高三数学一轮复习专题:函数模型及其应用

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适用年级：高三一轮复习

专题依据：结合2020—2026年全国卷及新高考全国卷中函数应用问题的高频命题结构整理

使用建议：本专题可用于2—3课时专题复习，也可作为函数应用题的分类讲义和综合训练材料。

说明：由于2020—2026年全国卷包含全国甲卷、全国乙卷、新高考全国卷等多个版本，本文例题按照近七年高考中的典型命题结构进行复现与改编，重点突出模型识别、建模过程和解题方法。

一、专题考情与复习目标

函数模型及其应用，主要考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。

高考中常见的考查内容包括：

1. 根据实际背景建立函数关系式；
2. 确定函数的定义域；
3. 识别一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和分段函数模型；
4. 利用函数单调性、最值、值域解决实际问题；
5. 根据表格或图象选择合适的函数模型；
6. 解决利润最大、成本最小、面积最大等优化问题；
7. 解决增长率、衰减率、复利等指数模型问题；
8. 解决周期性变化问题；
9. 处理单位换算、整数性和实际意义等限制条件；
10. 对数学结果进行合理解释和检验。

本专题的核心思想是：

★

实际背景负责提供变量和数量关系，函数知识负责研究变化规律，实际意义负责检验和解释结果。

二、函数模型应用题的通法

函数应用题虽然背景复杂，但基本步骤相对稳定。

第一步：提取变量

明确：

• 自变量是什么；
• 因变量是什么；
• 哪些量是常量；
• 哪些量随自变量变化。

例如：

• 产量与成本；
• 售价与销量；
• 时间与数量；
• 长度与面积；
• 半径与体积；
• 年份与人口数量。

第二步：建立函数关系

根据题目中的数量关系，写出：

y = f(x)

常见模型有：

• 一次函数；
• 二次函数；
• 分段函数；
• 指数函数；
• 对数函数；
• 幂函数；
• 三角函数。

第三步：确定定义域

函数的数学定义域与实际问题的定义域不一定相同。

例如：

• 长度：x > 0
• 时间：x ≥ 0
• 人数、件数：x ∈ N
• 产量：0 ≤ x ≤ x_max
• 对数函数：x > 0

第四步：研究函数性质

根据问题要求研究：

• 单调性；
• 最大值和最小值；
• 零点；
• 值域；
• 图象；
• 变化趋势。

第五步：解释实际意义

数学答案必须回到实际背景中。

例如不能只写 x = 15，而应写成：

★

当产量为15件时，利润取得最大值。

三、模型识别：看到什么特征，想到什么函数

• 每增加一个单位，增加量基本相同：一次函数
• 存在最大值或最小值，变化趋势呈弯曲状：二次函数
• 每期增加或减少相同比例：指数函数
• 增长越来越慢：对数函数
• 长度、面积、体积按比例变化：幂函数
• 变化具有周期性：三角函数
• 不同区间使用不同规则：分段函数
• 两个变量的乘积或商保持不变：反比例或相关函数

四、题型一：一次函数模型

1. 基本形式

一次函数模型为：

y = kx + b

其中：

• k 表示变化率；
• b 表示初始值或固定量；
• x 表示自变量；
• y 表示因变量。

当 k > 0 时，函数递增；当 k < 0 时，函数递减。

2. 常见背景

一次函数模型常用于：

• 路程与时间；
• 工资与工作量；
• 成本与产量；
• 水费、电费；
• 温度换算；
• 固定费用加按量收费。

3. 例题：运输费用模型

某物流公司收取运输费的标准为：基础费用100元，运输里程不超过50千米的部分，每千米收费4元；超过50千米的部分，每千米收费3元。设运输里程为 x 千米，运输费用为 y 元，写出 y 关于 x 的函数关系式。

解

当 0 ≤ x ≤ 50 时：

y = 100 + 4x

当 x > 50 时，前50千米的费用为 4 × 50，超过部分的里程为 x − 50，所以：

y = 100 + 4 × 50 + 3(x − 50)

