2002年数学三真题答案解析_26.考研数学（一）（二）（三）真题_26.3考研数学（三）真题_考研数学（三）真题_02.1987-2025年数三真题详解_1987-2004年数三真题解析

2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题
1
(1)【答案】
12a
【详解】“ln”里面为“1”型，通过凑成重要极限形式来求极限，
1
n n(12a)
n2na1  1  12a
limln  limln1 
n  n(12a)  n  n(12a)
n(12a)
1  1  1 1
lim ln1

 lne ．
n12a  n(12a) 12a 12a
1
x
(2)【答案】2dx f (x,y)dy
0 x2
【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域D 与D ，将它们的并集记为D．
1 2
1 1 1
y
于是 4dy f (x,y)dx2dy2 f (x,y)dx   f(x,y)d．
1
0 y y
4 D
1
再将后者根据积分定义化为如下形式，即x从0 ，y从x2 x ，所以
2
1
x
 f(x,y)d2dx f(x,y)dy.
0 x2
D
(3)【答案】1
【详解】
1 2 2a  a 
    
A 2 1 2 1  2a3 ,
    
    
3 0 41 3a4
由于A与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有
1a 2a3 3a4
  ，得 2a33a4,a 1.
a 1 1
或Ak,(k 0)(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)
 a  a a ka
    
即 2a3 k 1 ，得 2a3k ，得 a 1.(k 1)
   
    
3a4 1 3a4k
(4)【答案】0.02．
【详解】X2、Y2和X2 Y2都是01分布，而01分布的期望值恰为取1时的概率 p．
由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得X2的可能取值为0和1，且Y2的可
能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为
P  X 0 0.070.180.150.4；P  X 1 0.080.320.200.6；
P  Y 1 0.070.080.15；P  Y 0 0.180.320.5；
P  Y 1 0.150.200.35；
故有
X 0 1 Y 1 0 1
0.4 0.6 0.15 0.5 0.35
P  X2 0,Y2 0  P  X 0,Y 0 0.18,
P  X2 0,Y2 1  P  X 0,Y 1 P  X 0,Y 1 0.070.150.22,
P  X2 1,Y2 0  P  X 1,Y 0 0.32,
P  X2 1,Y2 1  P  X 1,Y 1 P  X 1,Y 1 0.080.200.28,
而边缘分布律：
P  X2 0  P  X 0 0.4，P  X2 1  P  X 1 0.6，
P  Y2 0  P  Y 0 0.5，
P  Y2 1  P  Y 1 P  Y 1 0.150.350.5
所以，(X2,Y2)的联合分布及其边缘分布为
2Y2
0 1
X2
0 0．18 0．22 0．40
1 0．32 0．28 0．60
0．50 0．50 1
由上表同理可求得X2Y2的分布律为
X2Y2 0 1
P 0．72 0．28
所以由01分布的期望值恰为取1时的概率 p得到：
E(X2)0.5，E(Y2)0.60,E(X2Y2）0.28
cov（X2，Y2）E（X2Y2）E(X2)E(Y2) 0.280.60.50.02
(5)【答案】X 1．
【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只
需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)
 
