初中数学新人教版七年级上册全册教案(2026秋)

人教版七年级数学上册

教

学

设

计

（2026秋）

第一章有理数

1.1 正数和负数

【素养目标】

理解具有相反意义的量及正数､负数的意义.

会用正数､负数表示具体情境中具有相反意义的量,体会数学知识与生活的密切联系,进一步增强符号意识,培养应用意识.

理解0的意义,体会0在解决实际问题中的“基准”作用,初步培养抽象能力.

【教学重点】能理解正数､负数的概念,会判断一个数是正数还是负数.

会用正数､负数表示具体情境中具有相反意义的量.

【教学难点】用正数､负数表示具有相反意义的量时描述向指定方向变化的情况.

理解0的意义,体会0在解决实际问题中的“基准”作用.

【教学过程】

活动一:创设情境,导入新课[情境导入]

观察下面三幅图,这些自然数､分数以及小学时学过的小数是由生活实际的需要产生的,那么它们能否完全满足我们目前生产､生活的需要呢?

思考教材P1引言中的三个问题.

在这三个问题中,“零下3摄氏度”“亏损10万元”“减少0.7%”能够用上面的数表示吗?这说明了什么?[教学提示]

引导学生通过观察三幅图,体会小学学过的几个数都是基于现实需要产生的,然后引导学生思考三个问题,提出疑问,使学生产生探索欲望.

[设计意图]

先通过图片形式让学生体会已学过的数的产生具有必然性与局限性,然后通过列举的三个问题为引入新知做准备.活动二:实践探究,获取新知探究点1 具有相反意义的量及正数､负数的认识

Ⅰ.具有相反意义的量

问题1 结合下面图示,对于引言中的问题(1),我们如何用数区分“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”呢?

观察图①,零上温度和零下温度是以0 ℃为分界点的具有相反意义的量.

观察图②中的天气预报可以看出,零上3摄氏度用3 ℃表示,零下3摄氏度用-3 ℃表示.

问题2 类似地,对于引言中的问题(2)(3),应如何用数分别表示“盈利50万元”“亏损10万元”以及“增长7.8%”“减少0.7%”呢?

如果用“50万元”表示盈利50万元,就可以用“-10万元”表示亏损10万元.如果用“7.8%”表示增长7.8%,就可以用“-0.7%”表示减少0.7%.问题3 通过问题1,2,你认为具有相反意义的量有哪些特点?

成对出现､属性相同(同类量)､意义相反.

Ⅱ.正数､负数的认识

问题1 通过上面对“具有相反意义的量”的介绍,我们已经知道有-3,-10,-0.7%这样的数,对于这种类型的数,我们该如何进行定义?

概念引入:

问题2 正数前面的“+”号和负数前面的“-”号是否都可以去掉?为什么?

正数前面的“+”号可以去掉也可以不去掉,负数前面的“-”号不能去掉.因为正数就是大于0的,加不加“+”号都没有影响;但对负数而言,只有在正数前面加上“-”号才是负数,所以“-”号不能去掉.如果一个问题中出现具有相反意义的量,就可以用正数和负数分别表示它们.我们一起来看下面的例题.

例1 (教材P3例1) 某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子,并称重､封装.一箱橘子的标准质量为2.5 kg.如果用正数表示超过标准的质量,那么

(1)比标准质量多65 g和比标准质量少30 g各怎么表示?

(2)50 g,-27 g各表示什么意思?

填空分析:

(1)前面我们讲到“零上温度和零下温度是以0 ℃为分界点的具有相反意义的量”,那么本题中的分界点是标准质量2.5 kg.

(2)题目中比标准质量多×× g 和比标准质量少×× g 是具有相反意义的量.

解:(1)比标准质量多65 g用+65 g表示,比标准质量少30 g用-30 g表示.

(2)50 g表示这箱橘子的质量比标准质量多50 g,-27 g表示这箱橘子的质量比标准质量少27 g.

【对应训练】

教材P3练习[教学提示]

这里要结合教材引言中的问题进行分析,其中第一个问题与生活实际密切相关,学生通过平时看天气预报已经对此有一定的了解,教师要结合实际情境进行说明.可在最后指出具有相反意义的量的一些特点.“属性相同”,也就是同类量,比如“盈利”与“亏损”是同类量,但“盈利”与“减少”就不是同类量;“意义相反”指变化的方向相反,不要与意义相近混淆(比如增长与增加就不构成具有相反意义的量).

另外需注意:具有相反意义的量要求意义相反,但不要求数量相等.如盈利3`000元与亏损400元是具有相反意义的量.

[教学提示]

这里注意引导学生正确理解正数､负数的概念.注意前面有“-”号的数不一定是负数,比如-(-3)就不是负数,这涉及后面的知识,教师知道即可,如学生有疑问可适当解释,本课时不作要求.

[教学提示]

例1可让学生回答下什么是“分界点”,什么是具有相反意义的量,便于加深理解.

[设计意图]

借助生活实例,引导学生理解具有相反意义的量,通过相应出现的数,进一步引入正数､负数的概念,并借此体会正数､负数的意义.[设计意图]探究点2  0的意义

正数和负数在实践中有着广泛的应用.如图,在表示某地的高度时,通常以海平面为基准,用0 m表示海平面的海拔.用正数表示高于海平面的海拔,用负数表示低于海平面的海拔,如图中用正数､负数分别表示世界最高峰的海拔和我国陆地最低处的海拔.