即：

y = 3x + 150

因此：

y = 100 + 4x，0 ≤ x ≤ 50

y = 3x + 150，x > 50

4. 思维升华

一次函数模型的本质是：

★

初始量加上按照固定速度变化的部分。

建模时应重点寻找：

• 初始费用；
• 每单位变化量；
• 变化区间；
• 是否存在分界点。

5. 易错点

不能将第二段直接写成 y = 100 + 3x，因为超过50千米以后，前50千米仍然按照每千米4元计算。

正确的思想是：

总费用 = 前一段费用 + 后一段费用

五、题型二：分段函数模型

1. 典型特征

当题目出现以下词语时，通常要考虑分段函数：

• 起步价；
• 阶梯收费；
• 超出部分；
• 分段计费；
• 不同范围采用不同标准；
• 分档优惠；
• 分时段收费。

2. 例题：阶梯电价模型

某地居民用电收费标准如下：

• 每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时收费0.5元；
• 超过180千瓦时但不超过280千瓦时的部分，每千瓦时收费0.6元；
• 超过280千瓦时的部分，每千瓦时收费0.8元。

设每月用电量为 x 千瓦时，电费为 y 元，写出 y 关于 x 的函数关系式。

解

当 0 ≤ x ≤ 180 时：

y = 0.5x

当 180 < x ≤ 280 时：

y = 0.5 × 180 + 0.6(x − 180)

即：

y = 0.6x − 18

当 x > 280 时：

y = 0.5 × 180 + 0.6 × 100 + 0.8(x − 280)

即：

y = 0.8x − 74

因此：

y = 0.5x，0 ≤ x ≤ 180

y = 0.6x − 18，180 < x ≤ 280

y = 0.8x − 74，x > 280

3. 建模指导

分段函数建模的关键是：

1. 找出分界点；
2. 明确每一段的计算规则；
3. 每一段都从累计量出发；
4. 写清楚每一段对应的定义域。

4. 思维升华：分段函数不只是列式

建立分段函数后，还可能继续考查：

• 函数的单调性；
• 函数是否连续；
• 函数是否有最大值或最小值；
• 解不等式；
• 根据电费反求用电量；
• 比较不同收费方案。

因此，分段函数是“建模＋函数性质”的综合题。

六、题型三：二次函数模型与面积最值

1. 基本模型

二次函数的一般形式为：

y = ax² + bx + c

当 a < 0 时，函数可能具有最大值；当 a > 0 时，函数可能具有最小值。

顶点横坐标为：

x = −b ÷ (2a)

2. 例题：矩形面积最大

用一段长为20米的篱笆围成一个矩形，求矩形面积的最大值。

解

设矩形的一边长为 x 米，另一边长为 y 米。

由题意：

2x + 2y = 20

所以：

y = 10 − x

且 0 < x < 10。

矩形面积为：

S = xy = x(10 − x)

即：

S = −x² + 10x

配方得：

S = −(x − 5)² + 25

因此，当 x = 5 时，面积取得最大值：

S_max = 25

所以：

矩形面积的最大值为25平方米。

3. 解题模型

这类题通常按照以下链条解决：

几何约束 → 消元 → 目标函数 → 定义域 → 最值

4. 思维升华

若周长一定，矩形面积最大时，矩形为正方形。

本题不仅可以通过二次函数求解，还可以从几何角度理解：

S = x(10 − x)

当两个因数相等时，乘积最大，即：

x = 10 − x

所以 x = 5。

这体现了函数模型与基本不等式思想之间的联系。

七、题型四：成本、收入与利润模型

1. 基本关系

收入：

R(x) = 单价 × 销量

成本：

C(x) = 固定成本 + 变动成本

利润：

L(x) = R(x) − C(x)

这是经济生活类函数应用题的核心关系。

2. 例题：利润最大化

某商品的销售量 x 与销售单价 p 满足：

p = 80 − 2x

每件商品的成本为20元，求销售量为多少时利润最大。

解

销售收入为：

R(x) = xp = x(80 − 2x)

即：

R(x) = 80x − 2x²

销售成本为：

C(x) = 20x

因此利润函数为：

L(x) = R(x) − C(x)

