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2026年山东卷物理第18题 试题分析
2026年山东卷物理第18题 试题分析
一、题目原文
在 xOy坐标系中，第二象限有一粒子发生器，其右侧放置速度选择器，速度选择器中电场强度大小为 E，方向沿 y轴负方向，匀强磁场方向垂直 xOy面向里；y= −x（x≤ 0）与 y轴正半轴所围区域 Ⅰ 中充满垂直 xOy面向外的匀强磁场；x轴下方为区域 Ⅱ、第一象限为区域 Ⅲ，两区域均充满方向垂直 xOy面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为 5B和 12B。质量为 m，电荷量为 q的粒子 a 经速度选择器后以速率 v从点（−h，h）沿 x轴正方向进入区域 Ⅰ，一段时间后恰好从原点 O沿 y轴负方向进入区域 Ⅱ。不计粒子重力及粒子间相互作用。
（1）求速度选择器中磁感应强度大小 B₀ 和区域 Ⅰ 中磁感应强度大小 B₁；
（2）求粒子 a 从 O点运动到 P点（，0）的时间 t；
（3）当粒子 a 从点（，0）离开区域 Ⅱ 进入区域 Ⅲ 时，和 a 电荷量相同的粒子 b 恰好从 O点以速率 v沿 y轴负方向进入区域 Ⅱ，若粒子 a、b 在 x轴相遇且相遇时速度都沿 y轴正方向，求粒子 b 的质量 M及第一次相遇时的 x轴坐标 x₁。
二、考点定位
| 知识模块 | |
| 核心考点 | |
| 命题特色 | |
| 能力要求 | |
| 难度等级 |
三、解题思路与详细解答
区域划分与磁场参数总览
粒子电性：粒子带正电（由速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡可验证，后续轨迹分析也基于正电）。
第（1）问：求 B₀ 和 B₁
速度选择器中求 B₀
粒子在速度选择器中做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡：
区域Ⅰ中求 B₁
粒子 a 从点 (−h, h) 沿 x 轴正方向进入区域Ⅰ，从原点 O 沿 y 轴负方向射出。速度方向从 +x 变为 −y，偏转了 90°。
确定圆心位置：
进入点 (−h, h)，速度沿 +x 方向。磁场垂直纸面向外，正电荷洛伦兹力 ，沿 +x，沿 +z（向外），，力沿 −y 方向。圆心在进入点的 −y 方向，即 (−h, h − R₁)。 射出点 O(0, 0)，速度沿 −y 方向。力沿 −x 方向（，，），圆心在射出点的 −x 方向，即 (−R₁, 0)。
圆心坐标唯一，故：
解得 。
由半径公式 ：
第（2）问：粒子 a 从 O 点运动到 P 点的时间 t
轨迹分析：半圆拼接模型
粒子 a 从 O 点沿 −y 方向进入区域Ⅱ（x 轴下方，磁场 5B 向里）。
在区域Ⅱ中：
半径 正电荷速度沿 −y，磁场向里（−z），洛伦兹力沿 +x 方向，圆心在 (R₂, 0) 粒子做下半圆运动（顺时针），经过半个周期后回到 x 轴，位置为 (2R₂, 0)，速度沿 +y
P 点坐标为 ，由于 ，P 点在 (2R₂, 0) 的右侧，说明粒子需要继续运动。
进入区域Ⅲ： 粒子从 (2R₂, 0) 沿 +y 方向进入区域Ⅲ（第一象限，磁场 12B 向里）。
半径 正电荷速度沿 +y，磁场向里，洛伦兹力沿 −x 方向，圆心在 (2R₂ − R₃, 0) 粒子做上半圆运动（逆时针），经过半个周期后回到 x 轴，位置为 (2R₂ − 2R₃, 0)，速度沿 −y
再次进入区域Ⅱ： 粒子从 (7mv/(30qB), 0) 沿 −y 方向进入区域Ⅱ，做下半圆运动，回到 x 轴时位置为：
这恰好是 P 点！
时间计算
粒子从 O 到 P 经过三段半圆运动：
总时间：
第（3）问：求粒子 b 的质量 M 及第一次相遇坐标 x₁
这是全卷最难的一问，需要同时分析两个粒子的运动并建立相遇条件。
设定计时起点
以"粒子 a 从点 离开区域Ⅱ进入区域Ⅲ、粒子 b 恰好从 O 点沿 −y 方向进入区域Ⅱ"的时刻为 t = 0。
注意 ，即粒子 a 第一次从区域Ⅱ回到 x 轴的位置。
粒子 a 的运动规律（t ≥ 0）
t=0 时，粒子 a 在 x = 2R₂ 处，速度沿 +y，进入区域Ⅲ。此后 a 在区域Ⅱ和区域Ⅲ之间反复穿越：
粒子 a 在 x 轴上速度沿 +y的时刻和位置（即每次从区域Ⅱ穿出进入区域Ⅲ时）：
其中 ，是 a 完成一次"区域Ⅲ上半圆+区域Ⅱ下半圆"循环的时间。
