2002年数学三真题答案解析_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.3考研数学（三）真题_考研数学（三）真题_02.1987-2025年数三真题详解_1987-2004年数三真题解析

2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题 1 (1)【答案】 12a 【详解】“ln”里面为“1”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1 n n(12a) n2na1  1  12a limln  limln1  n  n(12a)  n  n(12a) n(12a) 1  1  1 1 lim ln1   lne ． n12a  n(12a) 12a 12a 1 x (2)【答案】2dx f (x,y)dy 0 x2 【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域D 与D ，将它们的并集记为D． 1 2 1 1 1 y 于是 4dy f (x,y)dx2dy2 f (x,y)dx   f(x,y)d． 1 0 y y 4 D 1 再将后者根据积分定义化为如下形式，即x从0 ，y从x2 x ，所以 2 1 x  f(x,y)d2dx f(x,y)dy. 0 x2 D (3)【答案】1 【详解】 1 2 2a  a       A 2 1 2 1  2a3 ,           3 0 41 3a4 由于A与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有 1a 2a3 3a4   ，得 2a33a4,a 1. a 1 1 或Ak,(k 0)(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)  a  a a ka      即 2a3 k 1 ，得 2a3k ，得 a 1.(k 1)          3a4 1 3a4k (4)【答案】0.02． 【详解】X2、Y2和X2 Y2都是01分布，而01分布的期望值恰为取1时的概率 p． 由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得X2的可能取值为0和1，且Y2的可 能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为 P  X 0 0.070.180.150.4；P  X 1 0.080.320.200.6； P  Y 1 0.070.080.15；P  Y 0 0.180.320.5； P  Y 1 0.150.200.35； 故有 X 0 1 Y 1 0 1 0.4 0.6 0.15 0.5 0.35 P  X2 0,Y2 0  P  X 0,Y 0 0.18, P  X2 0,Y2 1  P  X 0,Y 1 P  X 0,Y 1 0.070.150.22, P  X2 1,Y2 0  P  X 1,Y 0 0.32, P  X2 1,Y2 1  P  X 1,Y 1 P  X 1,Y 1 0.080.200.28, 而边缘分布律： P  X2 0  P  X 0 0.4，P  X2 1  P  X 1 0.6， P  Y2 0  P  Y 0 0.5， P  Y2 1  P  Y 1 P  Y 1 0.150.350.5 所以，(X2,Y2)的联合分布及其边缘分布为 2Y2 0 1 X2 0 0．18 0．22 0．40 1 0．32 0．28 0．60 0．50 0．50 1 由上表同理可求得X2Y2的分布律为 X2Y2 0 1 P 0．72 0．28 所以由01分布的期望值恰为取1时的概率 p得到： E(X2)0.5，E(Y2)0.60,E(X2Y2）0.28 cov（X2，Y2）E（X2Y2）E(X2)E(Y2) 0.280.60.50.02 (5)【答案】X 1． 【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只 需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)   期望 E(X)  xf(x)dx   xe(x)dx 1   1 n 样本均值 X  X n i i1 1 n 用样本均值估计期望有 EX  X ，即 1 X ， n i i1 1 n 解得未知参数的矩估计量为 ˆ X 1 X 1． n i i1 二、选择题 (1)【答案】(B) 【详解】方法1：论证法．由题设 f(x)在开区间(a,b)内可导，所以 f(x)在(a,b)内连续， 因此，对于(a,b)内的任意一点，必有limf(x) f(). 即有lim[f(x) f()]0 ．故 x x 选(B)． 方法2：排除法． 1 x(a,b] (A)的反例：f(x) ，有 f(a)1, f(b)1, f(a)f(b)10 ， 1 x a 3但 f(x)在(a,b)内无零点． x x(1,1] (C)与(D)的反例， f(x) f(1) f(1)1，但 f(x)1(当 1 x1 x(1,1))，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)． (2)【答案】(D) 【详解】方法1：A是mn矩阵，B是nm矩阵，则AB是m阶方阵，因 r(AB)min(r(A),r(B))． 