高中数学公式+用途(按模块整理,方便复习)

一、集合与常用逻辑用语

1. A\cap B交集、A\cup B并集、\complement_U A补集

用途：求元素公共部分、合并集合、全集里去掉A的元素；小题基础，常考求参数范围。

2. 充分/必要条件：p\Rightarrow q，p是q充分条件；q\Rightarrow p，p是q必要条件

用途：判断命题推导关系，结合不等式、函数求参数取值范围。

二、函数与导数

1. 二次函数 y=ax^2+bx+c(a≠0)

对称轴：\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}；顶点纵坐标\boldsymbol{\dfrac{4ac-b^2}{4a}}；判别式\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}

用途：求最值、单调区间、零点、解一元二次不等式，贯穿高中所有大题。

2. 指数 a^m\cdot a^n=a^{m+n}；a^m\div a^n=a^{m-n}；(a^m)^n=a^{mn}

对数：\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN，\log_a\dfrac{M}{N}=\log_aM-\log_aN，\log_aM^n=n\log_aM，换底公式：\boldsymbol{\log_ab=\dfrac{\ln b}{\ln a}=\dfrac{\lg b}{\lg a}}

用途：指数对数化简、解方程、比较大小，函数单调性判断。

3. 基本不等式 \boldsymbol{a+b\ge 2\sqrt{ab}\ (a>0,b>0)}，一正二定三相等

用途：求最值（和定积最大，积定和最小），填空题高频考点。

4. 导数公式

(x^n)'=nx^{n-1}；(\sin x)'=\cos x；(\cos x)'=-\sin x；(e^x)'=e^x；(\ln x)'=\dfrac1x

运算法则：(u\pm v)'=u'\pm v'；(uv)'=u'v+uv'；\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

用途：

- 求切线方程；

- 判断函数单调性，求极值、最值；

- 证明不等式、零点问题（导数大题核心）

三、三角函数 & 解三角形

1. 同角关系：\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

用途：知一个三角函数值，求另外两个；化简式子。

2. 诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

用途：大角度、负角化成锐角三角函数。

3. 和差公式

\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

二倍角：

\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha

\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha

用途：三角恒等变换，化简，求角度、函数最值。

辅助角公式：\boldsymbol{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)}

用途：把式子合成单一三角函数，求周期、最值、单调区间。

4. 解三角形

正弦定理：\boldsymbol{\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R}（R外接圆半径）

用途：边角互化；已知两角一边/两边一对角解三角形；外接圆半径。

余弦定理：\boldsymbol{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}，\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

用途：已知三边求角；已知两边夹角求第三边；判断三角形是锐角/钝角。

面积公式：\boldsymbol{S=\dfrac12ab\sin C}

用途：求三角形面积，解三角形大题必考。

四、平面向量

\boldsymbol{a}=(x_1,y_1),\boldsymbol{b}=(x_2,y_2)

1. 数量积：\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2

用途：求向量夹角、判断垂直：\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0

2. 模长：|\boldsymbol{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}

用途：求向量长度；

3. 平行：\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\Leftrightarrow x_1y_2-x_2y_1=0

用途：判断向量共线，求参数。

五、数列

等差数列：

通项：\boldsymbol{a_n=a_1+(n-1)d}；前n项和\boldsymbol{S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d}

用途：求项、求和，判断等差；性质：若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q

等比数列：

通项：\boldsymbol{a_n=a_1q^{n-1}}；前n项和\boldsymbol{S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{a_1-a_nq}{1-q},&q\neq1\end{cases}}

用途：求项、求和；性质：m+n=p+q\Rightarrow a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q

数列公式核心用途：求通项、求和，错位相减/裂项相消一般是求和方法，不是公式。

六、立体几何

1. 表面积、体积公式

柱体：V=Sh；锥体：V=\dfrac13Sh；球：V=\dfrac43\pi R^3，S_{表}=4\pi R^2

用途：直接计算体积表面积，小题必考。

2. 空间向量（大题）

用法向量夹角求线面角、二面角；判断平行垂直。

七、解析几何（直线、圆、圆锥曲线）

1. 直线：斜率k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}；点斜式y-y_0=k(x-x_0)

两点距离：\boldsymbol{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}

点到直线距离：\boldsymbol{d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}

用途：求直线方程、距离，判断位置关系。

2. 圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

用途：求圆心半径，直线与圆相交相切判断。

3. 圆锥曲线

椭圆：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)，a^2=b^2+c^2，离心率e=\dfrac ca,0<e<1

双曲线：\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1，c^2=a^2+b^2，e>1

抛物线：y^2=2px，焦点(\dfrac p2,0)，焦半径

用途：

- 小题：求a,b,c、离心率；

- 大题：联立直线与曲线方程，韦达定理\boldsymbol{x_1+x_2,\ x_1x_2}，算弦长|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}

八、概率统计

1. 古典概型：P(A)=\dfrac{事件A包含基本事件数}{总基本事件数}

2. 排列：A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}；组合：\boldsymbol{C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}}

用途：计数，算概率，二项式定理

3. 二项分布：X\sim B(n,p)，P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}，期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)

4. 期望方差：E(aX+b)=aE(X)+b,\ D(aX+b)=a^2D(X)

用途：统计大题，求概率、期望。

九、复数

z=a+bi，共轭\overline z=a-bi；模|z|=\sqrt{a^2+b^2}

用途：复数四则运算，小题。#高中数学#数学公式#高中数学公式#数学思维