拆解2026年9月安徽天一联考开学考第19题导数、三角函数、数列不等式综合题

哈喽各位同学～本题来源于 2026 年 9 月安徽天一联考开学考第 19 题，属于导数、三角函数、数列不等式三者深度融合的综合大题，对标新高考导数压轴的命题范式：先铺垫引理不等式，再证明中间过渡不等式，最后依托前两问结论完成数列求和放缩证明，层层递进、环环相扣，是典型的 “多小问链式命题”。这类题型在新高考模拟卷中十分热门，重在考查学生用导数作为工具分析函数性态、构造辅助函数证明不等式、灵活进行不等式放缩以及逻辑链条迁移的综合能力，不只考查导数的计算基本功，更看重学生的全局审题意识，能否看懂命题人设置每一问的目的，顺着命题人的思路完成层层转化！

据考后数据与教研分析：

(1)导数求函数单调区间

核心：求导判号定单调性

我们先对函数求导化简，判断导函数在定义域内恒正或恒负，以此得到原函数的单调性质。

 (2)三角不等式证明

核心：构函数证三角不等式

我们构造差函数，对差函数求导分析单调性，结合区间内三角函数的取值特点判断函数最值，证得不等式成立。

(3)数列求和放缩证明不等式

核心：引理放缩裂项求和

• 第 (1) 问：导数求函数单调区间题型

  考查核心：导数计算（分式函数求导、通分化简）、单调区间的判定逻辑（导函数符号与函数单调性的对应关系），重点考查 “导数工具与函数单调性的转化逻辑”（通过求导得到导函数，分析导函数符号以确定单调区间）。

  常用方法：导数公式法求导（分式求导法则）、导函数符号分析法（代数化简判断导函数恒正 / 恒负，确定原函数单调区间）。

• 第 (2) 问：三角不等式证明题型

  考查核心：正切函数导数、辅助函数构造、隐零点与函数最值分析，重点考查 “构造差函数 + 嵌套导数分析不等式” 的证明逻辑（构造差函数，多次求导分析单调性、结合零点存在定理判定最值，完成不等式放缩证明）。

  常用方法：构造差函数法、高阶导数分析法、零点存在定理、三角函数值域限定分析法（在给定区间内锁定tan x取值范围辅助判断符号）。

• 第 (3) 问：数列求和放缩证明不等式题型

  考查核心：引理迁移、链式不等式放缩、对数裂项求和，重点考查 “多步放缩串联前序结论、裂项相消求和证明和式上界” 的逻辑（调用前两问已经证明的不等式，两次放缩转化为对数差，累加抵消完成证明）。

  常用方法：结论引理迁移法、不等式链式放缩法、对数裂项相消求和法。

• 这类题属于 “对数函数、三角函数、导数与数列不等式的融合型综合题”，这类题型的特点是：以对数函数、正切函数为背景，通过导数工具串联 “单调区间求解→三角不等式证明→数列和式放缩证明” 三大核心考点，前两问证明得到的不等式结论为第 (3) 问的放缩提供现成引理，是新高考模拟卷里典型的 “链式设问、层层铺垫” 导数综合题型。