【课堂新探】小学数学跨学科主题活动中的模型意识培养——以人教版新教材六年级上册“体育中的数学”为例

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟。”数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，能帮助学生认识到现实生活中许多问题与数学相关，进而有意识地运用数学概念与方法对其作出解释。

小学数学跨学科主题活动要求学生综合运用数学知识解决问题，体会数学知识的价值，以及数学与其他学科的关联。在跨学科主题活动中学生将综合性现实问题转化为可操作的数学问题，完成数学模型构建，再借助数学工具进行推理、计算和方案优化。这一过程既能深化学生对数学概念的理解，又能系统培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等，使其充分感悟数学思想方法。

由此可见，跨学科主题活动是发展学生模型意识的重要载体。然而，在实际教学实践中仍未落实相关要求。以人教版新教材六年级上册“体育中的数学”教学为例，当前教学存在如下困境。

第一，情境设计无法有效引导学生从现实问题中抽象出数学本质，学生难以建立数学与现实之间的深层联系。培养模型意识强调学生需要经历识别现实情境、完成数学化处理并建构关系，最终通过一般化方法解决同类问题的完整过程。部分教师在教学中将模型意识简单等同于“解决问题的能力”，未深入把握“从生活中抽象出数学问题、构建模型、讨论结果意义”的完整过程；同时未能厘清“意识培养”与“知识技能传授”之间的区别，导致选取综合实践活动素材时过度依赖教材，将“体育中的数学”内容直接等同于“确定起跑线”，未能充分调用学生丰富的体育活动经验。

第二，未对所要研究的数学问题进行多元表征，学生无法深度把握数学问题的本质。在教学中，部分教师针对从体育活动中提炼出的数学问题，压缩甚至跳过学生自主探究、表征、猜想、验证的关键环节。在“400米跑道的起跑线”设计中，仅停留在课堂内简单计算和发现规律，未组织学生到操场开展实地测量，使得实践体验浮于表面。学生未经历完整的“再创造”过程，导致模型构建环节存在重结果、轻过程的问题。

第三，仅在单个课时中构建数学模型，学生难以把握模型本质，无法完成从特殊到一般的抽象。数学模型的构建并非在单个课时中完成的任务，而应在一个主题或单元内进行，让学生感知知识的关联。教学中，教师往往受思维惯性影响，希望在单个课时内完成数学模型的构建，学习支架的设计通常也以单个课时为单位，最终导致发展模型意识的素养目标难以落实。

第四，教师未关注对学生问题提出、信息表征、抽象概括、迁移应用等建模过程的表现性评价与反思，所设计的评价任务无法真实反映模型意识的培养情况。

综上所述，在“体育中的数学”教学中，可通过以下路径培养学生的模型意识。

在主题活动的启动阶段，教师需充分调动学生的生活经验，保障开展活动前能够生成有效、真实、有价值的数学问题，并形成数学问题墙。因此，在开展“体育中的数学”主题活动前，教师应结合学生的兴趣取向，充分考虑学生的实际创设真实情境，充分激活学生的已有经验，引导学生用数学的眼光观察运动场馆规划、体育赛制规则、赛事得分计算等各类体育相关信息，完整经历数学问题的发现过程，感受体育运动中蕴含很多值得探究的数学问题，促使学生作为学习主体确定所要研究的体育运动项目，全身心参与研究主题确定的完整过程。

1.研究主题源自学生认知

教师可先围绕体育相关话题与学生展开交流，引发学生对“体育中的数学”的探究兴趣，进而引导学生收集自己感兴趣的体育运动相关素材，有意识地观察、发现体育运动中的数学信息和数学问题。例如，400米跑道的起跑线位置各不相同，这些起跑线是如何设计的？足球赛事的赛制是如何设定的？跳水比赛的得分是如何计算的？依托源自学生兴趣的体育运动主题所提炼的数学问题，能够充分激发学生参与主题研究的积极性。

2.完整经历问题发现过程

当学生确定个人或小组感兴趣的体育运动主题后，需通过对体育运动相关信息的查找、梳理和筛选，从中发现数学的应用素材，进而提出数学问题。例如，针对“篮球技术统计数据是怎么得到的？”这一内容，学生需要经历赛事规则查找、信息梳理和筛选等过程，在初步了解相关信息与规则的基础上，才能提出可进一步开展研究的数学问题。

1.在交流基础上确定研究的数学问题

对于学生发现、提出的数学问题，需经历交流与分享的过程，需为学生预留充足的交流分享时间，引导学生描述自身的观察过程与发现问题路径，让学生在交流中认识到体育运动中蕴含的数学问题，进而感知、筛选出自身最感兴趣、最想研究的数学问题。

