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一线三等角模型精讲:附带2道真题,帮你找回思路
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在初中几何的学习当中，全等三角形和相似三角形都是重中之重。而在这两个板块中，“一线三等角”模型是极其高频的考点。
之前给大家分享的线段和差是相当于线段搬家，而这篇文章讲的就是‘角搬家’了。
今天，我们就通过2道经典例题，带大家来看看这个模型是怎么回事，让图形变得有迹可循。
01
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什么是“一线三等角”模型
三个相等的角的顶点在同一条直线上，角的两边分别与直线相交，构成两个三角形，若有一组对应边相等，则这两个三角形全等。这样的模型我们称为“一线三等角模型”。
通俗来说，就是一条直线上出现了三个相等的角。根据三个角的位置和图形的形状，一般有同侧型和异侧型（一线三垂直/一线三直角）两种常见类型。
同侧型：三个相等的角的顶点在同一条直线上，且角都在直线的同一侧。
异侧型：这是“一线三等角”中最特殊的90°情况，常用于坐标系、正方形或等腰三角形中。
02
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经典例题解析
例题1：一线三等角（同侧型）
如图，△ABC与△CED的顶点B、C、E在一条直线上，点A、D在BE上方，∠B=∠ACD=∠E，AB=CE，求证：AC=CD。
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D、E，BE=0.8，DE=1.7。
（1）请说明CD和BE的数量关系，并说明理由；
（2）求AD的长。
思路：看到等腰直角△ABC，有一条直线穿过直角顶点C（直线CE），并作了对应的垂线AD和BE，是经典的“一线三垂直”模型。
两条线段的数量关系是在几何图形中，通过一定的定理或推理，证明 AB 与 AC 之间满足某种“数量关系”，例如 AB = AC、AB/AC 的比例关系等。 也就是说，要说明这两条线段的长度之间存在一个确定的数学等式或比例式，并证明该等式必然成立。
过程：
（1）CD=BE。理由如下：
∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵BE⊥CE，AD⊥CE
∴∠BEC=∠ADC=90°，∠CBE+∠BCE=90°
∴∠ACD=∠CBE
∵AC=CB
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴CD=BE
（2）
在第二问不能漏了得出全等就万事大吉了，不管题干条件需不需要，都得形成证出全等都有对应的边角相等，再利用已知条件的数值得到AD的长度。
这是大部分同学的通病，从而会导致说在后面的小问得不出结果。
总结：在这个模型中，利用了同角的余角相等，得出了另外一组角相等，从而可以证明两个直角三角形全等，再因此推出其他结论。
03
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什么时候用“一线三等角”
1、同一条直线上三个角相等（最明显）
比如：∠A = ∠B = ∠C
且这三个角的顶点在同一条直线上，或者其中一个角的顶点在另外两个角所夹的直线上。
2、图中有等腰△（等腰Rt△）、等边△和正方形等（隐含条件多，易忽略）
等边三角形：三条边相等，三个角都是60°；
等腰直角三角形：两条直角边相等，两个锐角都是45°；
正方形：四条边相等，四个角都是90°。
它们和一线三等角搭配时，很容易找到全等条件。
3、结论要证明线段相等或角相等
4、有直角或互余关系
比如：∠A + ∠B = 90°，∠B + ∠C = 90°，得到：∠A = ∠C
这就是“同角的余角相等”，也是一线三等角常见的推导方式。
一般情况是符合上述两个及以上的情况。
04
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在做“一线三等角”，最易丢分的几种情况
1、只认识图形，不知道本质
2、不会写角度转化
平角等于180°；
三角形内角和等于180°；
同角的余角相等；
等角的补角相等；
外角等于不相邻两个内角之和。
等边三角形；
等腰三角形；
正方形；
中点；
已知条件。
05
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📝最后
今天的这篇文章是初中阶段最常见的模型，它的本质不是‘三个角相等’，而是能够利用给出的角相等，或者是构造一组角相等，转化为其他的一组角相等，再利用一组边相等，从而构造出全等三角形。
可以适用的场景有：①同一直线出现三个相等的角（也可能要构造）②有等边三角形、等腰三角形或正方形等题干背景③要证明线段或角相等④图中存在直角、互补或互余等关系。
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