当mn时，有r(AB)min(r(A),r(B))nm ．(系数矩阵的秩小于未知数的 个数)方程组 AB  x 0必有非零解，故应选(D)． 方法2：B是nm矩阵, 当mn时,，则r(B)n，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方 程组Bx0必有非零解，即存在x 0，使得Bx 0，两边左乘A，得ABx 0， 0 0 0 即ABx0有非零解，故选(D)． (3)【答案】(B) 【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A，A是n阶实对称矩阵， 故AT  A．设  P1AP T B，则 B  PTATP1T  PTAP1T  PTA(PT )1 上式左乘PT1，右乘PT ，得 (PT)1BPT (PT)1PTA(PT)1PT ，即A PT1 BPT ， 所以 A(PT1 BPT) 两边左乘PT ，得 (PTPT1 BPT)PT()得B(PT)PT 根据特征值和特征向量的定义，知B (P1AP)T的对应于特征值的特征向量为 PT，即应选(B)． 方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定 义，A，A是n阶实对称矩阵，故AT  A．设  P1AP T 属于特征值的特征 4向量为，即  P1AP T ，其中  P1AP T PTATP1T PTAP1T 对(A)，即令 P1，代入PTAP1T (P1)P1 对(B)，PTAP1T (PT) PTA(P1T PT)PTA[(PT)1PT)]PTA(PT) 成立．故应选(B)． (4)【答案】C 【分析】(i)2变量的典型模式是：2  X2  X2  X2，其中X 要求满足：X 相互 1 2 n i i 独立，X N(0,1)．称2为参数为n的2变量． i X /n (ii) F 变量的典型模式是：F  1 ，其中 X,Y 要求满足： X 与Y 相互独立， Y /n 2 X 2(n ),Y 2(n )，称F 为参数为 n ,n 的F 变量． 1 2 1 2 【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从N(0,1)．故X2和Y2都服从2(1)分布， 答案应选(C)． 方法2：题设条件只有X 和Y 服从N(0,1)，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，X2与Y2 的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确． 题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(X,Y)正态，这样就不能推出X Y 服从正 态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)． 三【详解】 x u2  x u2    arctan(1t)dt du   arctan(1t)dt du     0  0  0  0  lim 等lim x0 x(1cosx) x0 1 x3 2 x2  arctan(1t)dt arctan(1x2)2x 2   洛lim 0 洛 lim    ． x0 3 x2 x0 3x 3 4 6 2 四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．du  f  dx f  dy f  dz 1 2 3 z  z(x,y)由xex  yey  zez 所确定，两边求全微分，有 d(xex yey)d(zez)d(xex)d(yey)d(zez) 5 xexdxexdx yeydyeydy zezdzezdz ， ex(x1)dxey(y1)dy 解出 dz  ,(设z1 0). ez(z1) ex(x1)dxey(y1)dy 所以 du  f  dx f  dy f  1 2 3 ez(z1)  ex(x1)  ey(y1)  f  f  dx f  f  dy  1 3 ez(z1)  2 3 ez(z1) u z u z 方法2：  f  f  ,  f  f  (根据多元函数偏导数的链式法则) x 1 3 x y 2 3 y z z 下面通过隐函数求导得到 ， ．由xex  yey  zez 两边对x求偏导数，有 x y z xex ex (zez ez) , x z xex ex z yey ey u u 得  ，(设z10)．类似可得，  ，代入 , 表达式 x zez ez y zez ez x y u xexex u yeyey  f  f ( ),  f  f ( ) ， x 1 3 zezez y 2 3 zezez u u 再代入 du  dx dy 中，得 x y  ex(x1)  ey(y1) du  f  f  dx f  f  dy ．  1 3 ez(z1)  2 3 ez(z1) x 五【详解】首先要从 f(sin2 x)  求出 f(x)． sinx arcsin u 命u sin2 x，则有sinx u ，xarcsin u ，于是 f(u) ．