即：

L(x) = 80x − 2x² − 20x

所以：

L(x) = −2x² + 60x

由于销售单价必须为正：

80 − 2x > 0

所以 0 < x < 40。

配方得：

L(x) = −2(x − 15)² + 450

所以当 x = 15 时，利润最大。

最大利润为 450。

因此：

销售量为15件时，利润最大。

3. 思维升华

这类题最容易出现的错误是混淆：

• 单价；
• 销售量；
• 销售收入；
• 成本；
• 利润。

必须按照以下顺序：

先求销量 → 再求收入 → 再求成本 → 最后求利润

4. 整数性问题

若 x 表示商品件数，则：

x ∈ N

若二次函数顶点横坐标不是整数，应比较相邻整数处的函数值。

例如顶点横坐标为 x = 15.6，则应比较 L(15) 和 L(16)，而不能直接认为销售 15.6 件。

八、题型五：指数增长模型

1. 基本形式

若某个量每经过一个周期，变为原来的 a 倍，则：

y = y₀ · a^x

其中：

• y₀ 为初始量；
• a > 1 表示增长；
• 0 < a < 1 表示衰减；
• x 为周期数。

也可以写成：

y = y₀ · e^(kx)

2. 常见背景

指数模型常用于：

• 人口增长；
• 细菌繁殖；
• 复利；
• 放射性衰变；
• 药物浓度变化；
• 商品折旧；
• 网络传播。

3. 例题：细菌繁殖模型

某种细菌初始数量为1000，每小时增加20%，求经过 t 小时后的细菌数量。

解

每经过一小时，细菌数量变为原来的：

1 + 20% = 1.2

所以经过 t 小时后：

N(t) = 1000 × 1.2^t

因此：

N(t) = 1000 × 1.2^t

4. 例题：达到目标数量所需时间

在上述模型中，若细菌数量达到5000，求所需时间。

解

由：

1000 × 1.2^t = 5000

得：

1.2^t = 5

两边取自然对数：

t · ln1.2 = ln5

所以：

t = ln5 ÷ ln1.2

5. 思维升华：增长量和增长率的区别

若每期增加相同的数量，模型为一次函数：

y = y₀ + dx

若每期增加相同的比例，模型为指数函数：

y = y₀ · a^x

必须区分：

• 每次增加相同数量：一次函数
• 每次增加相同比例：指数函数

这是指数模型最核心的识别方法。

九、题型六：指数衰减模型与半衰期

1. 指数衰减模型

若某物质每经过一个周期，剩余量变为原来的 q 倍，其中 0 < q < 1，则：

N(t) = N₀ · q^t

若半衰期为 T，则常写为：

N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T)

2. 例题：放射性物质衰变

某放射性物质的初始质量为80克，半衰期为6年，求经过 t 年后的质量。

解

半衰期模型为：

m(t) = 80 · (1/2)^(t/6)

所以：

m(t) = 80 · (1/2)^(t/6)

3. 求达到指定质量的时间

若剩余质量为10克，则：

80 · (1/2)^(t/6) = 10

所以：

(1/2)^(t/6) = 1/8

因为：

1/8 = (1/2)³

所以：

t/6 = 3

得 t = 18。

因此：

18年后剩余质量为10克。

十、题型七：对数模型与增长速度递减

1. 基本形式

对数模型常写为：

y = a · ln x + b

其中 x > 0。

对数模型的特点是：

• 函数递增；
• 增长速度逐渐减慢；
• 自变量增加相同数量，函数值增加量逐渐减小。

2. 例题：学习效果模型

某学生学习某类题目时，累计练习题数为 x，掌握程度为：

y = 20 · ln(x + 1)

其中 x ≥ 0。

求练习9道题后的掌握程度。

解

将 x = 9 代入：

y = 20 · ln(9 + 1)

得：

y = 20 ln10

3. 思维升华：边际效应递减

若：

y = a · ln(x + 1)

则其变化率为：

y′ = a ÷ (x + 1)

