【真题】2002年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率大概每周 2 到 3 更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2002年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

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?

凑微分。

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已知函数由方程确定, 则 ?

隐函数求导。

unsetunset第3题unsetunset

微分方程满足初始条件的特解是 ?

不显含，可令，；当然也可以直接凑，过程如下：

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已知实二次型经正交变换可化成标准形 , 则 ?

相似于对角矩阵，根据二者迹相同求解即可。

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设随机变量服从正态分布 , 且二次方程无实根的概率为 , 则 ?

判别式小于，结合正态分布的规范性即可。

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考虑二元函数  的下面  条性质:
(1)  在点  处连续;
(2)  在点  处的两个偏导数连续;
(3)  在点  处可微;
(4)  在点  处的两个偏导数存在.
若用 ``'' 表示可由性质  推出性质 , 则有 ?
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

复习关系图，选 A。

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设 , 且 , 则级数 ?
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 收敛性根据所给条件不能判定.

好题。根据，可知，注意这里的并不是等价，毕竟还可以取也是符合题意的。因此不能直接使用莱布尼兹判别法，于是我们考虑部分和极限是存在的，最终得到条件收敛。

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设函数  在  内有界且可导, 则 ?
(A) 当  时, 必有 .
(B) 当  存在时, 必有 .
(C) 当  时, 必有 .
(D) 当  存在时, 必有 .

好题。有界函数判断导数极限类题型，反例就往三角函数想，取排除 CD 选项；取排除 A 选项。

B 选项考虑反证法：

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设有三个不同平面的方程 , 它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 , 则这三张平面可能的位置关系为 ?

，因此有无穷组解。

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设  和  是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度分别为  和 , 分布函数分别为  和 , 则 ?
(A)  必为某一随机变量的概率密度.
(B)  必为某一随机变量的概率密度.
(C)  必为某一随机变量的分布函数.
(D)  必为某一随机变量的分布函数.

好题。这个题在之后的数一真题中又出现过，可见其重要性之高。掌握概率密度和分布函数的性质，概率密度函数需要满足非负性（）以及规范性（）；分布函数需要满足有界性、规范性、单调不减以及右连续。

根据性质依次判断四个选项即可。

这里补充一个常用的结论：设为分布函数，，则：

为分布函数
为分布函数，没有要求
一定是分布函数

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设函数在的某邻域内具有一阶连续导数, 且 , 若在时是比高阶的无穷小, 试确定的值.

泰勒展开基础题。

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已知两曲线与在点处的切线相同, 写出此切线方程, 并求极限 .

切线相同说明斜率相同，从而得到。对待求极限凑导数定义即可。

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计算二重积分 , 其中 .

分两个区域进行积分即可，根据定积分结果和积分变量无关可以得到两个积分区域上的积分结果是一样的，因此得以简化。

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设函数  在  内具有一阶连续导数,  是上半平面  内的有向分段光滑曲线, 其起点为 , 终点为 . 记
(1) 证明曲线积分  与路径  无关;
(2) 当  时, 求  的值.

第一问验证恰当条件即可。

第二问，选择一条好积分的路径即可，选择方式有很多，我觉得题干给的条件是希望你选择直线，代入发现确实计算量比较小。

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(1) 验证函数满足微分方程 ;
(2) 利用 (1) 的结果求幂级数的和函数.

哇偶，这不是我之前文章里面的讲过的题目吗？事实上，没有第一问的提示也是可以直接解决第二问的，感兴趣的朋友可以参考往期文章：幂级数还能这样求和？？？

因为给了第一问的提示，所以这个题毫无难度，过程如下：

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设有一小山, 取它的底面所在的平面为  坐标面, 其底部所占的区域为 , 小山的高度函数为 .
(1) 设  为区域  上一点, 问  在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 , 试写出  的表达式.
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就是说, 要在  的边界线  上找出使 (1) 中的  达到最大值的点. 试确定攀登起点的位置.