夜雨聆风以下是2026上海高考数学的解答题第20题第(3)小题：
这里只复盘第(3)小题. 上海的解析几何压轴试题一直有自己的风格，命题人摒弃一切有固定章法和套路的模型或二级结论(如极点与极线等). 为了让这些“大招”无用武之地，解析几何试题设计的场景也异常“简洁”. 例如本题就是一个过定点的直线与双曲线相交的弦长计算问题，但毕竟是压轴题，通过对原本的双曲线加上一些额外限制，结合“任意”、“存在”等逻辑用语，要求考生在考场上严密地思考问题. 不仅如此，由于解答题一直遵守通过“代数方法”而不是“几何方法”书写过程的要求，如何合情合理地书写本题的过程也是考生所面临的一大难题. 因此，笔者认为这道试题的区分度应该是挺高的.
由于曲线 是双曲线 的一部分，考生应先大致做出曲线 的图形. 首先，双曲线一般都需将渐近线画出，此时的渐近线为 . 再将 代入 ，容易解得 ，恰好是其左、右焦点的横坐标，故可以大致绘制出草图.
先考虑直线 与曲线 交于 两点 (点 分别在第一、四象限) 的情形. 由于直线 过 轴上定点 ，故考虑设 比较简单，与 联立，容易得到关于 的类一元二次方程.
下面首先确定实数 的取值范围.
首先，应保证该方程有两个实数根，即直线 要与曲线 有两个交点 . 从代数的角度看，上述方程得是个二次方程，并且二次方程的判别式 . 因此可以写出二次项系数 且 的结论，故 . 这一点如果从几何上来看，“”这一条件其实是自然成立的，因为直线 所过定点刚好在双曲线的内侧，只需保证直线 不与渐近线平行即可，刚好对应 . 实际上，在直线与双曲线的交点问题中，二次项系数为 即为直线与双曲线的渐近线平行时的情形.
接着，可设 . 由题意可得，需满足
如果从几何上来看可以将直线 从倾斜角为 的情形顺时针转动到倾斜角为 的情形(与渐近线 平行)，则直线 的斜率 . 而由于 中的 表示斜率的倒数， (包含了斜率不存在时的结果).
问题在于，如何将上述“几何语言”作“代数严格化”？常见的手段是借助韦达定理，即 与 的正负关系. 由韦达定理，
由于 且 ，，故 ，即 . 进一步，，则 . 由 可得 ，则 .
又 ，则 ，故 ，即 ，由于先前已有 ，.
至此，通过代数的手段说明了 的取值范围是 .
在处理这一部分的时候， 的情形应该是容易想到的，属于初学“直线与双曲线的位置关系”时的基本功；而 虽然在几何上比较直观，但其代数说明其实是不容易的，需要利用 对 进行适当地放缩，并结合 才能得到结论.
再利用弦长公式，可得
是关于 的在 上的增函数，故 的取值范围是 .
如此看来，即使无法确定 也能正确求出 的取值范围，考生在考场上实际上只要得到 ，并记得 的弦长表达式中，作为分母的二次项系数需要带绝对值，求出正确结果应该是不太困难的.
相比之下，直线 与曲线 交于 两点 (点分别在第三、四象限) 则温和得多. 设直线 ，只需将上面所有结论中的 更换为 即可. 设 ， 则需满足
依旧先从几何上来观察问题. 当直线 过 时，其斜率 . 直线 可以从此位置旋转到与 平行的位置，即 ，故 .
这里可由 且 确定 ，则 . 再利用 且 ，可得 且 ，，即 .
代入为韦达定理可得，. 由于 ，两边同时乘上 不改变不等号方向，得到 ，.
至此，通过代数的手段说明了 的取值范围是 .
同样由弦长公式，可得
是关于 的在 上的严格减函数，故 的取值范围是 .
这里就会发现， 这一端点就是必须求出的了，需要用来求出 的最小值. 而 会使得 的弦长最终结果与 不同，这是由于分母绝对值中的正负不同. 笔者认为 这一数值是比较好求出的，无论是在高一新课还是高三第一轮复习中，一元二次方程根的分布问题应该是强调的重点内容，而且教师一定会强调，“ 且 ”的充要条件是“ 且 ”而不是“ 且 ”.
最后，翻译条件 “对任意的直线 ，总存在唯一的直线 满足 ”. 把唯一性先放在一边，“对任意的直线 ，总存在直线 满足 ” 的意思是， 的取值集合 的取值集合.
由于 ，，因此 ，故 ，得 .
再考虑唯一性. 唯一性的意思是指， 中落于 取值集合中的那些值，是否与直线 形成一一对应，换言之， 是否在 中是单调的. 显然， 是 上的严格减函数，故唯一性成立.
综上所述， 的取值范围是 .
[试题点评] 第(3)小题的设置是解析几何问题中的一股“清流”，没有复杂模型、没有二级结论、没有暴力计算，有的只是对几何图形语言的翻译，一点一点求出参数的取值范围，并以此去掉弦长表达式中的绝对值部分.
在求解参数范围的过程中，考生完全可以通过几何关系轻松看出结果，但利用韦达定理完成代数论证却绝非易事，需要一定的高一基本功. 不仅如此，由于弦长的计算太过简单，命题人设置了两条直线，此时如果考生误认为两条直线所截弦长的表达式是一样的，也会偏离最终结果. 最后，通过“任意”、“存在”逻辑语言的加持，要求考生将问题转化为值域之间的包含关系，并通过函数的“单调性”说明直线存在的唯一性.
这些命题人在简单模型上添加的复杂条件毋庸置疑提高了试题的区分度，但或许让“几何试题”少了一些简约美的特点，感觉考的有些刻意. 或许这也是解析几何试题命制时的无奈之举，一方面需要完全回避套路和结论，另一方面要在简单的模型上施加些许计算量和分析难度，这样的考向终究使得命题的入手点愈发狭窄，可能在今后会有一些新的灵感出现.
[对学生复习和教师教学与试题命制的建议] 强化高一第一学期对函数基本功的练习，厘清“任意”、“存在”这些逻辑量词的先后顺序对命题内容的影响. 在讲授或复习“直线与双曲线的位置关系”一节时，强化几何关系与代数语言之间的转化，加深对“曲线与方程”的理解.
在解析几何试题命制时，鼓励回避一切套路和章法，以2023年到2026年的春秋两考的真题为范本，寻找或改编曾经的真题、校考或模考试题，以契合上海的解析几何考向.
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