问题1 结合上面这个实际应用和上面所学知识,你认为0还只仅仅表示“没有”吗?

0是正数与负数的分界.0 ℃是一个确定的温度,海拔0 m是一个确定的海拔.0已不只是表示“没有”.

问题2 (教材P4思考) 如图①是地理中的分层设色地形图,图②是手机中的部分收支款账单,其中的正数和负数的意义分别是什么?你能再举一些用正数､负数表示具有相反意义的量的例子吗?

图①中的正数表示A地高于海平面4 600 m,负数表示B地低于海平面100 m.图②中的正数表示收入15元,负数分别表示支出10元､支出30元.

其他例子:比如叶宇同学向南走20 m记为+20 m,那么他向北走30 m可记为-30 m.例2 (教材P4例2) (1)一个月内,李明体重增加1.2 kg,张华体重减少0.5 kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值.

(2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下:

A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减少3%.

写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.

填空分析:

第(1)小题要求写出“增长值”,所以,用 正数 表示体重增加量,用 负数 表示体重减少量.这样,直接翻译“体重减少1 kg”就是体重增长-1 kg.第(2)小题可以此类推.

解:(1)这个月李明体重增长1.2 kg,张华体重增长-0.5 kg,刘伟体重增长0 kg.

(2)四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是:A品牌-2%,B品牌4%,C品牌1%,D品牌-3%.追问 增长-2%是什么意思?什么情况下增长率是0?

增长-2%就是减少2%.第二季度的手机销售量与第一季度相同时,增长率是0.

【对应训练】

教材P5练习.[教学提示]

教师提醒学生注意,生活中有些具有相反意义的量没有明确的分界,一般把某一个量规定为“0”,即基准,习惯上,超过基准的部分用正数表示,低于基准的部分用负数表示.

[教学提示]

这个问题2继续说明0作为正数､负数的“分界”,在解决实际问题中的“基准”作用.注意例子中地形图上的海拔一般不标单位,实际采用米作单位W.手机收付款的收支平衡可以用0表示.

[教学提示]

用正数､负数表示具有相反意义的量时,难点是描述向指定方向变化的情况,即:向指定方向变化用正数表示;向指定方向的相反方向变化用负数表示.这与学生的日常经验有一定的矛盾,需要一个“心理转换”:把“体重减少0.5 kg”,转换为“体重增加-0.5 kg”,需要对“负”与“正”的相对性有较好的理解.

实际上,只要问题中包含具有相反意义的量,就可以用正数和负数分别表示,而哪个量用负数表示,可以视实际需要而定,教学时要注意引导.

在用正数､负数表示具有相反意义的量的基础上,以海拔说明0的“基准”作用,丰富0的意义.活动三:知识升华,巩固提升例3 (教材P5习题1.1第6题) 某班七组同学分别测量同一座楼的高度,测得的数据(单位:m)分别是:79.4,80.6,80.8,79.1,80,79.6,80.5.这些数据的平均值是多少?以平均值为标准,用正数表示超出的部分,用负数表示不足的部分,它们对应的数分别是什么?

解:平均值是(79.4+80.6+80.8+79.1+80+79.6+80.5)÷7=560÷7=80.

即这些数据的平均值是80 m.

它们对应的数分别是-0.6 m,0.6 m,0.8 m,-0.9 m,0 m,-0.4 m,0.5 m.

【对应训练】

1.体育锻炼标准规定:13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标,超过标准的个数用正数表示,不足标准的个数用负数表示.八位同学的成绩分别记录为:+3,-1,+1,0,-2,+2,+4,-3.这八位同学中达标的有( B   )

A.4人 B.5人     C.6人     D.8人

2.某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动.李龙制作了一盒精美点心(共计6枚),现在他把6枚点心称重(单位:g)后统计列表如下:

第1枚第2枚第3枚第4枚第5枚第6枚

68.4 g71.3 g70.7 g68.6 g69.1 g72 g

为了简化运算,李龙依据比赛的标准质量,把超出部分记为正,不足部分记为负,列出下表(数据不完整),请你把表格补充完整:

第1枚第2枚第3枚第4枚第5枚第6枚

-1.6 g+1.3 g+0.7 g-1.4 g-0.9 g+2 g

解:补充表格如上所示.[教学提示]

对于例题中求平均值,小学时已经学过,只要将各个数据相加求和再除以7即可,这个可由学生自主完成.难点主要在于以平均值为标准,用负数表示不足的部分.这里没学有理数的加减运算,可让学生用较大数减去较小数,然后根据具有相反意义的量的知识来表示.

[设计意图]

安排此例题和对应训练是想让学生体会以平均值为标准,用正数表示超出的部分,用负数表示不足的部分的方法.活动四:随堂训练,课堂总结

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:

1.什么是正数,什么是负数,0是什么数?

2.怎么表示具有相反意义的量?

3.0的意义是什么?

【作业布置】

1.教材P5习题1.1第1,2,3,4,5题.

【教学后记】

1.2 有理数及其大小比较

1.2.1 有理数的概念

【素养目标】

1.理解有理数的意义和概念,能够把给出的有理数分类,了解0在有理数分类中的作用.2.通过对有理数分类的教学活动,让学生了解分类的思想方法的作用.

【教学重点】掌握有理数的概念及分类.

【教学难点】能将所给数进行正确的分类.

【教学过程】

活动一:问题导入,引出新课

【问题引入】

问题请观察下列一组数:

1,5.7,457 ,-76 ,-10,0,13 ,-312 ,-15.2.

