高考数学:向量与三角形的心

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四心的概念介绍

向量有其自成一体的知识结构，而三角形 的“四心”能沟通三角形的诸多性质，本文用向量的方法展示三角形的“四心”的性质，和大家一起来探索向量和三角形之间的故事：

1.三角形的重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。

性质2：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.

性质4：重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.

2.三角形的垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

3.三角形的外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) ，且钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，且刚好与斜边中点重合；锐角三角形的外心在三角形内.

4. 三角形的内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心).

5.三角形的旁心：三角形每一条内角平分线（所在直线）与另外两角的外角平分

线相交于一点，交点就叫做旁心.（这样的点共有三个，如图所示的）

二、三角形“四心”的相互关系（旁心不作研究）

三、奔驰定理与三角形“四心”的关系

备注：奔驰定理是三角形四心向量形式的完美统一，它将四心向量形式表露无疑，是向量中最具魅力和优美的两大结论之一.

四、三角形“四心”的应用

  与三角形形状相关的向量问题

3

  与三角形面积相关的向量问题

4

向量的基本关系（共线）

来源网络，侵删

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