笔记《可视化微分几何和形式》-序幕的习题-2026.8.22

序幕

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习题2：

令c=cosθ，s=sinθ。

在R²上画一个单位圆，在第一象限的单位圆周上画出点p=(c,s)。

让p点绕原点旋转一个 (最终为0的) 小角度δθ。

以p点为顶点，以δc和δs为边，画一个小三角形。

证明：ds/dθ=c 且 dc/dθ=-s。

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证明。

在坐标轴上，画一个单位圆，半径为1。

画一条 经过原点，与x轴夹角为θ 的直线。

这条直线 与 单位圆 在第一象限的交点为(1×cosθ,1×sinθ)。

因为 c=cosθ，s=sinθ。

所以这个交点也是 (c,s)。

画在图中如下：

将这条直线，旋转一个很小的角度δθ。

得到一条新的直线，和一个新的交点 (c+δc,s+δs)。

当 δθ→0 时，两条红边的大三角形，可以看成一个扇形。

黄边的长度 ≍ 扇形的弧长 = 1×δθ = δθ。

扇形的两个底角，都 最终等于 直角。

所以，θ2 最终等于 (π/2-θ)。

以 (c,s) 和 (c+δc,s+δs) 为顶点，做一个直角三角形。

这个直角三角形中。

蓝边的长度为 δs。

绿边的长度为 -δc。

因为 θ2 最终等于 (π/2-θ)。

所以 θ1 ≍θ。

因为 蓝边的长度 = 黄边的长度 × cosθ1。

绿边的长度 = 黄边的长度 × sinθ1。

所以有：

δs ≍ δθ × cosθ = δθ × c。

-δc ≍ δθ × sinθ = δθ × s。

因为 当 δθ→0 时。

有 δs/δθ ≍ c 和 δc/δθ ≍ -s。 

所以 ds/dθ=c，dc/dθ=-s。