初二数学,期末押题之课本经典习题---正方形中的“角平分线+垂直”模型及其变式①

01

经典习题

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，

（1）求证：AE＝EF.（取AB的中点H，连接EH）

02

变式1

（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；

（3）如图3和4，点E是直线BC上（除B,C点外）的任意一点，其他条件不变，结论是否仍然成立.如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由。

03

视频讲解

04

答案解析

（1）证明：取AB的中点H，连接EH；

∵∠AEF＝90°，∴

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，

∵E是BC的中点，H是AB的中点，

:.BH＝BE， AН＝CE，∴∠BHE＝45°，

∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG＝45°，

∴∠AHE＝∠ECF＝135°，

在△AHE和△ECF中，

∴△AHE全等于△ECF   ∴AE＝EF.

(2)证明：在AB上取一点H，使AH＝EC，连接HE.

∴BH＝BE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°，

∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠AHE=135°，

·:∠AEB＋∠2＝90°， ∠AEB＋∠1＝90°，∴∠1＝∠2，

:. ΔAHΕ全等于ΔECF（ASA），∴AE＝EF.

（3）证明：图3，在BA的延长线上取一点H.使AH＝CE，连接HE.

∵BH＝BE， ∴∠H＝∠HEC＝45°，

∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠H＝∠ECF，

∵四边形ABCD是正方形，

AD//BE，∴∠1＝∠2，

即∠1＋90°＝∠2＋90°，

∴∠HAE＝∠CEF，

∴ΔAHE全等于ΔECF（ASA）∴AE＝EF.

证明：图4，在BA的反向延长线上取一点H.使BH＝BE，连接HE.

还是证明ΔAHE全等于ΔECF（ASA）过程略。

核心方法大招：截长补短造等腰直，ASA全等证等线段。

05

写在最后

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下期预告：正方形中的“角平分线+垂直”模型及其变式②

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