粒子 b 的运动规律（t ≥ 0）
t=0 时，粒子 b 在 O 点，速度沿 −y，进入区域Ⅱ。b 的质量为 M，电荷量为 q，速率为 v。
b 在区域Ⅱ的半径：b 在区域Ⅲ的半径：b 在区域Ⅱ的半周期：b 在区域Ⅲ的半周期：
粒子 b 在 x 轴上速度沿 +y的时刻和位置（每次从区域Ⅱ穿出进入区域Ⅲ时）：
p=0 时：t_b = T_{2b}/2，x_b = 2R_{2b}（第一次从区域Ⅱ穿出） p=1 时：t_b = 2T_{2b}/2 + T_{3b}/2，x_b = 4R_{2b} − 2R_{3b}
相遇条件
两粒子在 x 轴相遇且速度都沿 +y，需同时满足：
条件1（时间相等）：
两边除以 ：
条件2（位置相等）：
两边除以 ：
联立求解
由①得 ，代入②：
约去 m，交叉相乘：
展开：
化简：
求最小非负整数解
要求 n 为非负整数，即 ：
由于 （7×3=21≡1）：
最小非负整数解为 p = 4，此时：
求 M 和 x₁
代入①：
第一次相遇的 x 坐标（用粒子 a 的位置公式，n=8）：
验证（用粒子 b 的位置公式，p=4）：✓
四、易错点与失分警示
易错点1：区域Ⅰ中圆心位置判断错误
错误：认为圆心在进入点的 +y 方向或其他方向。
正确：磁场垂直纸面向外，正电荷沿 +x 运动，由左手定则（或 ），洛伦兹力沿 −y 方向，圆心在进入点的 −y 方向。射出点速度沿 −y，力沿 −x，圆心在射出点的 −x 方向。两个条件联立得圆心 (−h, 0)，半径 R₁=h。
提醒：区域Ⅰ的磁场方向是"垂直纸面向外"，与区域Ⅱ、Ⅲ的"向里"相反，左手定则时磁场方向不要搞反。
易错点2：粒子在区域Ⅱ和Ⅲ中的偏转方向搞反
错误：认为粒子在区域Ⅱ中向左偏转。
正确：区域Ⅱ磁场向里，正电荷沿 −y 运动，洛伦兹力沿 +x，粒子向右偏转，做下半圆运动，从 O 点运动到 (2R₂, 0)。在区域Ⅲ中，正电荷沿 +y 运动，洛伦兹力沿 −x，粒子向左偏转，做上半圆运动。
规律总结：正电荷在向里的磁场中，沿 −y 进入→向右偏（下半圆）；沿 +y 进入→向左偏（上半圆）。
易错点3：P 点位置分析错误
错误：认为粒子从 O 出发做一个半圆就到达 P 点，或认为 P 点在 (2R₂, 0) 左侧。
正确：先计算 2R₂ = 12mv/(30qB)，P 点 x = 19mv/(30qB) > 2R₂，所以粒子经过"区域Ⅱ下半圆→区域Ⅲ上半圆→区域Ⅱ下半圆"三段才到达 P 点。必须逐段计算位置，不能想当然。
易错点4：相遇条件只列一个方程
错误：只考虑位置相等或只考虑时间相等。
正确：两粒子相遇必须同时满足"时间相等"和"位置相等"两个条件，列出两个方程联立求解。两个方程消去 M 后得到关于 n、p 的不定方程，需要求整数解。
易错点5：不定方程求解时忘记找最小正整数解
错误：求出通解后不验证，或随意取一组解。
正确：题目要求"第一次相遇"，因此需要取满足条件的最小非负整数 p=4, n=8。通解为 p=4+10k, n=8+17k（k=0,1,2,...），k=0 对应第一次相遇。
易错点6：粒子 b 的半径和周期中质量用错
错误：计算 b 的半径和周期时仍用粒子 a 的质量 m。
正确：粒子 b 的质量为 M，其半径 ，周期 ，必须用 M 而非 m。
易错点7：速度方向条件遗漏
错误：相遇时不要求速度方向，导致解的范围扩大。
正确：题目明确要求"相遇时速度都沿 y 轴正方向"，这意味着两粒子都必须在从区域Ⅱ穿出（进入区域Ⅲ）的时刻相遇，此时速度沿 +y。这一条件限定了我们只需要考虑两粒子在 x 轴上速度沿 +y 的时刻序列，而不是所有经过 x 轴的时刻。
五、参考答案
六、教学建议
本题是"多区域磁场半圆拼接"模型的巅峰之作，建议先从两个区域的简单拼接讲起，逐步过渡到三个区域，让学生掌握"每次过 x 轴就是一个半圆、半径由所在区域决定"的核心规律。 最后一问的双粒子相遇问题，建议用表格分别列出两个粒子在 x 轴上速度沿 +y 的时刻和位置序列，让学生直观看到"两个序列中找公共项"的本质，再转化为不定方程求解。 强调左手定则的规范性：每次进入新区域都要重新判断洛伦兹力方向，确定偏转方向，不能凭记忆或想当然。 数学运算能力训练：本题涉及大量分数运算（半径、周期、位置、时间），建议要求学生分步写出每一段的半径和位置，避免跳步导致计算错误。 整数解讨论是本题的"临门一脚"，建议专门训练"不定方程求最小正整数解"的方法（模运算、枚举法），这是很多学生能列出方程但算不出最终答案的主要失分点。