文档内容
河东区 2024～2025 学年度第一学期期末质量检测
高三数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：（本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符
合题目要求）
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求 .
【详解】由题设可得 ，故 ，
故选：B.
2. 若 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”成立的充分不必要条件.
故选：A.
第1页/共21页
学科网（北京）股份有限公司3. 函数 的图象大致为（ ）
A B.
.
C D.
.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性排除两个选项，再取一个特殊值即可得到正确选项即可.
【详解】由 可得： 是奇函数，
故A,B是错误的；
又由 ，故D是错误的；
故选：C.
4. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成
绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物
理成绩大于等于60分的人数为（ ）
A. 270 B. 240 C. 180 D. 150
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率之和为1得到方程，求出 ，进而求出物理成绩大于等于60分的人数.
第2页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，解得 ，
故物理成绩大于等于60分的人数为 .
故选：B.
5. 已知 ， ， ，则这三个数的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可以得出 ，然后即可得出 ， ， 的大小顺序．
【详解】解： ， ， ，
．
故选： ．
【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数单调性的定义，考查了计算和推理能力，属于基
础题．
6. 如图，正三棱柱 的底面边长为 1，高为3，已知 为棱 的中点， 分别在棱
上， ，记四棱锥 ，三棱锥 与三棱锥 的体积分
别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第3页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据条件分别计算出 的值，即可求解.
【详解】由题意知： ，
，
.
， ， .
故选：C.
7. 已知函数 ，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 在区间 上单调递增
C. 的最小正周期为
D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
【答案】D
【解析】
【分析】根据选项的内容，我们可以利用辅助角公式把函数解析式化为余弦型函数形式，结合余弦型函数
的最值性质、单调性性质、最小正周期公式、图象平移的性质逐一判断即可.
【详解】 .
A：当 时，即当 时，
函数 的最小值为 ，所以本选项说法不正确；
第4页/共21页
学科网（北京）股份有限公司B：由 ，显然 不是 的子集，
所以本选项说法不正确；
C： 的最小正周期为 ，因此本选项说法不正确；
D： 的图象向右平移 个单位得到
，所以本选项说法正确，
故选：D
8. 抛物线 的焦点 是双曲线 的右焦点，点 是曲线 的
交点，点 在抛物线的准线上， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即
可求得离心率.
【详解】由题意知，抛物线焦点 ，准线与x轴交点 ，双曲线半焦距 ，设点
是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，即 ，结合 点在抛物线上，
所以 抛物线的准线，从而 轴，所以 ，
即
第5页/共21页
学科网（北京）股份有限公司故双曲线的离心率为
故选A
【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关
键，属于中档题.
9. 已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 变形为 ，借鉴“1”的妙用的处理方式，以及基本不等式求解即可.
【详解】
因为 ，
故 ；
当且仅当 ，且 ，也即 ，且 时取得等号.
故 的最小值为 .
故选：B.
第6页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题处理的关键是能够观察到 三者之间的关系，同时要熟练掌
握“ ”的妙用的处理方式.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
10. 已知 为虚数单位，复数 ，则复数 的虚部为________
【答案】 ##
【解析】
的
【分析】根据复数 四则运算直接化简，再根据复数的相关定义可得解.
【详解】 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为： .
11. 在 的展开式中， 的系数是______．
【答案】
【解析】
【分析】写出已知二项式展开式的通项，进而写出对应项，即可得系数.
【详解】已知二项式的展开式通项公式为 ， ，
令 ，可得 ，则 .
故答案为：
12. 已知圆 与抛物线 的准线交于 两点，且 ，则 的值
第7页/共21页
学科网（北京）股份有限公司为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意得到 ，再利用勾股定理求出 ，由圆心到准线的距离可得答案.
【详解】设圆 的圆心坐标为 ，连接 ，
抛物线准线与 轴交于点 ，则 ，
所以 ，
所以圆心到准线的距离为 ，
解得 ，或 （舍去）.
故答案为：4.
13. 某厂产品有 的产品不需要调试就可以出厂上市，另 的产品经过调试以后有 能出厂，则
该厂产品能出厂的概率______；任取一出厂产品，求未经调试的概率______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】答题空一：根据题意设出事件，利用全概率公式即可求解；答题空二：利用空一结果，根据贝叶
斯公式即可求解.
【详解】设事件 表示产品能出厂上市，事件 表示产品不需要调试， 表示产品需要调试，
则有 ， ， ， ，
第8页/共21页
学科网（北京）股份有限公司由全概率公式可得：
；
由贝叶斯公式可得：
.
故答案为： ；
14. 在等腰梯形 中， ， 是腰 的中点，则 的值为
______；若 是腰 上的动点，则 的最小值为______．
【答案】 ①. −8 ②.
【解析】
【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到 ，求出 ，设
， ，故 ，求出 ，故
，从而得到最小值.
【详解】过点 作 ⊥ 于点 ，
因为等腰梯形 中， ，
所以 ，由勾股定理得 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
故 ，
第9页/共21页
学科网（北京）股份有限公司是腰 的中点，故 ，
所以 ，
设 ， ， ，
则 ，故 ， ，
故 ，
，
故
，
故当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：−8，
15. 已知函数 ，若 有三个不等零点，则实数 的取值
第10页/共21页
学科网（北京）股份有限公司范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】函数 有三个不等零点转化为方程 有三个不等实根.
