悟理先声

概念不是背下来的，是“看见”的。把每一个知识点想成一幕会动的小场景：谁在动、朝哪动、快慢变不变——想清楚了画面，公式自然就有了落脚的地方。

01参考系：运动的相对性

①　参考系可以任意选取，但一经选定，就把它看成“静止不动”的。

②　同一物体的运动，选不同参考系描述的结果不同：车上落下的物体，车内看是竖直下落，地面看是曲线运动。

③　比较两个物体的运动必须选同一参考系；题目没有说明时，默认以地面为参考系。

看到“相对”“从车上看”，第一件事就是钉死参考系。

02质点：理想化模型

①　质点是忽略大小和形状、只保留质量的理想化模型，实际并不存在。

②　能不能看成质点，取决于物体的大小形状对所研究的问题是否可以忽略，与物体绝对大小无关。

③　研究地球公转可视为质点，研究地球自转、研究火车过桥的时间则不能。

可视为质点的条件

先问“我在研究什么”，再决定能不能当成一点。

03时间与时刻

①　时刻对应“点”：第 2 s 末、第 3 s 初是同一时刻；时间对应“段”：前 2 s 内指 0～2 s。

②　“第 2 s 内”是 1 s 末到 2 s 末这一段，长度为 1 s，不是 2 s。

③　时刻与位置、瞬时速度对应；时间与位移、平均速度、路程对应。

时间间隔

画一条时间轴，把“末”“初”“内”先标清楚。

04位移与路程

①　位移是矢量，由初位置指向末位置，与路径无关；路程是标量，是实际轨迹的长度。

②　只有单向直线运动时，位移的大小才等于路程。

③　任何情况下都有：路程 ≥ 位移的大小。

位移（矢量）

位移与路程的大小关系

求位移只看初末位置，求路程才去数轨迹。

05速度与速率

①　平均速度 = 位移 ÷ 时间，是矢量，方向与位移相同；平均速率 = 路程 ÷ 时间，是标量。

②　瞬时速度的方向就是物体此刻的运动方向；瞬时速率是瞬时速度的大小。

③　平均速度的大小一般不等于平均速率（绕场跑一圈回到原点，平均速度为 0）。

平均速度

瞬时速度

看到“速度”先分清是矢量还是标量、是平均还是瞬时。

06加速度与速度方向

①　加速度 a = Δv ÷ Δt，方向与速度变化量 Δv 的方向相同，与速度 v 的方向无关。

②　a 与 v 同向 → 加速；a 与 v 反向 → 减速。判断加减速只看两者方向是否一致。

③　速度大不代表加速度大，加速度大不代表速度大，速度为零时加速度可以不为零（如竖直上抛最高点）。

加速度定义式

加速度描述“速度变化的快慢”，不是“速度的大小”。

07v—t 图像：斜率与面积

①　图线的斜率表示加速度：越陡加速度越大，上倾加速、下倾减速。

②　图线与时间轴围成的“面积”表示位移，轴上方的面积取正、下方取负。

③　纵轴截距是初速度，两线图线的交点表示两物体此时速度相等（共速）。

图线斜率 = 加速度

图线下面积 = 位移

图像题先找三样东西：截距、斜率、面积。

08速度公式 v = v₀ + at

①　只适用于匀变速直线运动，加速度 a 恒定。

②　先规定正方向，再把 v₀、a 连同正负号一起代入，正负号由方向决定。

③　由它可直接求任意时刻的速度，也可求刹车问题的停车时间。

速度—时间关系

代入前一定先写“取……方向为正”。

09位移公式与面积法

①　x = v₀t + ½at²，四个量知三求一，是匀变速位移的通式。

②　平均速度推论 v̄ = (v₀ + v) ÷ 2 只适用于匀变速直线运动，用它能秒算位移。

③　v—t 图像中梯形（或三角形）的面积就是位移，面积法是这个公式的几何来源。

位移—时间关系

平均速度推论

不涉及加速度时，优先用平均速度求位移。

10速度—位移关系

①　v² − v₀² = 2ax，不涉及时间 t 时用它最省事；同样要先规定正方向。

②　中间时刻速度等于这段的平均速度；中点位置速度是另一套平方根形式，二者不相等。

③　匀变速直线运动中，中间时刻速度总小于中点位置速度（加速、减速均成立）。

速度—位移关系

中间时刻速度

中点位置速度

题目没给时间、也没问时间，就用 v² − v₀² = 2ax。

11自由落体运动

①　条件：初速度为零、只受重力。加速度为 g，方向竖直向下。

②　三个基本式：v = gt，h = ½gt²，v² = 2gh；取竖直向下为正时各量均为正。

③　g 随纬度、高度略有变化，通常取 9.8 m/s²，题目注明时取 10 m/s²。

自由落体速度

自由落体位移

速度—位移关系

自由落体就是 a = g 的匀加速，套通用公式即可。

12竖直上抛运动

①　取竖直向上为正方向，则 a = −g，全程可统一用 v = v₀ − gt、h = v₀t − ½gt²。

②　上升到最高点时 v = 0，由此得上升时间，代回位移式得最大高度。

③　对称性：上升与下落经过同一高度时速度大小相等、方向相反，两段用时相等。

速度公式（取向上为正）

位移公式

上升到最高点的时间