你能模仿小学学过的数的分类方法对上面的数进行分类吗?请简单说明你分类的理由.

学习完今天这节课后,你就能轻松解决上面的问题了![教学提示]

教师应给学生充足的时间思考,然后与同伴交流答案,并鼓励学生踊跃发言,表达自我.

[设计意图]

通过唤醒旧知识,为进一步学习新知识做准备.活动二:实践探究,获取新知探究点有理数的概念及分类

问题1 想一想,我们已经学过的数有哪些?

问题2 0.1,5.32,0.3,-0.5,-150.5等数为什么被列为分数?

因为这里的小数可以化为分数,所以我们也把它们看成分数.

0.1=110 ,5.32=13325 ,0.3=310 ,-0.5=-12 ,-150.5=-3012 .问题3 比较13 和0.3(·)的大小,你有什么发现?

13 和0. 3(·)相等.发现无限循环小数也可以化为分数,因此无限循环小数也可以看成分数.问题4 整数也能写成分数的形式吗?请举例说明.

正整数可以写成正分数的形式,例如2=21 ;负整数可以写成负分数的形式,例如-3=-31 ;0也可以写成分数的形式01 .

这样,整数可以写成分数的形式.

概念引入:

即有理数正有理数0负有理数这样,引入负数后,我们对数的认识就扩大到了有理数范围.

问题5 有没有一些数不是有理数呢?

有限小数和无限循环小数都是分数,所以也是有理数.

无限不循环小数(如π)不是分数,就不是有理数.例 (教材P7例1) 指出下列各数中的正有理数､负有理数,并分别指出其中的正整数､负整数:

13,4.3,-38 ,8.5%,-30,-12%,19 ,-7.5,20,-60,1.2(·).

解:正有理数:13,4.3,8.5%,19 ,20,1.2· ;其中正整数有13,20.

负有理数:-38 ,-30,-12%,-7.5,-60;其中负整数有-30,-60.

【对应训练】

教材P8练习.[教学提示]

教师需让全体学生都参与到活动中来,并通过引导让学生归纳,并将新旧知识融合.

[教学提示]

教学时,教师可引导学生回顾无限循环小数的相关知识,借助简单实例让学生认识到无限循环小数可转化为分数,具体方法会在后面的课时中学到,学生了解即可,本课时不做要求.

[教学提示]

学习了有理数的概念后,教师可适当总结,说明从小学开始,在我们不断认识新数的过程中,数的范围也不断扩大,让学生体会数系扩充的原则.

[设计意图]

通过简单的问题引入,促使学生回忆所学知识,启发学生获取新知识,同时在解答问题的过程中让学生体会､感悟有理数的相关概念.活动三:随堂训练,课堂总结

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:

1.什么是有理数?

2.如何对有理数进行分类?

【作业布置】

1.教材P16习题1.2第1题.

【教学后记】

1.2.2 数轴

【素养目标】

1.了解数轴的概念及其三个要素,会画数轴.

2.能用数轴上的点表示有理数,并能说出数轴上的已知点所表示的数,初步感受数形结合的思想方法.

【教学重点】数轴的概念,在数轴上表示数.

【教学难点】正确地画出数轴,理解有理数和数轴上的点的对应关系.

【教学过程】

活动一:创设情境,导入新课

【情境引入】

在小学,我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数,并借助这种图形来直观理解和分析问题.让我们来看看下面这个问题:

在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,你能画图表示这一情境吗?

[教学提示]

让学生结合所给的条件分组讨论,动手画图.(教师可以进行适当的提示)

[设计意图]

从实际情境入手,激发学生兴趣,借助画图初步感知数轴.

活动二:实践探究,获取新知探究点1 数轴的相关概念和画法

问题1

(1)活动一中的马路可以用什么几何图形代表?( 直线  )

(2)你认为汽车站牌起什么作用?( 基准点  )

(3)你是怎么确定问题中各物体的位置的?( 方向,与汽车站牌的距离  )

(4)到汽车站牌的方向与距离可以抽象成什么?( 点的相对位置   )

学生回答后,按教材P8最后一段所示方法可画出下面的图示.

问题2 (教材P9上面的“思考”) 怎样用数简明地表示柳树､交通标志杆､槐树､电线杆与汽车站牌的相对位置关系?(从方向､距离两方面回答)

上面的问题中,“东”与“西”､“左”与“右”都具有相反意义.所以我们可以考虑用正数和负数表示具有相反意义的量,即用正数表示柳树和交通标志杆在汽车站牌的东边,用负数表示槐树､电线杆在汽车站牌的西边.

教师总结:

在一条直线上任取一点O为基准点,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1 m长,再用0表示点O､用负数表示点O左边的点,用正数表示点O右边的点.这样,我们就用负数､0､正数表示出了这条直线上的点.如图①:

用上述方法,我们就可以把柳树､交通标志杆､槐树､电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了.

问题3 (教材P9下面的“思考”) 图②中的温度计可以看作表示正数､0和负数的直线.它和图①有什么共同点?

共同点:都规定了单位长度､原点位置,都是用一条直线上的点表示正数､0､负数.

一般地,在数学中人们用画图的方式把数“直观化”,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件:

概念引入:

像这样,规定了原点､正方向和单位长度的直线叫作数轴.

问题4 (1)你认为画数轴的步骤是什么?

①画(直线);②取(原点);③定(正方向);④标(单位长度).

(2)“原点”起什么作用?

