回归真题——重庆市巴蜀中学新鲜出炉的高三月考压轴题也不过是高考改编

刚刚结束的重庆巴蜀中学高2027届高三的月考题最后一个压轴题，改编至

2014 年辽宁高考理科数学第 21 题，这是“借高考真题压轴骨架改参数"的典型模拟卷手法——把真题的两问的"证明存在唯一零点"扩成三问，加一问最值、一问含参，再问双零点比较。

1.【来源】重庆市巴蜀中学高2027届高三上第二次月考19

已知函数 ，．

（1）当  时，求  在区间  上的最大值；

（2）当  时，，求  的取值范围；

（3）当  时，是否存在 ，，使得 ，若存在，试比较  与  的大小关系；若不存在，请说明理由．

解：

（1） 当  时，，，

当  时，，所以  在区间  上单调递减；

所以  在区间  上的最大值为 ．　（4分）

（2），令 ，

所以 ，．

① 当  时，，

，

所以  在区间  上单调递减，所以 T(x)<T(0)=0，所以

 (x)<0，符合题意；　（8分)

② 当  时，，所以 ，所以  在区间  上单调递减，

又因为 ，，所以存在唯一的 ，使得 ．当  时，， 单调递增，所以  与  矛盾，

综上， 的取值范围为 ．　（10分）

（3） 存在且 ，理由如下：

一方面：

因为 ，，所以当  时，由（2）讨论可知：

 在区间  上单调递增， 在区间  上单调递减．

又因为 ，，，

所以存在唯一的 ，使得 ；　（11分）

另一方面：

当  时，令 ，所以 ，　（12分）

令 ，，则 ，

，发现 ，

所以存在唯一的 ，使得 ，

所以当  时，， 单调递增；

当  时，， 单调递减，

又因为 ，，所以 ，

所以存在唯一的 ，使得 ，　（16分）

此时

所以  ．（17分）

2.【来源】2014 年辽宁高考理科数学第 21 题

已知函数

证明：

（Ⅰ） 存在唯一 ，使 ；

（Ⅱ） 存在唯一 ，使 ，且对（Ⅰ）中的 ，有 。

官方标准答案

（Ⅰ） 求导：

化简得  对  成立，故 f 在该区间严格递减。又

由零点存在定理及严格单调性，存在唯一  使 。

（Ⅱ） 当  时，，故 g 与辅助函数

同零点。令 ，则 ，记

求导并整理：

由（Ⅰ）的结论，当  时 ，故 ；当  时 。于是 u 在  递增、在  递减。

又 ，故  时 ，无零点；而

因此存在唯一  使 。

取 ，则 ，且由  得