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小升初整数裂项精讲
1×2+2×3＋3×4＋……+n(n+1)
=1/3×[1×2×3－0×1×2＋2×3×4－1×2×3＋……＋n(n+1)(n+2))－
(n－1)n(n+1)]
=1/3n(n+1)(n+2）
上面是相邻自然数乘积，公差是1，如果乘数之间差不是1，而是其他数，同样可以用上面的解题思路。
例题2 公差不是1的整数裂项
1×3＋3×5＋5×7＋……＋97×99
这个题目不是相邻数，公差不是1，不能直接套用，但是从公式的推导来看，公差为1时提出的公因数是1/3.是因为补充的后一项和前一项差（n+2）和(n－1）相差3,如果是公差是2，在补充的后一项（n+4）和前一项(n－2)会相差6,因此上面的题目提出的公因数就是1/6。
原式=1/6×(1×3×5－(-1)×1×3＋3×5×7－1×3×5＋5×7×9 －3×5×7＋……＋97×99×101－95×97×99)
=1/6× (97×99×101－(－1)×1×3)
=1/6×(969903+3)
=161651
通过上面的题目，我们总结的规律公差不是1是，提出的公因数应该是1/3d，可以总结为：
n( n+d）=1/3d[(n(n+d)(n+2d)－(n－d)n(n+d)]
例题3 三项连续乘积整数裂项（拓展）
1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋97×98×99
从例题1的公式推导可知，相邻两个自然数相乘，我们在前后各补充一个数列中的相邻数，构造出三个数乘积的差，因此提出的公因数是1/3。以此类推，三个连续数自然数相乘，就在前后各补充一个相邻数，构造出四个数乘积的差，对应提出的公因数是1/4。
原式=1/4×(1×2×3×4－0×1×2×3＋2×3×4×5－1×2×3×4＋……＋97×98×99×100－96×97×98×99)
=1/4×97×98×99×100
=23527350
如果遇到公差不为1 的三项乘积求和，推导思路和上面一致，只是提出的公因数会发生变化，可参考例2的推导过程，公因数为1/4d。
总结
整数裂项的核心，不是死记公式，因为题型在不断变化，要会灵活运用，抓住裂项的本质：两项相乘、三项相乘，都是通过前后补数，构造出乘积之差，利用抵消简化计算。
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