“原点”是数轴的基准点,表示0,是为了在数轴上区分正数和负数.

原点将数轴(原点除外)分成两部分,其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴;另一侧的部分叫作数轴的负半轴.(3)怎么理解“选取适当长度”?

与问题的需要相关,表示较大的数,单位长度取小一些.

【对应训练】

下图中所画的数轴哪个是正确的?

A                 B

C                 D

解:A.没有正方向,故错误;B.没有原点,故错误;C.单位长度不统一,故错误;D.正确.[教学提示]

这里用直线､点､方向､距离等几何符号表示实际问题,这是实际问题的第一次抽象,因此设计了四个关键问题,需要教师引导学生逐一回答.这些是抽象过程中的关键点,教师应关注学生是否掌握.

[教学提示]

这里问题2在问题1的基础上,进一步抽象,为总结数轴的概念提供直观基础.注意这里可让学生明白:在表示东西向马路上的物体与汽车站牌的相对位置关系时,由于站牌起“基准点”作用,站牌“左”“右”具有相反意义,是不同方向,所以既要考虑距离,又要考虑方向,这样可用正数､负数描述.

[教学提示]

教师提醒学生注意:数轴的三个要素缺一不可.这三个要素都是规定的,也就是说,可以根据情况,灵活选定原点的位置､正方向的朝向､单位长度的大小(但要注意,一经选定,就不能再随意改变了).另外为了读､画方便,通常把直线画成水平或竖直的.

[教学提示]

教师提醒:根据实际情况需要,画数轴时,1小格并不一定要表示1,如:

在画数轴时常出现以下错误:(1)没有正方向;(2)没有原点;(3)单位长度不统一;(4)负半轴上所标的负数的顺序不对.

[设计意图]

数轴是一个重要的概念,后续的平面直角坐标系也是以它为基础的.这是学生第一次学习数形结合思想,先借助生活情境让学生画图描述位置,逐步过渡到“用数表示直线上的点”,然后再让学生把这一例子与温度计作比较,概括它们的共同点,从而引入数轴的概念,并具体讲述数轴的画法.[设计意图]探究点2 数轴上的点与有理数的对应关系

分数或小数也可以用数轴上的点表示吗?任意一个有理数,都可以在数轴上找到一个点来表示吗?请结合下面的问题进行探究.

(1)你能在图中的数轴上表示出-32 和6.5吗?

(2)你能说出图中点A,B,C分别表示什么数吗?

(1)如图,在数轴的正半轴上,距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5;在数轴的负半轴上,距离原点32个单位长度的点表示数-32.

(2)由图可知,数轴上点A表示的数为-3.5,点B表示的数为1,点C表示的数为4.5.

有理数都可以用数轴上的点表示.

归纳:

一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在数轴的 正 半轴上,与原点的距离是 a 个单位长度;表示数-a的点在数轴的 负 半轴上,与原点的距离是 a个单位长度.数轴上与原点的距离是 a个单位长度的点,简称为数轴上与原点的距离是a的点.

用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用,以它作基础,可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题.

例1 (教材P10例2) 画出数轴,并在数轴上表示下列各数:

3,-4,4,0.5,0,-52 ,-1.

解:如图所示.

【对应训练】

教材P11练习第1,2,4题.[教学提示]

教师可补充说明:任意一个有理数,都可以在数轴上找到一个点来表示;但数轴上的一个点,却并不一定能用一个有理数来表示.这里不必对此作深入追究,只要求学生知道“所有的有理数,都可以用数轴上的点表示”就可以了.以后学了实数,自然就可以把这个问题说清楚了.

[教学提示]

“归纳”栏目是一个小结,教学时应让学生在回顾本小节内容的基础上,自己给出回答.

通过具体例子讲述数轴上的点与有理数的对应关系,并总结用数轴上的点表示数的方法,明确数轴的方向与数的正负的对应性.活动三:典例精析,升华提高例2 (教材P11练习第3题) 在数轴上,表示-2与4的点之间(包括这两个点)有7 个点表示的数是整数,它们表示的数分别是-2,-1,0,1,2,3,4 ,其中负整数有 2 个.

解析:先画出数轴,并找到数轴上表示-2和4的点,如图:

由图可知,这两个点之间(包括这两个点)表示整数的点有7个,它们表示的数分别是-2,-1,0,1,2,3,4,其中负整数有-2,-1.

【对应训练】

点A,B在数轴上分别表示6.5,-2.7,点A,B之间(含A,B两点)有 9 个点表示的数是整数.[教学提示]

教师提示学生解此类题需先画出数轴,再根据题意数点,特别要注意是否含边界点.

[设计意图]

借助数轴辅助观察,培养学生几何直观,进一步渗透数形结合思想.活动四:随堂训练,课堂总结

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:

1.什么是数轴?

2.如何画数轴?数轴的三要素是什么?什么是数轴的正半轴和负半轴?

3.有理数和数轴有什么关系?

4.数轴有哪些应用?

【作业布置】

1.教材P17习题1.2第2,6题.

【教学后记】

1.2.3 相反数

【素养目标】

1.借助数轴理解相反数的意义,掌握相反数的概念及求有理数的相反数的方法,进一步体会数形结合思想.2.理解相反数的性质,会进行多重符号的化简,感受数学知识的严谨性.

【教学重点】

1.理解相反数的概念.2.求一个数的相反数.

【教学难点】根据相反数的意义进行多重符号的化简.