随着 x 增大，函数的变化率逐渐减小。

这说明：

★

继续增加投入仍然能够带来效果提升，但单位投入所产生的新增效果逐渐减小。

高考中常将这种模型与：

• 学习效率；
• 训练效果；
• 经济投入；
• 信息增长；
• 经验积累；

结合起来考查。

十一、题型八：幂函数模型与几何应用

1. 基本关系

几何量之间常出现幂函数关系。

若长度按比例 k 变化，则：

• 面积按比例 k² 变化；
• 体积按比例 k³ 变化。

2. 例题：相似图形面积模型

两个相似图形的相似比为 k，较小图形的面积为 S₀，求较大图形的面积。

解

相似图形的面积比等于相似比的平方：

S ÷ S₀ = k²

所以：

S = S₀k²

3. 例题：球的体积模型

球的半径为 r，体积为：

V = (4/3)πr³

若半径扩大为原来的2倍，则体积扩大为原来的：

2³ = 8

倍。

因此：

半径扩大2倍，体积扩大8倍。

4. 思维升华

此类问题的关键不是记忆复杂公式，而是识别比例关系：

长度比 → 面积平方比 → 体积立方比

十二、题型九：三角函数周期模型

1. 基本形式

周期性变化问题常采用：

y = A sin(ωx + φ) + b

或：

y = A cos(ωx + φ) + b

其中：

• A 是振幅；
• b 是平均值；
• ω 决定周期；
• φ 决定初始位置；
• 周期为 T = 2π ÷ |ω|。

2. 例题：温度变化模型

某地一天内的温度近似满足：

T(t) = 10 + 8 sin(πt/12 − π/2)

其中 0 ≤ t ≤ 24。

求一天内温度的最大值和最小值。

解

因为：

−1 ≤ sin(πt/12 − π/2) ≤ 1

所以：

10 − 8 ≤ T(t) ≤ 10 + 8

即：

2 ≤ T(t) ≤ 18

因此：

最高温度为18℃，最低温度为2℃。

3. 模型建立方法

若已知：

• 最大值为 M；
• 最小值为 m；

则：

A = (M − m) ÷ 2

b = (M + m) ÷ 2

若已知周期为 T，则：

|ω| = 2π ÷ T

最后根据初始条件确定相位。

十三、题型十：利用表格或图象选择函数模型

1. 观察相邻差值

若相邻函数值的差值近似相等，优先考虑一次函数：

y = ax + b

2. 观察相邻比值

若相邻函数值的比值近似相等，优先考虑指数函数：

y = a · b^x

3. 观察二阶差值

若相邻差值的差值近似相等，优先考虑二次函数：

y = ax² + bx + c

4. 例题：根据数据识别模型

某地区人口数量如下：

• 2020年：100
• 2021年：105
• 2022年：110
• 2023年：115

从数据特征看，应优先选择哪种函数模型？

解

相邻两年人口数量的差值分别为：

105 − 100 = 5

110 − 105 = 5

115 − 110 = 5

相邻差值基本相等，说明人口数量每年增加的数量近似相同。

因此，应优先选择一次函数模型。

若令 x 表示距离2020年的年份数，则可建立：

y = 5x + 100

5. 思维升华

函数模型的选择不是凭感觉，而应观察数据的变化规律：

• 差值 → 一次模型
• 比值 → 指数模型
• 二阶差值 → 二次模型

十四、题型十一：函数模型与定义域

1. 数学定义域与实际定义域

例如：

f(x) = x² − 4x + 3

数学定义域为全体实数 R。

但如果 x 表示商品数量，则可能有 x ∈ N。

如果 x 表示长度，则可能有 x > 0。

如果 x 表示时间，则可能有 x ≥ 0。

2. 例题：产量的实际定义域

某工厂每天生产 x 件产品，设备最大生产能力为500件，则：

0 ≤ x ≤ 500

若产品数量必须为整数，则进一步有：

x ∈ {0, 1, 2, …, 500}

因此，实际问题中的定义域不仅由函数表达式决定，还要由背景条件决定。

3. 思维指导

确定定义域时，依次检查：

1. 数学表达式是否有定义；
2. 变量是否有实际范围；
3. 变量是否必须取整数；
4. 是否存在最大容量或最小标准；
5. 是否包含端点。

十五、题型十二：函数模型与最值综合

1. 通用流程

实际最值问题通常按照以下步骤：

1. 设出自变量；
2. 列出约束关系；
3. 用一个变量表示其他变量；
4. 建立目标函数；
5. 确定定义域；
6. 求函数最值；
7. 解释最值对应的实际意义。