期望 E(X)  xf(x)dx   xe(x)dx 1
 
1 n
样本均值 X  X
n i
i1
1 n
用样本均值估计期望有 EX  X ，即 1 X ，
n i
i1
1 n
解得未知参数的矩估计量为 ˆ X 1 X 1．
n i
i1
二、选择题
(1)【答案】(B)
【详解】方法1：论证法．由题设 f(x)在开区间(a,b)内可导，所以 f(x)在(a,b)内连续，
因此，对于(a,b)内的任意一点，必有limf(x) f(). 即有lim[f(x) f()]0 ．故
x x
选(B)．
方法2：排除法．
1 x(a,b]
(A)的反例：f(x) ，有 f(a)1, f(b)1, f(a)f(b)10 ，
1 x a
3但 f(x)在(a,b)内无零点．
x x(1,1]
(C)与(D)的反例， f(x) f(1) f(1)1，但 f(x)1(当
1 x1
x(1,1))，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．
(2)【答案】(D)
【详解】方法1：A是mn矩阵，B是nm矩阵，则AB是m阶方阵，因
r(AB)min(r(A),r(B))．
当mn时，有r(AB)min(r(A),r(B))nm ．(系数矩阵的秩小于未知数的
个数)方程组 AB  x 0必有非零解，故应选(D)．
方法2：B是nm矩阵, 当mn时,，则r(B)n，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方
程组Bx0必有非零解，即存在x 0，使得Bx 0，两边左乘A，得ABx 0，
0 0 0
即ABx0有非零解，故选(D)．
(3)【答案】(B)
【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A，A是n阶实对称矩阵，
故AT  A．设  P1AP T B，则
B  PTATP1T  PTAP1T  PTA(PT )1
上式左乘PT1，右乘PT
，得
(PT)1BPT (PT)1PTA(PT)1PT ，即A PT1 BPT ，
所以 A(PT1 BPT)
两边左乘PT ，得 (PTPT1 BPT)PT()得B(PT)PT
根据特征值和特征向量的定义，知B (P1AP)T的对应于特征值的特征向量为
PT，即应选(B)．
方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定
义，A，A是n阶实对称矩阵，故AT  A．设  P1AP T 属于特征值的特征
4向量为，即  P1AP T ，其中  P1AP T PTATP1T PTAP1T
对(A)，即令 P1，代入PTAP1T (P1)P1
对(B)，PTAP1T (PT) PTA(P1T PT)PTA[(PT)1PT)]PTA(PT)
成立．故应选(B)．
(4)【答案】C
【分析】(i)2变量的典型模式是：2  X2  X2  X2，其中X 要求满足：X 相互
1 2 n i i
独立，X N(0,1)．称2为参数为n的2变量．
i
X /n
(ii) F 变量的典型模式是：F  1 ，其中 X,Y 要求满足： X 与Y 相互独立，
Y /n
2
X 2(n ),Y 2(n )，称F 为参数为 n ,n 的F 变量．
1 2 1 2
【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从N(0,1)．故X2和Y2都服从2(1)分布，
答案应选(C)．
方法2：题设条件只有X 和Y 服从N(0,1)，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，X2与Y2
的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．
题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(X,Y)正态，这样就不能推出X Y 服从正
态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．
三【详解】
x u2  x u2 
  arctan(1t)dt du   arctan(1t)dt du
   
0  0  0  0 
lim 等lim
x0 x(1cosx) x0 1
x3
2
x2
 arctan(1t)dt arctan(1x2)2x 2  
洛lim 0 洛 lim    ．
x0 3
x2
x0 3x 3 4 6
2
四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．du  f  dx f  dy f  dz
1 2 3
z  z(x,y)由xex  yey  zez 所确定，两边求全微分，有
d(xex yey)d(zez)d(xex)d(yey)d(zez)
5 xexdxexdx yeydyeydy zezdzezdz ，
ex(x1)dxey(y1)dy
解出 dz  ,(设z1 0).
ez(z1)
ex(x1)dxey(y1)dy
所以 du  f  dx f  dy f 
1 2 3 ez(z1)
 ex(x1)  ey(y1)
 f  f  dx f  f  dy

1 3 ez(z1)

2 3 ez(z1)
u z u z
方法2：  f  f  ,  f  f  (根据多元函数偏导数的链式法则)
x 1 3 x y 2 3 y
z z
下面通过隐函数求导得到 ， ．由xex  yey  zez 两边对x求偏导数，有
x y
z
xex ex (zez ez) ,
x
z xex ex z yey ey u u
得  ，(设z10)．类似可得，  ，代入 , 表达式
x zez ez y zez ez x y
u xexex u yeyey
 f  f ( ),  f  f ( ) ，
x 1 3 zezez y 2 3 zezez
u u
再代入 du  dx dy 中，得
x y
 ex(x1)  ey(y1)
du  f  f  dx f  f  dy ．

1 3 ez(z1)

2 3 ez(z1)
x
五【详解】首先要从 f(sin2 x)  求出 f(x)．
sinx
arcsin u
命u sin2 x，则有sinx u ，xarcsin u ，于是 f(u) ．(通过换元
u
求出函数的表达式)
x x arcsin x arcsin x
 f(x)dx  dx   dx
1x 1x x 1x
xsint t
  2sintcostdt(换元积分法)
cost
6tsintdt 2 tcostsint C (分部积分法)
2 1xarcsin x xC ．
 