【教学过程】

活动一:问题导入,引出新课

【问题导入】

让甲､乙两名学生在讲台前背靠背站好(分左右),然后乙向右走3步,甲向左走3步(两人的步子大小相同).规定两个同学最开始站立的点为原点,向右为正,用上一节课学习的数轴将甲､乙两人所走的步数表示出来(如图所示).从数轴上观察,这两个数具有什么特点?

带着这个问题,我们一起进入本课时的学习![教学提示]

教学时可让学生上台示范下,进而引导学生观察数轴上相反意义的数对,观察每组数所对应的两个点的位置关系,引发对相反数的思考.

[设计意图]

提出问题,为引出相反数的概念做铺垫.活动二:实践探究,获取新知探究点1 相反数的概念

问题1 (教材P11探究) 结合活动一的内容,想一想:在数轴上,与原点的距离是3的点有几个?这些点分别表示什么数?这些数之间有什么关系?与原点的距离是12的点呢?

如图,均有两个,这些点表示的数分别是3,-3;12,-12.

两组数之间的关系分别如下:

问题2 设a是一个正数,数轴上与原点的距离等于a的点有几个?这些点表示的数之间有什么关系?

如图,也有两个,表示a,-a,这两个数也只有符号不同. 归纳:

一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在正､负半轴上,表示a和-a(如上图),这两个数只有符号不同.

概念引入:

【对应训练】

教材P12练习第1题.[教学提示]

(1)引导学生多举几个具体数字,充分感受“互为相反数”的两个数之间的关系以及它们在数轴上的位置关系.

(2)要确定一个有理数(还有以后要学的实数),一是符号,二是绝对值.3和-3,符号不同,绝对值相同.当然,绝对值的相关内容下一节才介绍,所以这里说“只有符号不同”,避开了绝对值.

(3)提醒学生:①相反数一定成对出现,不能单独存在.②只有符号不同说明其他都完全相同.③“0的相反数是0”也是概念的组成部分,0是唯一一个相反数等于它本身的数. (4)此外,这里可结合数轴向学生介绍相反数的几何意义:互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外),且到原点的距离相等.

[设计意图]

问题引入,借助数轴这个“工具”,采取从具体到抽象的方法,引导学生观察数轴上与原点的距离相等的点,发现这样的点有两个,而且这两个点表示的数只有符号不同,通过归纳引导学生得出“与原点的距离是a的点”的个数及其表示的数之间的关系,由此引出相反数的概念.[设计意图]探究点2 相反数的性质及双重符号的化简

问题1 结合探究点1中的相关知识,若设a表示一个数,则a的相反数如何表示?你能在数轴上把a和a的相反数表示出来吗?

a的相反数是-a.

追问从上面的表示可以看出,a可以是什么数?

a表示任意一个数,可以是正数､负数或0.问题2 设a表示一个数,-a一定是负数吗?

不一定.比如当a是负数或0时,-a相应地就是正数或0.(如a是-1,-a就是1)通过以上探究,我们还可以知道相反数有一些这样的性质:

一般地,a和-a互为相反数.这里,a表示任意一个数,可以是正数､负数,也可以是0.正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.

问题3 想一想,如何求一个数的相反数?

在正数前面添上“-”号,就得到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数.问题4 (1)根据上面的求法试一试:

(2)你能借助数轴说明-(-5)=+5吗?

-(-5)表示-5的相反数,如图,-5的相反数是+5.

例1 (教材P12例3) (1)分别写出-7和43 的相反数;

(2)a的相反数是2.4,写出a的值.

解:(1)-7的相反数是7,43 的相反数是-A43 .(2)因为2.4与-2.4互为相反数,所以a的值是-2.4.

例2 化简下列各数:

(1)-(+2 025);(2)-(-14);(3)-(+125);(4)-(-2.7).

解:(1)-(+2 025)=-2 025;(2)-(-14)=14;(3)-(+125)=-125;(4)-(-2.7)=2.7.

方法总结:

化简双重符号时,只需看数字前面的正负号,若符号相同则结果为正;若符号不同,则结果为负.(同号得正,异号得负)

【对应训练】

教材P12练习第2,3,4题.[教学提示]

教师要特别注意,教学时应让学生通过对a赋值,熟悉正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,进而说明,由于a既可以是正数,也可以是负数,因此-a不一定是负数.这是培养学生抽象思维的机会.

由相反数的概念引出相反数的性质和求相反数的方法,从而得出多重符号的化简方法,巩固所学知识,提高学生全面分析问题的能力.活动三:典例精讲,巩固提升例3 如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中表示-2的相反数的点是哪个?

分析:此题是数轴与相反数的综合题,需要先确定数轴上表示-2的点在哪,再在图上找到表示其相反数(即2)的点即可.

解:点D.

【对应训练】

如图,数轴上表示数3的相反数的点是点 M .

[教学提示]

教师点拨:在数轴上找相反数的点,可以先求其相反数,再在数轴上找到相应的点,也可以直接在图上根据“互为相反数的点到原点的距离相等”找点.

[设计意图]

对于数轴和相反数结合的常考题进行补充.活动四:随堂训练,课堂总结

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:

1.什么样的数互为相反数?如何表示?

2.0的相反数是什么?

3.如何进行双重符号的化简?

【作业布置】

1.教材P17习题1.2第3,8,9题.

