前言

今天我们来看中科院26考研数分考的一道最值问题，看题就知道不太好整，但其实也只是比较唬人，方法用的依旧是最基础的方法，这里用两种方法给大家解决一下。

中科院的计算题还是有压迫感的哈！大家如果发现有更好的方法，也可以评论区留言哈！

中国科学院大学2026年数学分析考研真题

题目

设  为不全为零的实数。求函数

在条件  下的最小值。

解析

解法一（判别式法）

由条件  可知  不全为零，故 .

对任意实数 ，构造辅助函数

由于平方和非负，知  对一切实数  成立，且  是关于  的二次函数（因 ），其图像为开口向上的抛物线。 意味着该二次函数至多有一个实根，从而其判别式  满足 .

计算判别式，可得

移项整理得

因此 ，即最小值不会小于 .

等号成立当且仅当判别式 ，此时  有重根，且该重根满足

由  得每一平方项均为零，即

容易验证这组  满足约束条件，且使  达到下界。故所求最小值为

注：这是初级且相对容易理解的证明方法，稍微写起来有点复杂，但很适合基础不太好的同学。

解法二（Cauchy–Schwarz 不等式）

由  不等式，对任意实数 ,  有

利用约束 ，得

即

故  的最小值至少为 .

 不等式中等号成立的充要条件是向量  与  线性相关，即存在常数  使得

代入约束条件得

于是取

时，目标函数达到下界，最小值为

注：这个解法相对简单一点，但前提是这方面的知识你得先有所了解才行。

Cauchy-Schwarz 不等式相关知识

Cauchy-Schwarz 不等式基本形式

设  和  为实数，则

等号成立当且仅当存在实数 ，使得

或  （此时不等式两边均为 ，自然成立）。

证明Cauchy--Schwarz 不等式

考虑关于  的二次函数

由于平方和非负，对任意实数  均有 .

若 ，则  是一个开口向上的二次函数，其图像恒在  轴上方（或相切），故判别式 ，因此有

整理即得  不等式。

等号成立 ，此时  有重根 ，且 . 由非负性可知每一项 ，故 ，符合等号条件。

若 ，即所有 ，不等式两端均为 ，显然成立。

积分形式

若  在  上可积且平方可积，则有

等号成立当且仅当  与  几乎处处成比例。

柯西不等式本质上也是用上面的解法一证的，大家在熟记公式的同时，也要知道怎么证哈！