上升的最大高度

上抛最怕分段算，取好正方向后全程一个式子到底。

13重力与重心

①　重力 G = mg，方向竖直向下（不是“垂直向下”，也不是指向地心）。

②　重心是物体各部分所受重力的等效作用点，位置由形状和质量分布共同决定。

③　重心不一定在物体上（圆环、空心球）；形状规则、质量均匀的物体，重心在几何中心。

重力大小

画受力图时，重力一律从重心起画、竖直向下。

14弹力与胡克定律

①　产生条件：两物体直接接触且发生弹性形变，缺一不可。

②　方向总是与形变恢复的方向相同：支持力垂直于接触面，绳的拉力沿绳指向绳收缩的方向。

③　弹簧弹力 F = kx，x 是形变量（伸长量或压缩量），不是弹簧的总长度。

胡克定律

有接触不一定有弹力，先判断有没有形变。

15摩擦力

①　静摩擦力大小不由 μN 决定，而是由受力平衡或牛顿第二定律“算”出来，范围是 0 ≤ f ≤ f_max。

②　滑动摩擦力 f = μN，N 是接触面上的正压力，不一定等于重力。

③　摩擦力方向总是阻碍相对运动（或相对运动趋势），可以与运动方向相同、相反甚至垂直。

滑动摩擦力

静摩擦力 f 的取值范围

摩擦力不一定是阻力，判断依据是“相对运动”不是“运动”。

16力的合成：平行四边形定则

①　力是矢量，合成遵循平行四边形定则（等效为三角形定则），不能简单加减。

②　合力大小随夹角增大而减小，取值范围在两个分力之差与之和之间。

③　两个大小一定的力，夹角为 0° 时合力最大，180° 时最小；120° 且两力相等时合力与分力等大。

合力大小（余弦定理）

合力的取值范围

合成时先画平行四边形，再算，别急着套数。

17力的分解与正交分解

①　分解是合成的逆运算，同一个力可以有无数组分解方式，实际按“力的作用效果”分解。

②　正交分解最常用：建立 x、y 轴后把各力投影，Fx = F cos θ，Fy = F sin θ。

③　坐标轴尽量多选在运动方向或加速度方向上，能让一个方向上的合力直接写成 ma。

正交分解

坐标轴选得好，方程就少一半。

18共点力平衡

①　平衡条件是合力为零，正交分解后写成两个方向上的合力分别为零。

②　三力平衡时，三个力必共面共点，任意两个力的合力与第三个力等大反向。

③　动态平衡常用图解法：一个力方向不变、一个力大小不变，画矢量三角形看变化。

平衡条件（正交分解）

受力分析顺序：一重力、二弹力、三摩擦力、四其他。

19牛顿第一定律与惯性

①　一切物体总保持匀速直线运动或静止，直到外力迫使它改变这种状态。

②　力不是维持运动的原因，而是改变物体运动状态（产生加速度）的原因。

③　惯性是物体的固有属性，只与质量有关，与速度、受力都无关。

不受外力时

惯性只有大小之分，没有“有没有”之分。

20牛顿第二定律

①　加速度与合力成正比、与质量成反比，方向与合力方向相同。

②　三个性质：矢量性（可正交分解）、瞬时性（a 与 F 同时变化）、独立性（各方向互不干扰）。

③　解题套路：确定研究对象 → 受力分析 → 取正方向 → 列 F合 = ma。

牛顿第二定律

合力变了加速度立刻变，但速度不能突变。

21牛顿第三定律

①　作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一直线上。

②　它们同时产生、同时消失、性质相同，且分别作用在两个不同物体上，不能相互抵消。

③　一对平衡力作用在同一物体上；一对相互作用力作用在两个物体上，这是二者的根本区别。

作用力与反作用力

大小关系

说“抵消”之前，先看这两个力是不是作用在同一个物体上。

22超重与失重

①　超重还是失重只看加速度方向，与速度方向、运动方向无关。

②　加速度向上（加速上升或减速下降）：N − mg = ma，视重大于重力；加速度向下则相反。

③　当向下的加速度等于 g 时，N = 0，物体处于完全失重状态，天平、弹簧秤全部失效。

超重（加速度向上）

失重（加速度向下）

完全失重

看到电梯问题，先标出加速度箭头指向哪边。

23连接体：整体法与隔离法

①　求系统共同的加速度用整体法：只算外力，内力（绳的张力）不出现在方程中。

②　求系统内力（绳的张力、相互挤压力）用隔离法：单独取一个物体列牛顿第二定律。

③　地面光滑、水平拉力拉两个物体时，整体加速度由总质量和外力决定，绳上张力与拉力的作用位置有关。

整体法求加速度

隔离法求绳的张力

求加速度用整体，求内力用隔离，两步走。

24板块模型：共速与相对滑动

①　先判断能否一起运动：假设不相对滑动，用整体法求出共同加速度。

②　把结果与被动物（下方物体）能获得的最大加速度 μ₁g 比较：超过它就发生相对滑动。

③　共速之后摩擦力可能反向甚至变为零；画 v—t 图像是处理板块问题最快的方法。

共同加速（不相对滑动）

相对滑动的临界加速度

板块题的关键一步：先算临界加速度，再判“共速还是滑”。