【教学后记】

1.2.4 绝对值

【素养目标】

1.借助数轴,通过数､形两个方面理解绝对值的意义,体会数形结合的思想方法.2.掌握求一个数的绝对值的方法.知道一个数的绝对值,会求这个数.3.通过应用绝对值解决实际问题,培养学生的应用意识.

【教学重点】

1.绝对值的几何意义.2.求一个数的绝对值.

【教学难点】绝对值的几何意义.

【教学过程】

活动一:创设情境,导入新课

【情境引入】

两辆汽车从同一处O出发,分别向东､西方向行驶10 km,到达A,B两处,它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相等吗?

我们发现这两辆车行驶路线不同,但行驶路程相等.刻画汽车的运动状态,不仅要考虑距离,还要考虑方向,这与生活经验一致.确认行驶路程的远近只需要看路程,不必考虑方向.路程的抽象就是距离.这就与我们今天要研究的绝对值有着共同之处,就让我们一起进入今天这节课的学习吧![教学提示]

先给一定的时间让学生自主思考,然后教师引导学生分析相反数在数轴上的表示,为进一步学习积累数学活动经验.

[设计意图]

通过创设情境,调动学生的学习兴趣,为引入绝对值的概念做准备.活动二:实践探究,获取新知探究点绝对值

问题1 我们知道,互为相反数的两个数(除0以外)只有符号不同,这两个数的相同部分在数轴上表示什么?

以上图为例:我们可以看到10和-10互为相反数,在数轴上分别利用点A,B表示这两个数,可以发现,点A,B与原点的距离都是10.即这两个数的相同部分在数轴上表示对应的点到原点的距离.概念引入:

问题2 以10,-10,0的绝对值为例,结合下面的数轴说一说你是如何理解绝对值的?

问题3 通过上面的举例,大家思考一下:一个数的绝

对值与这个数有什么关系?不妨多取几个数试一试,看看能不能发现规律.

教师可以让学生与同桌之间互相交流举例和结果,然后师生共同归纳:

归纳:

一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即

(1)如果a>0,那么|a|=a;

(2)如果a=0,那么|a|=0;

(3)如果a<0,那么|a|=-a.

问题4 根据问题2,我们还能发现什么?

问题5 结合下面数轴实例,说一说:在数轴上,表示一个数的点离原点越近,这个数的绝对值是越大还是越小?表示这个数的点离原点越远呢?

观察上图:|-2|=2,|3|=3,表示数-2的点离原点更近,表示数3的点离原点较远,2<3,因此我们发现:数轴上的点离原点越近,它所表示的数的绝对值越小;数轴上的点离原点越远,它所表示的数的绝对值越大.教师补充:反过来也是成立的,即一个数的绝对值越小,数轴上表示它的点离原点越近;一个数的绝对值越大,数轴上表示它的点离原点越远.

例1 (教材P13例4) (1)写出1,-0.5,-A74 的绝对值;

(2)如图,数轴上的点A,B,C,D分别表示有理数a,b,c,d,这四个数中,绝对值最小的是哪个数?

解:(1)|1|=1,|-0.5|=0.5,|-74 |=74 ;

(2)因为在点A,B,C,D中,点C离原点最近,所以在有理数a,b,c,d中,c的绝对值最小.

【对应训练】

教材P14练习第1,2,3题.[教学提示]

绝对值概念是教学难点,教学时要加强练习.还要注意联系已有知识,引导学生在绝对值学习中复习巩固前面的内容.如利用绝对值说明正数､负数的意义.以-4为例,这里的“-”号表示这是一个负数,“4”就表示这个数的绝对值;从数轴上看,这里的“-”号表明它在原点的左边,“4”表明它离原点的距离是4个单位长度.又如,互为相反数的两个数(0除外)符号相反,绝对值相等.

[教学提示]

这里使用了分类讨论思想,探究了正数､负数和0与其绝对值之间的关系,这个性质在后面的练习中经常会用到,其中分类讨论思想对今后学习有重要意义,当然在这里只要提醒学生注意就可以了,不要提出过高要求.

[教学提示]

在实际操作时,求一个具体的数的绝对值,直接去掉这个数的符号部分,剩下的数字部分就是这个数的绝对值.

[设计意图]

通过数轴上表示互为相反数的点说明绝对值的意义,借助数轴引出绝对值,并由此得出一个正数､负数和0的绝对值分别是什么的结论,同时渗透数形结合思想.活动三:典例讲解,巩固提升例2 化简下列各数:

+|-35 |,-|+113 |,-|-1.5|,|-(-2)|,|+(-8)|,|-(+12 )|.

分析:绝对值部分直接按照活动二例1右侧教学建议的方法求出,再结合绝对值外的符号进一步化简得出结果.

解:+|-A35 |=A35 ;-|+113 |=-113 ;

-|-1.5|=-1.5;|-(-2)|=|2|=2;

|+(-8)|=|-8|=8;|-(+12 )|=|-12 |=12 .

【对应训练】

教材P14练习第4题.[教学提示]

教师引导学生根据一个数的绝对值与这个数的关系作答.另外,教师提醒学生注意区分绝对值符号与括号的不同含义.

[设计意图]

通过例题让学生了解如何化简绝对值.活动四:随堂训练,课堂总结

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:

1.什么是绝对值?2.绝对值的性质有哪些?

【作业布置】

1.教材P17习题1.2第4题.

【教学后记】

1.2.5 有理数的大小比较

【素养目标】

理解并能运用数轴比较有理数的大小.

能运用有理数大小的比较法则比较有理数的大小.

在用数轴比较有理数大小的过程中,体会数形结合的思想方法.