六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:y f(x)(axb)， f(x)0与直线
b
x a,x b及x轴围成平面图形绕x轴旋转一周产生旋转体的体积V   f (x)2dx.
a
2  2 4
【详解】(1) V  2x2 dx  (32a5)
1 a 5
2a2
V a2 2a2 x2dy a4 0a 2 ．
2
0
4
(2) V V V  (32a5)a4
1 2 5
根据一元函数最值的求法要求驻点，令
dV
4a3(1a)=0,
da
dV dV
得a 1. 当0a1时 0，当1a2时 0，因此a 1是V 的唯一极值点且
da da
129
是极大值点，所以是V 的最大值点，maxV  ．
5
x3 x6 x9 x3n  x3n
七【解】(1) y(x)1    +1  ，
3！ 6！ 9！ (3n)! (3n)!
n1
由收敛半径的求法知收敛半径为，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得

 x3n   x3n   3nx3n1  x3n1
y(x)(1 )     ，
(3n)! (3n)! (3n)! (3n1)!
n1 n1 n1 n1
 x3n2
同理得 y
(3n2)!
n1
 x3n2  x3n1  x3n
从而 y(x) y(x) y(x) ( )( )(1 )
(3n2)! (3n1)! (3n)!
n1 n1 n1
 xn
1 (由ex的麦克劳林展开式)
n!
n1
ex
 x3n
这说明， y(x) 是微分方程y y y ex的解，并且满足初始条件
(3n)!
n0
7 03n  03n1
y(0)1 1， y(0) 0.
(3n)! (3n1)!
n1 n1
(2)微分方程 y y y ex 对应的齐次线性方程为 y y y 0，其特征方程为
1 3
2 10，其特征根为  i，所以其通解为
2 2
 x 3 3
y e 2[C cos xC sin x].
1 2 2 2
另外，该非齐次方程的特解形式为y cex，代入原非齐次方程得cex cex cex ex，
1
所以c .故微分方程 y y y ex的通解为
3
 x 3 3 1
y e 2[C cos xC sin x] ex.
1 2 2 2 3
1  x 3 3  x 3 3 3 1
故 y e 2[C cos xC sin x]e 2[C  sin x C cosx] ex
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3
1  x 3 3 1  x 3 3 1
 e 2(C 2C  )sin x e 2(C 2C  )cos x e x
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3
由初始条件 y(0)1,y(0)0得
  0 3 3 1 1
1e 2[C cos 0C sin 0] e0 C 
1 2 2 2 3 1 3

 1  0 3 3 1  0 3 3 1
0 e 2(C 2C  )sin 0 e 2(C 2C  )cos 0 e0
 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3

1 3 1
  C C  
 2 1 2 2 3
解得
 1
C  1
  1 3
 ，
 1 3 1
 C  C   0
 2 1 2 2 3
2
于是得到惟一的一组解：C  ,C 0.从而得到满足微分方程 y y y ex及初始
1 3 2
条件 y(0)1,y(0)0的解，只有一个，为
82  x 3 1
y  e 2 cos x ex
3 2 3
 x3n
另一方面，由(1)已知 y(x) 也是微分方程 y y y ex 及初始条件
(3n)!
n0
y(0)1,y(0)0的解，由微分方程解的唯一性，知
 x3n 2  x 3 1
1  e 2cos x ex( x).
(3n)! 3 2 3
n1
八【详解】方法1：因为 f(x)与g(x)在 a,b 上连续，所以存在x x 使得
1 2
f(x )M  max f(x)， f(x )m min f(x)，
1 2
x[a,b] x[a,b]
满足m f (x)M ．又g(x)0，故根据不等式的性质
mg(x) f(x)g(x)Mg(x)
根据定积分的不等式性质有
b b b
m g(x)dx  f (x)g(x)dx M g(x)dx,
a a a
b
 f(x)g(x)dx
所以 m a M.
b
 g(x)dx
a
b
 f(x)g(x)dx
由连续函数的介值定理知，存在[a,b]，使 f() a
b
 g(x)dx
a
b b
即有  f(x)g(x)dx  f() g(x)dx ．
a a
方法2：因为 f(x)与g(x)在 a,b 上连续，且g(x)0，故 b f(x)g(x)dx与 b g(x)dx都
a a
b
存在，且 g(x)dx 0.
a
b
 f(x)g(x)dx
b b b
记 a h，于是 f(x)g(x)dx h g(x)dx  hg(x)dx, 即
 b g(x)dx a a a
a
b
 (f(x)h)g(x)dx 0
a
因此必存在(a,b)使 f()h．不然，则在(a,b)内由连续函数的零点定理知要么
9b
f(x)h恒为正，从而根据积分的基本性质得 (f(x)h)g(x)dx 0；要么 f(x)h
a
b b
恒为负，同理得 (f(x)h)g(x)dx0，均与 (f(x)h)g(x)dx 0不符．由此推
a a
知存在(a,b)使 f()h，从而
b b
 f(x)g(x)dx  f() g(x)dx ．
a a
九【详解】方法1：对系数矩阵记为A作初等行变换
a b b  b  a b b  b 
2行1行
 3行1行 
 b a b  b   b a a b 0  0 
n行1行
Ab b a  b  b a 0 a b  0 
   