2.梳理数学问题形成问题墙

在充分展示学生提出的数学问题后，需整合全班提出的问题，剔除重复内容后形成问题墙，并对问题墙内的问题进行二次梳理，使之成为适合小组研究的真问题。例如，在学生提出“田径接力赛中，如果接力棒未在规定区域完成交接应当如何处理？”“为什么游泳比赛会将中间泳道分配给成绩较好的选手？”“为什么100米与400米的起跑线位置不一样？”“为什么400米跑道的起跑线位置各不相同？”“篮球比赛的计分规则是怎样的？”“跳水比赛中，评委打分如何与‘难度系数’结合计算最终得分？”等问题后，需引导学生筛选和讨论哪些问题属于数学范畴，可组织学生在小组交流中勾选与数学相关的问题。

在主题活动的探索阶段，教师需有效依托多种直观工具，引导学生将复杂的现实问题分解为可操作、可推演的数学问题，形成清晰的探究路径。因此，在研究问题确定后，教师应当结合研究主题，提供结构化、形象化的材料（如问题研究范例、学习活动手册等），将这些材料作为直观模型，辅助学生理解、分析问题背后的关系，并通过操作与观察将抽象的问题具体化，从多个维度理解数学模型的内在机制。

1.以问题的探究方法为模型，理解问题解决过程

在教学中，可选取某一个（类）具体问题作为研究范例，引导学生在探究实践中理解同类问题的解决思路，为后续独立开展其他问题的探究积累活动经验。例如，以“400米跑道的起跑线”设计问题为模型，可完整呈现问题解决的流程，具体流程为：第一步分析问题，以小组讨论的形式，将其分解成若干子问题，设计研究方案，明确实践探究的方向；第二步收集信息，指导学生围绕子问题，通过实地调查、资料查阅等途径查找、筛选、整理相关信息；第三步解决问题，结合测量所得数据和相关工具开展合作探究，完成规律发现的过程；第四步回顾反思，梳理总结研究成果，并结合生活中的同类场景开展延伸思考。

2.以“核心问题”为模型，理解问题解决的核心要义

在小组合作交流环节，可依托“核心问题”模型开展分层分析，让学生经历问题逐步聚焦的思考过程。例如，围绕“为什么100米与400米起跑线位置不一样？”这一问题组织学生讨论，可使学生在讨论中发现：100米跑各道次的跑道长度相同，而400米跑有弯道，每条跑道的长度不一样。随后，教师进一步提问“为什么跑内道和外道长度不同？”，引导学生运用圆的相关知识（直径与半径不同导致周长不同）进行解释：400米跑道包含2个弯道，不同道次的弯道半径不同，导致了跑一圈的实际长度不同。为保证赛事公平，在终点位置相同的前提下，起跑线必须设置在不同位置。在此基础上，教师提问：如果要开展进一步实践研究，同学们可以探究哪些内容？学生即可聚焦“400米相邻道次的起跑线具体相差多少？”“如何确定400米跑道的起跑线？“”每条跑道分别有多长？”等数学问题。

1.预设问题研究方案模板，在制订方案过程中分析问题

确定待研究的问题后，引导学生在撰写方案的过程中深入分析问题。例如，在制订“如何确定400米跑道的起跑线？”的研究方案时，教师可提供问题研究方案模板，具体包括“研究主题”“研究人员”“研究计划”“研究工具”“数据收集”“解决问题过程”“研究结论”“成果展示方式”“回顾反思”“自我评价”等。学生可依据该模板，以小组为单位开展充分的讨论与交流，持续优化完善问题研究方案，为后续研究工作做好准备。

2.提供探究学习引导支架，深入分析问题本质

考虑到学生独立制订研究方案存在一定难度，教师可通过提供引导支架的方式，帮助学生分析问题本质。例如，在探究“如何确定400米跑道的起跑线？”这一问题中，教师可以提供以下引导性问题：“要知道哪些信息才能确定起跑线？”“这些信息我们要怎样获取？”学生带着上述问题开展探究，保障主题活动的顺利推进。在学生完成活动方案初稿后，教师可组织他们对方案进行反思和评价。

基于“直观模型理解和分析问题”开展教学，核心目标在于教授学生“如何构思形成研究方案”的方法，而非直接生成一个完美无缺的方案。

在主题活动的核心阶段，教师应当引导学生通过亲身实践，将初步形成的问题解决方案转化为严谨的数学模型，并对模型的合理性与适用性加以检验。因此，在完成问题分析与直观理解的基础上，教师应当组织学生开展测量、计算、实验、模拟等探究活动，运用数学工具与方法对数据进行处理与分析，逐步抽象出一般化的数学关系和数学结构。

1.拓展研究时间和空间，用数学的思维思考数学模型

为拓展自主研究的时间与空间，可将多个问题并行，同步开展实践活动。例如，可安排各学习小组从“确定起跑线”“篮球运动中的数据统计”“跳水比赛计分方法”等多个问题方案中选择一个开展实践探究，各小组同步并行推进研究。以“确定400米跑道起跑线的实践活动”为例，学生首先需要理解400米跑道的构成和长度计算方法（总长度=直道长度×2+弯道圆周长）；接着携带卷尺等工具前往操场实地测量直道长度、最内圈直径、跑道宽度等数据；随后根据测量的相关数据计算各跑道的长度差；最后发现“直道长度不用比较，只需要比较两个半圆之间长度的差距”这一数学问题本质，完成数学模型构建。