【教学重点】运用法则､借助数轴比较两个有理数的大小.

【教学难点】利用绝对值比较两个负数的大小.

【教学过程】

活动一:回顾旧知,导入新课

【回顾引入】

在小学里,我们已学会比较两个正数的大小,以及比较正数和0的大小的方法,请你试一试,完成下面练习!

比较大小:0 < 1,1 < 2,2 < 3.

大家思考一下,引进负数以后,怎样比较任意两个有理数的大小呢?让我们一起进入今天这节课的学习![教学提示]

教师可请同学口述答案.

[设计意图]

通过唤醒旧知识,为引出新课做铺垫.活动二:实践探究,获取新知探究点1 利用数轴比较有理数的大小

【情境引入】如图,给出了未来一星期中每天的最高气温和最低气温.

问题1 观察图示,这七天中,其中最低气温是多少?最高气温又是多少?

这七天中,最低气温是-4 ℃,最高气温是9 ℃.

问题2 请你把这七天中每天的最低气温填在下面的表格中,你能将它们按从低到高的顺序排列吗?试一试.

每天的最低气温按从低到高的顺序排列如下:

-4,-3,-2,-1,0,1,2.问题3 按照这个顺序排列的温度,在竖直放置的温度计上所对应的点有什么特点?依次把这些数表示在水平的数轴上.表示它们的各点的顺序又是怎样的?

温度计上所对应的点是从下到上的.依次把这些数表示在水平的数轴上时,如图,表示它们的各点的顺序是从左到右的.

归纳:

用数轴比较有理数大小的方法:

在水平的数轴上表示有理数,数学中规定:它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.

试一试:根据这个规定,请你填一填.

-6 < -5,-5 < -4,-4 < -3,-2 < 0,-1 < 1.

例1 在数轴上表示下列各数,并将这些数按从小到大的顺序排列,再用“<”连接起来:

5,0,-4,-1

解:5,0,-4,-1在数轴上表示如图所示.

将它们按从小到大的顺序排列为-4<-1<0<5.用数轴比较有理数大小的步骤:

(1)画出数轴,把要比较的数在数轴上表示出来;

(2)根据这些数在数轴上的位置,按自左向右或自右向左的顺序排列;

(3)用“<”或“>”将这些数连接起来.

【对应训练】

在数轴上表示下列各数,并将这些数按从大到小的顺序排列,再用“>”连接起来:

3,0,-2.5,-2

解:3,0,-2.5,-2在数轴上表示如图所示.

将它们按从大到小的顺序排列为3>0>-2>-2.5.[教学提示]

先让学生观察一星期天气预报,并把这7天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列出来.这是一个常识问题,学生可以完成.在此基础上,把这些数表示在数轴上,可以看到,表示它们的各点是从左到右的,这就为利用数轴比较有理数大小的规定奠定了直观基础.教学时,可以让学生再举一些例子,以建立更好的直观基础.

[设计意图]

从气温高低比较引入用数轴比较有理数大小的规定,渗透数形结合思想,并由这个规定得出比较有理数大小的一些结论,用例题强化学生对数轴法比较有理数大小的理解和运用.[设计意图]探究点2 利用法则比较有理数的大小

问题1 结合探究点1中数轴上数的特点,你认为对于正数､0､负数这三类数,它们之间有什么大小关系?前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗?

它们之间的大小关系是正数大于0,0大于负数,正数大于负数.是一致的.问题2 (1)如图,数轴上表示出了两个负数:-5与-3.它们的大小关系是怎样的?

从数轴上看,-5<-3.(2)再试一试比较这两个数的绝对值.

|-5|>|-3|.(3)结合(1)(2)得到的结果,这说明了什么?

两个负数,绝对值大的反而小.归纳:

有理数大小比较的一般法则:一般地,

(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;

(2)两个负数,绝对值大的反而小.

例2 (教材P15例5) 比较下列各组数的大小:

(1)5和-2; (2)-3和-7;

-(-1)和-(+2); -(-0.5)和|-1.5|

解:(1)因为正数大于负数,所以5>-2.

(2)先求绝对值,|-3|=3,|-7|=7.

因为3<7,即|-3|<|-7|,所以-3>-7.

(3)先化简,-(-1)=1,-(+2)=-2.

因为正数大于负数,所以1>-2,即-(-1)>-(+2).

(4)先化简,-(-0.5)=0.5,|-1.5|=1.5.

因为0.5<1.5,

所以-(-0.5)<|-1.5|.归纳:

从上面的比较,我们可以看出:

(1)不同符号的数比较大小,只看符号;

(2)相同符号的数比较大小,看符号的同时,还要判断绝对值的大小.同是正数的时候绝对值越大相应的数就越大,同是负数的时候绝对值越大相应的数反而越小.

【对应训练】

教材P16练习.[教学提示]

学习有理数的大小比较的关键是会比较两个负数的大小.这里在一些具体例子的基础上,通过“问题1,2”引导学生概括,得出比较有理数大小的一些结论.教学时要让学生结合数轴理解这些结论,而不是死记硬背.例如,两个负数在数轴上,绝对值大的在左边,这就容易记住绝对值大的负数反而小的结论.

[教学提示]

教师可拓展一下,如果是两个负分数比较大小,那么既要用到新学的两个负数比较大小的结论,又要联系两个正分数比较大小的方法.要让学生清楚地了解根据有关结论进行比较的过程:

(1)先求出两个负分数的绝对值(如果是异分母分数,还要通分,化成同分母分数);

(2)比较两个绝对值的大小;

(3)根据有关结论判断原来两个负分数的大小.