(通过换元 u 求出函数的表达式) x x arcsin x arcsin x  f(x)dx  dx   dx 1x 1x x 1x xsint t   2sintcostdt(换元积分法) cost 6tsintdt 2 tcostsint C (分部积分法) 2 1xarcsin x xC ．   六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:y f(x)(axb)， f(x)0与直线 b x a,x b及x轴围成平面图形绕x轴旋转一周产生旋转体的体积V   f (x)2dx. a 2  2 4 【详解】(1) V  2x2 dx  (32a5) 1 a 5 2a2 V a2 2a2 x2dy a4 0a 2 ． 2 0 4 (2) V V V  (32a5)a4 1 2 5 根据一元函数最值的求法要求驻点，令 dV 4a3(1a)=0, da dV dV 得a 1. 当0a1时 0，当1a2时 0，因此a 1是V 的唯一极值点且 da da 129 是极大值点，所以是V 的最大值点，maxV  ． 5 x3 x6 x9 x3n  x3n 七【解】(1) y(x)1    +1  ， 3！ 6！ 9！ (3n)! (3n)! n1 由收敛半径的求法知收敛半径为，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得   x3n   x3n   3nx3n1  x3n1 y(x)(1 )     ， (3n)! (3n)! (3n)! (3n1)! n1 n1 n1 n1  x3n2 同理得 y (3n2)! n1  x3n2  x3n1  x3n 从而 y(x) y(x) y(x) ( )( )(1 ) (3n2)! (3n1)! (3n)! n1 n1 n1  xn 1 (由ex的麦克劳林展开式) n! n1 ex  x3n 这说明， y(x) 是微分方程y y y ex的解，并且满足初始条件 (3n)! n0 7 03n  03n1 y(0)1 1， y(0) 0. (3n)! (3n1)! n1 n1 (2)微分方程 y y y ex 对应的齐次线性方程为 y y y 0，其特征方程为 1 3 2 10，其特征根为  i，所以其通解为 2 2  x 3 3 y e 2[C cos xC sin x]. 1 2 2 2 另外，该非齐次方程的特解形式为y cex，代入原非齐次方程得cex cex cex ex， 1 所以c .故微分方程 y y y ex的通解为 3  x 3 3 1 y e 2[C cos xC sin x] ex. 1 2 2 2 3 1  x 3 3  x 3 3 3 1 故 y e 2[C cos xC sin x]e 2[C  sin x C cosx] ex 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1  x 3 3 1  x 3 3 1  e 2(C 2C  )sin x e 2(C 2C  )cos x e x 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 由初始条件 y(0)1,y(0)0得   0 3 3 1 1 1e 2[C cos 0C sin 0] e0 C  1 2 2 2 3 1 3   1  0 3 3 1  0 3 3 1 0 e 2(C 2C  )sin 0 e 2(C 2C  )cos 0 e0  2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3  1 3 1   C C    2 1 2 2 3 解得  1 C  1   1 3  ，  1 3 1  C  C   0  2 1 2 2 3 2 于是得到惟一的一组解：C  ,C 0.从而得到满足微分方程 y y y ex及初始 1 3 2 条件 y(0)1,y(0)0的解，只有一个，为 82  x 3 1 y  e 2 cos x ex 3 2 3  x3n 另一方面，由(1)已知 y(x) 也是微分方程 y y y ex 及初始条件 (3n)! n0 y(0)1,y(0)0的解，由微分方程解的唯一性，知  x3n 2  x 3 1 1  e 2cos x ex( x). (3n)! 3 2 3 n1 八【详解】方法1：因为 f(x)与g(x)在 a,b 上连续，所以存在x x 使得 1 2 f(x )M  max f(x)， f(x )m min f(x)， 1 2 x[a,b] x[a,b] 满足m f (x)M ．又g(x)0，故根据不等式的性质 mg(x) f(x)g(x)Mg(x) 根据定积分的不等式性质有 b b b m g(x)dx  f (x)g(x)dx M g(x)dx, a a a b  f(x)g(x)dx 所以 m a M. b  g(x)dx a b  f(x)g(x)dx 由连续函数的介值定理知，存在[a,b]，使 f() a b  g(x)dx a b b 即有  f(x)g(x)dx  f() g(x)dx ． a a 方法2：因为 f(x)与g(x)在 a,b 上连续，且g(x)0，故 b f(x)g(x)dx与 b g(x)dx都 a a b 存在，且 g(x)dx 0. a b  f(x)g(x)dx b b b 记 a h，于是 f(x)g(x)dx h g(x)dx  hg(x)dx, 即  b g(x)dx a a a a b  (f(x)h)g(x)dx 0 a 因此必存在(a,b)使 f()h．