分两种情况讨论：当 时， ，令 ，结合 的单调性
讨论根的情况；当 时，得 ，当 时，显然方程无实根；当 时， ，
令 ，利用导数研究函数的性质，作出函数图象，数形结合得答案．
【详解】由 有三个不等零点，等价于 有三个不等实根，
当 时， ，
由 ，得 ，
即 ，
令 ，
由于 在 上单调递增，故 ，
故当 时，方程 无实根；
当 时，方程 在 上有一实根．
当 时， ，由 ，得
第11页/共21页
学科网（北京）股份有限公司当 时，显然方程无实根；
当 时， ，令 ， ，
在
当 时， ，所以 (0,2)上单调递增；
当 时， ，所以 在 单调递减；
即当 时，函数 取得极大值
； ；当 时， ；当 时， ，
作出函数 的图象如图，
要使 有三个不等实根，需满足：在 上有一实根，在 上有两个
实根．
由图可知 与 的图象有两个交点时， ，即 ，
综上， ，即实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：对于零点问题常转化成方程根的个数问题，分离常数后构造函数，讨论单调性，数
形结合利用两函数图像的交点得到参数的范围.
三、解答题：（本大题5个题，共75分）
16. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ．
第12页/共21页
学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正余弦定理角化边即可得出答案；
（2）先利用余弦定理求出 ,再根据同角三角函数的关系求出 ，以及二倍角公式求出 和
，最后再根据正弦的差角公式即可得出答案.
【小问1详解】
因为 ，由余弦定理有： ，所以
；
因为 ，由正弦定理得： ，所以 ，
所以 ．
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
，
．
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
第13页/共21页
学科网（北京）股份有限公司， 为 中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以 为原点，建立空间直角坐标系，由已知写出 、 、 的坐标，由点坐标可得 ，
， 的坐标，即有 ， ，根据线面垂直的判定即可证 平面 ；
（2）由已知点坐标及 ，可写出 、 的坐标，进而求面 的一个法向量 ，根据直线方
向向量与平面法向量夹角的坐标表示，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）由坐标系易知 为平面 的法向量，结合（2）所得法向量 ，根据两个平面法向量夹
角的坐标表示，即可求二面角的余弦值，进而求其正弦值．
【小问1详解】
证明：如图，以 为原点，分别以 ， 为 轴， 轴,过D作AP平行线为z轴，建立空间直角坐标
系，
第14页/共21页
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ，得 ， ， ，
所以 ， ，即 ， ，又 ，所以 平面
；
【小问2详解】
解：由 可是 ，
由 ，可得 ，所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 不妨设 ，则 ，故 ，
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
【小问3详解】
解：因为 为平面 的法向量，设二面角 的大小为 ，
所以 ，所以 .则二面角 的正弦值为 ．
第15页/共21页
学科网（北京）股份有限公司18. 已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 ，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设 ，求出直线 的方程后可得 的横坐标，从而可得 ，
联立直线 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简 ，从而可求 的范围，注意判别式的
要求.
【详解】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）
第16页/共21页
学科网（北京）股份有限公司设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
19. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 0，已知 ，
．
（1）求 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和 ．记 ，求 ；
（3）求 ．
第17页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据已知及等差、等比数列的通项公式求基本量，进而写出 和 的通项公式；
（2）根据已知有 ，结合（1）即可得 ；
（3）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和.
【小问1详解】
设数列 是公差为d的等差数列，数列 是公比为q的等比数列，公比大于0，其前n项和为
．
已知 ，所以 ，解得 ，则 ，
由于 ，所以 ， ，解得 ，则 .
【小问2详解】
由（1）知： ，所以 ，
所以 .
【小问3详解】
由（2）得 ，设 ，
所以 ①， ②，
第18页/共21页
学科网（北京）股份有限公司① ②得： ，
整理得 .
20. 已知函数 与 为函数 的极值点．
（1）求 的值；
（2）求 在点 处的切线方程；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据极值点与导数的关系，得 ，解得答案；
(2)根据导数的几何意义得出切线斜率，点斜式得切线方程；
(3)由参变分离得 ，利用导数求出函数 的最小值，的答案.
【小问1详解】
由题意可为， 的定义域为
因为 在 处取得极值，所以 ，解 ，
当x∈(0,1)时， 单调递增；当x∈(1,+∞)时， 单调递减，
经检验，符合题意,
第19页/共21页
学科网（北京）股份有限公司所以 .
【小问2详解】
所以切线方程为 ．
.
【小问3详解】
若 恒成立，则 ，
由 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在区间(0,+∞)上单调递增，
因为 ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
即 ，即
令 ，则 ，
所以函数 在(1,+∞)上单调递增，
第20页/共21页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，则 ， ，由 ，
则 ，所以 ，
当 时，g(x)<0，ℎ ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，
当 时g(x)>0，ℎ ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以 ，
则 ，
所以实数 的取值范围为
【点睛】方法点睛：函数恒成立问题 的求解方法：
(1)首先参变分离；
(2)利用导数求得分离后函数的最值；
(3)根据函数的最值得到参数范围.
第21页/共21页
学科网（北京）股份有限公司