由观察数轴比较两个负数的大小归纳出有理数大小比较的一般法则,用例题和对应训练巩固此法则的应用.活动三:典例精析,巩固提升例3 有理数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,将a,b,c按从小到大的顺序排列.

分析:数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大,据此可得答案.

解:a,b,c按从小到大的顺序排列为c<b<a.

【对应训练】

已知有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a,b,-a,-b按从大到小的顺序排列为 b>-a>a>-b .(用“>”连接)

解析:在数轴上表示-a,-b如图所示:

所以b>-a>a>-b.[教学提示]

教师总结解此类题的方法:根据数轴观察,由数轴右边的数总比左边的数大进行比较.

[设计意图]

补充借助数轴比较字母类有理数的大小的内容,强化学生对数形结合思想的认识.活动四:随堂训练,课堂总结

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:

1.如何利用数轴比较有理数的大小?

2.有理数大小比较的一般法则是什么?

【作业布置】

1.教材P17习题1.2第5,7题.

【教学后记】

第二章有理数的运算

2.1 有理数的加法与减法

2.1.1有理数的加法

第1课时：有理数的加法

【素养目标】

结合数轴理解有理数加法的意义,初步掌握有理数加法法则,并能准确地进行有理数的简单加法运算,提高抽象能力与运算能力.

能运用有理数加法法则解决简单问题,增强应用意识.

体会用归纳､类比的思想方法探索有理数加法法则.

【教学重点】了解有理数加法的意义,会根据有理数加法法则进行有理数的简单加法运算.

【教学难点】掌握有理数的加法中异号两数的加法运算.

【教学过程】

活动一:创设情境,导入新课[情境导入]

(教材P24引言) 李明同学经常对家里的生活垃圾分类,并卖出积攒的可回收物.这样既保护了环境,又增加了零花钱.下表是他某个月零花钱的部分收支情况.

这里,“结余12.0”和“结余-3.2”是怎么得到的?

分别计算18.5+(-6.5),12.0+(-15.2).

我们发现里面有负数,这节课我们就来学习有理数的加法.[教学提示]

先让学生思考,可以和小组成员适当地交流讨论,指定学生代表到黑板上列出算式,其余学生可在练习本上写出.完成后教师引导学生观察列出算式的特征,学生列出减法算式也给予肯定,进而引入新课.

[设计意图]

在实际情境中,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生快速地进入学习状态,同时又让学生体会到数学源于生活又应用于生活.活动二:合作交流,探究新知探究点有理数加法法则

小学学过的加法运算涉及正数与正数相加､正数与0相加以及0与0相加.引入负数后,在有理数范围内,加法有哪几种情况?

教师总结:

共三种类型,(1)同号两个数相加;(2)异号两个数相加;(3)一个数与0相加.

接下来我们来学习这三种类型的加法.首先看下面的问题:

一个物体沿着一条直线做左右方向的运动,我们规定向右为正,向左为负.例如,将向右运动5 m记作5 m,向左运动5 m记作-5 m.

1.同号两数相加

(1)如果物体沿着一条直线先向右运动5 m,再向右运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?

两次运动后,物体从起点向右运动了8 m.写成算式就是

5+3=8. ①

若将物体的运动起点放在原点O,则这个算式可以用数轴表示如下:(2)如果物体沿着一条直线先向左运动5 m,再向左运动3 m,那么两次运动的最后结果是什么?可以用怎样的算式表示?

两次运动后,物体从起点向左运动了8 m.写成算式就是

(-5)+(-3)=-8. ②

这个算式也可以用数轴表示如下,其中假设原点O为物体的运动起点.

①说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的?

②观察算式①②两边数的符号和绝对值,你能总结出同号两数相加的法则吗?

符号相同的两个数相加,和的符号不变,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.试一试:确定下表中算式的结果符号.

2.异号两数相加

(1)如果物体沿着一条直线先向左运动3 m,再向右运动5 m,那么两次运动的最后结果是什么?如何用算式表示?

两次运动后,物体从起点向右运动了2 m.写成算式就是

(-3)+5=2. ③

(2)如果物体沿着一条直线先向右运动3 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果是什么?如何用算式表示?

两次运动后,物体从起点向左运动了2 m.写成算式就是

3+(-5)=-2. ④

(3)①你能用数轴表示算式③④吗?

(-3)+5=2. ③

3+(-5)=-2. ④

②说一说你是如何通过运动方向和运动距离确定这两个算式的?

③观察算式③④两边数的符号和绝对值,你能总结出绝对值不相等的异号两数相加的法则吗?

绝对值不相等､符号相反的两个数相加,和的符号与绝对值较大的加数的符号相同,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.

试一试:确定下表中算式的结果符号.

(4)如果物体沿着一条直线先向右运动5 m,再向左运动5 m,那么两次运动的最后结果是什么?如何用算式表示?用数轴又如何表示?结合相反数的概念你能得出什么结论?

两次运动后,物体仍在起点处.写成算式就是

5+(-5)=0. ⑤

用数轴表示如下:结论:

互为相反数的两个数相加,结果为0.

3.一个数与0相加

(1)如果物体第1 s向右运动5 m,第2 s原地不动,那么2 s后运动的最后结果是什么?如何用算式表示?

2 s后,物体从起点向右运动了5 m.写成算式就是