夜雨聆风
01
经典习题
如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
（1）求证：AE＝EF.（取AB的中点H，连接EH）
02
变式1
（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
（3）如图3和4，点E是直线BC上（除B,C点外）的任意一点，其他条件不变，结论是否仍然成立.如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由。
03
视频讲解
04
答案解析
（1）证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF＝90°，∴
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
:.BH＝BE， AН＝CE，∴∠BHE＝45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG＝45°，
∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE全等于△ECF ∴AE＝EF.
(2)证明：在AB上取一点H，使AH＝EC，连接HE.
∴BH＝BE，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°，
∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠AHE=135°，
·:∠AEB＋∠2＝90°， ∠AEB＋∠1＝90°，∴∠1＝∠2，
:. ΔAHΕ全等于ΔECF（ASA），∴AE＝EF.
（3）证明：图3，在BA的延长线上取一点H.使AH＝CE，连接HE.
∵BH＝BE， ∴∠H＝∠HEC＝45°，
∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠H＝∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
AD//BE，∴∠1＝∠2，
即∠1＋90°＝∠2＋90°，
∴∠HAE＝∠CEF，
∴ΔAHE全等于ΔECF（ASA）∴AE＝EF.
证明：图4，在BA的反向延长线上取一点H.使BH＝BE，连接HE.
还是证明ΔAHE全等于ΔECF（ASA）过程略。
核心方法大招：截长补短造等腰直，ASA全等证等线段。
05
写在最后
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下期预告：正方形中的“角平分线+垂直”模型及其变式②
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