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专题01 一线三等角模型
【模型说明】
B
A
D E
C
应用：通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
【例题精讲】
例1．（基本“K”型）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝
90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．
【答案】28
【详解】解：过点C作CD⊥OB于点D，如图，
∴
∵ 是等腰直角三角形
∴AB=CB，
∴
又
∴
在 和 中，∴
∴
故答案为：28．
例2.（特殊“K”型）在直线 上依次取互不重合的三个点 ，在直线 上方有
，且满足 ．
(1)如图1，当 时，猜想线段 之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；
若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在 中， 是钝角， ，
，直线 与 的延长线交于点 ，若 ，
的面积是12，求 与 的面积之和．
【答案】(1)DE＝BD+CE
(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析
(3)△FBD与△ACE的面积之和为4
【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE．
（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，
∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝ ，
∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣ ，
α
∴∠DBA＝∠EAC，
α
∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中， ，
∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，
∴S△ABC＝ BC•h＝12，S△ABF＝ BF•h，
∵BC＝3BF，
∴S△ABF＝4，
∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，
∴△FBD与△ACE的面积之和为4．
例3.（“K”型培优）已知： 中， ， ， 为直线 上一动点，
连接 ，在直线 右侧作 ，且 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，过点 作 于 ，连接 ．求证： ；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时，连接 交 的延长线于点 ．求证：
；
（3）当点 在直线 上时，连接 交直线 于 ，若 ，请求出 的
值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 或
【详解】证明（1）∵ ， ，
∴ ， ， ，
在 与 中， ， ， ；
（2）如图2，过点 作 ，交 延长线于 ，∵ ， ，
∴ ， ， ，
在 与 中， ， ， ，
又∵ ， ，
又在 与 中， ，则 ；
（3）如图，当点 在线段 上时，
∵ ，∴可设 ， ，
由（1）得： ，则 ， ，
由∵ ， ，∴ （AAS），∴
，
即 ，∴ ，∴ ，
，
， ， ；
如图，点 在 延长线上时，过点 作 ，交 延长线于 ，∵ ，∴可设 ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
在 与 中， ， ， ，
，又∵ ， ，
又在 与 中， ，
∴ ， ，∴ ，
， ，∴
，
点 在 延长线上，由图2得： ，∴ 不可能，故舍去
综上： 的值为 或
【变式训练1】如图， 于点 ，点 在直线 上，
．
(1)如图1，若点 在线段 上，判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若点 在线段 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，
并说明理由．【答案】(1)DF=DC，DF⊥DC；理由见解析；(2)成立，理由见解析
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ，
在 ADF与 BCD中 ，∴ ADF≌ BCD，
△ △ △ △
∴DF=DC， ，
∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，
∴∠FDC=90°，即DF⊥DC．
（2）∵ ，
∴ ，
在 ADF与 BCD中 ，∴ ADF≌ BCD，
△ △ △ △
∴DF=DC， ，
∵∠BDC+∠BCD=90°，∴∠BDC+∠ADF=90°，
∴∠FDC=90°，即DF⊥DC．
【变式训练2】在 中， ， ，直线 经过点C，且 于
D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到图1的位置时．
①请说明 的理由；
②请说明 的理由；
(2)当直线 绕点C旋转到图2的位置时， 、 、 具有怎样的等量关系?请写出
等量关系，并予以证明．
(3)当直线 绕点C旋转到图3的位置时， 、 、 具有怎样的等量关系?请直接
在横线上写出这个等量关系：________．
【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析
(2) ，证明见解析
(3)【解析】(1)解：①∵ 于D， 于E，
∴ ，
∵ ，∴ ，
，∴ ，
在 和 中 ，∴ ，
②∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
(2)结论： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
(3)结论： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
【变式训练3】（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，
BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE
是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互
不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接
BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解
【详解】（1）证明： 直线 ， 直线 ， ，
， ，
， ，
在 和 中， ， ；
解：（2）成立，理由如下： ，
， ，
在 和 中， ，
；
（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴ ，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ （SAS），∴ ，
∴ ，∴△DFE是等边三角形．
【课后作业】
1．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最
高点C处，若 ，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】B
【详解】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠COG=∠OAF，
在△AOF与△OCG中， ，∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG=AF=BD=4
米，设AO=x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，解得x=8.5．
则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．
故选：B．
2．如图，∠ABC＝∠ACD＝90°，BC＝2，AC＝CD，则 BCD的面积为_________．
△
【答案】2
【详解】解：如图，作 垂直于 的延长线，垂足为∵ ， ，∴
在 和 中，∵ ，∴
∴
∴
故答案为：2．
3．如图， 为等边三角形， 是 边上一点，在 上取一点 ，使 ，在
边上取一点 ，使 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，
在△EDB和△DFC中， ,∴△EDB ≌△DFC，∴∠BED=∠CDF，
∵∠B=60°，∴∠BED+∠BDE= 120°，∴∠CDF+∠BDE= 120°，
∴∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE）=180°-120°=60°.