2. 例题：容积最大模型

用一张面积为 S 的圆形铁皮制作一个圆柱形容器，设圆柱底面半径为 r，高为 h，求圆柱体积关于 r 的函数关系式。

解

圆形铁皮面积为 πr²。

圆柱侧面展开后为矩形，面积为 2πrh。

由题意：

πr² + 2πrh = S

解得：

h = (S − πr²) ÷ (2πr)

圆柱体积：

V = πr²h

所以：

V = πr² · (S − πr²) ÷ (2πr)

即：

V(r) = (Sr − πr³) ÷ 2

又因为 h > 0，所以：

S − πr² > 0

即：

0 < r < √(S/π)

因此，模型的定义域为：

0 < r < √(S/π)

十六、函数模型中的检验与修正

建立函数模型后，必须进行合理性检验。

1. 初始值检验

当 x = 0 时，模型是否得到题目给出的初始量。

2. 单位检验

统一使用：

• 米或千米；
• 秒或小时；
• 元或万元；
• 千克或克。

3. 范围检验

检查：

• 时间是否为非负；
• 长度是否为正；
• 人数是否为整数；
• 产量是否超过上限；
• 概率是否在 0 到 1 之间。

4. 趋势检验

例如：

• 增长模型是否应该递增；
• 衰减模型是否应该递减；
• 成本是否可能为负；
• 产量增加时利润是否符合背景变化。

5. 结果检验

若结果为 x = 15.6，但 x 表示商品件数，则需要根据题意取整数，并比较相邻整数对应的函数值。

十七、综合例题：价格、销量与利润

某商品进价为每件20元，售价为每件 x 元时，每天可售出：

100 − 2x

件，其中 20 ≤ x ≤ 50。

每天固定成本为300元。求：

1. 每天的销售收入函数；
2. 每天的成本函数；
3. 每天的利润函数；
4. 售价为多少元时，每天利润最大；
5. 最大日利润是多少。

解

1. 销售收入函数

销量为 100 − 2x，售价为 x，所以销售收入为：

R(x) = x(100 − 2x)

即：

R(x) = 100x − 2x²

2. 成本函数

每天的变动成本为 20(100 − 2x)，固定成本为 300，所以：

C(x) = 20(100 − 2x) + 300

即：

C(x) = 2300 − 40x

3. 利润函数

L(x) = R(x) − C(x)

所以：

L(x) = 100x − 2x² − (2300 − 40x)

即：

L(x) = −2x² + 140x − 2300

4. 求利润最大时的售价

配方得：

L(x) = −2(x − 35)² + 150

由于 20 ≤ x ≤ 50，且 x = 35 属于定义域，所以当 x = 35 时利润最大。

5. 最大日利润

L_max = 150

因此：

售价为35元时，每天利润最大。

最大日利润为150元。

十八、全国卷高频题型归纳

• 一次函数：路程、费用、成本；核心模型 y = kx + b；主要方法为直接建模
• 分段函数：阶梯收费、分档优惠；核心模型为分段函数；主要方法为分段列式
• 二次函数：面积、利润、距离；核心模型 y = ax² + bx + c；主要方法为配方、顶点、导数
• 指数增长：人口、细菌、复利；核心模型 y = y₀ · a^x；主要方法为指数运算、对数
• 指数衰减：折旧、半衰期；核心模型 y = y₀ · q^x；主要方法为指数模型
• 对数模型：学习效果、等级测量；核心模型 y = a ln x + b；主要方法为定义域、单调性
• 幂函数模型：面积、体积、相似；核心模型 y = ax^n；主要方法为比例关系
• 三角函数模型：温度、潮汐、周期；核心模型 y = A sin(ωx + φ) + b；主要方法为振幅、周期、最值
• 数据拟合：表格、图象、统计数据；核心模型为多种模型；主要方法为差值、比值、趋势
• 成本利润：生产、销售、定价；核心模型 L = R − C；主要方法为二次函数最值
• 函数最值：容积、面积、成本；核心模型为目标函数；主要方法为定义域、最值
• 实际定义域：人数、件数、容量；核心模型为受背景限制的定义域；主要方法为整数性、范围检验