       
   
   
b b b  a b a 0 0  a b
当a b(0)时，r  A 1,AX 0的同解方程组为x x x  0，基础解
1 2 n
系中含有n1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取x ,x ,...,x 为自
2 3 n
由 未 知 量 ， 分 别 取 x 1,x 0,...,x 0 ， x 0,x 1,...,x 0 ， …,
2 3 n 2 3 n
x 0,x 0,...,x 1得方程组n1个线性无关的解
2 3 n
 1,1,0,,0 T , 1,0,1,0,,0 T ,,  1,0,,0,1 T ，
1 2 n1
为基础解系，方程组 AX 0 的全部解为 X kk k  ，其中
1 1 2 2 n1 n1
k (i 1,2,n1)是任意常数．
i
当a b时，
 a b b  b
 a b b  b 2行/(ab)
3行/(ab) 
 ba ab 0  0    1 1 0  0 
 n行/(ab)
Aba 0 ab  0   1 0 1  0
 
 
           
   
ba 0 0  ab 1 0 0 1
a(n1)b 0 0  0
1行2行b
1行3行b 
  1 1 0  0 
1行n行b
  1 0 1  0
 
   
 
 
 1 0 0  1
当a b且a (n1)b时， A a(n1)b0，r(A)n,AX 0仅有零解.
10当a (n1)b时，r  A n1,AX 0的同解方程组是
x x 0,
1 2

x x 0,
1 3

……



x x 0,
1 n
基础解系中含有1个线性无关的解向量，取x 为自由未知量，取x 1，得方程组1个
1 1
非零解 1,1,,1 T ，即其基础解系，故方程组的全部解为
X k，其中k是任意常数．
方法2：方程组的系数行列式
a(n1)b b b  b
a b b  b
a(n1)b a b  b
b a b  b 把第2，...，n列
A  b b a  b a(n1)b b a  b
加到第1列
       
b b b  a a(n1)b b b  a
1 b b  b
1 a b  b
提取第1列的公因子[a(n1)b]1 b a  b
   
1 b b  a
1 b b  b
第2行第1行
0 ab 0  0
第3行-第1行
[a(n1)b] 0 0 ab  0

   
第n行-第1行
0 0 0  ab
[a(n1)b](ab)n1
(1)当a b且a (n1)b时， A 0，r(A)n方程组只有零解．
(2)当a b(0)时，
a a a  a 1 1 1  1
a a a  a第2行第1行
   
  0 0 0  0 0 0 0  0

a a a  a 第3行第1行 
1
 
Aa a a  a 0 0 0  0第1行 0 0 0  0
 
  a 
     第n行第1行            
 a a a  a   0 0 0  0    0 0 0  0  
11方程组的同解方程组为
x x x  0
1 2 n
基础解系中含有 n1个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取
x ,x ,...,x 为自由未知量，分别取x 1,x 0,...,x 0，x 0,x 1,...,x 0，…,
2 3 n 2 3 n 2 3 n
x 0,x 0,...,x 1得方程组n1个线性无关的解
2 3 n
 1,1,0,,0 T , 1,0,1,0,,0 T ,,  1,0,,0,1 T ，
1 2 n1
为基础解系，方程组 AX 0 的全部解为 X kk k  ，其中
1 1 2 2 n1 n1
k (i 1,2,n1)是任意常数．
i
(1)当a (n1)b(b0)时，
(1n)b b b  b 
 
b (1n)b b  b
 
A b b (1n)b  b 
 
   
 
 
 b b b  (1n)b
1n 1 1  1  1n 1 1  1 
1,2,...,n行 
2行1行
 
分别
b
1  1 1n 1  1  3行1行 n n 0  0 
  1 1 1n  1   n 0 n  0 
    
       
   