不然，则在(a,b)内由连续函数的零点定理知要么 9b f(x)h恒为正，从而根据积分的基本性质得 (f(x)h)g(x)dx 0；要么 f(x)h a b b 恒为负，同理得 (f(x)h)g(x)dx0，均与 (f(x)h)g(x)dx 0不符．由此推 a a 知存在(a,b)使 f()h，从而 b b  f(x)g(x)dx  f() g(x)dx ． a a 九【详解】方法1：对系数矩阵记为A作初等行变换 a b b  b  a b b  b  2行1行  3行1行   b a b  b   b a a b 0  0  n行1行 Ab b a  b  b a 0 a b  0                      b b b  a b a 0 0  a b 当a b(0)时，r  A 1,AX 0的同解方程组为x x x  0，基础解 1 2 n 系中含有n1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取x ,x ,...,x 为自 2 3 n 由 未 知 量 ， 分 别 取 x 1,x 0,...,x 0 ， x 0,x 1,...,x 0 ， …, 2 3 n 2 3 n x 0,x 0,...,x 1得方程组n1个线性无关的解 2 3 n  1,1,0,,0 T , 1,0,1,0,,0 T ,,  1,0,,0,1 T ， 1 2 n1 为基础解系，方程组 AX 0 的全部解为 X kk k  ，其中 1 1 2 2 n1 n1 k (i 1,2,n1)是任意常数． i 当a b时，  a b b  b  a b b  b 2行/(ab) 3行/(ab)   ba ab 0  0    1 1 0  0   n行/(ab) Aba 0 ab  0   1 0 1  0                     ba 0 0  ab 1 0 0 1 a(n1)b 0 0  0 1行2行b 1行3行b    1 1 0  0  1行n行b   1 0 1  0            1 0 0  1 当a b且a (n1)b时， A a(n1)b0，r(A)n,AX 0仅有零解. 10当a (n1)b时，r  A n1,AX 0的同解方程组是 x x 0, 1 2  x x 0, 1 3  ……    x x 0, 1 n 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取x 为自由未知量，取x 1，得方程组1个 1 1 非零解 1,1,,1 T ，即其基础解系，故方程组的全部解为 X k，其中k是任意常数． 方法2：方程组的系数行列式 a(n1)b b b  b a b b  b a(n1)b a b  b b a b  b 把第2，...，n列 A  b b a  b a(n1)b b a  b 加到第1列         b b b  a a(n1)b b b  a 1 b b  b 1 a b  b 提取第1列的公因子[a(n1)b]1 b a  b     1 b b  a 1 b b  b 第2行第1行 0 ab 0  0 第3行-第1行 [a(n1)b] 0 0 ab  0      第n行-第1行 0 0 0  ab [a(n1)b](ab)n1 (1)当a b且a (n1)b时， A 0，r(A)n方程组只有零解． (2)当a b(0)时， a a a  a 1 1 1  1 a a a  a第2行第1行       0 0 0  0 0 0 0  0  a a a  a 第3行第1行  1   Aa a a  a 0 0 0  0第1行 0 0 0  0     a       第n行第1行              a a a  a   0 0 0  0    0 0 0  0   11方程组的同解方程组为 x x x  0 1 2 n 基础解系中含有 n1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取 x ,x ,...,x 为自由未知量，分别取x 1,x 0,...,x 0，x 0,x 1,...,x 0，…, 2 3 n 2 3 n 2 3 n x 0,x 0,...,x 1得方程组n1个线性无关的解 2 3 n  1,1,0,,0 T , 1,0,1,0,,0 T ,,  1,0,,0,1 T ， 1 2 n1 为基础解系，方程组 AX 0 的全部解为 X kk k  ，其中 1 1 2 2 n1 n1 k (i 1,2,n1)是任意常数． i (1)当a (n1)b(b0)时， (1n)b b b  b    b (1n)b b  b   A b b (1n)b  b             b b b  (1n)b 1n 1 1  1  1n 1 1  1  1,2,...,n行  2行1行   分别 b 1  1 1n 1  1  3行1行 n n 0  0    1 1 1n  1   n 0 n  0                     