夜雨聆风【命题趋势与难度分析】本篇收录近几年的真题，代表了考研数列极限的“抽象与深化期”。 近年来的题目反套路特征非常明显，难度极高。主要体现在两方面：一是条件极度隐蔽，例如递推公式从显式变成了方程隐式，或者与高阶积分（如华尔里斯积分）深度绑定；二是开始死抠基本概念的死角，比如利用偶函数来破坏复合函数的连续性，或者探讨奇偶子列的震荡发散问题。这一阶段的考法对考生的底层数学素养要求达到了顶峰。
10.【2018年，数一，10分】
设数列 满足：, . 证明 收敛，并求 .
【技巧】：隐式递推数列的单调性与有界性。巧妙变形方程后利用微分中值定理放缩。
【解答】： 由 ，可得 。由于 ，递推得 。归纳可得对一切 ，。即有下界 0。 将递推关系变形为 。 由拉格朗日中值定理，，其中 。 所以 ，即 。由于 ，得出 。数列单调递减。 单调递减且有下界，极限存在。设 （且 ）。 对递推式两边取极限：。 令 ，则 。当 时 。由于 ，方程在 时仅有唯一解 。
11.【2019年，数一，10分】
设
（Ⅰ）证明：数列 单调减少，且
（Ⅱ）求
【技巧】：“华尔里斯(Wallis)积分”拓展。利用积分性质证明单调性，使用分部积分法推导递推公式。
【解答】： （Ⅰ）在 上 ，故 。从而 ，积分得 ，数列单调减少。 利用分部积分推导递推公式：
边界项代入为 0。将 拆分为 ：
整理得 ，即 ，得证。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列单调递减且恒为正，故 。同除以 得：
由于 。由夹逼定理得 。 因此 。
12.【2022年，数一，5分】
已知数列 ，其中 ，则（ ）
(A) 当 存在时, 存在.(B) 当 存在时, 存在.(C) 当 存在时, 存在,但 不一定存在.(D) 当 存在时， 存在，但 不一定存在.
【技巧】：复合函数连续性与偶函数的反例探讨。
【解答】： 由条件 ，有 。 对于(D)： 在 上严格单调且连续。因此外层极限存在，内层变量 极限必存在。但即使 ，由于 是偶函数， 依然可交替取值 ，即 极限不一定存在。故 (D) 正确。 对于(A)(B)(C)，构造反例：令 。此时 等外层偶函数结果均为定值，极限存在，但 呈震荡发散。
【答案】：(D)
13.【2022年，数三，5分】
已知 ，则 （ ）
(A) 有最大值，有最小值.(B) 有最大值，没有最小值.(C) 没有最大值，有最小值.(D) 没有最大值，没有最小值.
【技巧】：奇偶子列分别讨论，利用函数 的单调性及不等式 （）证明极值。
【解答】： 将数列按奇偶拆分为两个子列。
（1）奇数项子列：
当 时， 严格单调递减（，导数 ），且 也递减，故 在 时严格递减。 又 ，，故整个奇数子列从第一项起严格递减，最大值为 ，且各项均大于 （因为 ，加正数）。
（2）偶数项子列：
先计算 。 当 ，即 时，证明 。事实上，
且当 时 ，所以 ，故 。于是
因此所有偶数项 均大于 ，而 ，所以偶数项子列的最小值为 。
综合两个子列：
最大值：奇数项中 ，偶数项均小于 （因 ，减 后更小），故最大值为 。 最小值：偶数项中 ，奇数项均大于 ，故最小值为 。
因此数列既有最大值也有最小值，选 (A)。
【答案】：(A)
