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小学数学计算原理,看这篇就够了!
小学数学计算原理,看这篇就够了!这篇文章覆盖了小学数学重要的计算原理，我在这里列出12个需要重点理解和掌握的要点，更详细和生动的讨论都可以在《趣话数学——120篇与孩子数学启蒙对话》和《趣话数学2——80篇对话陪孩子跨越9~13岁学习关键期》这两本书里找到。 从这个意义上来说，《趣话数学》不仅能激发出孩子对数学的兴趣，而且对普娃的校内数学非常有帮助。 
更多读者反馈见: 这书，专治不喜欢数学的孩子！ 1. 数的位值表示 数的位值表示是理解整个计算原理的基石。重点是要理解不同的数位具有不同的权值，因此“相同的数字，放在不同的数位上，代表不同的值”。 比如242，百位的2代表2个100，个位的2代表2个1。 
要学好位值，可以多用对比和类比的方法。一个有趣的现实是，不少人觉得十进制都没学明白，更不用说其它进制了。其实不然，善用对比（与加法记数对比）和类比（与非十进制类比），孩子反而容易融会贯通，理解位值的本质。 
更详细的探讨见《趣话数学》的第六篇对话: 为什么没有十十乘法表？——与女儿的一次对话 以及《写给孩子的数学之美》一书”记数的逻辑”一文，或参考下面这篇文章: 记数的一小步，人类的一大步 2. 自然数的加减 自然数的加减，最主要的有三点： （1）用数轴理解加减的概念 
（2）基于十进制的进位和退位 所谓的“凑十”和“破十”法，都是因为我们采用的是十进制。 加法竖式数位对齐后，逢十进一；减法竖式数位对齐后，不够减时向高位借一当十。 （3）加减法竖式要右对齐 这也是因为位值表示的结果，不同的数位具有不同的权值(即计数单位)，不能直接加减，只有相同权值的数(即具有相同计数单位)才能相加减。 更多内容见：位高权重，就可以乱来吗？ 3. 自然数的乘法 想让孩子愿意学乘法，特别是在让孩子背诵九九乘法表之前，首先要让孩子理解一点：乘法是加法的简便运算。只有体会到重复相加的麻烦，才有学习乘法的动力。 其次，九九乘法表是小学阶段少数需要背诵的知识点之一，肯定要熟练背诵，但不一定需要死记硬背，完全可以通过玩类似“怪兽袜子工厂”这样的数学桌游，让孩子无痛学会表内乘法和除法。 最后，关于乘法竖式的算理，可以用数形结合的方式辅助理解。 
更多内容可以看蓝色封面的《趣话数学——120篇与孩子数学启蒙对话》和下面的文章讨论： 为什么没有十十乘法表？——与女儿的一次对话 从乘法到计算，那些不该错过的风景 4. 自然数的除法 重点掌握以下几点： （1）除法是减法的简便运算 （2）除法是乘法的逆运算 （3）除法竖式的算理 除法竖式的算理是小学的难点之一，也是校内考试的常客，很多孩子一开始会迷糊。怎样让孩子很快彻底搞懂这一点，可以参考蓝色封面《趣话数学》的第11则对话“分钱巧方法”。 
（4）除法的内涵 很多人对除法的理解都停留在平均分上，但这是远远不够的。除法的内涵有二：一是平均分，二是包含除。小学的许多应用难题，考查的往往是后者。 更多内容见： 0为什么不能做除数，竟能串联起这么多知识！ 居然有这么多家长不理解“包含除” 5. 带余数的除法 重点掌握几点： （1）余数一定小于除数 （2）被除数和除数同时乘以（除以）一个相同的数（非0），商不变，但余数要变，会同样乘以（除以）这个相同的数。 比如： 300÷40=7......20，将被除数和除数都划掉一个0后，30÷4=7......2。 （3）带余数的除法中的“=”不是真正的等号，它不代表一个等式。 比如: 30÷7=4...2，26÷6=4...2 虽然两者等号后面写法一样，但是30÷7≠26÷6。 将上面的形式改写成“被除数=除数×商+余数”，这样的写法才是等式的写法，会对日后包括数论在内的很多学习很有帮助。 更多相关内容见橙色封面《趣话数学2》的第2篇对话“400÷50=40÷5引起的讨论“，以及下面这篇文章： 除法的这种表示误导性有点大，越早改过来越好！ 6. 小数的加减 小数的加减没啥难度，由于是位值表示，相同计数单位的才能直接加减，所以要小数点对齐。 需要注意的是类似6.7-3.284这种减法，被减数的小数位数少，列竖式计算的时候，相当于默认是6.700-3.284。 详见蓝色封面《趣话数学》的第94则对话“小庭当店老板”。 7. 小数的乘除 重点掌握以下几点： （1）小数点向左移动一位表示除以10，向右移动一位表示乘以10。 （2）自然数的末尾隐藏着小数点，比如18，相当于小数点在8的右边，即18.0。 （3）小数的乘法不需要对齐小数点，直接把小数当成整数来乘，乘完后看两个乘数一共有几位小数，就把小数点向左移动几位。 比如1.8×0.05，直接先算18×5=90，然后把小数点向左移动3位，结果就是0.09。 （4）小数的除法建立在商不变性质之上，即被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（非0），商不变。 比如19.65÷1.5，先让被除数和除数都乘以10，让除数变成整数，变成196.5÷15。 更详细的讨论见橙色封面《趣话数学2》的第9篇对话”小数乘法位什么不用对齐小数点“和第10篇对话”小数的除法怎么做“。 8. 分数的加减 重点掌握以下几点： （1）首先理解等值分数的概念 所谓等值分数，就是分子和分母同时乘以或除以相同的数后分数值相同，比如2/3=4/6=6/9=10/15。 这一点，更生动形象的讨论见蓝色封面《趣话数学》第86则对话“煎鸡蛋怎么分” （2）分母不相同的分数不能直接加减 比如3/4+2/5, 不能直接等于(3+2)/(4+5)。可以把3/4理解为3个1/4，2/5理解为2个1/5，1/4和1/5都看作是计数单位，两个计数单位不一样，不能直接相加。 所以要变成 15/20+8/20，这样就相当于15个1/20和8个1/20，计数单位相同，就能直接加了。 更生动的讨论见蓝色封面《趣话数学》第87则对话“慕斯蛋糕怎么分”。 9. 分数的乘法 重点掌握以下几点： （1）分数乘法的意义 乘以一个分数，比如乘以2/3，就是取原来这个数的2/3。 乘法运算拓展到分数或小数后，乘法不再仅仅是加法的简便运算，也可以理解为缩放。 （2）分数乘法的规则是分母分母相乘、分子分子相乘。 为什么分数的乘法是分子分子相乘、分母分母相乘？ （3）计算分数乘法时先约分（包括交叉约分）后再乘，可以简化计算。 比如下面的分数计算，先约分再乘要比直接乘完后再约分快得多。 
（4）将乘法拓展到小数和分数后，乘以一个数后的乘积并不一定比原来的数大，要看乘数是大于1还是小于1。 （5）带分数可以看成是一个整数与一个分数的和，带分数进行运算通常是转化为假分数后再运算。 详细的讨论见《趣话数学2》的以下三篇对话： 第5篇：分数乘法为什么是分子和分子相乘，分母和分母相乘 第6篇：分数乘法怎样算得快 第8篇：带分数及其运算 10. 分数的除法 分数除法的含义，一般从分数的乘法开始，也就是除法是乘法的逆运算。即已经知道一个数A的几分之几，要求A。比如，A×2/5=6, 所以A=6÷2/5。 理解分数除法的规则，即除以一个分数等于乘以它的倒数，这样就把分数的除法转化成分数的乘法。 例如：6÷2/5=6×5/2=15。 转化是一种非常重要的数学思想，在《趣话数学》中，渗透了大量这种数学思想。 更详细的讨论见《趣话数学2》的第7篇对话”除以一个分数，为什么等于乘以它的倒数“ 为什么除以一个分数等于乘以它的倒数？ 11. 交换律、结合律和分配律 加法交换律： a+b=b+a 特别注意：34+56=36+54，这个不是所谓的加法交换律的另一种形式，大家不要被某些博主给误导了，只是数的位值表示、加法交换律和结合律的共同作用结果。 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c或(a+b)×c=a×c+b×c 其中，加号可以改为减号。 注意，可以用数形结合的方式来辅助理解这些算律，特别是乘法分配律。 
另外，特别要注意，没有所谓的除法分配律（本质就是乘法分配律）。 更详细的内容探讨见《趣话数学2》的相关对话，或参考下面的文章： 为什么没有除法分配律？ 12. 四则运算去括号 四则运算去括号的规则： （1）如果是加法或乘法，则去括号后不变号，即保持括号内原有的符号不变。 （2）如果是减法或除法，则去括号后要变号，即：+变-，-变+，×变÷，÷变× 但为什么是这样的规则？当然可以通过创建情境给孩子解释，但有的情境孩子不一定好理解。也可以通过差不变原则以及商不变原则进行解释。 更详细的分析见《趣话数学2》的第一篇对话，或参考下面的文章： 四则运算去括号怎么教? 家长们不要操之过急！
蓝色封面《趣话数学1》和橙色封面的《趣话数学2》分别适合6-10岁和9-13岁的孩子。
（全文完）
作者：昍爸，中国科学院计算机博士，大学教授，博士生导师。主持国家自然科学基金4项，在国内外高水平期刊和会议发表论文60余篇。曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。著有畅销书《趣话数学：120篇与孩子的数学启蒙对话》《趣话数学2——80篇对话陪孩子跨越9~13岁学习关键期》《写给孩子的数学之美》《给孩子的数学思维课》《怎样解题：思路是这么来的》《搞定平面几何：辅助线是怎么想出来的》等。
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