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限时跟踪检测(十五) 函数模型及其应用
一、单项选择题
1．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲
桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟甲桶中的水只有升，则m的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．北京时间2023年2月10日00时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、
张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，
火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级 d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足关系：d(x)＝10lg .
若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级
约为( )
A．130 dB B．140 dB
C．150 dB D．160 dB
3．(2024·山东泰安一中月考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来
了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，
每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的
年收入P(单位：万元)，种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与各自的投入资金a ，a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝
1 2
a＋120.设甲大棚的投入资金为x(单位：万元)，两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)，则f(x)的最大值为( )
2
A．282万元 B．228万元
C．283万元 D．229万元
4．基本再生数R 与世代间隔T是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指
0
相邻两代间传染所需的平均时间．在某流行病的初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时
间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足R＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R＝3.28，T＝6.
0 0 0
据此，在某流行病的初始阶段，累计感染病例数增加2倍需要的时间约为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( )
A．1.8天 B．2.9天
C．3.6天 D．5.8天
5．(2024·浙江杭州学军中学月考)某市家庭天然气的使用量x(m3)和天然气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭
2023年前三个月的天然气费如表：
月份 使用量 天然气费
一月份 4 m3 4元
二月份 25 m3 14元
三月份 35 m3 19元
若四月份该家庭使用了20 m3的天然气，则其天然气费为( )
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
6．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染
河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t(单位：
天)的河水污染质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)＝＋e (m 为初始河水污染质量指数)，经测算，
0
河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的 10%，需要
的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)( )
A．1个月 B．3个月C．半年 D．1年
7．(2024·湖北荆门模拟)随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年10%的比例降低，若
要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( )
A．6年 B．7年
C．8年 D．9年
二、多项选择题
8．血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最
低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
9．目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显
示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：
年份x 2018 2019 2020 2021
包装垃圾生产量y(万吨) 4 6 9 13.5
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 018；
②y＝sin ＋b.
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
则以下说法正确的是( )
A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×x－2 018，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函
数关系
B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sin ＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函
数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
10．(2024·山东济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程 f(x)(i＝
i
1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)＝2x－1，f(x)＝x2，f(x)＝x，f(x)＝log (x＋1)，则下列结论正确的
1 2 3 4 2
是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
三、填空题与解答题11．(2024·吉林一中月考)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、
年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用
________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
12．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数
据如下表：
上市时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·log t.
b
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
13．某公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得年利润L万元与年广告费x万元之间
的函数解析式为L＝－(x>0)．求当年广告费投入多少万元时，该公司的年利润最大．
14．智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并
结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划
分为4段，分别为准备时间t 与人的反应时间t ，系统反应时间t ，制动时间t ，相应的距离分别为d ，d ，d ，
0 1 2 3 0 1 2
d，如图所示．当车速为v(米/秒)，且040，即4×x－2 018>40，
∴x－2 018>10，即x－2 018>log10，
∴x－2 018>＝≈5.678 6，
∴x>2 023.678 6，
即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．
答案：AD
10．(2024·山东济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程 f(x)(i＝
i
1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)＝2x－1，f(x)＝x2，f(x)＝x，f(x)＝log (x＋1)，则下列结论正确的
1 2 3 4 2
是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
解析：甲、乙、丙、丁的路程f(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)＝2x－1，f(x)＝x2，f(x)
i 1 2 3
＝x，f(x)＝log (x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数
4 2
模型．
当x＝2时，f(2)＝3，f(2)＝4，所以A不正确；
1 2
当x＝5时，f(5)＝31，f(5)＝25，所以B不正确；
1 2
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过
的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数(a＞1)的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型
运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．故选CD.
答案：CD
三、填空题与解答题
11．(2024·吉林一中月考)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、
年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用
________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x年后花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元，
依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，
化简得x－6×0.9x＝0.
令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为增函数，
又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.063 4>0，
所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
答案：4
12．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数
据如下表：
上市时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·log t.
b
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中
给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m
描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
答案：(1)120 (2)80
13．某公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得年利润L万元与年广告费x万元之间
的函数解析式为L＝－(x>0)．求当年广告费投入多少万元时，该公司的年利润最大．
解：L＝－≤－2＝，当且仅当＝，即x＝4时，L取得最大值.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最
大．
14．智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并
结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划
分为4段，分别为准备时间t 与人的反应时间t ，系统反应时间t ，制动时间t ，相应的距离分别为d ，d ，d ，
0 1 2 3 0 1 2
d，如图所示．当车速为v(米/秒)，且0