同样，也可选取“球类赛制规则制定”“跳水比赛得分计算”等体育项目作为研究对象，预留充足研究时间，引导学生在实践过程中构建数学模型。

2.提供差异化学习支架，采用长短课组织实践活动

确定研究方案后，可根据不同小组的研究内容与方案，提供适配的学习支架（如视频资料、操作工具、评价工具等），采用长短课结合的方式，引导学生根据研究方案经历解决问题的过程。以“如何确定400米跑道的起跑线？”为例，学生需要完成圆的半径、直道长度、跑道宽度等相关数据的收集过程，体会数据收集过程中存在的困难，探索并感悟收集数据的多元策略：既可以前往操场实际测量获取数据，也可以查阅跑道设计的标准获取数据，以此发展解决实际问题的能力。针对其他研究主题，也可借助网络技术手段查阅“球类赛事规则”“跳水比赛计分方法”相关资料。完成数据收集后，应当引导学生利用所得数据进行计算，通过对数据的分析和推理，寻找如何确定起跑线、制定比赛规则和计算比赛得分的数学依据，使学生体会数学的应用价值，发展应用意识。同时，应当引导学生对解决问题的过程进行反思，学会验证过程与结果正确性的方法。

需要说明的是，开展实践活动时，可邀请体育、信息科技等学科教师共同参与指导，构建“多师课堂”，提升研究活动的实施效果。

为检验学生所发现数学规律是否具有普适性，可通过对比多组数据，遵循“计算应用—验证反思—拓展延伸”的步骤开展教学。例如，开展“确定400米跑道起跑线的实践活动”时，教师可引导学生借助计算器完成表1。

组织学生通过数据对比，发现第2道比第1道长7.66米，总结得出规律：每一条跑道都比前一条跑道长7.66米。并由此推导得出数学模型：跑道直径×π-前一条跑道直径×π，即跑道宽度×2×π。最后引导学生运用该数学模型思考400米跑道起跑线的设置规则。

在主题活动的深化与迁移阶段，需组织学生依托成果展示完成交流反思。在完成模型验证后，教师应搭建展示平台引导学生以多样化的形式（如研究报告、分析图表、现场演示等）呈现研究过程与结论，在互动交流中对比不同模型的异同，评价其应用有效性。通过跨情境的应用尝试与变式讨论，学生能够感悟数学模型解决一类问题的普适性，理解从特殊到一般的数学思想，实现从知识建构到素养提升的跨越，形成稳定的模型意识与应用能力。

将已构建的数学模型应用于新情境，拓展其适用范围。例如，在完成校园跑道相关问题的探究后，教师可进一步引导学生结合赛事规则提出新问题：奥运会400米决赛有8位选手参赛，第7道和第8道的起跑线应当设置在什么位置？以此引导学生应用数学模型，推导出此类问题的通用计算公式。还可引导学生将“跳水比赛计分方法”迁移到“跳远、跳高”等运动，思考与“表演类”艺术活动计分规则的共通之处，发展学生的数据意识。

组织开展课内与课外相结合的交流展示活动，引导学生用数学的语言描述体育运动，分享数学问题研究与解决的过程。成果展示是主题活动的重要环节，教师可引导学生通过手抄报、课件、视频等多种方式整理研究成果，在校园和教室进行公开展示，组织全班学生参与成果的评价。在此基础上，开展“小讲坛”活动，教师可利用一课时安排各小组进行交流。需要注意的是不同小组的研究问题、研究过程和研究结论各不相同，彼此间的学习分享需要兼顾学生的不同认知起点。例如，探究“足球比赛的赛制结构”问题时，让学生描述有哪些赛制、这些赛制的不同点是什么、不同赛制下的比赛场次数量各是多少等内容。需要特别说明的是，教师应当在课前指导各小组提炼出解决问题的数学模型，如“足球比赛单循环赛制或双循环赛制”场次计算的数学模型。

1.开展自我评价，学会回顾研究过程

对个人在活动中的表现进行评价，主动感知主题活动的收获。可围绕“能否在体育活动中发现数学问题”“能否与同学合作解决发现的数学问题”“是否掌握解决问题的一般方法”等维度进行回顾和反思，引导学生同时认知自身的成长与存在的不足。通过此类评价与分享，帮助学生清晰认知个人的活动表现，促进学生核心素养的发展。此类结构化的评价与分享，旨在帮助学生全面、客观地认知个人表现，使其明晰自身进步与优势，建立学习自信心。同时，也让学生清醒地认识到自身存在的不足，明确后续改进方向，进而实现活动经验的有效内化，切实推动核心素养的持续发展。

2.从已构建的数学模型中拓展到其他领域

引导学生在评价过程中感知数学模型的应用价值，例如借助“道宽×2π”的设置跑道规律、在足球对阵图中利用逻辑树图等。教师可引导学生在课后开展更多的体育运动中的数学问题研究，也可探究数学在其他学科或领域中的基础性应用，相关研究可依托“小课题”的形式开展，以此实现数学模型的拓展。