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初中数学几何专题:等腰直角三角形
初中数学几何专题:等腰直角三角形模块一 等腰直角三角形 知识解读 定义 有一个角为直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。 性质1. 边：两条直角边长度相等；三边比例：直角边:直角边:斜边 = 1:1:√22. 角：顶角等于90°，两个底角都等于45°3. 三线合一：顶角角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合4. 轴对称图形：仅有一条对称轴，就是顶角角平分线所在的直线判定有一个角为直角的等腰三角形是等腰直角三角形。一线三垂直（K型全等模型）已知：∠B=∠C=∠AED=90°可得：∠1=∠2；当AE=DE时，三角形ABE 全等于 三角形ECD。模型核心：三个直角顶点落在同一条直线上，出现两组互余角，容易证全等，是等腰直角三角形最常考模型。实战演练（变式例题）变式例1如图，三角形ABC中，AB=AC，AE垂直BC于E，AN平分三角形ABC的外角∠CAF。(1) 求证：AN平行BC；(2) 若EM平分∠AEC交AN于点M，试判断三角形AEM的形状，并说明理由。解析(1) 证明：因为 AB=AC，所以 ∠B=∠ACB。外角∠CAF=∠B+∠ACB=2∠B。因为 AN平分∠CAF，所以 ∠CAF=2∠NAC。所以 ∠B=∠NAC，同位角相等，所以 AN平行BC。(2) 三角形AEM是等腰直角三角形。理由：因为 AE垂直BC，所以 ∠AEC=90°。EM平分∠AEC，所以 ∠AEM=45°。由AN平行BC，AE垂直BC，得AE垂直AN，∠EAN=90°。在直角三角形AEM中，∠AME=180°-90°-45°=45°。所以 ∠AEM=∠AME，AE=AM，且∠EAN=90°。所以 三角形AEM是等腰直角三角形。变式例2在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD垂直l于D，CE垂直l于E。(1) 当直线l绕点A旋转到图1位置时，求证：DE=BD+CE。(2) 当直线l绕点A旋转到图2位置时，(1)的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系并证明。解析(1) 证明：因为 ∠BAC=90°，所以 ∠BAD+∠CAE=90°。因为 BD垂直l，所以 ∠BDA=90°，∠BAD+∠ABD=90°。所以 ∠ABD=∠CAE。在三角形BDA和三角形AEC中∠BDA=∠AEC=90°∠ABD=∠CAEAB=AC所以 三角形BDA全等于三角形AEC(AAS)。所以 BD=AE，AD=CE。DE=AD+AE=BD+CE。(2) 结论不成立，此时DE=BD-CE。证明：因为 ∠BAC=90°，所以 ∠BAD+∠CAE=90°。BD垂直l，所以 ∠BDA=90°，∠BAD+∠ABD=90°。所以 ∠ABD=∠CAE。∠BDA=∠AEC=90°∠ABD=∠CAEAB=AC所以三角形BDA全等于三角形AEC(AAS)。所以 BD=AE，AD=CE。DE=AE-AD=BD-CE。变式例3已知：三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点O是AB中点，点P是线段AB上动点。(1) 直线AG垂直CP于G，交CO于点H（图1），求证：AP=CH；(2) 直线BK垂直CP，垂足为K，交CO延长线于点M（图2），找出图中和AP相等的线段，并证明。解析(1) 证明：因为 CA=CB，∠ACB=90°，O是AB中点。所以 CO垂直AB，∠ACO=∠BCO=45°，∠A=∠CBH=45°。因为 AG垂直CP，所以 ∠AGC=90°，∠ACH+∠CAG=90°。又∠BCP+∠ACH=90°，所以 ∠CAG=∠BCP。在三角形ACP和三角形CBH：∠A=∠BCHAC=CB∠CAG=∠BCP所以三角形ACP全等于三角形CBH(ASA)，AP=CH。(2) AP=BM。证明：因为 BK垂直CP，所以 ∠CKB=90°。∠BCK+∠CBM=90°，∠BCK+∠ACP=90°。所以 ∠CBM=∠ACP。∠ACP=∠CBMAC=CB∠A=∠BCM=45°所以三角形ACP全等于三角形CBM(ASA)，AP=BM。变式例4等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，F为线段BC上动点，CF垂直CE，CF=CE，连接AE交BC于点N，其中CF/BC=k。(1) 若k=1，如图1，则AN/NE=1，CN/NB=1；(2) 若k=2/5，如图2，则AN/NE=3/2，CN/NB=3/7，并证明你的结论；(3) 在图3基础上，作EG垂直CE交AC延长线于点G，FH垂直CF交BC延长线于点H，连接GH，直接写出GH、EG、FH三条线段的数量关系并证明。简要证明（2）因为 ∠ACB=90°，CE垂直CF，所以∠ACE+∠ECF=90°，∠BCF+∠ECF=90°，∠ACE=∠BCF。又AC=BC，CE=CF，所以三角形ACE全等于三角形BCF(SAS)。∠CBF=∠ACB=90°，BF垂直BC。过E作EH垂直BC交BC延长线于H，可证三角形CBF全等于三角形ECH，BF=CH，BC=EH。设BC=AC=5k，CF=2k，BF=3k，CH=3k，EH=5k。三角形ACN 相似于 三角形EHN，CN/NH=AC/EH=1，CN=NH。NH=NC+CH=NC+3k，CN+NB=5k，解得CN=15k/7，NB=20k/7。CN/NB=3/7，AN/NE=3/2。(3) 构造全等，截长补短，可得：GH=EG+FH。文末小结等腰直角三角形是初中几何重中之重，核心两个考点：1. 利用45°角、边相等、三线合一做基础角度与线段推导；2. 一线三垂直（K型全等），遇到等腰直角，优先寻找K型全等构造，证明三角形全等，转化线段。这类题目经常旋转、动点，图形变，但全等的思路不变。