故选C.
4．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别
为D，E．
学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，
求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，
BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予
证明．【答案】BE的长为0.8cm；DE=AD+BE．
【详解】解：如图1，∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD和△CBE中， ，
∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，
∵DE=1.7cm，∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∴BE的长为0.8cm；
如图2，DE=AD+BE，理由如下：
∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD和△CBE中， ，∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，BE=CD，∴DE=AD+BE．
5．如图，在 中， ．
（1）如图①所示，直线 过点 ， 于点 ， 于点 ，且
．求证： ．
（2）如图②所示，直线 过点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，且
，则 是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2） 仍然成立，理由见解析
【详解】证明：（1）∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ， ，∵ ，∴ ；
（2） 仍然成立，理由如下：
∵ ，
∵ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l
的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，
①求证：∠EAC＝∠BCF．
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．
（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探
究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）
【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝
AE+EF．
【详解】（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，
②EF＝AE+BF；证明：在△EAC和△FCB中， ，
∴△EAC≌△FCB（AAS），
∴CE＝BF，AE＝CF，
∴EF＝CE+CF＝AE+BF，
即EF＝AE+BF；
（2）①当AD＞BD时，如图①，
∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，
同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），
又∵AC＝BC，BF⊥l直线
即∠BFC＝∠AEC＝90°，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，CE＝BF，
∵CF＝CE+EF＝BF+EF，
∴AE＝BF+EF；
②当AD＜BD时，如图②，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，
同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），
又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CF＝AE，BF＝CE，
∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．
7．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已
知：在 中， ， ，直线l经过点A， 直线l， 直线l，
垂足分别为点D，E．求证： ．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条
件改为：在 中， ，D，A，E三点都在直线l上，并且有
，其中 为任意锐角或钝角．请问结论 是否成立？
若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过
的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交
EG于点I．若 ，则 ______．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5
【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如图2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
∴S AEI= S AEG=3.5．
△ △
故答案为：3.5．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与
点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C
运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出
∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1） ，小；（2）2，理由见解析；（3） 或80°
【详解】（1） ， ，，
，
，
，
， ，
当∠BDA＝105°时，
∠EDC＝ ，
∠DEC＝ ；
当点D从点B向点C运动时， 逐渐变大，
,则∠BDA逐渐变小，
故答案为： ，小；
（2） ， ，
当 时， （AAS）， ，
（3）△ADE的形状可以是等腰三角形， 或 ，
， ，
①当 时， ，
，
；
②当 时， ，
，
，
③当 时， ，
，
此时 点与 点重合，
由题意可知点D不与点B、C重合，
此种情况不存在，综上所述，当△ADE是等腰三角形时， 或 ．
9．如图，线段AB=6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且
点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP=∠BAP，直线CE与线段
AB相交于点F（点F与点A、B不重合），
（1）求证： AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
△
（3） AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
△
【答案】（1）证明见解析；（2）CF⊥AB，理由见解析；（3）是，为16．
【详解】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC=PA，
∠APC=90°，
∴∠APE=∠CPE=45°，
在△AEP与△CEP中， ，∴△AEP≌△CEP（SAS）；
（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP，
∵∠EAP=∠BAP，∴∠BAP=∠FCP，∵∠APC=90°，∴∠FCP+∠CMP=90°，
∵∠AMF=∠CMP，∴∠AMF+∠PAB=90°，∴∠AFM=90°，∴CF⊥AB；
（3）过点C作CN⊥PB．
∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴∠PNC=∠B=90°，FC∥BN，
∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB，
又AP=CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN=PB=BF，PN=AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE=CE，
∴△AEF的周长
=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16．
故△AEF的周长是否为定值，为16．
