【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学培优word讲义第33讲第1课时分组转化法与错位相减法

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1．设数列{a_n}的通项公式为a_n＝2n－7，则|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₅|＝(　A　)

A．153B．210

C．135D．120

【解析】 令a_n＝2n－7≥0，解得n≥72，所以从第4项开始大于0，所以|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₅|＝－a₁－a₂－a₃＋a₄＋a₅＋…＋a₁₅＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋(2×15－7)＝9＋12×1＋232＝153．

2．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n项和为(　B　)

A．nn＋1B．2nn＋1

C．2nn＋1D．4nn＋1

【解析】 因为11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1＝2\a\vs4\al\co1(\f(11n＋1)，所以该数列的前n项和为2\b\lc\(\rc\\rc\1\rc\1\rc\1n＋1)))＝2\a\vs4\al\co1(1－\f(1n＋1))＝2nn＋1．

3．已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{a_n}满足a_n＝f(0)＋f\a\vs4\al\co1(\f(1n))＋f\a\vs4\al\co1(\f(2n))＋…＋f\a\vs4\al\co1(\f(n－1n))＋f(1)，则数列{a_n}的前20项和为(　D　)

A．100B．105

C．110D．115

【解析】因为函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，a_n＝f(0)＋f\a\vs4\al\co1(\f(1n))＋f\a\vs4\al\co1(\f(2n))＋…＋f\a\vs4\al\co1(\f(n－1n))＋f(1)①，所以a_n＝f(1)＋f\a\vs4\al\co1(\f(n－1n))＋…＋f\a\vs4\al\co1(\f(2n))＋f\a\vs4\al\co1(\f(1n))＋f(0)②，由①＋②可得2a_n＝n＋1，所以a_n＝n＋12，所以数列{a_n}是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为\rc\2))2＝115．

4．(人A选必二P40习题T3(1))求和：(2－3×5^－1)＋(4－3×5^－2)＋…＋(2n－3×5^－n)＝__n(n＋1)－34(1－5^－n)__．

【解析】原式＝(2＋4＋…＋2n)－3(5^－1＋5^－2＋…＋5^－n)＝2＋2nn2－3×5－11－5－n1－5－1＝n(n＋1)－34(1－5^－n)．

5．(人A选必二P40习题T13(2))求和：1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1＝__\f(1＋nn2nxn＋1－n＋1xn＋1(1－x)2)，x≠1__．

【解析】当x＝1时，1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1＝1＋2＋3＋…＋n＝1＋nn2；当x≠1时，记S_n＝1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1①，①×x，得xS_n＝x＋2x²＋3x³＋…＋nxⁿ②，①－②得(1－x)S_n＝1＋x＋x²＋…＋x^n－1－nxⁿ＝1－xn1－x－nx^{n，化简得}S_n＝nxn＋1－n＋1xn＋11－x2．综上，1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1＝\f(1＋nn2nxn＋1－n＋1xn＋1(1－x)2)，x≠1.

聚焦知识

1．公式法

除了等差、等比数列的求和公式，常见的求和公式还有：

1²＋2²＋3²＋…＋n²＝nn＋12n＋16；

1³＋2³＋3³＋…＋n³＝\f(nn＋12))²．

2．分组求和法与并项求和法

(1) 分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2) 并项求和法

一个数列的前n项中，可两两结合求解，则称之为并项求和．如a_n＝(－1)ⁿf(n)型，可采用两项合并求解．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．裂项相消法

(1) 裂项原则

一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

(2) 消项规律

消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．

第1课时　分组转化法与错位相减法

研题型　能力养成

举题说法

并项求和

例1(2024·辽宁模拟)已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n＝5a_n－2．

(1) 证明：{a_n}是等比数列，并求其通项公式；

【解答】因为4S_n＝5a_n－2，所以当n≥2时，4S_n－1＝5a_n－1－2，两式相减得a_n＝5a_n－1，又a₁＝S₁＝54a₁－12，解得a₁＝2，所以数列{a_n}是首项为2，公比为5的等比数列，则a_n＝2×5^n－1．

(2) 设b_n＝(－1)ⁿ·log₅a2n＋22，求数列{b_n}的前100项和T₁₀₀．

【解答】由(1)知b_n＝(－1)ⁿ·log₅a2n＋22＝(－1)ⁿ·log₅2×52n＋12＝(－1)ⁿ·(2n＋

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