语

1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)西南方向与南偏西45°方向相同．(√　)

(2)仰角和俯角都是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，\f(π2)).(×　)

(3)方位角是从正北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(√　)

(4)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×　)

2．（人教A版必修第二册P51T3改编）如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　D　)

A．北偏东10°方向上B．北偏西10°方向上

C．南偏东80°方向上D．南偏西80°方向上

解析：由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.

3．（人教A版必修第二册P49例10改编）新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度OP，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物MN，在地面上点Q处（O，Q，N三点共线且在同一水平面上）测得建筑物MN的顶部M的仰角为π6，测得观光塔的顶部P的仰角为π4，在建筑物MN的顶部M处测得观光塔的顶部P的仰角为π12，则观光塔的高OP为(　B　)

A．402米B．80米

C．802米D．403米

解析：由题意可得PQ＝2OP，MQ＝2MN＝80（米），∠PMQ＝π4，则∠MPQ＝π－π4－\a\vs4\al\co1(π－\f(ππ6)＝π6.在△PMQ中，由正弦定理可得MQπ6＝PQπ4，即8012＝2\r(22，解得OP＝80米．故选B.

4．（人教A版必修第二册P49例9改编）如图，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到点C的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且∠ACB＝60°，则隧道AB的长度为(　C　)

A．3 kmB．4 km

C．13 kmD．17 km

解析：由余弦定理可得AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝12)＝13(km).故选C.

考点1 测量距离问题

【例1】（2024·山东临沂一模）在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向北偏西π2－θ方向发射炮弹，B向北偏东π2－θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向北偏西π2－θ2方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　D　)

A．7千米B．8千米

C．9千米D．10千米

【解析】　如图，依题意设炮弹第一次命中点为C，则AB＝14千米，AC＝BC＝AM＝18千米，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝θ2，在△ABC中，BC²＝AC²＋AB²－2AC·AB cos θ，即18²＝14²＋18²－2×14×18cos θ，解得cos θ＝718，所以cos θ＝2cos²θ2－1＝718，又θ为锐角，解得cosθ2＝56（负值已舍去），在△ABM中，BM²＝AM²＋AB²－2AM·AB cos θ2＝18²＋14²－2×18×14×56＝100，所以BM＝10千米，即B炮台与弹着点M的距离为10千米．故选D.

距离问题的解题思路：这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定

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