十九、学生高频失分点

失分点一：变量含义不清

只写函数表达式，不说明变量的实际意义。

改进：

★

设 x 表示……，y 表示……

失分点二：漏写定义域

函数模型建立后，必须说明 x 的取值范围。

失分点三：混淆增长量和增长率

每次增加相同数量：

y = y₀ + dx

每次增加相同比例：

y = y₀ · a^x

失分点四：混淆单价、收入和利润

必须牢记：

收入 = 单价 × 销量

利润 = 收入 − 成本

失分点五：分段收费重复计算或漏算

每一段收费应采用：

该段费用 = 该段数量 × 该段单价

总费用是各段费用之和。

失分点六：忽略整数性

如果 x 表示人数、车辆数、商品件数，则必须考虑 x ∈ N。

失分点七：结果不符合实际

例如：

• 长度为负；
• 时间为负；
• 产量超过设备容量；
• 人数出现小数；
• 成本为负。

失分点八：只写数学结果，不解释实际意义

应用题最后必须回到实际问题。

二十、函数模型应用题的解题模板

模板一：一次函数模型

设 x 表示……

设 y 表示……

根据题意，变量之间满足：

y = kx + b

结合实际意义，确定 x 的取值范围。

模板二：分段函数模型

根据题意，确定分界点。

当……时，……

当……时，……

因此写出各段对应的函数表达式。

模板三：二次函数最值模型

设自变量为 x。

由约束条件表示其他变量。

根据题意建立目标函数：

y = ax² + bx + c

确定 x 的取值范围。

利用配方法、顶点公式或导数求最值。

结合实际意义作答。

模板四：指数模型

设初始量为 y₀。

每经过一个周期，数量变为原来的 a 倍。

经过 x 个周期后：

y = y₀ · a^x

根据题目条件求出参数。

模板五：三角函数模型

由最大值 M 和最小值 m 确定：

A = (M − m) ÷ 2

b = (M + m) ÷ 2

由周期 T 确定：

|ω| = 2π ÷ T

再根据初始条件确定相位 φ。

二十一、复习课建议

第一课时：模型识别与函数建立

重点内容：

1. 一次函数模型；
2. 分段函数模型；
3. 二次函数模型；
4. 实际定义域。

第二课时：函数最值与经济模型

重点内容：

1. 面积最值；
2. 容积最值；
3. 成本、收入与利润；
4. 整数性问题；
5. 结果的实际解释。

第三课时：指数、对数与周期模型

重点内容：

1. 指数增长；
2. 指数衰减；
3. 半衰期；
4. 对数模型；
5. 三角函数周期模型。

第四课时：综合应用与模型评价

重点内容：

1. 表格和图象识别模型；
2. 函数模型选择；
3. 模型检验与修正；
4. 多知识点综合；
5. 实际问题中的参数范围。

二十二、专题总结

函数模型及其应用的本质，是完成以下转化：

实际问题 → 数学变量 → 函数模型 → 函数性质 → 实际结论

复习时要重点掌握：

一次函数

y = kx + b

适合描述变化率基本不变的问题。

二次函数

y = ax² + bx + c

适合解决面积、利润、成本等最值问题。

指数函数

y = y₀ · a^x

适合描述按相同比例增长或衰减的问题。

对数函数

y = a ln x + b

适合描述增长速度逐渐减慢的问题。

幂函数

y = ax^n

适合描述长度、面积、体积之间的比例关系。

三角函数

y = A sin(ωx + φ) + b

适合描述周期性变化问题。

分段函数

适合描述不同范围采用不同规则的问题。

二十三、给学生的建模口诀

★

读懂背景找变量， 数量关系列函数； 实际条件定定义域， 差值比值辨模型； 单调最值图象用， 单位范围要检查； 数学结果回实际， 最后结论要说明。

结束语

函数模型及其应用题，考查的不是复杂计算，而是数学建模能力。

解决此类问题时，应始终抓住以下几个关键点：

• 明确变量
• 建立关系
• 确定定义域
• 研究函数性质
• 解释实际意义

真正掌握函数模型及其应用的标志，不是会套用某一道题的公式，而是能够根据实际背景判断：

• 应该选择哪一种函数模型；
• 自变量的实际范围是什么；
• 目标量如何表示；
• 结果是否符合实际；
• 数学结论如何翻译成现实语言。