高中数学核心解题技巧120讲(第15讲)

       数形结合，即用形研究数，用数研究形，相互结合、相互补充，使问题变得直观、简捷、思路易寻.从形到数主要是指分析图形、发现规律，得到有用结论，即“识图→用图”;从数到形则是从观察“数”的结构特征入手，联想与想象其几何 特征.并由静而动，“作图”以便直观地发现解题思路，对于某些较为复杂的数学问题必须做到数形兼顾，反复转换，如“数→形→数”或“形→数→形”,甚至有多个反复，交替使用.

例1  已知 .a>0,a²—2ab+c²=0,bc>a²,  试比较实数a 、b 、c  的大小关系.

解题策略：本例可转化为函数图像与不等式表示的区域，以形助数，然而光靠图形尚不能比较a 、b 、c  的大小，还  需要作差比较，即以数辅形、数形结合的思想方法的实质是将抽象的数学语言和直观图结合起来，通过对图形的处理，  发挥直观对抽象的支柱作用；通过对数与式的运算和变换，将图像的特征及几何关系刻画得更准确、更精细，这样就可  以使抽象概念和具体形象相互联系、相互补充、相互转化、相互作用.求得问题的解决.

解：由

 ,则 点(c,b)    是抛物线

上的点，由bc>a²,       可 知(c,b)    是xy=a²       上方的点故满足

的点(c,b) 应为阴影内的抛物线上除去(a,a)    的点，∴c>a,b>a.          

这就是数到形的转变的结果(如图1-46所示).而b 、c 的大小关系要用代数的方法解决.

∴b>c,   b>c>a.

例2已知集合A ={(x,y) |y²=x+1,x,y∈R},B={(x,y) |4x²+2x-2y+5=0,x,y∈R },C={(x,y )|y=kx+b,x,y ∈ R},是否存在正整数k和b使得(A  U  B)∩C= ?    若存在，求出k和b的值；若不存在，请说明理由.

解题策略：数形结合的思想简言之就是代数问题几何化、几何问题代数化，充分体现图形的直观性、代数推理的合理性，解题时注意不能用图形的直观代替严密的逻辑推理，本例的解题策略归结起来就是：数形兼顾求参数值.

解：画出4x²+2x—2y+5=0 1-47所示)和y²=x+1        的图像，它们分别与 y 轴正半轴相交于点

∵b∈N,∴b=2.

例3已知 f(x)  是定义在区间(一∞,十∞)上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示区间(2k—1,2k+1),    已知当x∈I0时，f(x)=x².

(1)求f(x) 在 Ik上的解析表达式；

(2)对自然数k,求集合Mk={a| 使方程f(x)=ax 在Ik 上有两个不相等的实数根}.

解题策略：在求出x  ∈ b   上的函数解析式f(x)=(x-2k)²  后与f(x)=ax联立，得方程(x—2k)²=ax,  即x²—(4k+a)x+4k²=0. 此方程在(2k—1,2k+1) 上有两个不相等的实根，若用纯代数方法，则原问题等价于

解此不等式组求得a  的取值范围，但是运算量实在太大，故不能选择 这种繁琐的解法，应考虑数形结合的解法，而实现数形结合的关键是构造，可把问题转化为求 y₁=(x—2k)²,

x∈I,k∈N与 y₂=ax有两个交点时a  即 直 线y=ax 斜 率a  的取值范围，也可以通过分离变量，将方程转化为另一

类函数模型，寻求问题的几何意义。当然若设f(x)=x²— (4 k+a)x+4k²,利用根的分布定理求解也是一种不错的选择 .

解：( 1 ) ∵ 2 是f(x)     的周期，当k∈Z     时，2k 也 是f(x)      的周期 .

又∵ 当x∈I        时 ，( x—2k)∈Io,∴f(x)=f(x—2k)=(x—2k)²,  

即对k∈Z    ,当 x∈Ik      时 ，f(x)=(x—2k)².

例4  过抛物线 x²=2py   ( p>0)  的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A 、B 两点，A 、B 在x 轴上的正射 影分别为C 、D, 若梯形ABDC 的面积为12 √2,则P=  ------                    

解题策略：本例是典型的圆锥曲线焦点弦问题，可以直接运用代数的方法解，即联立方程组与韦达定理结合是常规思路，但是也可以数形结合，这是因为焦点弦问题必须考虑圆锥曲线的几何特征，借助几何法解题较为简单，可起到事半功倍的效果.