n  行    1  行    1 1 1  1n  n 0 0  n 1n 1 1  1  0 0 0  0      2,...,n行  1 1 0  0 把第2,...,n行都 1 1 0  0  1  1 0 1  0  1 0 1  0  分别  依次加到第1行   n                 1 0 0  1 1 0 0  1 r  A n1，其同解方程组是 x x 0, 1 2  x x 0, 1 3  ……   x x 0, 1 n 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取x 为自由未知量，取x 1，得方程组1个 1 1 非零解 1,1,,1 T ，即其基础解系，故方程组的全部解为 12X k，其中k是任意常数． 十【详解】(1) 设是A的任意特征值，是A的属于的特征向量，根据特征值、特征 向量的定义，有 A,0, ① 两边左乘A，得 A2A2 ②     ②+2*①得 A2 2A  2 2     因A2 2A0，0，从而上式 A2 2A  2 20 ， 所以有2 20，故A的特征值的取值范围为0,2． 因为A是实对称矩阵，所以必相似于对角阵，且的主对角线上元素由A的特征值 组成，且r(A)r()2，故A的特征值中有且只有一个0. 2  2      (若没有0，则 2 ，故r(A)r()3与已知矛盾；若有两个0，则 0 ，       2    0  0    故r(A)r()1与已知矛盾；若三个全为0，则 0 ，故r(A)r()0与已知     0  矛盾). 故 2    A  2     0  即A有特征值  2, 0． 1 2 3 (2) AkE 是实对称矩阵， A有特征值  2, 0 ，知 AkE 的特征值为 1 2 3 k2,k2,k．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故 k20 k 2 AkE正定     k 2 k 0 k 0 故k 2时AkE是正定矩阵． 十一【分析】(X,Y)有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值 有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即 13可． 【详解】(X,Y)只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)和(1,1) ．依照题意，有 1(2) 1 P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P  U 1   ; 2(2) 4 P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P 0; 1 P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P 1U 1  ; 2 1 P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P  U 1  . 4 于是，(X,Y)分布为 Y 1 1 X 1 1 0 4 1 1 1 2 4 (2) 因为D(X Y)E(X Y)2[E(X Y)]2，所以我们应该知道X Y 和(X Y)2 的分布律． 对离散型随机变量，X Y 的取值可能有2,0,2; (X Y)2的取值可能有0和4； 1 P  X Y 2 P  X 1,Y 1  , 4 1 1 P  X Y 0 P  X 1,Y 1 P  X 1,Y 1 0  , 2 2 1 P  X Y 2 P  X 1,Y 1  , 4   1 P  X Y 2 0 P  X Y 0  , 2   1 P  X Y 2  4 P  X Y 2 P  X Y  2  ． 2 X Y 和(X Y)2的分布律分别为 X Y 2 0 2 (X Y)2 0 4 和 1 1 1 1 1 P P 4 2 4 2 2 所以由离散 14型随机变量的数学期望计算公式有： n E(X)x P  X  x  k k k1 2 2 4 所以有，E(X Y)  0, E(X Y)2 2 ． 4 4 2 D(X Y)E(X Y)2[E(X Y)]2 2 十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式．Y 由X 和2(小时)来确定，所以Y min(X,2)． 1 1 指数分布的X 的分布参数为   ,其密度函数为： E(X) 5 1  1 x  e 5 x 0 f (x)5 其中0是参数 X  0 x0 由分布函数的定义：F(y)P  Y  y P  min(X,2) y  (1) 当 y0时，F (y)0(因为Y min  X,2 ，其中X 和2都大于0，那么小于0是 Y 不可能事件) (2) 当 y2时，F (y)1(因为Y min  X,2 最大也就取到2，所以小于等于2是一 Y 定发生的，是必然事件) (3) 当0 y2时, F(y)P  Y  y P  min(X,2) y P  X  y  y y 1  1 x  1 y   f (x)dx e 5 dx1e 5  X 0 5 所以 0 y0    1 y F (y)1e 5 0 y 2 Y  1 y2   15