2026年USEMO东区试题

第一天（2026年10月24日）

第1题

设 为不是完全立方数的正整数，为非零整数，且 ．证明：不是整数的立方．

第2题

一个 方格表中，每个方格的颜色都不相同．每次操作可以选择一行或一列，将这一行或这一列的颜色循环平移任意多个位置．至少需要多少次操作，才能将整个着色图案逆时针旋转 ？

左图示意中间一行的循环平移，右图示意逆时针旋转 ．

第3题

设三角形 的内心为，外接圆为．其内切圆分别与边相切于点．设圆与三角形的外接圆除外的另一交点为．直线关于直线的对称直线分别与直线交于点．点在直线上，且、．证明：以、为直径的两圆在直线上有一个公共点，在圆上也有一个公共点．

第二天（2026年10月25日）

第4题

设 为圆内部的两个定点．直线与圆交于，且依此顺序共线．点在圆上，且不同于．直线分别与圆再交于．设三角形与的外接圆的两条公外切线交于点．证明：当变化时，总在两条定直线之一上．

第5题

以 表示正实数集，表示实数集．求所有严格递增函数 ，使得对任意 ，方程 恰有一个实数解 ．

第6题

将每个正整数恰染成天蓝色或米色中的一种，且每种颜色都出现无穷多次．将天蓝色和米色的正整数分别按从小到大的顺序记为 和 ．构造实数 和 ，其中每个小数均由相应整数的通常十进制表示依次拼接而成．与 能否同时为有理数？

题文来源：东区第一天原卷、东区第二天原卷．赛事由 Mathelots 主办，Anant Mudgal 担任负责人．