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今天我们继续学习4点5点3，函数模型的应用第二部分。上节课我们学了用已知函数模型解决问题，今天来看更有挑战性的内容——如何根据问题的条件选择和建立函数模型。
没错！今天有两个经典例题，还有归纳总结和练习。我们开始吧！
例5很有意思：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案。方案一，每天回报40元；方案二，第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三，第一天回报0点4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？
这道题的关键是建立三种方案对应的函数模型，再比较它们的增长情况。设第埃克斯天所得回报是歪元，那么方案一可以用函数歪等于40来描述，这是常数函数；方案二可以用函数歪等于10埃克斯来描述，这是一次函数；方案三可以用函数歪等于0点4乘以2的埃克斯减1次方来描述，这是指数函数。
三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数。那怎么比较呢？
我们先看每天回报的增长情况。方案一每天固定40元，增加量为0。方案二每天增加10元，是均匀增长。方案三就厉害了——第一天0点4元，第二天0点8元，第三天1点6元，第四天3点2元，第五天6点4元，第六天12点8元，第七天25点6元，第八天51点2元，第九天102点4元，第十天204点8元……增长量是成倍增加的！
哇，方案三到第十天就已经超过方案二了！那到第30天呢？
第30天方案三的回报超过了2亿元！这就是"指数爆炸"的威力。尽管方案一、方案二在第1天的回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三的"增长量"是成倍增加的。从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多。
那从每天所得回报来看，哪个方案最划算？
分阶段看：第1到3天，方案一最多；第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；第5到8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多。
但如果看累计的回报呢？
这就不一样了。我们来看累计回报数。方案一，第1天40，第2天80，第3天120，依次类推。方案二，第1天10，第2天30，第3天60，第4天100，第5天150。方案三，第1天0点4，第2天1点2，第3天2点8，第4天6，第5天12点4，第6天25点2，第7天50点8，第8天102，第9天204点4，第10天409点2，第11天818点8。
综合来看，投资1到6天应选择方案一；投资7天应选择方案一或方案二；投资8到10天应选择方案二；投资11天及以上则应选择方案三。
没错。这个例子虽然是假想情况，但说明了一个重要事实：不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异。常数函数不增长，一次函数匀速增长，指数函数爆炸式增长。
例6是一个实际问题：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案。在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金歪随销售利润埃克斯的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：歪等于0点2 5埃克斯，歪等于以7为底埃克斯的对数加1，歪等于1点0 0 2的埃克斯次方。哪个模型能符合公司的要求？
这道题需要同时满足两个条件：第一，奖金总数不超过5万元，即歪的最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即歪小于等于0点2 5埃克斯。我们只需在区间10到1000上寻找并验证。
那先看第一个条件，哪个模型满足奖金不超过5万元？
先看模型歪等于0点2 5埃克斯。它是线性函数，在区间10到1000上单调递增。当埃克斯等于20时，歪等于0点2 5乘以20等于5。所以当埃克斯大于20时，歪就大于5了，不符合要求。
那模型歪等于1点0 0 2的埃克斯次方呢？
这也是增函数。通过计算可以知道，在区间805到806内有一个点埃克斯零满足1点0 0 2的埃克斯零次方等于5。由于函数在10到1000上单调递增，当埃克斯大于埃克斯零时，歪就大于5，所以这个模型也不符合要求。
最后看模型歪等于以7为底埃克斯的对数加1。
它在区间10到1000上也是单调递增的。当埃克斯等于1000时，歪等于以7为底1000的对数加1，约等于4点5 5，小于5。所以这个模型符合奖金总数不超过5万元的要求。
那第二个条件呢？奖金不超过利润的25%，即以7为底埃克斯的对数加1小于等于0点2 5埃克斯，是否成立？
令埃夫埃克斯等于以7为底埃克斯的对数加1减0点2 5埃克斯，在区间10到1000上。通过画图可以看到，埃夫埃克斯在这个区间上单调递减，所以埃夫埃克斯小于等于埃夫10，约等于负0点3 1 6 7，小于0。也就是说，以7为底埃克斯的对数加1小于0点2 5埃克斯始终成立。
所以模型歪等于以7为底埃克斯的对数加1，确实能满足公司的两个要求！
没错。总结一下：线性模型增长太快，奖金很快超过5万；指数模型同样增长过快；而对数模型增长缓慢，始终控制在5万以内，并且不超过利润的25%，完全符合要求。
通过这两个例题，教材总结了一个重要的方法论：用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程。
这个过程分四步：第一步，分析和理解实际问题的增长情况——是"对数增长"、"直线上升"还是"指数爆炸"；第二步，根据增长情况选择函数类型，构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；第三步，通过运算、推理求解函数模型；第四步，用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解释说明并解决有关问题。
在这个过程中，往往需要利用信息技术帮助画图和运算。例5和例6都很好地体现了这个流程。
最后看两道练习题。第1题：某地今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52、61、68。甲选择了模型歪等于诶埃克斯平方加避埃克斯加西，乙选择了模型歪等于批乘以丘的埃克斯次方加阿尔，其中诶、避、西、批、丘、阿尔都是常数。结果4月、5月、6月的患病人数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型更符合实际？
这道题需要分别用两个模型拟合前3个月的数据，然后比较哪个模型的预测更接近4到6月的实际值。甲选择的是二次函数模型，乙选择的是指数函数模型。从数据来看，1到3月的增量分别是9和7，增长在放缓；4到6月的增量分别是6、4、5，增长确实在放缓。二次函数先增后减，更符合增长放缓的趋势；而指数函数会加速增长，与实际不符。所以甲选择的二次函数模型更符合实际。
第2题：某地的肉鸡产量和人口数都有数据表，涉及三个小问。由于这道题数据较多，核心思路是：先用数据拟合函数，再比较肉鸡增长率与人口增长率，判断供需关系，最后给出建议。
从数据看，肉鸡数量大约每年增长150到160吨左右，接近线性增长；人口数也接近线性增长。关键是要比较两者的增长速度。如果人口增长快于肉鸡增长，将来可能出现供不应求的情况，需要提前扩大养殖规模。
好，今天的内容讲完了。总结几个关键点。
第一，不同函数模型的增长差异巨大：常数函数不增长，一次函数匀速增长，指数函数爆炸式增长，对数函数缓慢增长。选择模型时要根据实际增长特征来定。第二，选择函数模型时可能需要同时满足多个约束条件，要逐一验证。第三，用函数建模解决实际问题的一般流程是：分析增长情况、选择函数类型、运算求解、解释说明。
希望同学们通过今天的学习，不仅能做题，更能体会到函数模型在分析和解决实际问题中的强大威力！我们下次再见！
再见！