  n  行    1  行  
 1 1 1  1n  n 0 0  n
1n 1 1  1  0 0 0  0 
   
2,...,n行

1 1 0  0
把第2,...,n行都
1 1 0  0

1  1 0 1  0  1 0 1  0 
分别  依次加到第1行 

n           
   
 1 0 0  1 1 0 0  1
r

A
n1，其同解方程组是
x x 0,
1 2

x x 0,
1 3

……

 x x 0,
1 n
基础解系中含有1个线性无关的解向量，取x 为自由未知量，取x 1，得方程组1个
1 1
非零解 1,1,,1 T ，即其基础解系，故方程组的全部解为
12X k，其中k是任意常数．
十【详解】(1) 设是A的任意特征值，是A的属于的特征向量，根据特征值、特征
向量的定义，有 A,0, ①
两边左乘A，得 A2A2 ②
   
②+2*①得 A2 2A  2 2
   
因A2 2A0，0，从而上式 A2 2A  2 20 ，
所以有2 20，故A的特征值的取值范围为0,2．
因为A是实对称矩阵，所以必相似于对角阵，且的主对角线上元素由A的特征值
组成，且r(A)r()2，故A的特征值中有且只有一个0.
2  2 
   
(若没有0，则 2 ，故r(A)r()3与已知矛盾；若有两个0，则 0 ，
   

 2  

0

0 
 
故r(A)r()1与已知矛盾；若三个全为0，则 0 ，故r(A)r()0与已知
 


0

矛盾). 故
2 
 
A  2
 


0

即A有特征值  2, 0．
1 2 3
(2) AkE 是实对称矩阵， A有特征值  2, 0 ，知 AkE 的特征值为
1 2 3
k2,k2,k．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故
k20 k 2
AkE正定     k 2
k 0 k 0
故k 2时AkE是正定矩阵．
十一【分析】(X,Y)有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值
有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即
13可．
【详解】(X,Y)只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)和(1,1) ．依照题意，有
1(2) 1
P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P  U 1   ;
2(2) 4
P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P 0;
1
P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P 1U 1  ;
2
1
P  X 1,Y 1 P  U 1,U 1 P  U 1  .
4
于是，(X,Y)分布为
Y
1 1
X
1
1 0
4
1 1
1
2 4
(2) 因为D(X Y)E(X Y)2[E(X Y)]2，所以我们应该知道X Y 和(X Y)2
的分布律．
对离散型随机变量，X Y 的取值可能有2,0,2; (X Y)2的取值可能有0和4；
1
P  X Y 2 P  X 1,Y 1  ,
4
1 1
P  X Y 0 P  X 1,Y 1 P  X 1,Y 1 0  ,
2 2
1
P  X Y 2 P  X 1,Y 1  ,
4
  1
P  X Y 2 0 P  X Y 0  ,
2
  1
P  X Y 2  4 P  X Y 2 P  X Y  2  ．
2
X Y 和(X Y)2的分布律分别为
X Y
2 0 2 (X Y)2 0 4
和
1 1 1 1 1
P P
4 2 4 2 2
所以由离散
14型随机变量的数学期望计算公式有：
n
E(X)x P  X  x 
k k
k1
2 2 4
所以有，E(X Y)  0, E(X Y)2 2 ．
4 4 2
D(X Y)E(X Y)2[E(X Y)]2 2
十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式．Y 由X 和2(小时)来确定，所以Y min(X,2)．
1 1
指数分布的X 的分布参数为   ,其密度函数为：
E(X) 5
1

1
x
 e 5 x 0
f (x)5 其中0是参数
X

0 x0
由分布函数的定义：F(y)P  Y  y P  min(X,2) y 
(1) 当 y0时，F (y)0(因为Y min  X,2 ，其中X 和2都大于0，那么小于0是
Y
不可能事件)
(2) 当 y2时，F (y)1(因为Y min  X,2 最大也就取到2，所以小于等于2是一
Y
定发生的，是必然事件)
(3) 当0 y2时, F(y)P  Y  y P  min(X,2) y P  X  y 
y y 1  1 x  1 y
  f (x)dx e 5 dx1e 5
 X 0 5
所以
0 y0

  1 y
F (y)1e 5 0 y 2
Y

1 y2


15