夜雨聆风圆锥曲线题型归纳
题型一求曲线的方程
例1已知F(-2,0),F₂(2,0),点P满足|PFI-|PF₂I=2,记点P的轨迹为E.求轨迹E的方程.
【答案】²-3=1
【解析】由|PFI-IPF₂=2<4=|FF₂|可知：点P的轨迹E是以F,F₂为焦点的双曲线的右支，由c=2,2a=2,∴b²=2²-1²=3,故轨迹E的方程为²-3=1(x>0
【易错点】(1)对于双曲线的定义理解片面；(2)如果动点P满足|IPF|-|PF₂|=2a(2a<|FF₂),则点P的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“|PFI-|PF₂I=2”只能表示点P的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。
【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。
题型二定值、定点问题
例2已知椭圆C:²+b²=11过A(2,0),B(O,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证：四边形ABNM的面积为定值.
【答案】D²+y²=1,e=22
【解析】(1)由题意得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+²=1又c=√a²-b²=√3,所以离心率，二-2(2)证明：设P(xo,yb)(xo<0,yo<0),则xB+4yB=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=x₀-2x-2)令x=0,得u=-x2-2从而IBM=1-M=1+2-2直线PB的方程为-⁻x+1
1
令y=0,得：=yo-1从而AM=2-xx=2+-0-1所以四边形ABNM的面积s=¹14N BMI+J+二一描读：=-2-2+2-2
从而四边形ABNM的面积为定值.
【易错点】(1).想不到设出P(xo,yo)后，利用点斜式写出直线PA,PB的方程.不会由直线PA,PB的方程求解|BM,|AN;
(2).不知道四边形的面积可用s=2AM:;BM表示；
(3).四边形ABNM的面积用xo,yo表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值.
【思维点拨】第(1)问由a=2,b=1,c=√3,解第一问；第(2)问画草图可知AN⊥BM,四边形ABNM的面积为24AMIBM,设点P(xo,yo),得出PA,PB的方程，进而得出M,N的坐标，得出AN|,|BM,只需证明4N1-IBM是一个与点P的坐标无关的量即可例3已知椭圆C:²+2²=1(a>b>0),四点Pi(1,1),P₂(0,1),
B.[-1.③
P.(中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线1不经过P₂点且与C相交于A,B两点.若直线P₂A与直线P₂B的斜率的和为一1,证明：1过定点.
【答案】1)²+y²=1(2)(2,—1)
【解析】(1)因为
B.(-1.
P.(L,所以P₃,P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P₃,P4两点.又由+ba+43知，椭圆C不经过点P₁,所以点P₂在椭圆C上.因此解得·B=1故椭圆C的方程为²+y²=1.
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